高中函數(shù)最值問題的常見求解方法

函數(shù)最值問題的常見求解方法最值問題，幾乎涉及到高中數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一，有一些基礎(chǔ)題，也有一些小綜合的中檔題，更有一些以難題形式出現(xiàn)．它經(jīng)常與三角函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次方程、不等式及某些幾何知識(shí)緊密聯(lián)系．所以其解法靈活，綜合性強(qiáng)，能力要求高．解決這類問題，要掌握各數(shù)學(xué)分支知識(shí)，能綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技能，靈活選擇合理的解題方法．考生的運(yùn)算能力，分析問題和解決問題能力在這里充分展現(xiàn)．為幫助同學(xué)們探索這類型問題的解題規(guī)律，指導(dǎo)高考復(fù)習(xí)，本文將這類問題作一個(gè)簡(jiǎn)單歸納．一、配方法例1：當(dāng)—1<x<0時(shí)，求函數(shù)y二2x+2—3-4x的最大值和最小值.41解析：y=—3(2x-)2+，當(dāng)—1<x<0時(shí)，<2x<1.顯然由二次函數(shù)的性質(zhì)可得y=1,32min4y=3-max3二、判別式法對(duì)于所求的最值問題，如果能將已知函數(shù)式經(jīng)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形轉(zhuǎn)化為一元二次方程有無(wú)實(shí)根的問題，則?？衫门袆e式求得函數(shù)的最值．例2：已知y2一4xy+4x2+2x一1=0，求y的最值.解析：由已知，變形得4x2—2(2y—1)x+(y2—1)=0，xeR，則A>0，即有4(2y—1)2—16(y2—1)>0故y<.45因此y=，無(wú)最小值.max4yi=mm例3：若x、yeR且滿足：x2+y2+2xy+x—y=0yi=mmmax解析：由已知，變形得：y2+(2x—1)y+(x2+x)=0，yeR，則A>0，即有(2x—1)2—4(x2+x)>0，于是一8x+1>0，即x<.即x=.8max8同理，x2+(2y+1)x+(y2—y)=0，xeR，則A>0，即有(2y+1)2—4(y2—y)>0，于是8y+1>0,即卩y>—1.即y=—1.8min8注意：關(guān)于x、y的有交叉項(xiàng)的二元二次方程，通常用此法5x2+4*3x+1例4：已知函數(shù)y=，求y的最值.x2+1解析：函數(shù)式變形為：(y—5)x2—4p3y+(y—1)=0，xeR，由已知得y—5豐0,/.A=(—4*3)2—4(y一5)(y一1)>0，即:y2—6y—7<0,即:一1<y<7.因此y=7，y=—1.maxminax+b例5：已知函數(shù)y=(xeR)的值域?yàn)閇—1,4]，求常數(shù)a,bX2+1ax+b77c解析：y=oyx2+y=ax+boyx2—ax+y—b=0x2+1?/xeRA=(一a)2一4y(y一b)>0，即4y2一4by一a2<0由題意：ye[—1,4]o(y+1)(y一4)<0oy2一3y一4<0o4y2一12y一16<0所以4b二12,a2=16，即b二3,a二±4注意：判別式求函數(shù)的值域或已知值域求參數(shù)，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)F(x,y)=0，通過(guò)方程有,小ax2+bx+c實(shí)根，判別式A>0，從而求得原函數(shù)的值域或參數(shù)的值.形如y=114(a、a不同時(shí)為0),ax2+bx+c12222常用此法求得小兀sinx(1一sinx)例6：在0<x<條件下，求y=的最大值.2(1+smx)2解析：設(shè)t=sinx，因xe(o，2)，故0<t<1，則y=罟即(1+y)t2+(2y一1)t+y=0因?yàn)?<t<1，故y+1豐0，于是A=(2y-1)2-4y(y+1)>0即y<—8111將y=代入方程得t=e[0，1]，所以y=—83max8注意：因A>0僅為方程(1+y)t2+(2y一1)t+y=0有實(shí)根te[0，1]的必要條件，因此，必須將1y=6代入方程中檢驗(yàn)，看等號(hào)是否可取.8三、代換法(一)局部換元法x2+p例7：求函數(shù)y=的最值.x2+4解析：令t=ix2+4，則t>2，函數(shù)y==t+—x2+4t當(dāng)p>8時(shí)，y=t+->2,p-4，當(dāng)t=2-4時(shí)取等號(hào)tp—4p—4當(dāng)p<8時(shí)，令2<t<t，則y—y=(t+)—(t+)=(t—t)+12121t2t1212

TOC\o"1-5"\h\zp-4p-4(t—t)=(t—t)(1一)，因?yàn)?<t<t,p<8，即有tt2112tt121212p-4p-4y一y=(t一t)(1-)<0，所以y=t+在[2,+^)內(nèi)遞增.ttt12所以當(dāng)p>8時(shí),當(dāng)p<8時(shí),y.=2Jp-4，無(wú)最大值;y=，無(wú)最大值.min2例8：求函數(shù)y二x+v1-2x的最值.解析：設(shè)t=、：1一2x(t>0)，則由原式得y=-—(t-1)2+1<1當(dāng)且僅當(dāng)t=1即x0時(shí)取等號(hào).故ymax二1，無(wú)最小值.例9：已知0<a<^2,求函數(shù)y=(sinx+a)(cosx+a)的最值.解析：y=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2令sinx+cosx=tTOC\o"1-5"\h\z__12—11貝y-\：2<t<且sinxcosx=，于是y=[(t+a)2+a2-1]22當(dāng)t=、：2時(shí)，y=a2+\：2a+；當(dāng)t=—a時(shí)，y=(a2—1).max2min2注意：若函數(shù)含有sinxcosx和sinx+cosx,可考慮用換元法解.(二)三角代換法(有時(shí)也稱參數(shù)方程法)例10:已知x、yeR,1<x2+y2<4.求u二x2+xy+y2的最值.解析：設(shè)x二tcos9,y=tsin9,(t為參數(shù))因1<x2+y2<4，故1<12<4u=12(cos29+cos9sin9+sin29)=12(1+—sin20)2故當(dāng)12=4且sin20=1時(shí)，u=6；當(dāng)12=1且sin20=-1時(shí)，u1+=S1+=Smin55S=4-5sinacosa當(dāng)sin2a二1時(shí)，ymax54——sin2a2510510=；當(dāng)sin2a=—1時(shí)，y==一4—53min4+51322所以113+SSmaxmin138=+=—10105例12:求函數(shù)y二(a2-x2)x(Ixl<a)的最值.解析:令x=acosa，則y=a2sin2a-acosa=a3sin2acosa又令t=sin2acosa,則12=sin4acos2a=—sin2a-sin2a-2cos2a21sin2a+sin2a+2cos2a<2()3427—2J3—~9~即有-空a3<y<空a399所以ymax2J3y=-a3min9注意:利用重要不等式時(shí)，要滿足“一正二定三相等”例13：已知x、yeR且3x2+2y2=6x,求x+y的最值.解析：化3x2+2y2=6x為(x—1)2+3-=1，得參數(shù)方程為<x=1+cose

y=￥inex+y=1+cose^26sine=1+40嶼")故(x+y)=1+￥，(x+y)=1-斗0max2min2(三)均值換元法例14:已知a+b=1，求證：a4+b4的最小值為8解析：由于本題中a、b的取值范圍為一切實(shí)數(shù)，故不能用三角換元，但根據(jù)其和為1,11a=■—+t，b=——t，(teR)，貝0我們可以令a4+b4=(a2+b2)2—2a2b2=[(+1)2+(丄—t)2]2—2(丄+1)2(—t)22222=(1+2t2)2—2(]—12)2=(—+2t2+4t4)—(——12+2t4)11=—+3t2+2t4n——???a4+b4的最小值為1.在t二0即a=b=1時(shí)取等號(hào)—2四、三角函數(shù)有界法對(duì)于xeR，總有Isinxl<1,Icosxl<1例15:求函數(shù)y二sin2x一2cos2x的最值.I/V解析：y=sin2x—2cos2x=sin2x—cos2x—1=、2sin(2x—)—14兀因?yàn)镮sm(2x—)I<1，故4當(dāng)sin(2x—)=1時(shí)，y=—1；當(dāng)sin(2x—)=一1時(shí)，y.=r2—1.4max4mm五、均值不等式法例16：在任意三角形內(nèi)求一點(diǎn)，使它到三邊之積為最大．解析：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,面積為S，三角形內(nèi)一點(diǎn)P到三邊的距離分別為x、y、zax+by+cz=2Sax+by+cz=2S(定值)ax-by-cz<(ax+by+cz3)3即xyz<—S327abc(ax=by=cz時(shí)取等號(hào))因此，當(dāng)此點(diǎn)為三角形的重心時(shí)(這時(shí)APAB、APBC、APAC面積相等)，它到三邊之積為最大.例17:有矩形的鐵皮，其長(zhǎng)為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長(zhǎng)為xcm的四個(gè)小正方形,將剩余部分折成一個(gè)無(wú)蓋的矩形盒子，問x為何值時(shí)，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？解析：依題意，矩形盒子底邊長(zhǎng)為(30—2x)cm，底邊寬為(14—2x)cm，高為xcm．/.盒子容積V—(30—2x)(14—2x)x=4x(15—x)(7—x)x(顯然：15—x>0、7—x>0、x>0)—a—b+1=0

15a—ax=7b—bx=x—a—b+1=0

15a—ax=7b—bx=x解得：a=4，b=4，x=3?從而44=骨哼—4)(21=骨哼—4)(21—琴)x<5764444故矩形盒子的最大容積為576cm3.44也可：令V=(15a—ax)(7—x)bx或V=(15—x)(7a—ax)bxabab注意：均值不等式應(yīng)用時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件(一正二定三相等)，當(dāng)條件不滿足時(shí)要靈活運(yùn)用拆項(xiàng)、湊項(xiàng)、湊系數(shù)、平方等技巧湊配系數(shù)，適當(dāng)時(shí)可以用待定系數(shù)法來(lái)求.例18：已知sin2a+sin2P+sin2丫二1（a、P、y均為銳角），那么cosacos卩cosy的最大值等于解析：因a、P、y均為銳角，所以cosacos卩cosy二cos2acos2pcos2y■(cos2a+cos2p+cos2y)'1—sin2a+1—sin2p+1—sin2y)26氣(3)3=$3)3二"V當(dāng)且僅當(dāng)sin2a=當(dāng)且僅當(dāng)sin2a=sin2P=sin2y=1時(shí)取等號(hào)故cosacos卩cosy的最大值為2詣"9-例19:求函數(shù)例19:求函數(shù)y=ab+sin2xcos2x的最小值（a解析：ab+解析：ab+sin2xsin2x=a+acot2x+b+btan2x>a+b+2\abtan2xcot2x=a+b+2\：ab當(dāng)且僅當(dāng)actg2當(dāng)且僅當(dāng)actg2x=btg2xa即tg2x=、：-時(shí),函數(shù)y取得最小值a+b+2壬ab六、單調(diào)性法（一）利用若干次“>”（或“<”）求函數(shù)的最值11例20：求函數(shù)y=+在（0,—）內(nèi)的最小值.sinxcosx2TOC\o"1-5"\h\z,11sinx+cosx、2解析：y=+=>-=sinxcosxsinxcosxJsinxcosx兀當(dāng)x=時(shí)，sinx=cosx,sin2x=1.上式中的兩個(gè)“>”中的等號(hào)同時(shí)成立，所以y>2、.：2是4"精確的”不等式.因而y.=2邁min另：此題還可用換元t=sinx+cosx以及函數(shù)單調(diào)性來(lái)判斷xb（二）形如y=+—的函數(shù)的最值ax（1）a>0，b>0時(shí)，函數(shù)在（—8，-、；ab］內(nèi)遞增，在lab，0）內(nèi)遞減，在（0，vab］內(nèi)遞減，在［<ab，+8）內(nèi)遞增.（2）a<0，b<0時(shí)，函數(shù)在（—8，—、：ab］內(nèi)遞減，在［-VOb，0）內(nèi)遞增，在（0，.［ab］內(nèi)遞增，在hab，+8）內(nèi)遞減.（3）a<0，b>0時(shí)，函數(shù)在（—8，0）內(nèi)遞減，在（0，+8）內(nèi)遞減.（4）a>0，b<0時(shí)，函數(shù)在（—8，0）內(nèi)遞增，在（0，+8）內(nèi)遞增.

例21:求函數(shù)y=4sin2xCOS2x+的最值.16sin2xcos2x11解析：函數(shù)y=4sin2xcos2x+=Sin22x+16sin2xcos2x4sin22x令t=sin22x，則te［0，1］，于是y=t+匕在(0，］］內(nèi)遞減，在［］，1］內(nèi)遞增.t22所以當(dāng)t=2，即sin2xcos2x=8時(shí)，y.=1；無(wú)最大值.28min2sinx-cos2x例22：求函數(shù)y=的最大值.sin2x+sin2x+2sinx-1解析：y=—⑶心1):-2=(sinx+1)+(-=^)sinx+1sinx+1令sinx+1=t，則0vt<2，函數(shù)y=t+—在（0，+s）內(nèi)遞增.所以在（0，2］內(nèi)也是遞增的.當(dāng)tt=2，即sinx=1時(shí)，y=1.max七、平方開方法例23:已知a、b是不相等的正數(shù)，求函數(shù)y=acos2x+bsin2x+sin2x+bcos2x的最值.解析：因a、b是不相等的正數(shù)，cosx與sinx不能同時(shí)為0,故y>0.(a-b)2y2=a+b+2sin22x+ab當(dāng)sin22x=當(dāng)sin22x=1時(shí),y2max=2(a+b)，ymax=\：2(a+b)當(dāng)sin22x=0時(shí),y2=a+b+2.ab，miny=、；a+Jbmin八、數(shù)形結(jié)合法有些代數(shù)和三角問題，若能借助幾何背景和幾何直觀而求其最值，常能受到直觀明快，化難為易的功效.4sinx-1例24:求函數(shù)y=的最值.3cosx-64（sinx-丄）sinx-—解析：將函數(shù)式變形為y=3cF，只需求函數(shù)u=—的最值?把u看成兩點(diǎn)A（2，4），B（cosx，sinx）連線的斜率，（B即為單位圓上的點(diǎn)）,則當(dāng)直線AB為單位圓的切線時(shí)，其斜率為最大或最小.設(shè)過(guò)A點(diǎn)的單位圓的切線方程為y-；=k（x-2），即kx-y+-2k=0.44

512.從而函數(shù)TOC\o"1-5"\h\zI--2kI3512.從而函數(shù)則圓心到切線的距離為￡=】，解得：‘-，k2=-3455最大值為y=x^=1；最小值為y=x（—）=--max34min3129九、利用二次函數(shù)的性質(zhì)例25：設(shè)x例25：設(shè)x>0，y>0且x+2y=一，求當(dāng)x、y為何值時(shí)，和最小值，并求出最大值和最小值.11解析：由x+2y=一，得x=一一2y???u=log”8（；-2y）y+4y2+1]=log”,（—12y2+4y+1）‘32‘314由x>0，y>0且x+2y=可得0<y<，從而1<-12y2+4y+1<（當(dāng)43u=log丿（8xy+4y213+1）取得最大值y=0時(shí)左邊取1''=”號(hào)，y=時(shí)右邊取“=”號(hào)），由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，即61141u=0.max當(dāng)x=、y=時(shí)，u=logG-）；當(dāng)x=、u=0.max66mm￡32例26:求函數(shù)y二3cosx-2-cos2x的最值.31解析：y=-cos2x+3cosx-1二：一2（cosx-才）2+瓦3故當(dāng)cosx=4時(shí)，ymax二要使y有意義，必須有—cos2x+3cosx3故當(dāng)cosx=4時(shí)，ymax二二芋；當(dāng)cosx=一（或1）時(shí)，y=0.TOC\o"1-5"\h\z842min例27:求函數(shù)y=2-4msinx-cos2x的最值.解析：y=2-4msinx-（1-2sin2x）=2（sinx-m）2+1-2m2因?yàn)镮sinxI<1，結(jié)合二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)：當(dāng)me（一8，-1]時(shí)，y=3一4m，y=3+4m.maxmin當(dāng)me[-1，0]時(shí)，y=3一4m，y=1-2m2.maxmin當(dāng)me[0，1]時(shí)，y=3+4m，y=1-2m2.maxmin當(dāng)me[1，+s）時(shí)，y=3+4m，y=3-4m.maxmin十、放縮法TOC\o"1-5"\h\z例28：若a、b、ceR+，且a+b+c=3，貝yja+1+^b+1+、：c+1的最大值是()(a+1)+2a+3解析:Pa+1?\2<—=——同理,?邁<字，、:E?迂<