方程與不等式之二元二次方程組技巧及練習(xí)題附答案

方程與不等式之二元二次方程組技巧及練習(xí)題附答案一.選擇題1.解方程組：x"+xy=Ox2+4xy+4y2=91.解方程組：【解析】【分析】由第一個(gè)等式可得X【解析】【分析】由第一個(gè)等式可得X(x+y)=0,從而討論可①x=0,②XH0,合第二個(gè)等式(x+2y)2=9可得出x和y的值.【詳解】Vx(x+y)=0?當(dāng)x=0時(shí),(x+2y)2=9,33解得：yi=-=--；乙乙當(dāng)xhO,x+y=0時(shí)，?/x+2y二±3,\=-3尸3(x+y)=0,這兩種情況下結(jié)解得：x=3y=-3x1=0==0厲=-33「bV1=~2'2【答案】Xi=0x2=0-S=一33「3/Mr”=-1-2卜3=3綜上可得，原方程組的解是A4=3.兒=-3【點(diǎn)睛】此題考查二元二次方程組，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.2.解方程組:2x+y=5x2-y2+x+7=0【答案】x2=6【答案】、兒=-7【解析】【分析】用代入法即可解答,把①化為y=2x+5,代入②得x2-(-2x+5)2+x+7=0即可.【詳解】由①得y=-2x+5.③把③代入②，得亍一(一2x+5)'+x+7=0?整理后，得/2-7/+6=0?

解得A=1,x2=b?由人=1,得=-2+5=3.由1=6,得”=_12+5=—7?X=lXr=6所以，原方程組的解是｛1，b\=3〔兒=一7y-x=1y-x=13解方程如｛宀卄2宀0【解析】【分析】先將第二個(gè)方程分解因式可得：x-2y=0或x+尸0,分別與第一個(gè)方程組成新的方程組，解出即可.【詳解】fy-x=l?解：｛J-?[jr_x-2yr=0?由②得：(x-2y)(x+y)=0x-2y=0或x+y=0｛y-x=lfy-x=1c/ax—2y=0[x+y=0解得原方程組的解為＜-2=y1-2=X???原方程組的解是為＜1-2解得原方程組的解為＜-2=y1-2=X???原方程組的解是為＜1-2=X-2=y【點(diǎn)睛】本題考查了解二元二次方程組，解題思路是降次，可以利用代入法或分解因式，達(dá)到降次的目的.4.解方程組：=°,2—2xy+y"=411??5【答案】3x.=-23X1=~21=3?兒=1兀=-3.兒=一1【解析】【分析】將原方程組變形為：\x-3y)(x+3y)=0(x-y_2)(x_y+2)=0'所以創(chuàng)x-3y=Qx-y-2=Q，x-3y=0x-y+2=09其值.【詳解】x+3y=0x-y-2=0，"+刃弓，然后解4個(gè)二元一次方程組就可以求出x-y+2=0【答案】3x.=-23X1=~21=3?兒=1兀=-3.兒=一1【解析】【分析】將原方程組變形為：\x-3y)(x+3y)=0(x-y_2)(x_y+2)=0'所以創(chuàng)x-3y=Qx-y-2=Q，x-3y=0x-y+2=09其值.【詳解】x+3y=0x-y-2=0，"+刃弓，然后解4個(gè)二元一次方程組就可以求出x-y+2=0原方程組變形為：(x-3y)(x+3y)=0(x—y—2)(x—y+2)=0'原方程組變?yōu)樗膫€(gè)方程組為:x-3y=0x-y-2=Qx-3y=Qx-y+2=0，x+3y=0x-y-2=09x+3y=Qx-y+2=09解這四個(gè)方程組為：故答案為＜3Xi=—215?計(jì)算:3X=-1213&=?21兀=-3兒=一1(1)^27+716-（2）解方程組：=3?兒兀=-3?兒=一1（3）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來:3x-5y=-3一4x+10y=6F6x-2>3x-4S2x-ll-x32<l【答案】（I）4；（2）x=011:(3)——<x<—.y=-37【解析】【分析】⑴先求開方運(yùn)算，再進(jìn)行加減：(2)用加減法解方程組；(3)解不等式組，再在數(shù)軸上表示解集.31【詳解】解：(1)原式=3+4■—二一一223x-5y=-3①(2)—[-4x+10y=6②①x2+②，得x=0把x=0代入①式y(tǒng)=|所以，方程組的解是<y=「6x-2>3x-4?（3）由①式得,2由①式得,2

x>-—3由②式得,11由②式得,x<—7TOC\o"1-5"\h\z211所以，不等式組的解集是—^5x5片，37把解集在數(shù)軸上表示：—I——1?1?■1】丿>■3-2-120111233~【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：開方，解二元一次方程組，解不等式組?解題關(guān)鍵點(diǎn)：掌握相關(guān)解法.6.解方程組：｛x2y2y2=xy【答案】【答案】【解析】【分析】先由①得x=4+y,將x=4+y代入②，得到關(guān)于y的一元二次方程，解出y的值，再將y的值代入x=4+y求出x的值即可.【詳解】解：｛宀滲囂強(qiáng)?②由①得：x=4+y③，

把③代入②得：(4+y)2-2y2=(4+y)y,解得：/1=4,y2=-2,代入③得：當(dāng)y訐4時(shí)，X訐&當(dāng)力=-2時(shí)，X2=2,所以原方程組的解為：｛；；】；，［y?=~2?故答案為：｛；：=：，［y2=-2-【點(diǎn)睛】本題考查了解高次方程.7.解方程組<加一$+1=07.解方程組<加一$+1=0x2-x-2y+6=0【答案］｛兀一;【解析】【分析】由(1)得y=2X+1,代入到(2)中整理為關(guān)于X的一元二次方程，求出X的值，并分別求出對(duì)應(yīng)的y值即可.【詳解】,2x_y+l=0(l)解.<-x-2y+6=0(2)*由⑴，得y=2x+l(3),把(3)代入(2),整理，得F—5x+4=0,解這個(gè)方程，得兀=1,丕=4,把勺=1代入(3),得)1=3,把兀=4代入(3),得兒=9,X=I所以原方程組的解是X=I所以原方程組的解是x2=4y2=9【點(diǎn)睛】本題考查了二元二次方程組的解法，用代入消元法消去一個(gè)未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程是解題關(guān)鍵.8?閱讀材料，解答問題

*+宀2……⑴材料：利用解二元一次方程組的代入消元法可解形如^'y=1?…??…（2）的方程組.如：由（2）得，=尢-1,代入（1）消元得到關(guān)于％的方程：211尢'一乂+一=0???=一21\=X2~~■11xi11xi=x?=—Vi=yz=一—將2代入八—1得：八722,1=vs=--???方程組的解為?2請(qǐng)你用代入消元法解方程組:x請(qǐng)你用代入消元法解方程組:x+y=2(1)2x2-y2=l….(2)【答案】解：由（1）得，=2-卩代入Q）得2x2-(2-x)2=1化簡(jiǎn)得：X1+4x-5=0(尢+5)(%-1)=0XI=一5,X2=1把尢1=-5,x2=l分別代入y=2"得：yi=7ty2=i(Xi=-5(x2=1??(yi=7(y2=i9【解析】這是閱讀理解題，考查學(xué)生的閱讀理解能力，把二元二次方程組利用代入消元轉(zhuǎn)化成一元二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一個(gè)未知數(shù)的解即可9.解方程組:x-3y=0x2+)匸=209.解方程組:【解析】【分析】把第一個(gè)方程化為x=3y,代入第二個(gè)方程，即可求解.【詳解】由方程①，得x=3y③，將③代入②，得（3k+尸=20,整理，得尸=2,解這個(gè)方程，得yi=JJ,兀=-/?、?，將④代入③'得Xi=3‘兀=-3‘

[x.=35/2^x.=—3J?所以，原方程組的解是｛I廠｛LI=v2兒=-V2【點(diǎn)睛】該題主要考查了代入法解二元二次方程組，代入的目的是為了消元，化二元為一元方程,從而得解.10.解方程組:10.解方程組:3xy>-y2=14①y-3x=l?\x=—3【答案】｛?b?=-2【解析】【分析】由②得出y=7+3x③，把③代入①得出3x(7+3x)-(7+3x)2=14,求出x,把x=-3代入③求出y即可.【詳解】解：由②得：y=7+3x(3),把③代入①得：3x(7+3x)-(7+3x)2=14,解得：x=-3,把x=-3代入③得：y=-2,fx=-3所以原方程組的解為彳卜=-2【點(diǎn)睛】本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成一元二次方程或一元一次方程是解此題的關(guān)鍵.11.解方程組:x+y11.解方程組:x+y=4x2-a)'=8【解析】【分析】把x+y=4變形為用含x的代數(shù)式表示y,把變形后的方程代入另一個(gè)方程，解一元二次方程求出x的值，得方程組的解.【詳解】解：心-廠=8②

由①得，)=4-炮把③代入①，得x2-x(4-%)=8整理，得x2-2x-4=0解得：X]=l+X^=l~y/5，把x=l+JJ代入③，得)尸4-(1+V5)=3-把%=1-^5代入③，得)\=4_(1->/5)=3+躬;%.=1+fx,=1->/5所以原方程組的解為：廠或｛-h=3->/5也=3+石【點(diǎn)睛】本題考查了方程組的解法和一元二次方程的解法，代入法是解決本題的關(guān)鍵.\x2-2xy+V2=1612.解方程組｛,,兀=-3兒=1比_9)廣=0兀=-3兒=1【答案】兀=-6【答案】?jī)?一2?【解析】【分析】由于組中的兩個(gè)高次方程都能分解為兩個(gè)一次方程，所以先分解組中的兩個(gè)二元二次方程，得到四個(gè)二元一次方程，重新組合成四個(gè)二元一次方程組，求出的四個(gè)二元一次方程組的解就是原方程組的解.【詳解】x2-2xy+y2=16①x2-9y2=0②由①，得(x-y)2=16,所以x?y=4或x?y=?4?由②,得(x+3y)(x-3y)=0,艮卩x+3y=0或x?3y=0所以原方程組可化為:x-y=4x+3y=0‘解這些方程組，得壓=3b嚴(yán)t'x-y=4x-3y=0‘x-y=x-y=4x+3y=0‘解這些方程組，得壓=3b嚴(yán)t'x-y=4x-3y=0‘x-y=-4x+3y=0x-y=-4x_3y=0=6山2'x4=-6?兒=一2所以原方程組的解為:兒=3>\=~[x^=6厲=-3J=1x4=-6兒=一2【點(diǎn)睛】本題考查了二元二次方程組的解法，利用分解因式法將二元二次方程組轉(zhuǎn)化為四個(gè)二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.13.解二元二次方程組彳X+y-l=Ox2-y-2x-l=013.解二元二次方程組彳【解析】【分析】把方程①變形為y=l-x,利用代入法消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程求出x,然后就可以求出y,從而求解.【詳解】(x+y-1=0①解：[x2-y-2x-l=0②，把①變形y=l-x,代入②得/-(1-x)-2x-l=0,化簡(jiǎn)整理得x2-x-2=0,Axi=2,X2=-1?把x=2代入①得y=-1,把“=-1代入①得y=2,￡=2=—1所以原方程組的解為：,?山=一16=2【點(diǎn)睛】本題考查二元二次方程組的解法，一般用代入法比較簡(jiǎn)單，先消去一個(gè)未知數(shù)再解關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，把求得結(jié)果代入一個(gè)較簡(jiǎn)單的方程中即可.14.已知正比例函數(shù)『=(〃7+4小#”-"+(加'一9)的圖像經(jīng)過第二、四象限，求這個(gè)正比例函數(shù)的解析式.【答案】y=-i9x【解析】【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義可得關(guān)于巾、門的方程組，解方程組即可求出m.n的值，再根據(jù)其所經(jīng)過的彖限進(jìn)行取舍即可.【詳解】(m-/?=1(m=3m=-3解：???該函數(shù)為正比例函數(shù)，???｛Jc解得｛^或｛彳，[nr-9=0[n=2[n=_4

???該函數(shù)圖像經(jīng)過第二、四彖限，???加+4〃<0,：n=-4???函數(shù)解析式為：)，=一19廠【點(diǎn)睛】15.(1)解方程組：x15.(1)解方程組：x2+y2-ll=Qy/2x-4y+10=0&+3)(y-2)=(—3)()，+10)(兀-1)()，+3)=(x+2)(y+12)x=-ly=-6【解析】【分析】將方程組的第二個(gè)方程移項(xiàng)、兩邊平方求出F，再代入第一個(gè)方程可求出y的值，然后將y的最代入第二個(gè)方程可求出x的值，從而可得方程組的解：將原方程組的兩個(gè)方程通過去括?號(hào)、合并同類項(xiàng)變形可得一個(gè)二元一次方程組，再利用加減消元法求解即可.【詳解】x2+y2-11=0?⑴f?屈-4)，+10=0②由②可得：=—10兩邊平方化簡(jiǎn)得:2.F=(4y—10尸，即x2=8y2-40y+50代入①得：9才一40y+39=0,即(y—3)(9y-13)=0解得：尸3或J=y將)*3代入②得：Qy_12+10=0,解得：“血[3131Q故原方程組的解為：<將y=g代入②得：V2x-4x—+10=0,解得：x=-■—^2

故原方程組的解為：<J(x+3)(y—2)=(—3)(y+10)2x_y=4①3x+y=-9@lu-1)0+3)=(x+2)(y+12)2x_y=4①3x+y=-9@去括號(hào)化簡(jiǎn)得:小一2x+3y-6=T+10x-3y-30去括號(hào)化簡(jiǎn)得:xy+3x-y-3=+12x+2y+24①+②得：5x=-5,解得：x=-l將x=—1代入①得：2x(—1)—)，=4,解得：y=-6(x=-l故原方程組的解為彳.1尸-6【點(diǎn)睛】本題考查了利用消元法解方程組，熟練掌握方程組的解法是解題關(guān)鍵.16?⑴解方程組:嚴(yán)=1[x16?⑴解方程組:嚴(yán)=1[x2-xy^-2y2=051ix+yx-y152x+y(2)解方程組:=12=6【答案】(1)1【答案】(1)x=—21【解析】【分析】由=1得x=y+l,將其代入亍一Q—2尸=0求出y的值，再根據(jù)y的值分別求出對(duì)應(yīng)的x的值即可；設(shè)丄=4,丄=〃，方程組變形后求出A,B的值，然后得到關(guān)于x,y的方x+yx-y程組，再求出x,y即可.【詳解】解：(1)由x-y=1得：x=y+l,^x=y+x2-xy-2y2=0得：(y+l)~-(y+l)y-2y2=0,整理得：2y2-y-l=0,解得：y=l或_y=-|,將y=l代入x-y=1得：x=2,將),=_￡代入兀一丁=1得:x=*,

故原方程組的解為:x=2故原方程組的解為:x=2g或1x=—21、1人1D（2）設(shè)——=A,——=8.x+yx-y則原方程組變?yōu)?54+3=12則原方程組變?yōu)?154—23=6解得:解得:6x+6y=5解得：1解得：1x=—211x=—2經(jīng)檢驗(yàn)，:是方程組的解.y=-U3【點(diǎn)睛】本題考查了解二元二次方程組以及解分式方程組，熟練掌握代入消元法以及換元法是解題的關(guān)鍵.17.解方程組:x-y=17.解方程組:區(qū)=一4仁-2x2區(qū)=一4仁-2[x.=-1【答案】IYi=1【解析】【分析】注意到x2-xv-2y2可分解為l；x-y)(x-2y),從而將原高次方程組轉(zhuǎn)換為兩個(gè)二元一次方程組求解.【詳解】解：由X2-xy-2y2=0^(x+y)(x-2y)=0,即x+y=0或x—2y=0,

???原方程組可化為＜fx-v=-2^|x-2y=0Jx-y=-2[x+y=Ox-y=-2zfx=-4x-2y=0J???原方程組可化為＜fx-v=-2^|x-2y=0Jx-y=-2[x+y=Ox-y=-2zfx=-4x-2y=0J|y=-2???原方程組的解為、V1=1x2=-4y2=-218.如圖在矩形ABCD中，AB="AD,點(diǎn)E.F分別在AB、AD±且不與頂點(diǎn)A、B、D重合,ZAEF=ABCE,圓O過A、E、F三點(diǎn)。(1)求證：圓O與CE相切于點(diǎn)E?如圖1,若AF=2FD,且ZAEF=30°,求〃的值。如圖2,若EF二EC,且圓O與邊CD相切，求川的值。4【解析】(4【解析】(1)由四邊形ABCD是矩形證明ZFEU90。即可；(2)在直角三角形中利用三角函數(shù)求解；(3)利用三角形中位線、勾股定理和題意可列方程求出n//的值.(1)證明：???四邊形ABCD是矩形，???ZB=90。，ZBCE+ZBEC=90°,又VZAEF=ZBCE,VZAEF+ZBEC=90%/.ZFEC=90°,:.OO與CE相切.(2)VAF=2FD/設(shè)FD二a。則AF=2a,在直角三角形AEC中，VZAEF=30°,AZBCE=30°.???EF=4a,由勾股定理:AE=2>/3,ian30°=BC3。3??.BU3a,又在直角三角形EBC中,???EB=y[3ci,ABAE+EBH==ADAD過E作EM丄DC于皿因?yàn)閳AO與CD相切，設(shè)切點(diǎn)為N,連接ON,又過F作FQ丄EM交ON于H,???FE=EC,EF丄ECZ/.MEF='CEE,根據(jù)題意和作圖，可設(shè)AE=BC=ME=AD=y,AF=QE=EB=X,易證明OH為陌。的中位線，OH=