概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大盛驟高教社-電子教案第七章

一、問題的提出從前一節(jié)可以看到,對于同一個(gè)參數(shù),用不同的估計(jì)方法求出的估計(jì)量可能不相同,如第一節(jié)的例4和例10.而且,很明顯,原則上任何統(tǒng)計(jì)量都可以作為未知參數(shù)的估計(jì)量.問題對于同一個(gè)參數(shù)究竟采用哪一個(gè)估計(jì)量好?評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)是什么?下面介紹幾個(gè)常用標(biāo)準(zhǔn).二、無偏性若

的一個(gè)樣本，

是包含在總體X

的分布中的待估參數(shù),(

是

的取值范圍)的數(shù)學(xué)期望若估計(jì)量?

(X1

,X

2

,,E(?

存在,

且)

對于任意

有

E(?

,

)則稱?

是

的無偏估計(jì)量.無偏估計(jì)的實(shí)際意義:

無系統(tǒng)誤差.階總體矩k

的無偏估計(jì).1n又設(shè)X1

X

2

,,X,

n是設(shè)總體

X

的k

階矩

k

E

X k

存在,

)k一個(gè)樣本，試證明不論ni

1kiX

是kk總體服從什么分布,

k

階樣本矩

A

證因?yàn)閗i21,,,

n

與

分X

布，故有

E(

Xk

)

E(

X

)k

,

i

1,2,,

n.ni

1kik即

E(

A

)

1n.kE(

X

)

例1故k

階樣本矩Ak

是k

階總體矩k

的無偏估計(jì).特別的:不論總體X服從什么分布,只要它的數(shù)學(xué)期望存在,X總是總體X

的數(shù)學(xué)期望1

E(X

)的無偏估計(jì)量.對于均值

,方差

2

0

都存在的總體,若i

1i(

X

X

)2nn

,

2

均為未知,則

2

的估計(jì)量?

2

1

證是有偏的(即不是無偏估計(jì)).nXi

Xi

121n?

22A

X

,2

22

2因?yàn)?/p>

E(

A

)

2

2

,2

2又因?yàn)?/p>

E(

X

2

)

D(

X

)

[E(

X

)]2

,n所以

E(?

2

)

E(

A

X

2

)

E(

A

)

E(

X

2

)2

2例2n

n

1

2

2

,

所以?

2

是有偏的.乘?

2

,所得到的估計(jì)量就是無偏的.n

1若以n(這種方法稱為無偏化).E(?

2

)

2

.nn

1?2

n

1Ennn

1?

2

S

2因?yàn)?n

1ni

1i(

X

X

2

),即S

2是

2

的無偏估計(jì),故通常取S

2作

2的估計(jì)量.的樣本，試求

2

的無偏估計(jì)量.來自正態(tài)總體N

2

)

,(例3

設(shè)

X1

,

X2

,,

2解由第六章第二節(jié)定理二知

n

1

S

2

~

2

(n

1),e

dxx22

x

22

2

x

n11n110

n

1E

n

1S

e2

x

2

xn1dx

212

2n1

n

1

0

2

,

n

n

12

2

22

,E(

S

)

2

n

n

1

n

1故S

不是

的無偏估計(jì)量,2

2

2

n

S

是

的無偏估計(jì)量.

n

1n

1nn

1證

因?yàn)樵O(shè)總體X

在21,,

]上[0,服從均勻分布,參數(shù)

0,和21

都,m是ax(的無偏估計(jì).2E(2X

)

2E(

X

)

2E(

X

)

2

,所以2

X

是

的無偏估計(jì)量.,Xm概a率x(密度為x

,其他因?yàn)?/p>

h

0,21nxn1fx()

n例4nxn1x

n

dx所以

E(

Xh

)

0

,n

1n

hn故有

E

n

1

X

,n

n

121

,m是ax(的無偏估計(jì)量.故其中參數(shù)

0,又設(shè),試證樣X

本和nZ

的無偏估計(jì).的21,,

n都(

是x

0,,e其他.21,,

0,

1例5

設(shè)總體

X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布,

概率密度fx(;)

x證明

因?yàn)镋(

X

)

E(

X

)

,所以X

是

的無偏估計(jì)量.,21而Z

0,eminn概率密度fX

X

,,m從in參(數(shù)為的指數(shù)分布n

nx

,

x

0,其他.(

x;

)

n故知

E(

Z

)

,

E(nZ

)

,所以nZ

也是

的無偏估計(jì)量.由以上兩例可知,一個(gè)參數(shù)可以有不同的無偏估計(jì)量.三、有效性

的附近較?

更密集,

則認(rèn)為?

較

?

有效.比較參數(shù)

的兩個(gè)無偏估計(jì)量?

和?

,

如果1

22

1

2由于方差是隨

量取值與其數(shù)學(xué)期望的1在樣本容量n相同的情況下,?

的觀察值在真值偏離程度,

所以無偏估計(jì)以方差小者為好.都是

的無偏估計(jì)量,

若有

D(?

)

D(?

),1

2則稱?

較?

有效.1

2設(shè)?

?

( )與?

?

(1

1

n

2

2)n證明由于D(X

)

2

,n故有

D(

X

)

,例6 (續(xù)例5)試證當(dāng)n

1時(shí),

的無偏估計(jì)量X

較nZ

有效.

2

2又因?yàn)?/p>

D(Z

)

,n22故有

D(nZ

)

,當(dāng)n

1時(shí),D(nZ

)

D(

X

),故

的無偏估計(jì)量X

較nZ

有效..??計(jì)量,現(xiàn)證當(dāng)n

2

1時(shí),

2

較

有效22

11在例4中已證明?

2

X都是

的無偏估n和?

n

1max{X

,

X

,,證明)

4D(

X

)

?1由于D(3n4n

2D(

X

)

,n

n

1?2D(

)

Dn

DXh

,

n

12Xh

nh又因?yàn)?/p>

E(

X

)

n

1

,例7 (續(xù)例4)

nn

xn1dx

hE(

X

2

)

0

2

,n

2n2

2D(

Xh

)

E(

Xh

)

[E(

Xh

)]

2

,(n

1)2

(n

2)n

2

,1n(n

2)2故D(?

)又n

2,

所以D(?

)

D(?

),2

1?

較?

有效.2

1四、相合性依概率收斂于

,則稱?

為

的相合估計(jì)量.,,若對于任意

,

當(dāng)n

時(shí),?

X1

X

2

為參數(shù)的估計(jì)量,若?

?(X1

,X

2

,,例如總體X

的k

階矩

k

E

X

)的(

相合估計(jì)量,k進(jìn)而若待估參數(shù)

g(1

,2

,,n

),其中g(shù)為連續(xù)函數(shù),則

的矩估計(jì)量?

g(?1

,?2

,,?n

)

g(A1

,A2

,,An

)是

的相合估計(jì)量.由第六章第二節(jié)知

樣本k k

1)(階,

矩是2中心矩B2估計(jì)量.n

11量,

樣本方差

S

2

試證:樣本均值X

是總體均值

的相合估計(jì)

2n

1

Xi

X

都是總體方差

的相合i

1ni

1iX

X

2

及樣本的二階n證明由大數(shù)定律知,

0,

1

1,n

Xi

n

i

1

有l(wèi)im

P

nn1ni

1所以X

iX

是

的相合估計(jì)量.例8n

ii

1(

X

X

)1n2

12又

B

ni

1i2(

in2n

1