實驗設計與數(shù)據(jù)處理第二章正交設計方法課件

大連理工大學材料學院鑄造工程研究中心313室2正交設計方法盧一平E-mail：luyiping@大連理工大學材料學院鑄造工程研究中心313室2正交設計方法

對于單因素或兩因素試驗，因其因素少，試驗的設計、實施與分析都比較簡單。但在實際工作中，常常需要同時考察3個或3個以上的試驗因素，若進行全面試驗，則試驗的規(guī)模將很大，往往因試驗條件的限制而難于實施。正交試驗設計就是利用一種規(guī)格化的表-“正交表”，合理安排多因素試驗、只做較少次實驗便可判斷出較優(yōu)組合的一種高效率試驗設計方法。

對于單因素或兩因素試驗，因其因素少，試驗的

例如，Super304鋼生產過程中，要考察保溫排氣時間、添加的微量元素的量和鋼液冷卻速度對其強度硬度的影響。每個因素設置3個水平進行試驗。

A因素是保溫，設A1、A2、A33個水平；B因素是某種微量元素的添加量，設B1、B2、B33個水平；C因素為冷卻速度，設C1、C2、C33個水平。這是一個3因素3水平的試驗，各因素的水平之間全部可能組合有27種。全面試驗：可以分析各因素的效應，交互作用，也可選出最優(yōu)水平組合。但全面試驗包含的水平組合數(shù)較多，工作量大，在很多情況下無法完成。

2.1指標、因素和水平例如，Super304鋼生產過程中，要考察保溫實驗設計與數(shù)據(jù)處理第二章正交設計方法課件

L9（34）4因素3水平正交試驗，共做9次試驗，而全面試驗要做34=81次，減少了72次。

L25（56）6因素5水平正交試驗，共做25次試驗，而全面試驗要做56=15625次，減少了15600次。可以看出使用正交表可大大減少試驗次數(shù)，提高實驗效率。L9（34）4因素3水平正交試驗，共做9次若試驗的主要目的是尋求最優(yōu)水平組合，則可利用正交表來設計安排試驗。若試驗的主要目的是尋求最優(yōu)水平組合，則可利用正交表來設計安2.1.2試驗安排原則

正交設計就是從選優(yōu)區(qū)全面試驗點（水平組合）中挑選出有代表性的部分試驗點（水平組合）來進行試驗。上圖中標有試驗號的九個“(。)”，就是利用正交表L9(34)從27個試驗點中挑選出來的9個試驗點。即：(1)A1B1C1(2)A2B1C2(3)A3B1C3(4)A1B2C2(5)A2B2C3(6)A3B2C1(7)A1B3C3(8)A2B3C1(9)A3B3C22.1.2試驗安排原則正交設計就是從選優(yōu)區(qū)

上述選擇，保證了A因素的每個水平與B因素、C因素的各個水平在試驗中各搭配一次。對于A、B、C3個因素來說，是在27個全面試驗點中選擇9個試驗點，僅是全面試驗的三分之一。從上圖中可以看到，9個試驗點在選優(yōu)區(qū)中分布是均衡的，在立方體的每個平面上，都恰是3個試驗點；在立方體的每條線上也恰有一個試驗點。

9個試驗點均衡地分布于整個立方體內，有很強的代表性，能夠比較全面地反映選優(yōu)區(qū)內的基本情況。

上述選擇，保證了A因素的每個水平與B因素、C2.1.3用正交表安排試驗及直觀分析法

正交表的記號及含義記號及含義正交表的列數(shù)（最多能安排的因素個數(shù)，包括交互作用、誤差等）正交表的行數(shù)（需要做的試驗次數(shù)）正交表的代號2.1.3用正交表安排試驗及直觀分析法正交表的記號及含如表示？表示各因素的水平數(shù)為2，做8次試驗，最多考慮7個因素（含交互作用）的正交表。如表示？表示各因素的水平數(shù)為2，

正交表的特點表示：在試驗安排中，所挑選出來的水平組合是均勻分布的（每個因素的各水平出現(xiàn)的次數(shù)相同）

——均衡分散性2、正交表中任意兩列，把同行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對時，所有可能的數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相同。表示：任意兩因素的各種水平的搭配在所選試驗中出現(xiàn)的次數(shù)相等

——整齊可比性這是設計正交試驗表的基本準則1、正交表中任意一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等；正交表的特點表示：在試驗安排中，所挑選出來的水平組合是均

正交表的兩條重要性質：（1）每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如L9（34），每列中不同的數(shù)字是1，2，3。它們各出現(xiàn)三次。（書上117頁）（2）在任意兩列中，將同一行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對時，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如如L9（34），有序數(shù)對共有9個：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），它們各出現(xiàn)一次。正交表的兩條重要性質：

正交試驗設計的基本步驟2.選用合適的正交表；3.按選定的正交表設計表頭，確定試驗方案；4.組織實施試驗；5.試驗結果分析。

確定目標、選定因素（包括交互作用）、確定水平；正交試驗設計的基本步驟2.選用合適的正交表；3.按選定實驗設計與數(shù)據(jù)處理第二章正交設計方法課件例1軸承退火實驗。軸承圈退火是把工件加熱到臨界溫度以上30-50度，保持一段時間，再緩慢冷卻下來，其目的是用于消除工件的內應力，降低硬度，增加韌性。因素

加熱溫度（度）

保溫時間（小時）出爐溫度（度）一水平8006400二水平8208500（a）制定試驗計劃并進行試驗。（1）明確實驗目的，規(guī)定考察目標。（2）選因素并定出各因素的水平。（3）選用合適的正交表，排表頭，列出實驗方案。本實驗可選正交表，每一因素恰好占一列位置，見下表例1軸承退火實驗。軸承圈退火是把工件加熱到臨界溫度以上301（A）2（B）3（C）硬度合格率試驗號加熱溫度保溫時間出爐溫度（Ya,100%）11(800)1(6)1(400)9021(800)2(8)2(500)8532(820)1(6)2(500)4542(820)2(8)1(400)70Ij175135160a=1,2,3,4,j=1,2,3IIj11515513087.567.58057.577.565極差3010151（A）2（B）3（C）硬度合格率試驗號加熱溫度保溫時間出爐1.首先要直觀分析，直接比較可以得出那個實驗條件下比較好2.綜合比較，看那個因素影響大，找出合適的水平，找出合適的水平搭配從上圖中可以看出，溫度的極差值最大，出爐溫度次之，保溫時間最小。最佳實驗條件為加熱溫度800度，保溫時間為8小時，出爐溫度為400度。1.首先要直觀分析，直接比較可以得出那個實驗條件下比較好2.實例：為提高化工產品的收率實驗，收率是化工生產的一項重要指標，系指產品的實際產量與理論上按投入原料計算所得到的最大產量之比，顯然收率越高越好。實驗前收率指標一般在60-80%之間波動，擬通過正交試驗來尋找收率最高的最佳工藝條件。試驗方案設計a.制定試驗計劃（1）明確試驗目的，確定試驗指標，考察指標為 收率的百分比。（2）選因素、定水平。經分析認為反應溫度的高低，加堿的多少和催化劑種類是影響收率高低的主要因素，每個因素都取三個水平，水平表如下圖。實例：為提高化工產品的收率實驗，收率是化工生產的一項重要指標因素水平加熱溫度(A)度加堿量(B)公斤催化劑種類(C)一水平8035甲二水平8548乙三水平9055丙（3）選用正交表，排表頭，列出實驗方案。選用正交表，可容納下四個因素，每個因素取三水平，共安排9次試驗。該表還多出一列未用，可將該列空出或抹去，表頭設計及試驗方案如上圖。因素加熱溫度(A)度加堿量(B)公斤催化劑種類(C)一水平因素1（A）2（B）3（C）試驗指標收率（%）試驗號加熱溫度保溫時間出爐溫度（Ya）11(80)1(35)1(甲)5121(80)2(48)2(乙)7131(80)3(55)3(丙)5842(85)1(35)2(乙)8252(85)2(48)3(丙)6962(85)3(55)1(甲)5973(90)1(35)3(丙)7783(90)2(48)1(甲)8593(90)3(55)2(乙)84Ij180210195a=1,2,3….9j=1,2,3IIj210225237IIIj246201204607065707579826768極差22814因素1（A）2（B）3（C）試驗指標收率（%）試驗號加熱溫度=1/3(y1+y2+y3)=60=1/3(y1+y4+y7)=70=1/3(y1+y6+y8)=65=1/3(y1+y2+y3)=60=1/3(y1+y4+y7綜合分析。根據(jù)極差值的大小，可知反應溫度對指標影響最大、溫度取三水平效果最好，催化劑次之，取二水平最好，堿的影響不大，從計算結果來看應取二水平，但是為了降低成本也可以取一水平。因此綜合分析后，可以取A3B2C2或A3B1C2，這兩種組合都是沒試驗過的，因此還需要具體實驗，具體實驗后發(fā)現(xiàn)，這兩種組合的收率分別是92.5%和91%均高于8號試驗收率85%。這兩種組合最后取那種，還要看生產實踐具體要求。（堿貴了就取A3B1C2）綜合分析。根據(jù)極差值的大小，可知反應溫度對指標影響最大、溫度2.2正交表的統(tǒng)計分析分清各因素及其交互作用的主次順序，分清哪個是主要因素，哪個是次要因素；判斷因素對試驗指標影響的顯著程度；找出試驗因素的優(yōu)水平和試驗范圍內的最優(yōu)組合，即試驗因素各取什么水平時，試驗指標最好；分析因素與試驗指標之間的關系，即當因素變化時，試驗指標是如何變化的。找出指標隨因素變化的規(guī)律和趨勢，為進一步試驗指明方向；了解各因素之間的交互作用情況；估計試驗誤差的大小。直觀分析法不能知道分析的精度，及實驗測定當中的誤差大小。2.2正交表的統(tǒng)計分析分清各因素及其交互作用的主次順序，分實驗設計與數(shù)據(jù)處理第二章正交設計方法課件二、方差分析的含義方差是描述變異的一種指標，方差分析是一種假設檢驗的方法。方差分析也就是對變異的分析。是對總變異進行分析。看總變異是由哪些部分組成的，這些部分間的關系如何。二、方差分析的含義方差是描述變異的一種指標，方差分析是一種假三、方差分析的基本思想根據(jù)變異的來源，將全部觀察值總的離均差平方和及自由度分解為兩個或多個部分，除隨機誤差外，其余每個部分的變異可由某些特定因素的作用加以解釋。通過比較不同來源變異的方差（也叫均方MS），借助F分布做出統(tǒng)計推斷，從而判斷某因素對觀察指標有無影響。三、方差分析的基本思想根據(jù)變異的來源，將全部觀察值總的離均差

2.2.1單因素方差分析一、單因素方差分析的幾個概念因素：影響研究對象的某一指標、變量。水平：因素變化的各種狀態(tài)或因素變化所分的等級或組別。單因素試驗：考慮的因素只有一個的試驗叫單因素試驗。

2.2.1單因素方差分析一、單因素方差分析的幾個概念單因素方差分析：對單因素試驗結果進行分析，檢驗因素對試驗結果有無顯著性影響的方法叫單因素方差分析。單因素方差分析是兩個樣本平均數(shù)比較的引伸，它是用來檢驗多個平均數(shù)之間的差異，從而確定因素對試驗結果有無顯著性影響的一種統(tǒng)計方法。二、單因素方差分析的基本原理單因素方差分析：對單因素試驗結果進行分工藝條件試驗號1234合計平均值（）A1y11=68y12=6477y14=5926867A2

Y21=4259365519248A3Y31=5362636224060A4Y41=5053414018446A5Y51=7043476822857A6Y61=6763567025664上面的每個實驗結果：真值+誤差因為實驗數(shù)據(jù)圍繞著真值上下波動，所以誤差也就圍繞著真值上下起伏波動，因此把他們加起來的時候，誤差在很大程度上就抵消了。注意：平均值不是真值，而是接近真值工藝條件1234合計平均值A1y11=68y12=6477y工藝條件試驗號1234合計A1Y11-y1=1-310-80A2Y21-y2=611-1270A372320A447-5-60A51314-10110A63-15660S誤：誤差的偏差平方和；

V誤：誤差的平均偏差平方；f誤：誤差的自由度工藝條件1234合計A1Y11-y1=1-310-80A2Y應該去除6個約束條件：(1)(2)?(3)?(4)?(5)?(6)?f誤=各條件下（數(shù)據(jù)個數(shù)-1）之和應該去除6個約束條件：(1)(2)?(3)?(4)?(5)?b.因素水平變化的分析：根據(jù)各實驗條件下數(shù)據(jù)的平均值，可以算出全數(shù)據(jù)的總平均值由此可以寫出各水平下數(shù)據(jù)的平均值（y1,y2,…y6),與總平均值之間的差值，對各差值平方求和，記為：它反映了由因素A的水平變動（A1，A2，….A6）所引起的波動。我們把SA叫做因素A的變動平方和。該值仍然受到因素A的水平個數(shù)的影響，因此用平均變動平方和VA來表示：b.因素水平變化的分析：由此可以寫出各水平下數(shù)據(jù)的平均值（yfA稱為因素A的自由度，因素A的六個水平滿足一個約束條件：所以，fA=6-1=5。因此，因素A的平均變動平方和應用：SA與fA可按下面的敘述規(guī)則進行計算：SA=因素各水平[重復數(shù)×(平均值-總平均值)2]之和fA=因素的水平數(shù)-1fA稱為因素A的自由度，因素A的六個水平滿足一個約束條件：所C.總的偏差平方和及總自由度工藝條件試驗號12341Y11-y=1172022Y21-y=152-21-23-42654-77-16-1751314-10116106-113C.總的偏差平方和及總自由度工藝條件12341Y11-y=1該公式說明，實驗數(shù)據(jù)總的偏差可以分解為兩部分，一部分是實驗誤差的偏差，另一部分是由于因素變動引起的偏差。同理可知總偏差的自由度：為了方便S總還可以寫成：該公式說明，實驗數(shù)據(jù)總的偏差可以分解為兩部分，一部分是實驗誤d.顯著性檢驗計算出S因、f因、S誤、f誤數(shù)值，就可判斷出因素對指標的影響是不是顯著。所謂顯著，是指因素水平改變時，確使實驗結果的真值有改變。V誤反映了實驗誤差影響的大小，而VA反應了因素水平改變時影響的大小，因此應該比較V誤和VA的大小，以判斷因素的水平改變確有超過實驗誤差干擾的影響，這是就說因素A是顯著的。比較VA與V誤的大小可以計算其比值：當FA多大時，就能說因素A是顯著的呢？F分布表中的數(shù)值上就是各種情況下的臨界值。由表查的的臨界值記為Fα，當FA>Fα時，我們就有（1-α）的把握說因素A對指標有顯著性影響。這里的α

就叫做顯著性水平。d.顯著性檢驗當FA多大時，就能說因素A是顯著的呢？F分布表F分布及其查法：F分布表中列出了各種自由度情況下F比的臨界值，F(xiàn)分布表的橫行f1=1,2,3,4,5…15…。代表F比中的分子的自由度（f因或fA），豎行f2=1,2,3,4…，代表F比中分母的自由度(即f誤），而α=0.1,0.05,0.01分別表示在不同的顯著性水平上的F比的臨界值。查表時根據(jù)f因和f誤的值可在不同的顯著性水平上分別找到Fα的值，并把該值與計算的F值進行比較。例子：例如在本例中fA

=5，f誤=18，查表得：Fα=0.1（5,18）=2.20，F(xiàn)α=0.05（5,18）=2.77，F(xiàn)α=0.01（5,18）=4.25.由于：可以看出當FA>F0.05(5,18）=2.77，但是FA<F0.01(5,18）=4.25,表示本例有（1-0.05）的把握說因素A對實驗結果有顯著影響。F分布及其查法：例子：實驗設計與數(shù)據(jù)處理第二章正交設計方法課件2.2.2正交設計的統(tǒng)計分析（多因素試驗的方差分析）多因素方差分析：多因素方差分析和單因素的方差分析類似。多因素實驗結果之間的差異也是由兩部分組成：各因素水平變化引起的；實驗誤差所引起的。在多因素試驗中，方差分析的目的在于將實驗誤差所引起的結果差異與實驗條件的改變所引起的結果差異區(qū)分開來，以便能抓住問題的實質。此外還要把影響實驗結果的主要和次要因素區(qū)分開。2.2.2正交設計的統(tǒng)計分析（多因素試驗的方差分析）多因素下面通過實例說明多因素方差的分析方法：例2-3尋求合理的鋼材熱處理條件。實驗目的：提高鋼材的強度，考察指標是（千克/毫米2）因素與水平：考察三個因素：淬火溫度，回火溫度，回火時間，其因素與水平表見下表。因素淬火溫度（A）度回火溫度（B）度回火時間（C）分一水平84041040二水平85043060三水平86045080下面通過實例說明多因素方差的分析方法：因素淬火溫度（A）度回列號A空BC實驗結果ya(ya-185)試驗號123411(840)11(410)1(40)190(5)2122(430)2(60)200(15)3133(450)3(80)175(-10)42(850)123165(-20)52231183(-2)62312212(27)73(860)132196(11)83213178(-7)93321187(2)Ij10-4255a=1,2,3..9j=1,2,3,4IIj56-353IIIj619-1-3710016625252536928093636111369161413635420353.67137.67211.671401Sj14/3266/3488/34056/3列號A空BC實驗結果ya(ya-185)試驗號123411(

選正交表，排表頭，列出試驗計劃，該實驗選用L9(3)4表，表頭設計及實驗結果見下圖，該表的第二列未安排因素，填入空留作他用。（空列的左右后續(xù)將講到）a.計算總偏差平方和總偏差平方和S總表示了各實驗數(shù)據(jù)圍繞總平均值的變動情況。由上表可知，實驗結果的指標在165-212之間波動，實驗結果的指標165-212之間波動，各實驗結果以ya表示，用表示他們的平均值：根據(jù)或選正交表，排表頭，列出試驗計劃，該實驗選用修正項總偏差自由度

為了便于計算，可對上表中的數(shù)據(jù)進行簡化，當幾個數(shù)y1，y2，….y9較大時，可將每一個數(shù)ya(a=1,2…n)都減去同一個數(shù)C，這并不影響偏差平方和的計算結果，而計算工作量卻減少很多。當ya-185時，經簡化后計算的結果如下：修正項總偏差自由度為了便于計算，可對上表中b.計算因素變動平方和（S因）因素A放在L9（34）正交表的第一列上，共有三個一水平，三個二水平，三個三水平。用因素A的一水平對強度的平均影響I1/3,代替各一個水平（共三個）對強度的影響，用因素A的二水平的平均強度II2/3代替二水平對強度的影響，同理用III3/3代替各三水平對強度的影響，根據(jù)正交表的綜合可比性，I1/3,II1/3,III1/3,這三個平均值可以相互比較，且他們反映了因素A的三個水平間差異，所以因素A的偏差平方和SA可有計算三個I1/3,II2/3,III3/3,與y的偏差的平方和得到，即：也可用簡化的公式b.計算因素變動平方和（S因）也可用簡化的公式同理可求出因素B和C的偏差平方和：自由度：fA=fB=fC=3-1=2C.計算誤差的偏差平方和（S誤）在多因素試驗中，毫無例外地也存在著誤差，此時計算誤差的偏差平方和可用正交表中未安排因素的空白列計算。計算方法與計算SA和SB等列的方法相同。本列中的三個I2/3,II2/3,III2/3的平均值與計算SA和SB的方法相同。同理可求出因素B和C的偏差平方和：自由度：fA=fB=fC=因為該列中沒有安排因素，所以計算的空列的偏差平方和中，也沒有因素水平間的差異所造成的偏差，該列僅僅反應實驗誤差的大小。因此：因為該列中沒有安排因素，所以計算的空列的偏差平方和中，也沒有列號A空BC實驗結果ya(ya-185)11(840)11(410)1(40)190(5)2122(430)2(60)200(15)3133(450)3(80)175(-10)42(850)123165(-20)52231183(-2)62312212(27)73(860)132196(11)83213178(-7)93321187(2)Ij10-4255a=1,2,3..9j=1,2,3,4IIj56-353IIIj619-1-3710016625252536928093636111369161413635420353.67137.67211.671401Sj14/3266/3488/34056/3列號A空BC實驗結果ya(ya-185)11(840)11(上述各列偏差平方和的計算，均可在正交表上進行，由S總及各Sj不難理解：上述各列偏差平方和的計算，均可在正交表上進行，由S總及各Sjd.檢驗因素的顯著性計算S因，f因，S誤，f誤的目的是為了判斷因素水平的變化所引起的實驗結果的變動是否顯著，因此仍采用單因素試驗的方差分析方法進行顯著性檢驗，即計算V因與V誤的比值，而后與F分布表的臨界值進行比較。根據(jù)SA，SB，SC及fA,fB,fC,f誤可分別計算VA，VB，VC及V誤

由計算結果可知VA

小于V誤，而VB

與V誤相差不大，因此，在VA

及VB的偏差中，由因素水平變化的影響部分很小，他們的偏差實際上主要是由于誤差干擾造成的，這在進行顯著性實驗前就能確定。由于A，B兩因素可取任一水平，因此SA，SB應與S誤合并在一起，用以估計誤差影響的大小，而且誤差的自由度越大，進行顯著性檢驗時越精確，所以我們把誤差的偏差平方和及誤差的自由度合并成：d.檢驗因素的顯著性由計算結果可知VA小用這種合并后的誤差的平均偏差平方和：去檢驗余下的因素C的顯著性：因素C的自由度fc=2，的自由度，查α=0.01顯著性水平的F分布表，F(xiàn)0.01(2,6)=10.9,所以因素C是高度顯著的[（1-0.01）把握]FC=15.84>F0.01(2,6)=10.9用這種合并后的誤差的平均偏差平方和：去檢驗余下的因素C的顯著通過本例方差分析可知：（1）在影響強度的因素中，回火時間對強度有高度顯著地影響，根據(jù)IC、IIC、IIIC的大小可以看出選2水平較好。（2）淬火溫度和回火溫度的改變對強度無顯著影響，考慮到節(jié)省能源，一般選一水平（低溫）為好，因此選取的工藝條件為：A1B1C2.即淬火溫度為840度，回火溫度為410度，回火時間為60分鐘是最佳工藝條件。通過本例方差分析可知：2.2.3效應與工程平均前兩節(jié)已說明用正交表安排實驗時，可采用綜合比較的方法，以及方差分析的方法定出較好的工藝條件。但是方差分析較為繁瑣？對于所定出的工藝條件能否不經過試驗也可預算處在該條件下所能夠定量地估計個主要因素，當取某一水平組成不同的條件時，其考核指標可望達到的數(shù)值？

為此，首先引進效應的概念，試驗數(shù)據(jù)的總平均是用以比較各因素、各水平差別的基準，因而要了解一個因素由于采用某一水平而使試驗指標比多或者少，只要計算這個因素在該水平下數(shù)據(jù)的平均值與總平均的偏差就可以了。這個偏差我們稱為該因素在該水平下的效應。效應一般用小寫字母加數(shù)字足標表示，如a3表示因素A第三水平的效應。2.2.3效應與工程平均為此，首先引進效應的概念，試驗數(shù)如下表中，=187，效應：同理可計算有了效應便可計算工程平均，因為每個效應都表示一個因素取定一個水平與總平均值的差值，所以當各重要因素選取一定水平后，試驗應得到的數(shù)據(jù)是在總平均的基礎上所得到的數(shù)值，該值就是工程平均。從上述計算數(shù)據(jù)中可以看出C元素影響是主要的，而且最優(yōu)組合（A1B1C2）（A1B1C2）平=187+15.7=202.7（公斤/毫米2)如下表中，=187，效應：同理可計算有了效應便可計算列號A空BC實驗結果ya(ya-185)11(840)11(410)1(40)190(5)2122(430)2(60)200(15)3133(450)3(80)175(-10)42(850)123165(-20)52231183(-2)62312212(27)73(860)132196(11)83213178(-7)93321187(2)Ij10-4255a=1,2,3..9j=1,2,3,4IIj56-353IIIj619-1-3710016625252536928093636111369161413635420353.67137.67211.671401Sj14/3266/3488/34056/3列號A空BC實驗結果ya(ya-185)11(840)11(有了效應便可計算工程平均，因為每個效應都表示一個因素取定一個水平與總平均值的差值，所以當各重要因素選取一定水平后，試驗應得到的數(shù)據(jù)是在總平均的基礎上所得到的數(shù)值，該值就是工程平均。從上述計算數(shù)據(jù)中可以看出C元素影響是主要的，而且最優(yōu)組合（A1B1C2）（A1B1C2）平=187+15.7=202.7（公斤/毫米2)除了計算最優(yōu)條件下的工程平均之外，還可以計算（A1B1C2）平均值的波動半徑δa,求出后，我們將有（1-α)的把握斷言，在（A1B1C2）條件下，其指標值將在與之間變動。有了效應便可計算工程平均，因為每個效應都表示一個因素取定一個式中：有效重復數(shù)：式中：有效重復數(shù)：本例中：

于是有95%的把握斷言，如采用條件A1B1C2，其真值將在202.7-9.2到202.7+9.2之間變動，即在193.5到211.9之間：本例中：于是有95%的把握斷言，如采用條件A1B1C22.2.4多指標試驗實際上對一項試驗往往要同時考察幾個指標，尋求使幾個指標都能達到一定要求的條件，就是多指標實驗問題。（前面介紹的幾個章節(jié)都是單指標情況，例如考察硬度、收率等）2.2.4多指標試驗實驗設計與數(shù)據(jù)處理第二章正交設計方法課件實驗設計與數(shù)據(jù)處理第二章正交設計方法課件例：熒光屏涂料試驗。本例重點介紹對多項指標的處理問題。（a）因素，水平，指標本試驗考察11個因素，用A，B、…..K表示，每一因素取兩個水平分別用A1、A2、B1、B2、……K1、K2表示。需考察三個指標：（1）外觀（數(shù)據(jù)越小越好）（2）清晰度（數(shù)據(jù)越大越好）（3）表面缺陷度（數(shù)據(jù)越小越好）例：（b）表頭設計與實驗數(shù)據(jù)共有十一個二水平的因素，可采用正交表L16(215)，表頭設計如下圖所示，實驗結果數(shù)據(jù)（經簡化后）。因素ABCDEFGHIJK列號123456789101112131415（b）表頭設計與實驗數(shù)據(jù)因素ABCDEFGHIJK列號12344（C）實驗數(shù)據(jù)分析從上圖可以看出多指標問題與單個指標相比，表頭設計沒有什么不同。單數(shù)據(jù)分析卻比單指標復雜很多，一般需要以下幾個步驟才能定出最好的生產條件。第一步：對每個指標可按前面介紹的方法對其單獨進行分析，找出對各單項指標有主要影響的因素，并確定他們的有利水平。本例中，三項指標單獨分析的結果如下：外觀的數(shù)據(jù)分析，計算結果如下表所示：由該表可知，對外觀影響最大的因素是G，H，因外觀數(shù)據(jù)越小越好，故G2和H1。（C）實驗數(shù)據(jù)分析由該表可知，對外觀影響最大的因素是G，H，清晰度的數(shù)據(jù)分析，計算結果如下表所示：由該表可知，對清晰度最大的因素是A、D、F、J，因清晰度數(shù)據(jù)越大越好，故應取A1、D1、F2、J2。由該表可知，對清晰度最大的因素是A、D、F、J，因清晰度數(shù)據(jù)缺陷的數(shù)據(jù)分析，計算結果如下表所示：由該表可知，對清晰度最大的因素是E、H、J、K，因缺陷數(shù)據(jù)越小越好，故應取E1、H1、J1、K1。由該表可知，對清晰度最大的因素是E、H、J、K，因缺陷數(shù)據(jù)越第二步：對單項指標的分析結果進行綜合，確定出沒有矛盾的因素水平。例如因素G、H對清晰度及缺陷度影響較小，對外觀的影響較大，則應根據(jù)外觀的需要，確定其水平分別為G2、H1，以此類推可以定出A1、D1、F2、E1、H1、K1。由于因素B、C、I對三項指標的影響都不大，故可以任意確定其水平，記為B0、C0、I0。第三步：根據(jù)單項指標的分析，對水平選取上有矛盾的因素，水平暫不選定。把它的各水平與第二步定出的其他因素的水平組合成不同的實驗條件，計算出引起矛盾的哪些指標的工程平均后，再根據(jù)問題的實際需要確定其水平。例如從提高清晰度考慮，因素J應選取J2，根據(jù)減少缺陷數(shù)考慮，又應選J1。這樣就產生了矛盾，于是需要計算條件（1）（A1D1E1F2G2H1J1K1）與條件（2）（A1D1E1F2G2H1J2K1）下的清晰度與缺陷數(shù)的工程平均。（實例：美國F117，F(xiàn)22等隱形飛機的設計：（符合氣動性布局，不符合隱身性要求，符合隱身性要求不符合氣動性布局，影響因素太多太復雜，且互相制衡）第二步：對單項指標的分析結果進行綜合，確定出沒有矛盾的因素水計算清晰度或缺陷數(shù)的工程平均時，只需要計算對清晰度或缺陷數(shù)影響最大的那些因素？（僅僅限于一般情況）。如計算條件（1）下的清晰度工程的平均數(shù)：上述計算過程中，為清晰度項指標值的總平均值，可由上表算出。上述計算過程中，為清晰度項指標值的總平均值，可由上表算上述計算過程中，可由上表算同理計算出。上述計算過程中，可由上表算同理計算出。同理，可計算缺陷數(shù)指標在兩個不同條件下的工程平均（1）：實驗設計與數(shù)據(jù)處理第二章正交設計方法課件缺陷數(shù)指標在（2）條件下的工程平均：

從上述計算可看出，在條件（2）下清晰度較高，缺陷數(shù)目也不太多，可以滿足實際需要。從這個試驗要求看出，提高清晰度更主要一些，所以最后取定條件（2），即：A1D1E1F2G2H1J2K1或更完整寫成A1B0C0D1E1F2G2H1I0J2K1作為最好生產條件。實驗設計與數(shù)據(jù)處理第二章正交設計方法課件大連理工大學材料學院鑄造工程研究中心313室2正交設計方法盧一平E-mail：luyiping@大連理工大學材料學院鑄造工程研究中心313室2正交設計方法

對于單因素或兩因素試驗，因其因素少，試驗的設計、實施與分析都比較簡單。但在實際工作中，常常需要同時考察3個或3個以上的試驗因素，若進行全面試驗，則試驗的規(guī)模將很大，往往因試驗條件的限制而難于實施。正交試驗設計就是利用一種規(guī)格化的表-“正交表”，合理安排多因素試驗、只做較少次實驗便可判斷出較優(yōu)組合的一種高效率試驗設計方法。

對于單因素或兩因素試驗，因其因素少，試驗的

例如，Super304鋼生產過程中，要考察保溫排氣時間、添加的微量元素的量和鋼液冷卻速度對其強度硬度的影響。每個因素設置3個水平進行試驗。

A因素是保溫，設A1、A2、A33個水平；B因素是某種微量元素的添加量，設B1、B2、B33個水平；C因素為冷卻速度，設C1、C2、C33個水平。這是一個3因素3水平的試驗，各因素的水平之間全部可能組合有27種。全面試驗：可以分析各因素的效應，交互作用，也可選出最優(yōu)水平組合。但全面試驗包含的水平組合數(shù)較多，工作量大，在很多情況下無法完成。

2.1指標、因素和水平例如，Super304鋼生產過程中，要考察保溫實驗設計與數(shù)據(jù)處理第二章正交設計方法課件

L9（34）4因素3水平正交試驗，共做9次試驗，而全面試驗要做34=81次，減少了72次。

L25（56）6因素5水平正交試驗，共做25次試驗，而全面試驗要做56=15625次，減少了15600次?？梢钥闯鍪褂谜槐砜纱蟠鬁p少試驗次數(shù)，提高實驗效率。L9（34）4因素3水平正交試驗，共做9次若試驗的主要目的是尋求最優(yōu)水平組合，則可利用正交表來設計安排試驗。若試驗的主要目的是尋求最優(yōu)水平組合，則可利用正交表來設計安2.1.2試驗安排原則

正交設計就是從選優(yōu)區(qū)全面試驗點（水平組合）中挑選出有代表性的部分試驗點（水平組合）來進行試驗。上圖中標有試驗號的九個“(。)”，就是利用正交表L9(34)從27個試驗點中挑選出來的9個試驗點。即：(1)A1B1C1(2)A2B1C2(3)A3B1C3(4)A1B2C2(5)A2B2C3(6)A3B2C1(7)A1B3C3(8)A2B3C1(9)A3B3C22.1.2試驗安排原則正交設計就是從選優(yōu)區(qū)

上述選擇，保證了A因素的每個水平與B因素、C因素的各個水平在試驗中各搭配一次。對于A、B、C3個因素來說，是在27個全面試驗點中選擇9個試驗點，僅是全面試驗的三分之一。從上圖中可以看到，9個試驗點在選優(yōu)區(qū)中分布是均衡的，在立方體的每個平面上，都恰是3個試驗點；在立方體的每條線上也恰有一個試驗點。

9個試驗點均衡地分布于整個立方體內，有很強的代表性，能夠比較全面地反映選優(yōu)區(qū)內的基本情況。

上述選擇，保證了A因素的每個水平與B因素、C2.1.3用正交表安排試驗及直觀分析法

正交表的記號及含義記號及含義正交表的列數(shù)（最多能安排的因素個數(shù)，包括交互作用、誤差等）正交表的行數(shù)（需要做的試驗次數(shù)）正交表的代號2.1.3用正交表安排試驗及直觀分析法正交表的記號及含如表示？表示各因素的水平數(shù)為2，做8次試驗，最多考慮7個因素（含交互作用）的正交表。如表示？表示各因素的水平數(shù)為2，

正交表的特點表示：在試驗安排中，所挑選出來的水平組合是均勻分布的（每個因素的各水平出現(xiàn)的次數(shù)相同）

——均衡分散性2、正交表中任意兩列，把同行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對時，所有可能的數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相同。表示：任意兩因素的各種水平的搭配在所選試驗中出現(xiàn)的次數(shù)相等

——整齊可比性這是設計正交試驗表的基本準則1、正交表中任意一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等；正交表的特點表示：在試驗安排中，所挑選出來的水平組合是均

正交表的兩條重要性質：（1）每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如L9（34），每列中不同的數(shù)字是1，2，3。它們各出現(xiàn)三次。（書上117頁）（2）在任意兩列中，將同一行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對時，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如如L9（34），有序數(shù)對共有9個：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），它們各出現(xiàn)一次。正交表的兩條重要性質：

正交試驗設計的基本步驟2.選用合適的正交表；3.按選定的正交表設計表頭，確定試驗方案；4.組織實施試驗；5.試驗結果分析。

確定目標、選定因素（包括交互作用）、確定水平；正交試驗設計的基本步驟2.選用合適的正交表；3.按選定實驗設計與數(shù)據(jù)處理第二章正交設計方法課件例1軸承退火實驗。軸承圈退火是把工件加熱到臨界溫度以上30-50度，保持一段時間，再緩慢冷卻下來，其目的是用于消除工件的內應力，降低硬度，增加韌性。因素

加熱溫度（度）

保溫時間（小時）出爐溫度（度）一水平8006400二水平8208500（a）制定試驗計劃并進行試驗。（1）明確實驗目的，規(guī)定考察目標。（2）選因素并定出各因素的水平。（3）選用合適的正交表，排表頭，列出實驗方案。本實驗可選正交表，每一因素恰好占一列位置，見下表例1軸承退火實驗。軸承圈退火是把工件加熱到臨界溫度以上301（A）2（B）3（C）硬度合格率試驗號加熱溫度保溫時間出爐溫度（Ya,100%）11(800)1(6)1(400)9021(800)2(8)2(500)8532(820)1(6)2(500)4542(820)2(8)1(400)70Ij175135160a=1,2,3,4,j=1,2,3IIj11515513087.567.58057.577.565極差3010151（A）2（B）3（C）硬度合格率試驗號加熱溫度保溫時間出爐1.首先要直觀分析，直接比較可以得出那個實驗條件下比較好2.綜合比較，看那個因素影響大，找出合適的水平，找出合適的水平搭配從上圖中可以看出，溫度的極差值最大，出爐溫度次之，保溫時間最小。最佳實驗條件為加熱溫度800度，保溫時間為8小時，出爐溫度為400度。1.首先要直觀分析，直接比較可以得出那個實驗條件下比較好2.實例：為提高化工產品的收率實驗，收率是化工生產的一項重要指標，系指產品的實際產量與理論上按投入原料計算所得到的最大產量之比，顯然收率越高越好。實驗前收率指標一般在60-80%之間波動，擬通過正交試驗來尋找收率最高的最佳工藝條件。試驗方案設計a.制定試驗計劃（1）明確試驗目的，確定試驗指標，考察指標為 收率的百分比。（2）選因素、定水平。經分析認為反應溫度的高低，加堿的多少和催化劑種類是影響收率高低的主要因素，每個因素都取三個水平，水平表如下圖。實例：為提高化工產品的收率實驗，收率是化工生產的一項重要指標因素水平加熱溫度(A)度加堿量(B)公斤催化劑種類(C)一水平8035甲二水平8548乙三水平9055丙（3）選用正交表，排表頭，列出實驗方案。選用正交表，可容納下四個因素，每個因素取三水平，共安排9次試驗。該表還多出一列未用，可將該列空出或抹去，表頭設計及試驗方案如上圖。因素加熱溫度(A)度加堿量(B)公斤催化劑種類(C)一水平因素1（A）2（B）3（C）試驗指標收率（%）試驗號加熱溫度保溫時間出爐溫度（Ya）11(80)1(35)1(甲)5121(80)2(48)2(乙)7131(80)3(55)3(丙)5842(85)1(35)2(乙)8252(85)2(48)3(丙)6962(85)3(55)1(甲)5973(90)1(35)3(丙)7783(90)2(48)1(甲)8593(90)3(55)2(乙)84Ij180210195a=1,2,3….9j=1,2,3IIj210225237IIIj246201204607065707579826768極差22814因素1（A）2（B）3（C）試驗指標收率（%）試驗號加熱溫度=1/3(y1+y2+y3)=60=1/3(y1+y4+y7)=70=1/3(y1+y6+y8)=65=1/3(y1+y2+y3)=60=1/3(y1+y4+y7綜合分析。根據(jù)極差值的大小，可知反應溫度對指標影響最大、溫度取三水平效果最好，催化劑次之，取二水平最好，堿的影響不大，從計算結果來看應取二水平，但是為了降低成本也可以取一水平。因此綜合分析后，可以取A3B2C2或A3B1C2，這兩種組合都是沒試驗過的，因此還需要具體實驗，具體實驗后發(fā)現(xiàn)，這兩種組合的收率分別是92.5%和91%均高于8號試驗收率85%。這兩種組合最后取那種，還要看生產實踐具體要求。（堿貴了就取A3B1C2）綜合分析。根據(jù)極差值的大小，可知反應溫度對指標影響最大、溫度2.2正交表的統(tǒng)計分析分清各因素及其交互作用的主次順序，分清哪個是主要因素，哪個是次要因素；判斷因素對試驗指標影響的顯著程度；找出試驗因素的優(yōu)水平和試驗范圍內的最優(yōu)組合，即試驗因素各取什么水平時，試驗指標最好；分析因素與試驗指標之間的關系，即當因素變化時，試驗指標是如何變化的。找出指標隨因素變化的規(guī)律和趨勢，為進一步試驗指明方向；了解各因素之間的交互作用情況；估計試驗誤差的大小。直觀分析法不能知道分析的精度，及實驗測定當中的誤差大小。2.2正交表的統(tǒng)計分析分清各因素及其交互作用的主次順序，分實驗設計與數(shù)據(jù)處理第二章正交設計方法課件二、方差分析的含義方差是描述變異的一種指標，方差分析是一種假設檢驗的方法。方差分析也就是對變異的分析。是對總變異進行分析?？纯傋儺愂怯赡男┎糠纸M成的，這些部分間的關系如何。二、方差分析的含義方差是描述變異的一種指標，方差分析是一種假三、方差分析的基本思想根據(jù)變異的來源，將全部觀察值總的離均差平方和及自由度分解為兩個或多個部分，除隨機誤差外，其余每個部分的變異可由某些特定因素的作用加以解釋。通過比較不同來源變異的方差（也叫均方MS），借助F分布做出統(tǒng)計推斷，從而判斷某因素對觀察指標有無影響。三、方差分析的基本思想根據(jù)變異的來源，將全部觀察值總的離均差

2.2.1單因素方差分析一、單因素方差分析的幾個概念因素：影響研究對象的某一指標、變量。水平：因素變化的各種狀態(tài)或因素變化所分的等級或組別。單因素試驗：考慮的因素只有一個的試驗叫單因素試驗。

2.2.1單因素方差分析一、單因素方差分析的幾個概念單因素方差分析：對單因素試驗結果進行分析，檢驗因素對試驗結果有無顯著性影響的方法叫單因素方差分析。單因素方差分析是兩個樣本平均數(shù)比較的引伸，它是用來檢驗多個平均數(shù)之間的差異，從而確定因素對試驗結果有無顯著性影響的一種統(tǒng)計方法。二、單因素方差分析的基本原理單因素方差分析：對單因素試驗結果進行分工藝條件試驗號1234合計平均值（）A1y11=68y12=6477y14=5926867A2

Y21=4259365519248A3Y31=5362636224060A4Y41=5053414018446A5Y51=7043476822857A6Y61=6763567025664上面的每個實驗結果：真值+誤差因為實驗數(shù)據(jù)圍繞著真值上下波動，所以誤差也就圍繞著真值上下起伏波動，因此把他們加起來的時候，誤差在很大程度上就抵消了。注意：平均值不是真值，而是接近真值工藝條件1234合計平均值A1y11=68y12=6477y工藝條件試驗號1234合計A1Y11-y1=1-310-80A2Y21-y2=611-1270A372320A447-5-60A51314-10110A63-15660S誤：誤差的偏差平方和；

V誤：誤差的平均偏差平方；f誤：誤差的自由度工藝條件1234合計A1Y11-y1=1-310-80A2Y應該去除6個約束條件：(1)(2)?(3)?(4)?(5)?(6)?f誤=各條件下（數(shù)據(jù)個數(shù)-1）之和應該去除6個約束條件：(1)(2)?(3)?(4)?(5)?b.因素水平變化的分析：根據(jù)各實驗條件下數(shù)據(jù)的平均值，可以算出全數(shù)據(jù)的總平均值由此可以寫出各水平下數(shù)據(jù)的平均值（y1,y2,…y6),與總平均值之間的差值，對各差值平方求和，記為：它反映了由因素A的水平變動（A1，A2，….A6）所引起的波動。我們把SA叫做因素A的變動平方和。該值仍然受到因素A的水平個數(shù)的影響，因此用平均變動平方和VA來表示：b.因素水平變化的分析：由此可以寫出各水平下數(shù)據(jù)的平均值（yfA稱為因素A的自由度，因素A的六個水平滿足一個約束條件：所以，fA=6-1=5。因此，因素A的平均變動平方和應用：SA與fA可按下面的敘述規(guī)則進行計算：SA=因素各水平[重復數(shù)×(平均值-總平均值)2]之和fA=因素的水平數(shù)-1fA稱為因素A的自由度，因素A的六個水平滿足一個約束條件：所C.總的偏差平方和及總自由度工藝條件試驗號12341Y11-y=1172022Y21-y=152-21-23-42654-77-16-1751314-10116106-113C.總的偏差平方和及總自由度工藝條件12341Y11-y=1該公式說明，實驗數(shù)據(jù)總的偏差可以分解為兩部分，一部分是實驗誤差的偏差，另一部分是由于因素變動引起的偏差。同理可知總偏差的自由度：為了方便S總還可以寫成：該公式說明，實驗數(shù)據(jù)總的偏差可以分解為兩部分，一部分是實驗誤d.顯著性檢驗計算出S因、f因、S誤、f誤數(shù)值，就可判斷出因素對指標的影響是不是顯著。所謂顯著，是指因素水平改變時，確使實驗結果的真值有改變。V誤反映了實驗誤差影響的大小，而VA反應了因素水平改變時影響的大小，因此應該比較V誤和VA的大小，以判斷因素的水平改變確有超過實驗誤差干擾的影響，這是就說因素A是顯著的。比較VA與V誤的大小可以計算其比值：當FA多大時，就能說因素A是顯著的呢？F分布表中的數(shù)值上就是各種情況下的臨界值。由表查的的臨界值記為Fα，當FA>Fα時，我們就有（1-α）的把握說因素A對指標有顯著性影響。這里的α

就叫做顯著性水平。d.顯著性檢驗當FA多大時，就能說因素A是顯著的呢？F分布表F分布及其查法：F分布表中列出了各種自由度情況下F比的臨界值，F(xiàn)分布表的橫行f1=1,2,3,4,5…15…。代表F比中的分子的自由度（f因或fA），豎行f2=1,2,3,4…，代表F比中分母的自由度(即f誤），而α=0.1,0.05,0.01分別表示在不同的顯著性水平上的F比的臨界值。查表時根據(jù)f因和f誤的值可在不同的顯著性水平上分別找到Fα的值，并把該值與計算的F值進行比較。例子：例如在本例中fA

=5，f誤=18，查表得：Fα=0.1（5,18）=2.20，F(xiàn)α=0.05（5,18）=2.77，F(xiàn)α=0.01（5,18）=4.25.由于：可以看出當FA>F0.05(5,18）=2.77，但是FA<F0.01(5,18）=4.25,表示本例有（1-0.05）的把握說因素A對實驗結果有顯著影響。F分布及其查法：例子：實驗設計與數(shù)據(jù)處理第二章正交設計方法課件2.2.2正交設計的統(tǒng)計分析（多因素試驗的方差分析）多因素方差分析：多因素方差分析和單因素的方差分析類似。多因素實驗結果之間的差異也是由兩部分組成：各因素水平變化引起的；實驗誤差所引起的。在多因素試驗中，方差分析的目的在于將實驗誤差所引起的結果差異與實驗條件的改變所引起的結果差異區(qū)分開來，以便能抓住問題的實質。此外還要把影響實驗結果的主要和次要因素區(qū)分開。2.2.2正交設計的統(tǒng)計分析（多因素試驗的方差分析）多因素下面通過實例說明多因素方差的分析方法：例2-3尋求合理的鋼材熱處理條件。實驗目的：提高鋼材的強度，考察指標是（千克/毫米2）因素與水平：考察三個因素：淬火溫度，回火溫度，回火時間，其因素與水平表見下表。因素淬火溫度（A）度回火溫度（B）度回火時間（C）分一水平84041040二水平85043060三水平86045080下面通過實例說明多因素方差的分析方法：因素淬火溫度（A）度回列號A空BC實驗結果ya(ya-185)試驗號123411(840)11(410)1(40)190(5)2122(430)2(60)200(15)3133(450)3(80)175(-10)42(850)123165(-20)52231183(-2)62312212(27)73(860)132196(11)83213178(-7)93321187(2)Ij10-4255a=1,2,3..9j=1,2,3,4IIj56-353IIIj619-1-3710016625252536928093636111369161413635420353.67137.67211.671401Sj14/3266/3488/34056/3列號A空BC實驗結果ya(ya-185)試驗號123411(

選正交表，排表頭，列出試驗計劃，該實驗選用L9(3)4表，表頭設計及實驗結果見下圖，該表的第二列未安排因素，填入空留作他用。（空列的左右后續(xù)將講到）a.計算總偏差平方和總偏差平方和S總表示了各實驗數(shù)據(jù)圍繞總平均值的變動情況。由上表可知，實驗結果的指標在165-212之間波動，實驗結果的指標165-212之間波動，各實驗結果以ya表示，用表示他們的平均值：根據(jù)或選正交表，排表頭，列出試驗計劃，該實驗選用修正項總偏差自由度

為了便于計算，可對上表中的數(shù)據(jù)進行簡化，當幾個數(shù)y1，y2，….y9較大時，可將每一個數(shù)ya(a=1,2…n)都減去同一個數(shù)C，這并不影響偏差平方和的計算結果，而計算工作量卻減少很多。當ya-185時，經簡化后計算的結果如下：修正項總偏差自由度為了便于計算，可對上表中b.計算因素變動平方和（S因）因素A放在L9（34）正交表的第一列上，共有三個一水平，三個二水平，三個三水平。用因素A的一水平對強度的平均影響I1/3,代替各一個水平（共三個）對強度的影響，用因素A的二水平的平均強度II2/3代替二水平對強度的影響，同理用III3/3代替各三水平對強度的影響，根據(jù)正交表的綜合可比性，I1/3,II1/3,III1/3,這三個平均值可以相互比較，且他們反映了因素A的三個水平間差異，所以因素A的偏差平方和SA可有計算三個I1/3,II2/3,III3/3,與y的偏差的平方和得到，即：也可用簡化的公式b.計算因素變動平方和（S因）也可用簡化的公式同理可求出因素B和C的偏差平方和：自由度：fA=fB=fC=3-1=2C.計算誤差的偏差平方和（S誤）在多因素試驗中，毫無例外地也存在著誤差，此時計算誤差的偏差平方和可用正交表中未安排因素的空白列計算。計算方法與計算SA和SB等列的方法相同。本列中的三個I2/3,II2/3,III2/3的平均值與計算SA和SB的方法相同。同理可求出因素B和C的偏差平方和：自由度：fA=fB=fC=因為該列中沒有安排因素，所以計算的空列的偏差平方和中，也沒有因素水平間的差異所造成的偏差，該列僅僅反應實驗誤差的大小。因此：因為該列中沒有安排因素，所以計算的空列的偏差平方和中，也沒有列號A空BC實驗結果ya(ya-185)11(840)11(410)1(40)190(5)2122(430)2(60)200(15)3133(450)3(80)175(-10)42(850)123165(-20)52231183(-2)62312212(27)73(860)132196(11)83213178(-7)93321187(2)Ij10-4255a=1,2,3..9j=1,2,3,4IIj56-353IIIj619-1-3710016625252536928093636111369161413635420353.67137.67211.671401Sj14/3266/3488/34056/3列號A空BC實驗結果ya(ya-185)11(840)11(上述各列偏差平方和的計算，均可在正交表上進行，由S總及各Sj不難理解：上述各列偏差平方和的計算，均可在正交表上進行，由S總及各Sjd.檢驗因素的顯著性計算S因，f因，S誤，f誤的目的是為了判斷因素水平的變化所引起的實驗結果的變動是否顯著，因此仍采用單因素試驗的方差分析方法進行顯著性檢驗，即計算V因與V誤的比值，而后與F分布表的臨界值進行比較。根據(jù)SA，SB，SC及fA,fB,fC,f誤可分別計算VA，VB，VC及V誤

由計算結果可知VA

小于V誤，而VB

與V誤相差不大，因此，在VA

及VB的偏差中，由因素水平變化的影響部分很小，他們的偏差實際上主要是由于誤差干擾造成的，這在進行顯著性實驗前就能確定。由于A，B兩因素可取任一水平，因此SA，SB應與S誤合并在一起，用以估計誤差影響的大小，而且誤差的自由度越大，進行顯著性檢驗時越精確，所以我們把誤差的偏差平方和及誤差的自由度合并成：d.檢驗因素的顯著性由計算結果可知VA小用這種合并后的誤差的平均偏差平方和：去檢驗余下的因素C的顯著性：因素C的自由度fc=2，的自由度，查α=0.01顯著性水平的F分布表，F(xiàn)0.01(2,6)=10.9,所以因素C是高度顯著的[（1-0.01）把握]FC=15.84>F0.01(2,6)=10.9用這種合并后的誤差的平均偏差平方和：去檢驗余下的因素C的顯著通過本例方差分析可知：（1）在影響強度的因素中，回火時間對強度有高度顯著地影響，根據(jù)IC、IIC、IIIC的大小可以看出選2水平較好。（2）淬火溫度和回火溫度的改變對強度無顯著影響，考慮到節(jié)省能源，一般選一水平（低溫）為好，因此選取的工藝條件為：A1B1C2.即淬火溫度為840度，回火溫度為410度，回火時間為60分鐘是最佳工藝條件。通過本例方差分析可知：2.2.3效應與工程平均前兩節(jié)已說明用正交表安排實驗時，可采用綜合比較的方法，以及方差分析的方法定出較好的工藝條件。但是方差分析較為繁瑣？對于所定出的工藝條件能否不經過試驗也可預算處在該條件下所能夠定量地估計個主要因素，當取某一水平組成不同的條件時，其考核指標可望達到的數(shù)值？

為此，首先引進效應的概念，試驗數(shù)據(jù)的總平均是用以比較各因素、各水平差別的基準，因而要了解一個因素由于采用某一水平而使試驗指標比多或者少，只要計算這個因素在該水平下數(shù)據(jù)的平均值與總平均的偏差就可以了。這個偏差我們稱為該因素在該水平下的效應。效應一般用小寫字母加數(shù)字足標表示，如a3表示因素A第三水平的效應。2.2.3效應與工程平均為此，首先引進效應的概念，試驗數(shù)如下表中，=187，效應：同理可計算有了效應便可計算工程平均，因為每個效應都表示一個因素取定一個水平與總平均值的差值，所以當各重要因素選取一定水平后，試驗應得到的數(shù)據(jù)是在總平均的基礎上所得到的數(shù)值，該值就是工程平均。從上述計算數(shù)據(jù)中可以看出C元素影響是主要的，而且最優(yōu)組合（A1B1C2）（A1B1C2）平=187+15.7=202.7（公斤/毫米2)如下表中，=187，效應：同理可計算有了效應便可計算列號A空BC實驗結果ya(ya-185)11(840)11(410)1(40)190(5)212