最新高中數(shù)學(xué)小問題集中營專題2.2數(shù)與式大小的比較

PAGE8-專題二數(shù)與式大小的比擬一、問題的提出【2023高考新課標(biāo)1文數(shù)】假設(shè),,那么〔A〕logac<logbc〔B〕logca<logcb〔C〕ac<bc〔D〕ca>cb利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、及冪函數(shù)的性質(zhì)比擬數(shù)與式的大小是高考中的熱點,此題對此問題作深入探討,幫助同學(xué)們掌握數(shù)與式大小的根本方法.二、問題的探源此題解法：由可知是減函數(shù),又,所以．應(yīng)選B.此題也可以用特殊值代入驗證.【點睛】比擬冪或?qū)?shù)值的大小,假設(shè)冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)單調(diào)性進(jìn)行比擬,假設(shè)底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比擬.一、思路點撥1.比擬冪形式的兩個數(shù)的大小,一般的思路是：〔1〕假設(shè)能化為同指數(shù),那么用冪函數(shù)的單調(diào)性；〔2〕假設(shè)能化為同底數(shù),那么用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；〔3〕假設(shè)既不能化為同指數(shù),也不能化為同底數(shù),那么需尋找一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)作為橋梁來比擬大?。?.假設(shè)題中所給的對數(shù)式的底數(shù)相同時,可以考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比擬大小,在比擬時,一定要注意底數(shù)所在范圍對單調(diào)性的影響,即a＞1時是增函數(shù),0＜a＜1時是減函數(shù),當(dāng)對數(shù)底數(shù)為變量時,要分情況對底數(shù)進(jìn)行討論來比擬兩個對數(shù)的大小.3.假設(shè)題中所給的對數(shù)式的底數(shù)和真數(shù)都不相同時,可以找一個中間量作為橋梁,通過比擬中間量與這兩個對數(shù)式的大小來比擬對數(shù)式的大小,.在具體比擬時,可以首先將它們與零比擬,分出正負(fù)；正數(shù)通常再與1比擬分出大于1還是小于1,然后在各類中間兩兩相比擬,另外假設(shè)題中既有對數(shù)式又有指數(shù)式,也常用中間量比擬大小.4.比擬復(fù)雜的數(shù)與式大小的比擬有時可通過作差或作上比擬大小二、技巧和方法1、如何快速判斷對數(shù)的符號？八字真言“同區(qū)間正,異區(qū)間負(fù)〞,容我慢慢道來：判斷對數(shù)的符號,關(guān)鍵看底數(shù)和真數(shù),區(qū)間分為和〔1〕如果底數(shù)和真數(shù)均在中,或者均在中,那么對數(shù)的值為正數(shù)〔2〕如果底數(shù)和真數(shù)一個在中,一個在中,那么對數(shù)的值為負(fù)數(shù)例如：等2、要善于利用指對數(shù)圖像觀察指對數(shù)與特殊常數(shù)〔如0,1〕的大小關(guān)系,一作圖,自明了3、比擬大小的兩個理念：〔1〕求同存異：如果兩個指數(shù)〔或?qū)?shù)〕的底數(shù)相同,那么可通過真數(shù)的大小與指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,判斷出指數(shù)〔或?qū)?shù)〕的關(guān)系,所以要熟練運用公式,盡量將比擬的對象轉(zhuǎn)化為某一局部相同的情況例如：,比擬時可進(jìn)行轉(zhuǎn)化,盡管底數(shù)難以轉(zhuǎn)化為同底,但指數(shù)可以變?yōu)橄嗤?從而只需比擬底數(shù)的大小即可〔2〕利用特殊值作“中間量〞：在指對數(shù)中通常可優(yōu)先選擇“0,1〞對所比擬的數(shù)進(jìn)行劃分,然后再進(jìn)行比擬,有時可以簡化比擬的步驟〔在兵法上可稱為“分割包圍,各個擊破〞,也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比擬的數(shù)的值進(jìn)行估計,例如,可知,進(jìn)而可估計是一個1點幾的數(shù),從而便于比擬4、常用的指對數(shù)變換公式：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕換底公式：進(jìn)而有兩個推論：〔令〕三、問題的佐證【例1】a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(2,3)),b＝2－eq\f(4,3),c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,3)),那么以下關(guān)系式中正確的是()A．c<a<bB．b<a<cC．a(chǎn)<c<bD．a(chǎn)<b<c【解析】把b化簡為b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(4,3)),而函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上為減函數(shù),eq\f(4,3)>eq\f(2,3)>eq\f(1,3),所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(4,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(2,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,3)),即b<a<c.【例2】a＝5logeq\s\do4(2)3.4,b＝5logeq\s\do4(4)3.6,c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(logeq\s\do4(3)0.3),那么()A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．a(chǎn)>c>bD．c>a>b【解析】選C.c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(log30.3)＝5－logeq\s\do4(3)0.3＝5logeq\s\do4(3)eq\f(10,3).法一：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝log2x,y＝log3x,y＝log4x的圖象,如下圖．由圖象知：log23.4>log3eq\f(10,3)>log43.6.由于y＝5x為增函數(shù),∴5log23.4>5log3eq\f(10,3)>5log43.6,∴a>c>b.【例3】【2023天津高考】奇函數(shù)在上是增函數(shù).假設(shè)，那么的大小關(guān)系為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】【解析】由題意：，且：，據(jù)此：，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有：，即，此題選擇C選項.【點睛】此題主要考查函數(shù)的奇偶性與指數(shù)、對數(shù)的運算問題，屬于根底題型，首先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)運算法那么，，再比擬比擬大小.【例4】【2023高考浙江】a，b>0，且a≠1，b≠1，假設(shè)，那么〔〕A.B.C.D.【易錯點睛】在解不等式時，一定要注意對分為和兩種情況進(jìn)行討論，否那么很容易出現(xiàn)錯誤．四、問題的解決1.【2023高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)】，那么〔〕(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】因為，，又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即，應(yīng)選A．【技巧點撥】比擬指數(shù)的大小常常根據(jù)三個數(shù)的結(jié)構(gòu)聯(lián)系相關(guān)的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性來判斷，如果兩個數(shù)指數(shù)相同，底數(shù)不同，那么考慮冪函數(shù)的單調(diào)性；如果指數(shù)不同，底數(shù)相同，那么考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；如果涉及到對數(shù)，那么聯(lián)系對數(shù)的單調(diào)性來解決．2．,那么的大小關(guān)系是〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】,應(yīng)選C．3.【2023遼寧文3】，，那么〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，，，故.【點睛】此題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比擬函數(shù)值大小問題，往往結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，通過引入“-1，0，1〞等作為“媒介〞.此題屬于根底題，注意牢記常見初等函數(shù)的性質(zhì)并靈活運用.4.【2023高考山東】設(shè)那么的大小關(guān)系是()〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】【解析】由在區(qū)間是單調(diào)減函數(shù)可知，，又，應(yīng)選.5.【2023安徽文5】設(shè)那么〔〕A．B．C．D．【答案】B．【點睛】指對數(shù)比擬大小也是高考中常見的考題，常見的方法有：①比擬同底數(shù)對數(shù)的大小利用函數(shù)單調(diào)性；②底數(shù)不同的對數(shù)比擬，利用函數(shù)圖像及相互位置關(guān)系比擬大??；③既有指數(shù)又有對數(shù)，或?qū)?shù)底數(shù)與真數(shù)都不同時，常采用放縮法或找中間值法，多項選擇0和1等.6.【2023天津高考】設(shè)那么〔〕A.B.C.D.【答案】C.【解析】因為所以，選C.7.,,,,那么〔〕A．B．C．D．【解析】由知為減函數(shù),,選C.8.【2023遼寧高考】，，那么〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】所以，應(yīng)選C.9.【2023山東高考】實數(shù)滿足，那么以下關(guān)系式恒成立的是〔〕A.B.C.D.【答案】10.【2023高考陜西】設(shè)，假設(shè)，，，那么以下關(guān)系式中正確的是〔〕A．B．C．D．【答案】【解析】；；因為，由是個遞增函數(shù)，所以，故答案選【點睛】1.此題考查函數(shù)單調(diào)性，因為函數(shù)是個遞增函數(shù)，所以只需判斷和的大小關(guān)系即可；2.此題屬于中檔題，注意運算的準(zhǔn)確性.11．的定義在的函數(shù),對任意兩個不相等的正數(shù),都有,記,那么〔〕A.B.C.D.【答案】．C【解析】因為函數(shù)的定義在的函數(shù),對任意兩個不相等的正數(shù),都有,所以函數(shù)是上的減函數(shù).又因為,,所以,,應(yīng)選C.12.【2023天津高考理】奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.假設(shè)，，，那么a，b，c的大小關(guān)系為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】【點睛】比擬大小是高考常見題，指數(shù)式、對數(shù)式的比擬大小要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比擬大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)形結(jié)合不僅能比擬大小，還可以解不等式.13.【2023高考北京，文10】，，三個數(shù)中最大數(shù)的是．【答案】【解析】，，，所以最大.14.【2023上海,理9】假設(shè)，那么滿足的取值范圍是.【答案】【點睛】1．冪函數(shù)y＝xα的圖像與性質(zhì)由于α的值不同而比擬復(fù)雜，一般從兩個方面考查：(1)α的正負(fù)：α>0時