
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
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文檔簡介
從前面兩節(jié)的中看到:有時候同一個參數(shù)可以有幾種不同的估計方法,這時就存在采用哪一個估計的問題.另一方面,對一個參數(shù),用矩法和極大似然法這兩種方法即使得到的是同一種估計,也存在一個衡量這個估計優(yōu)劣的問題.估計量的優(yōu)良性準(zhǔn)則
的就是:評價一個估計的標(biāo)準(zhǔn)問題.一、無偏性定義:設(shè)總體X~F(x,).?(X1,,Xn
)[?21
,,是參數(shù)的估計量,如果則稱?
為的無偏估計量?;蚍Q估計量?具有無偏性。如果lim
E[?
X1
X
2
,,(,n則稱?
為的漸近無偏估計量。注意:估計量?(X1,,Xn
)作為樣本的函數(shù),是一個統(tǒng)計量。其無偏性的意義是:用?
估計時,有時候可能偏高,有時候可能偏低,但是平均來說它等于.即,其期望為。無論X服從什么分布,k階樣本矩是k階總體矩的無偏估計。證明n
與X同分布,故有即有kkikE(X
)
E(X
)
,i
1,
2,
,
n例1:設(shè)總體X的k階矩k
E(X
k
)存在,又設(shè)
n
是X的一個樣本。試證明1niX
kn
i1A
k
knkkik1nE(
A
)
E(
X
)
i1例2:設(shè)X1,X2
,
,Xn為抽自均值為的總體X的樣本,考慮下列的估計量:?1
122?,2X
X1
X134X
2
Xn1
Xn?
(假設(shè)n
4),4?125?,3X
X是否為
的無偏估計量。解:是無偏估計.?1
X1
E(?1
)
E(
X1
)
?2
21
222是無偏估計.?)
E( )
X1
X
2
X
X
E(43?
21
n1
421
n1
X
是無偏估計.
EE()假設(shè)n
)4(X
(?3?4
2X1
E(?4
)
E(2X1
)
2
不是無偏估計.X?5
123不是無偏估計.
1
e
x/
,
x
0,f
(x,
)
例4:設(shè)總體X服從指數(shù)分布,其概率密度為總體的樣本,試證2
,,Xn
是來自0,其他其中參數(shù)
未知。又設(shè)nZ是
的無偏估計量。min
n
enx/
,
x
0,f
(x,
)
0,其他具有概率密度故知nE(Z
)
,
E(nZ
)
證明:Z的無偏估計。所以,nZ是參數(shù)
設(shè)總體X的均值為,方差為2,X1,X2
,
,Xn為來自該總體的樣本,依第六章所講取其樣本均值和樣本方差:定理Xnini(
X
X
)2S
2
:
X
:
1n
1
i
1n
i
11則
E(
X
)
E(S
2
)
2即樣本均值和樣本方差是和2的無偏估計.n2XV)(a,)r(XE
證明過1111222E(
X
)n
Xniiiinin
1E(
X
2
)
E
nX
E
n
n
X
2E
n
(
X
X
)2
(
X
X
)2
E(
S
2
)
E
n
1
i
1
n
1
i
1i
1nn
1
i
11n
1
i
1
n
1
i
122221
(
2
2
)
}
n
1
nn
1n
1n{Var(
X
)
[E(
X
)]2
}n
1n{Var(
X
)
[E(
X
)]nn
1
i
1i
i證明:
第五章如果?是參數(shù)的一個估計.
通??偸怯胓(?)做為g(
)的估計.
但是必須注意的是
:當(dāng)?是的無偏估計時,
g(?)卻未必是g(
)的無偏估計.注意例5:求證樣本標(biāo)準(zhǔn)差S不是總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計.證明:∵E(S2)=2
∴就是Var(S)+[E(S)]2
=2∵Var(S)≥0
∴[E(S)]2
=2
-Var(S)Var(S)≤2
∴E(S)≤.即:一般說S不是的無偏估計.例6:設(shè)總體服從[0,
]上的均勻分布,的極大似然估計為:21
?
試證明?
為的漸近無偏估計。時2
, ,
Xn
}
X
(n)
,證明:不妨記
max{先求
X
(n)的概率密度。當(dāng)0
y0nnyny
1FX
(
y)
P{X(
n
))
y}
[P{X
y}]
(dx)
n的概率密度為從而X
(n)(
n
)nX
nyn1,0
y
f
0,其他nnyn1y
n
dy
n
1
E(
X(n)
)
yfX(
n
)
(
y)dy
0因此(n)nlim
E(
Xn)
lim
n
n
1于是,即
max{估計,
Xn
}
是
的漸近無偏都是的無偏估計量,二、有效性1
2定義:設(shè)?
和?如果則稱?
比?
有效。1
2例7:設(shè)X1,X2
,
,Xn為來自該總體的樣本且E(X)=μ,則
X1?2?1
X
,均為μ的無偏估計量,但221
2??/
n,
D(
)
D(
)
,因此故當(dāng)n≥2時,D(?1
)
D(?2
)?1
比?2
有效。例8:(續(xù)例4)試證當(dāng)n>1時,
的無偏估計量
X
較
的無偏估計量nZ有效。證明:由于
D(X
)
2,故有D(
X
)
2
/
n再者,由于D(Z
)
2
/n2故有,D(nZ
)
2當(dāng)n>1時,
D(nZ)
D(X
)
,故
X
較nZ有效。三、相和性(一致性)定義:設(shè)
為的估計量,若對任意小的正數(shù)ε,都有則稱
的相和估計量或一致估計量。例:設(shè)總體X的期望μ,X1,X2
,
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