最新高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入1數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入教學(xué)案北師大版選修2-2

PAGE頁碼12/NUMPAGES總頁數(shù)12——教學(xué)資料參考參考范本——高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入1數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入教學(xué)案北師大版選修2_2______年______月______日____________________部門數(shù)的概念的擴展方程(1)x2－2x＋2＝0，(2)x2＋1＝0.問題1：方程(1)在有理數(shù)數(shù)集中有解嗎？實數(shù)范圍內(nèi)呢？提示：在有理數(shù)集中無解；在實數(shù)范圍內(nèi)有解，其解為.問題2：方程(2)在實數(shù)集中有解嗎？提示：沒有．問題3：假設(shè)有一個新數(shù)i滿足i2＝－1，試想方程x2＋1＝0有解嗎？提示：有解x＝i，但不是實數(shù)．1．復(fù)數(shù)的概念2．復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)的全體組成的集合，記作C.顯然RC.復(fù)數(shù)的相等問題1：假設(shè)a，b，c，d∈R且a＝c，b＝d，復(fù)數(shù)a＋bi和c＋di相等嗎？提示：相等．問題2：假設(shè)a＋bi＝c＋di，那么實數(shù)a，b，c，d有何關(guān)系？提示：a＝c，b＝d.復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)a，b，c，d都是實數(shù)，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.復(fù)平面及復(fù)數(shù)的幾何意義問題1：實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，復(fù)數(shù)可以用平面內(nèi)的點表示嗎？提示：可以．問題2：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與有序?qū)崝?shù)對(a，b)有何對應(yīng)關(guān)系？與平面直角坐標(biāo)系中的點Z(a，b)有何對應(yīng)關(guān)系？提示：一一對應(yīng)，一一對應(yīng)．問題3：在平面直角坐標(biāo)系中點Z(a，b)與向量＝(a，b)有何對應(yīng)關(guān)系？提示：一一對應(yīng)關(guān)系．問題4：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與有何對應(yīng)關(guān)系？提示：一一對應(yīng)．1．復(fù)平面(1)當(dāng)用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點來表示復(fù)數(shù)時，稱這個直角坐標(biāo)系為復(fù)平面，x軸為實軸，y軸為虛軸．(2)任一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)是一一對應(yīng)的．這是復(fù)數(shù)的幾何意義．一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的向量＝(a，b)是一一對應(yīng)的．2．復(fù)數(shù)的模設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是Z(a，b)，點Z到原點的距離|OZ|叫作復(fù)數(shù)z的模或絕對值，記作|z|，顯然，|z|＝.1．注意復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z＝a＋bi中a，b∈R這一條件，否那么a，b就不一定是復(fù)數(shù)的實部與虛部．2．表示實數(shù)的點都在實軸上，實軸上的點都表示實數(shù)，它們是一一對應(yīng)的；表示純虛數(shù)的點都在虛軸上，但虛軸上的點不都表示純虛數(shù)，如原點表示實數(shù)0.3．只有兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)時才能比擬大小，否那么沒有大小關(guān)系．eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P46])復(fù)數(shù)的根本概念[例1]復(fù)數(shù)z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，當(dāng)實數(shù)m為何值時，(1)z為實數(shù)；(2)z為虛數(shù)；(3)z為純虛數(shù)？[思路點撥]分清復(fù)數(shù)的分類，根據(jù)實部與虛部的取值情況進行判斷．[精解詳析](1)當(dāng)m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1時，z為實數(shù)．(2)當(dāng)m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1時，z為虛數(shù)．(3)當(dāng)即m＝2時，z為純虛數(shù)．[一點通](1)研究一個復(fù)數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)時，首先要保證這個復(fù)數(shù)的實部、虛部是有意義的，這是一個前提條件，初學(xué)者易忽略這一點．(2)對于純虛數(shù)的問題，除了實部為零之外，勿忘其虛部必須不為零．1．設(shè)a，b∈R.“a＝0〞是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)〞的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)a＝0，且b＝0時，a＋bi不是純虛數(shù)；假設(shè)a＋bi是純虛數(shù)，那么a＝0.故“a＝0〞是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)〞的必要而不充分條件．答案：B2．假設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋i為純虛數(shù)，那么實數(shù)x的值為()A．－1 B．0C．1 D.－1或1解析：由復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋i為純虛數(shù)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x－1≠0，))解得x＝－1.答案：A復(fù)數(shù)的相等[例2](1)(2x－1)＋i＝y(tǒng)－(3－y)i，x，y∈R，求x與y；(2)設(shè)z1＝1＋sinθ－icosθ，z2＝＋(cosθ－2)i.假設(shè)z1＝z2，求θ.[思路點撥]先找出兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部，然后再利用兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件列方程組求解．[精解詳析](1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y(tǒng)，,1＝－3－y，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))(2)由，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋sinθ＝\f(1,1＋sinθ)，,cosθ＝2－cosθ，))解得那么θ＝2kπ(k∈Z)．[一點通](1)兩個復(fù)數(shù)相等時，應(yīng)分清楚兩復(fù)數(shù)的實部和虛部，然后讓其實部和虛局部別相等，列出相應(yīng)的方程組求解．此題就是利用復(fù)數(shù)相等實現(xiàn)了復(fù)數(shù)問題向?qū)崝?shù)問題的轉(zhuǎn)化，表達了化歸的思想．(2)注意(1)小題的條件x，y∈R，假設(shè)x，y未說明是實數(shù)，那么不能這樣解，比方假設(shè)x為純虛數(shù)，那么可設(shè)x＝bi(b∈R且b≠0)，然后再根據(jù)復(fù)數(shù)相等求相應(yīng)的x，y.3．假設(shè)ai＋2＝b－i(a，b∈R)，i為虛數(shù)單位，那么a2＋b2＝()A．0 B．2C. D.5解析：由題意得那么a2＋b2＝5.答案：D4．假設(shè)關(guān)于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有實根，那么實數(shù)m＝()A. B.iC．－ D.－i解析：因為關(guān)于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有實根，即x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0?x2＋x＋3m＋(2x＋1)i＝0??m＝，應(yīng)選A.答案：A復(fù)數(shù)的幾何意義[例3]實數(shù)a取什么值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的點(1)位于第二象限；(2)位于直線y＝x上？[思路點撥]位于第二象限的點的橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)大于0；位于直線y＝x上的點的橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)．[精解詳析]根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的點就是點Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．(1)由點Z位于第二象限得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a－2<0，,a2－3a＋2>0，))解得－2<a<1.故滿足條件的實數(shù)a的取值范圍為(－2,1)．(2)由點Z位于直線y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故滿足條件的實數(shù)a的值為1.[一點通]按照復(fù)數(shù)集和復(fù)平面內(nèi)所有的點的集合之間的一一對應(yīng)關(guān)系，每一個復(fù)數(shù)都對應(yīng)著一個有序?qū)崝?shù)對，只要在復(fù)平面內(nèi)找出這個有序?qū)崝?shù)對所表示的點，就可根據(jù)點的位置確定復(fù)數(shù)的實部、虛部滿足的條件．5．假設(shè)復(fù)數(shù)z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i對應(yīng)的點在虛軸上，那么()A．a(chǎn)≠2或a≠1 B．a(chǎn)≠2且a≠1C．a(chǎn)＝0 D.a＝2或a＝0解析：因為復(fù)數(shù)z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i對應(yīng)的點在虛軸上，所以a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.答案：D6．平面直角坐標(biāo)系中O是原點，向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，那么向量的坐標(biāo)是()A．(－5,5) B．(5，－5)C．(5,5) D.(－5，－5)解析：向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別記作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．由向量減法的坐標(biāo)運算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)．答案：B7．在復(fù)平面內(nèi)，求復(fù)數(shù)z，使復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的對應(yīng)點(1)在虛軸上；(2)在實軸負(fù)半軸上．解：(1)假設(shè)復(fù)數(shù)z對應(yīng)點在虛軸上，那么m2－m－2＝0，∴m＝－1或m＝2，此時，z＝6i或z＝0.(2)假設(shè)復(fù)數(shù)z對應(yīng)點在實軸負(fù)半軸上，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2＝0，))解得m＝1，∴z＝－2.復(fù)數(shù)的模[例4]設(shè)z∈C，判斷滿足以下條件的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是什么圖形．(1)|z|＝2；(2)|z|≤3.[精解詳析]法一：(1)復(fù)數(shù)z的模等于2，這說明向量的長度等于2，即點Z到原點的距離等于2，因此滿足條件|z|＝2的點Z的集合是以原點O為圓心，以2為半徑的圓．(2)滿足條件|z|≤3的點Z的集合是以原點O為圓心，以3為半徑的圓及其內(nèi)部．法二：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)．(1)|z|＝2，∴x2＋y2＝4，∴點Z的集合是以原點O為圓心，以2為半徑的圓．(2)|z|≤3，∴x2＋y2≤9.∴點Z的集合是以原點O為圓心，以3為半徑的圓及其內(nèi)部．[一點通](1)解決此類問題有兩種方法：①根據(jù)|z|表示點Z和原點間的距離，把復(fù)數(shù)條件轉(zhuǎn)化為幾何條件；②設(shè)出復(fù)數(shù)，利用模的定義，把復(fù)數(shù)方程(不等式)轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程(不等式)．(2)設(shè)出復(fù)數(shù)，把復(fù)數(shù)問題實數(shù)化，是解決復(fù)數(shù)問題的根本思想．8．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|<|z2|，那么實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<－1或a>1 B．－1<a<1C．a(chǎn)>1 D.a>0解析：∵|z1|＝，|z2|＝＝，∴<，即a2＋4<5，∴a2<1，即－1<a<1.答案：B9．求復(fù)數(shù)z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比擬它們的模的大小．解：∵z1＝6＋8i，z2＝－－i，∴|z1|＝＝10，|z2|＝＝.∵10>，∴|z1|>|z2|.1．區(qū)分實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系，特別要明確：實數(shù)也是復(fù)數(shù)，要把復(fù)數(shù)與實數(shù)加以區(qū)別．對于純虛數(shù)bi(b≠0，b∈R)不要只記形式，要注意b≠0.2．復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)，復(fù)數(shù)與向量一一對應(yīng)，可知復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)、復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)和平面向量之間的關(guān)系可用圖表示．eq\a\vs4\al([對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練十七])1．復(fù)數(shù)1＋i2的實部和虛局部別是()A．1和i B．i和1C．1和－1 D.0和0解析：∵1＋i2＝1－1＝0，應(yīng)選D.答案：D2．當(dāng)<m<1時，復(fù)數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D.第四象限解析：∵<m<1，∴3m－2>0，m－1<0，∴點(3m－2，m－1)在第四象限．答案：D3．假設(shè)(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，那么實數(shù)x的值是()A．－1 B．1C．±1 D.－1或－2解析：∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x2＋3x＋2≠0.))由x2－1＝0，得x＝±1，又由x2＋3x＋2≠0，得x≠－2且x≠－1，∴x＝1.答案：B4．虛數(shù)z＝x＋yi的模為1(其中x，y均為實數(shù))，那么的取值范圍是()A. B.∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))C. D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))解析：∵|z|＝1，∴x2＋y2＝1.設(shè)k＝，那么k為過圓x2＋y2＝1上的點和點(－2,0)的直線斜率，作圖如下圖，∴k≤＝.又∵z為虛數(shù)，∴y≠0，∴k≠0.又由對稱性可得k∈∪.答案：B5．(湖北高考)i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，假設(shè)z1＝2－3i，那么z2＝________.解析：由復(fù)數(shù)的幾何意義知，z1，z2的實部，虛部均互為相反數(shù)，故z2＝－2＋3i.答案：－2＋3i6．如果(m2－1)＋(m2－2m)i>0，那么實數(shù)m的值為________．解析：由于兩個不全為實數(shù)的復(fù)數(shù)不能比擬大小，可知(m2－1)＋(m2－2m)i應(yīng)為實數(shù)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－1>0，,m2－2m＝0，))解得m＝2.答案：27．復(fù)數(shù)z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，當(dāng)實數(shù)m為何值時，①z是實數(shù)；②z＝4＋6i；③z對應(yīng)的點在第三象限？解：z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i.①令m2－m－6＝0?m＝3或m＝－2，即m＝3或m＝－2時