淮北一中2021-2022學(xué)年高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A．2 B． C．4 D．2．將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A． B． C． D．3．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)（），則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．4．某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、），根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）A．年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B．這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C．三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩D．口罩的產(chǎn)量逐年增加5．已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件可以是（）A． B． C．或 D．6．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，的面積為，則（）A． B． C． D．7．博覽會(huì)安排了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”“3號(hào)”的三輛車，等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計(jì)兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號(hào)大于第一輛車的車序號(hào)，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號(hào)”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P28．某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（）A． B．1 C． D．9．單位正方體ABCD-，黑、白兩螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”．白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥，黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（iN*）.設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、白兩螞蟻的距離是（）A．1 B． C． D．010．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．11．已知橢圓的中心為原點(diǎn)，為的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，滿足且，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．12．1777年，法國(guó)科學(xué)家蒲豐在宴請(qǐng)客人時(shí)，在地上鋪了一張白紙，上面畫(huà)著一條條等距離的平行線，而他給每個(gè)客人發(fā)許多等質(zhì)量的，長(zhǎng)度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對(duì)針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）函數(shù)的定義域是____________．14．命題“”的否定是______．15．下圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的x的值為_(kāi)______．16．若，，則___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在創(chuàng)建“全國(guó)文明衛(wèi)生城”過(guò)程中，運(yùn)城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對(duì)創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查(一位市民只能參加一次)，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參加問(wèn)卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：.組別頻數(shù)（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問(wèn)卷調(diào)查的得分似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：①得分不低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi)；②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：贈(zèng)送話費(fèi)的金額(單位：元)概率現(xiàn)有市民甲參加此次問(wèn)卷調(diào)查，記(單位：元)為該市民參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：參考數(shù)據(jù)與公式：，若，則，，18．（12分）已知函數(shù)的最大值為，其中.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若求證:.19．（12分）在綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)的某個(gè)維度的測(cè)評(píng)中，依據(jù)評(píng)分細(xì)則，學(xué)生之間相互打分，最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個(gè)分?jǐn)?shù)，滿分100分，按照大于或等于80分的為優(yōu)秀，小于80分的為合格，為了解學(xué)生的在該維度的測(cè)評(píng)結(jié)果，在畢業(yè)班中隨機(jī)抽出一個(gè)班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生，得到如下的列聯(lián)表：優(yōu)秀合格總計(jì)男生6女生18合計(jì)60已知在該班隨機(jī)抽取1人測(cè)評(píng)結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.（1）完成上面的列聯(lián)表；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系？（3）現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況，采取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來(lái)分析，請(qǐng)你選擇一個(gè)合適的抽樣方法，并解釋理由.附：0.250.100.0251.3232.7065.02420．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線和直線的極坐標(biāo)方程；（2）已知直線與曲線、相交于異于極點(diǎn)的點(diǎn)，若的極徑分別為，求的值.21．（12分）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）在和之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.22．（10分）某公司為了鼓勵(lì)運(yùn)動(dòng)提高所有用戶的身體素質(zhì)，特推出一款運(yùn)動(dòng)計(jì)步數(shù)的軟件，所有用戶都可以通過(guò)每天累計(jì)的步數(shù)瓜分紅包，大大增加了用戶走步的積極性，所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”，統(tǒng)計(jì)了2019年1月份所有用戶的日平均步數(shù)，規(guī)定日平均步數(shù)不少于8000的為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，步數(shù)在8000以下的為“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個(gè)用戶，得到如下列聯(lián)表：運(yùn)動(dòng)達(dá)人非運(yùn)動(dòng)達(dá)人總計(jì)男3560女26總計(jì)100（1）（i）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（ii）據(jù)此列聯(lián)表判斷，能否有的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”？（2）將頻率視作概率，從該公司的所有人“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”中任意抽取3個(gè)用戶，求抽取的用戶中女用戶人數(shù)的分布列及期望.附：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算，并計(jì)算得到，從而得到虛部為2.【詳解】因?yàn)?，所以z的虛部為2.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念，計(jì)算過(guò)程要注意.2．D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式，然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一判斷即可.【詳解】解：圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,得到再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，故選：D【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.3．B【解析】

利用換元法化簡(jiǎn)解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因?yàn)椋ǎ?，令（），則（），函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，所以，，所以，所以的值域?yàn)?故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，換元思想，分類討論和應(yīng)用意識(shí).4．C【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項(xiàng)的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知，所以，從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無(wú)法比較，故A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩，C選項(xiàng)正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.5．D【解析】

先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件，即在上有解，即可得出結(jié)論.【詳解】，若在上不單調(diào)，令，則函數(shù)對(duì)稱軸方程為在區(qū)間上有零點(diǎn)（可以用二分法求得）.當(dāng)時(shí)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，只需或，解得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件，要注意二次函數(shù)零點(diǎn)的求法，屬于中檔題.6．B【解析】

設(shè)點(diǎn)、，并設(shè)直線的方程為，由得，將直線的方程代入韋達(dá)定理，求得，結(jié)合的面積求得的值，結(jié)合焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，并設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，，，，，，，，可得，，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，的面積為，解得，則拋物線的方程為，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算，計(jì)算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7．C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.8．C【解析】該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，體積．故選.9．B【解析】

根據(jù)規(guī)則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過(guò)幾段后又回到起點(diǎn)，得到每爬1步回到起點(diǎn)，周期為1．計(jì)算黑螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)以及計(jì)算白螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)，即可計(jì)算出它們的距離．【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即過(guò)1段后又回到起點(diǎn)，可以看作以1為周期，由，白螞蟻爬完2020段后到回到C點(diǎn)；同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，黑螞蟻爬完2020段后回到D1點(diǎn)，所以它們此時(shí)的距離為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.10．A【解析】

先求出，再求焦點(diǎn)坐標(biāo)，最后求的斜率【詳解】解：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，故選：A【點(diǎn)睛】考查拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)及斜率的運(yùn)算公式，基礎(chǔ)題.11．B【解析】由題意可得c=，設(shè)右焦點(diǎn)為F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，由橢圓定義，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，從而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以橢圓的方程為．故選B．點(diǎn)睛：橢圓的定義：到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡是橢圓，當(dāng)和等于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡是線段（兩定點(diǎn)間的連線段），當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡不存在．12．D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出頻率，用以估計(jì)概率.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查利用頻率估計(jì)概率，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

要使函數(shù)有意義，則，即，解得，故函數(shù)的定義域是．14．，【解析】

根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題得到結(jié)果即可.【詳解】解：因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以，命題，則該命題的否定是：，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15．1【解析】

利用流程圖，逐次進(jìn)行運(yùn)算，直到退出循環(huán)，得到輸出值.【詳解】第一次：x＝4，y＝11，第二次：x＝5，y＝32，第三次：x＝1，y＝14，此時(shí)14＞10×1＋3，輸出x，故輸出x的值為1．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的識(shí)別，“還原現(xiàn)場(chǎng)”是求解這類問(wèn)題的良方，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).16．【解析】

因?yàn)椋?，又，所以，則，所以．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）（2）詳見(jiàn)解析【解析】

由題意，根據(jù)平均數(shù)公式求得，再根據(jù)，參照數(shù)據(jù)求解.由題意得，獲贈(zèng)話費(fèi)的可能取值為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列求期望.【詳解】由題意得綜上，由題意得，獲贈(zèng)話費(fèi)的可能取值為，，的分布列為：【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布和離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18．（1）1；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得的最大值，進(jìn)而求得的值.（2）利用（1）的結(jié)論，將轉(zhuǎn)化為，求得的取值范圍，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，證得，由此證得不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，取得最大值.（2）證明:由（1）得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查含有絕對(duì)值的函數(shù)的最值的求法，考查利用基本不等式進(jìn)行證明，屬于中檔題.19．（1）見(jiàn)解析；（2）在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為“性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系”（3）見(jiàn)解析.【解析】

（1）由已知抽取的人中優(yōu)秀人數(shù)為20，這樣結(jié)合已知可得列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算，比較后可得；（3）由于性別對(duì)結(jié)果有影響，因此用分層抽樣法．【詳解】解：（1）優(yōu)秀合格總計(jì)男生62228女生141832合計(jì)204060（2）由于，因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為“性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系”.（3）由（2）可知性別有可能對(duì)是否優(yōu)秀有影響，所以采用分層抽樣按男女生比例抽取一定的學(xué)生，這樣得到的結(jié)果對(duì)學(xué)生在該維度的總體表現(xiàn)情況會(huì)比較符合實(shí)際情況.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查分層抽樣的性質(zhì)．考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力．屬于中檔題．20．（1），.（2）【解析】

（1）先將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，即可代入公式化為極坐標(biāo)；根據(jù)直線的直角坐標(biāo)方程，求得傾斜角，即可得極坐標(biāo)方程.（2）將直線的極坐標(biāo)方程代入曲線、可得，進(jìn)而代入可得的值.【詳解】（1）曲線的