數(shù)理統(tǒng)計第六章_第1頁
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文檔簡介

從前面兩節(jié)的中看到:有時候同一個參數(shù)可以有幾種不同的估計方法,這時就存在采用哪一個估計的問題.另一方面,對一個參數(shù),用矩法和極大似然法這兩種方法即使得到的是同一種估計,也存在一個衡量這個估計優(yōu)劣的問題.估計量的優(yōu)良性準(zhǔn)則

的就是:評價一個估計的標(biāo)準(zhǔn)問題.一、無偏性定義:設(shè)總體X~F(x,).?(X1,,Xn

)[?21

,,是參數(shù)的估計量,如果則稱?

為的無偏估計量?;蚍Q估計量?具有無偏性。如果lim

E[?

X1

X

2

,,(,n則稱?

為的漸近無偏估計量。注意:估計量?(X1,,Xn

)作為樣本的函數(shù),是一個統(tǒng)計量。其無偏性的意義是:用?

估計時,有時候可能偏高,有時候可能偏低,但是平均來說它等于.即,其期望為。無論X服從什么分布,k階樣本矩是k階總體矩的無偏估計。證明n

與X同分布,故有即有kkikE(X

)

E(X

)

,i

1,

2,

,

n例1:設(shè)總體X的k階矩k

E(X

k

)存在,又設(shè)

n

是X的一個樣本。試證明1niX

kn

i1A

k

knkkik1nE(

A

)

E(

X

)

i1例2:設(shè)X1,X2

,

,Xn為抽自均值為的總體X的樣本,考慮下列的估計量:?1

122?,2X

X1

X134X

2

Xn1

Xn?

(假設(shè)n

4),4?125?,3X

X是否為

的無偏估計量。解:是無偏估計.?1

X1

E(?1

)

E(

X1

)

?2

21

222是無偏估計.?)

E( )

X1

X

2

X

X

E(43?

21

n1

421

n1

X

是無偏估計.

EE()假設(shè)n

)4(X

(?3?4

2X1

E(?4

)

E(2X1

)

2

不是無偏估計.X?5

123不是無偏估計.

1

e

x/

,

x

0,f

(x,

)

例4:設(shè)總體X服從指數(shù)分布,其概率密度為總體的樣本,試證2

,,Xn

是來自0,其他其中參數(shù)

未知。又設(shè)nZ是

的無偏估計量。min

n

enx/

,

x

0,f

(x,

)

0,其他具有概率密度故知nE(Z

)

,

E(nZ

)

證明:Z的無偏估計。所以,nZ是參數(shù)

設(shè)總體X的均值為,方差為2,X1,X2

,

,Xn為來自該總體的樣本,依第六章所講取其樣本均值和樣本方差:定理Xnini(

X

X

)2S

2

:

X

:

1n

1

i

1n

i

11則

E(

X

)

E(S

2

)

2即樣本均值和樣本方差是和2的無偏估計.n2XV)(a,)r(XE

證明過1111222E(

X

)n

Xniiiinin

1E(

X

2

)

E

nX

E

n

n

X

2E

n

(

X

X

)2

(

X

X

)2

E(

S

2

)

E

n

1

i

1

n

1

i

1i

1nn

1

i

11n

1

i

1

n

1

i

122221

(

2

2

)

}

n

1

nn

1n

1n{Var(

X

)

[E(

X

)]2

}n

1n{Var(

X

)

[E(

X

)]nn

1

i

1i

i證明:

第五章如果?是參數(shù)的一個估計.

通??偸怯胓(?)做為g(

)的估計.

但是必須注意的是

:當(dāng)?是的無偏估計時,

g(?)卻未必是g(

)的無偏估計.注意例5:求證樣本標(biāo)準(zhǔn)差S不是總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計.證明:∵E(S2)=2

∴就是Var(S)+[E(S)]2

=2∵Var(S)≥0

∴[E(S)]2

=2

-Var(S)Var(S)≤2

∴E(S)≤.即:一般說S不是的無偏估計.例6:設(shè)總體服從[0,

]上的均勻分布,的極大似然估計為:21

?

試證明?

為的漸近無偏估計。時2

, ,

Xn

}

X

(n)

,證明:不妨記

max{先求

X

(n)的概率密度。當(dāng)0

y0nnyny

1FX

(

y)

P{X(

n

))

y}

[P{X

y}]

(dx)

n的概率密度為從而X

(n)(

n

)nX

nyn1,0

y

f

0,其他nnyn1y

n

dy

n

1

E(

X(n)

)

yfX(

n

)

(

y)dy

0因此(n)nlim

E(

Xn)

lim

n

n

1于是,即

max{估計,

Xn

}

的漸近無偏都是的無偏估計量,二、有效性1

2定義:設(shè)?

和?如果則稱?

比?

有效。1

2例7:設(shè)X1,X2

,

,Xn為來自該總體的樣本且E(X)=μ,則

X1?2?1

X

,均為μ的無偏估計量,但221

2??/

n,

D(

)

D(

)

,因此故當(dāng)n≥2時,D(?1

)

D(?2

)?1

比?2

有效。例8:(續(xù)例4)試證當(dāng)n>1時,

的無偏估計量

X

的無偏估計量nZ有效。證明:由于

D(X

)

2,故有D(

X

)

2

/

n再者,由于D(Z

)

2

/n2故有,D(nZ

)

2當(dāng)n>1時,

D(nZ)

D(X

)

,故

X

較nZ有效。三、相和性(一致性)定義:設(shè)

為的估計量,若對任意小的正數(shù)ε,都有則稱

的相和估計量或一致估計量。例:設(shè)總體X的期望μ,X1,X2

,

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