已知三角函數(shù)值求角知識(shí)講解-

已知三角函數(shù)值求角知識(shí)講解_已知三角函數(shù)值求角知識(shí)講解_已知三角函數(shù)值求角知識(shí)講解_xxx公司已知三角函數(shù)值求角知識(shí)講解_文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度已知三角函數(shù)值求角【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握已知三角函數(shù)值求角的解題步驟；2、要求學(xué)生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函數(shù)的意義，會(huì)由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出范圍內(nèi)的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符號(hào)表示角或角的集合【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：反正弦，反余弦，反正切函數(shù)的定義（1）一般地，對(duì)于正弦函數(shù)，如果已知函數(shù)值，那么在上有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，記為（其中）．即（）表示上正弦等于的那個(gè)角．（2）在區(qū)間上符合條件的角，記為．（3）一般地，如果，且，那么對(duì)每一個(gè)正切值，在開區(qū)間內(nèi)，有且只有一個(gè)角，使．符合上述條件的角，記為．要點(diǎn)二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角已知角的一個(gè)三角函數(shù)值求角，所得的角不一定只有一個(gè)，角的個(gè)數(shù)要根據(jù)角的取值范圍來(lái)確定，這個(gè)范圍應(yīng)該在題目中給定，如果在這個(gè)范圍內(nèi)有已知三角函數(shù)值的角不止一個(gè)，解法可以分為以下幾步：第一步，決定角可能是第幾象限角.第二步，如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對(duì)應(yīng)的銳角；如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則先求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角.第三步，如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則可根據(jù)可能是第幾象限角，得出(0，2π)內(nèi)對(duì)應(yīng)的角；如果它是第二象限角，那么可表示為－＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示為＋π或－＋2π.第四步，如果要求(0，2π)以外對(duì)應(yīng)的角，則可利用終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值這一規(guī)律寫出結(jié)果.【典型例題】類型一：已知正弦值、余弦值，求角例1．已知，（1），（2），求角.【思路點(diǎn)撥】因?yàn)樗o的正弦值是負(fù)數(shù)，所以先求出其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角，然后在求出其他象限的角．【解析】（1）由知的正弦值是個(gè)負(fù)值，所以是第三象限或第四象限的角．因?yàn)椋缘谌笙薜哪莻€(gè)角是，第四象限的角是．（2）在上符合條件的角是所有與終邊相同的角和所有與終邊相同的角．因此的取值集合為．【總結(jié)升華】（1）定象限，根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)確定角是第幾象限角．(2)找銳角；如果三角函數(shù)值為正，則可直接求出對(duì)應(yīng)的銳角，如果三角函數(shù)值為負(fù)，則求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角．(3)寫形式．根據(jù)±，2-的誘導(dǎo)公式寫出結(jié)果．第二象限角：；第三象限角：第四象限角：．如果要求出[0，2]范圍以外的角則可利用終邊相同的角的三角函數(shù)值相等寫出所有結(jié)果．例2．（1）已知cosx＝－0．7660，且x∈［0，π］，求x；（2）已知cosx＝－，且x∈［0，2π］，求x的取值集合.【思路點(diǎn)撥】因?yàn)樗o的余弦值是負(fù)數(shù)，所以先求出其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角，然后再求出其他象限的角．【解析】（1）由余弦曲線可知y＝cosx在［0，π］上是減函數(shù)又由已知cosx＝－＜0得x是一個(gè)鈍角又由cos(π－x)＝－cosx＝0．7660利用計(jì)算器求得π－x＝∴∴符合條件的有且只有一個(gè)角.（2）∵cosx＝－0．7660＜0，所以x是第二或第三象限角，由y＝cosx在［0，π］上是減函數(shù)y＝cosx在［π，2π］上是增函數(shù)因?yàn)閏os(π＋)＝cos(π－)=－.可知：符合條件的角有且只有兩個(gè)，即第二象限角或第三象限角．∴所求角x的集合是｛，｝.舉一反三：【變式1】已知sinX=-,且X[0，]，求角X的取值集合．【答案】或【變式2】根據(jù)下列條件，求△ABC的內(nèi)角A（1）（2）【思路點(diǎn)撥】因?yàn)椤螦為△ABC的內(nèi)角，所以0＜A＜.根據(jù)余弦函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞減的，故符合條件的∠A只有一個(gè)，而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，在中符合條件的有兩個(gè).【解析】（1）∠A為△ABC的內(nèi)角∴0＜A＜∵余弦函數(shù)在區(qū)間中為減函數(shù)，所以符合條件的角A只有一個(gè)∵∴∴（2）∵0＜A＜，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，在內(nèi)符合條件的角A有兩個(gè)∵∴類型二：已知正切值，求角例3．已知【思路點(diǎn)撥】由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，在開區(qū)間內(nèi)，符合條件的角只有一個(gè)，而在內(nèi)，符合條件的就有兩個(gè).再根據(jù)正切函數(shù)的周期性可知，第（3）題中符合條件的角就有無(wú)窮多個(gè)了.【解析】（1）由正切函數(shù)在開區(qū)間上是增函數(shù)可知；符合的角只有一個(gè)，即（2）∵∴是第二或第四象限角，又∵，由正切函數(shù)在區(qū)間、上是增函數(shù)知，符合的角有兩個(gè).∵且∴（3）∵正切函數(shù)的最小正周期為∴只需在長(zhǎng)為一個(gè)周期的區(qū)間上求出滿足條件的，再加上即可在（1）中，∴舉一反三：【變式1】(1)已知tanx＝，x∈(－，)，求x.(2)已知tanx＝，且x∈［0，2π］，求x的取值集合.【思路點(diǎn)撥】(1)由正切曲線可知y＝tanx在(－，)上是增函數(shù)；可知符合條件的角有且只有一個(gè)，利用計(jì)算器可求得x＝=18°26′(2)由正切函數(shù)的周期性，可知當(dāng)x＝＋π時(shí)，tanx＝且＋π＝∈［0，2π］∴所求x的集合是｛，｝類型三：反三函數(shù)的綜合應(yīng)用例4．已知分別是方程的兩個(gè)根，求.【思路點(diǎn)撥】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系和同角三角函數(shù)關(guān)系式求k，然后利用的值求.【解析】∵是方程兩個(gè)根①②∴①②①2–②×2，得：整理得：解得：又∵∴∵∴k=3應(yīng)舍去，k=–1當(dāng)k=–1時(shí)，原方程為∴∵∴例5．求證arctan1+arctan2