20172018人教版高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)習(xí)題第八周一元二次方程根分布

20172018人教版高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第八周一元二次方程根的分布20172018人教版高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第八周一元二次方程根的分布15/15芀PAGE15膁聿蚄薀膆螃莀肈芇蚈莆蒀羄20172018人教版高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第八周一元二次方程根的分布2017-2018人教版高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第八周一元二次方程根的分布

第八周一元二次方程根的分布

重點知識梳理

設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c，則

1．二次方程2的根從幾何意義上來說就是拋物線2＋bx＋c與x軸交點的ax＋bx＋c＝0y＝ax橫坐標(biāo)，因此研究方程ax2＋bx＋c＝0的實根的情況，可從y＝ax2＋bx＋c的圖象進(jìn)步行研究．若在(－∞，＋∞)內(nèi)研究方程ax2＋bx＋c＝0的實根情況，只需察看函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸交點個數(shù)及交點橫坐標(biāo)的符號，依照鑒識式以及根與系數(shù)的關(guān)系，由y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)可判斷出，x1＋x2，x1x2的符號，從而判斷出實根的情況．若在區(qū)間(m，n)內(nèi)研究二次方程ax2＋bx＋c＝0，則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關(guān)系來確定．2．若m，n都不是方程2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，則f(x)＝0有且只有一個實根屬于(m，n)ax的充要條件是f(m)f(n)<0.

3．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個實根都屬于區(qū)間(m，n)的充要條件是：

b2－4ac≥0

af(m)>0

af(n)>0.

bm<－2a<n

4．二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩個實根分別在區(qū)間(m，n)的兩側(cè)(一根小于m，另一根大于

af(m)<0n)的充要條件是：.af(n)<0

5．二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩個實根都在(m，n)的右側(cè)(兩根都大于n)的充要條件是：

b2－4ac≥0af(n)>0

b

，

2a>n

二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩個實根都在(m，n)的左側(cè)(兩根都小于m)的充要條件是：

1/14

b2－4ac≥0

af(m)>0.b2a<m

6．求解一元二次方程根的分布問題時，可借助函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合來寫出相應(yīng)結(jié)論．

典型例題剖析

例1已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一負(fù)根，求實數(shù)m的取值范圍．【剖析】∵二次方程有一正根一負(fù)根，

∴(2m＋1)·f(0)<0，

1即(2m＋1)(m－1)<0，解得－2<m<1，

∴m的取值范圍為(－1，1)．2變式訓(xùn)練已知二次函數(shù)y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)與x軸有兩個交點，一個大于1，一個小于1，求實數(shù)m的取值范圍．【剖析】∵對應(yīng)二次方程(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)＝0的一根大于1，一根小于1，

(m＋2)·f(1)<0，

即(m＋2)·(2m＋1)<0，解得－2<m<－1，2

1∴m的取值范圍為(－2，－2).

【小結(jié)】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一根大于m，一根小于m，若a>0，則只需f(m)<0；

若a<0，則只需f(m)>0.二者綜合起來，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一根大于m，一根小于m，則只需af(m)<0.

22017-2018人教版高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第八周一元二次方程根的分布

例2已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.

若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的取值范圍．

若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的取值范圍．

【剖析】(1)若拋物線f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1與x軸的交點分別在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)，則

m<－1f(0)＝2m＋1<0，2m∈Rf(－1)＝2>0，∴1，f(1)＝4m＋2<0，m<－2f(2)＝6m＋5>0，m>－56

1故－6<m<－2，

實數(shù)m的取值范圍是(－5，－1)．62

f(0)>0，

f(1)>0，(2)若拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0,1)內(nèi)，列不等式組Δ≥0，

0<－m<1，

1m>－2，

1m>－2，

m≥1＋2或m≤1－2，

－1<m<0，

1∴－2<m≤1－2，

∴實數(shù)m的取值范圍是(－12，1－2]．

變式訓(xùn)練已知方程2x2－2(2a－1)x＋a＋2＝0的兩個根在－3與3之間，求a的取值范圍．

【剖析】若拋物線與x軸交點落在區(qū)間(－3,3)內(nèi)，

3/14

f(－3)>0，

f(3)>0，列不等式組Δ≥0，

2a－1－3<<3，2

18＋6(2a－1)＋a＋2>0，

18－6(2a－1)＋a＋2>0，∴4(2a－1)2－8(a＋2)≥0，，

572<a<2，

解得－143－21或3＋42126，13<a≤4≤a<11故a的取值范圍是(－14，3－21]∪[3＋21，26)．

134411

例3求實數(shù)m的范圍，使關(guān)于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0

(1)有兩個實根，且一個比2大，一個比2小；

有兩個實根α，β，且滿足0<α<1<β<4；

最少有一個正根．

【剖析】設(shè)y＝f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6.

依題意有f(2)<0，即4＋4(m－1)＋2m＋6<0，

得m<－1.

f(0)＝2m＋6>0

依題意有f(1)＝4m＋5<0，f(4)＝10m＋14>0

5解得－5<m<－4.

方程最少有一個正根，則有三種可能：

42017-2018人教版高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第八周一元二次方程根的分布

Δ≥0

f(0)>0①有兩個正根，此時可得，2(m－1)－2>0

m≤－1或m≥5

即m>－3，∴－3<m≤－1.

m<1

②有一個正根，一個負(fù)根，此時可得f(0)<0，得m<－3.③有一個正根，另一根為6＋2m＝0，0，此時可得－2(m－1)>0∴m＝－3.綜上所述，得m≤－1.變式訓(xùn)練已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3－a，若是函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1，1]上有零點，求a的取值范圍．【剖析】函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點，即方程2ax2＋2x－3－a＝0在[－1,1]上有解，a＝0時，不吻合題意，因此a≠0.

方程2ax2＋2x－3－a＝0在[－1,1]上有解，

af(－1)≥0af(1)≥0∴f(－1)·f(1)≤0或＝4＋8a(3＋a)≥0，1

1<2a<1

3－7解得1≤a≤5或a≤或a≥5，2－3－7即a≤或a≥1.2因此實數(shù)a的取值范圍是－3－7或a≥1.a≤2

追蹤訓(xùn)練

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1．對一元二次方程2012(x－2)2＝2013的兩個根的情況，判斷正確的選項是( )

A．一根小于1，另一根大于3

B．一根小于－2，另一根大于2

C．兩根都小于0D．兩根都大于22．若一元二次方程3x2－5x＋a＝0的一根大于－2且小于0，另一根大于1而小于3，則實數(shù)a的取值范圍是()15A．(－12,0)B．(－∞，14)15，＋∞)D．(1，2)C．(1423．已知關(guān)于x的方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的兩根異號，且負(fù)根的絕對值比正根大，

那么實數(shù)m的取值范圍是( )

A．－3＜m＜0B．m＜－3或m＞0

C．0＜m＜3D．m＜0或m＞3

4．方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一根大于2，一根小于2，那么實數(shù)m的取值范圍是

________________．

5．若方程mx2＋2mx＋1＝0一根大于1，另一根小于1，則實數(shù)m的取值范圍為_______．

6．已知方程4x2＋2(m－1)x＋(2m＋3)＝0有兩個負(fù)根，則實數(shù)m的取值范圍是________．

7．一元二次方程x2＋(2a－1)x＋a－2＝0的一根比1大，另一根比－1小，則實數(shù)a的取值范圍是______________．

8．已知方程7x2－(m＋13)x＋m2－m－2＝0(m為實數(shù))有兩個實數(shù)根，且一根在(0,1)上，一根在(1,2)上，則m的取值范圍是_________________.2＋(k－2)x＋2k－1＝0的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，則9．若方程x實數(shù)k的取值范圍是_________________．62017-2018人教版高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第八周一元二次方程根的分布

10．方程x2－2ax＋4＝0的兩根均大于1，則實數(shù)a的取值范圍是________________．

11．已知關(guān)于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，研究a為何值時，

方程有一正一負(fù)兩根；

方程的兩根都大于1；

方程的一根大于1，一根小于1.

12．已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)．

若f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤1}，求實數(shù)b，c的值；

(2)若f(x)滿足f(1)＝0，且關(guān)于x的方程f(x)＋x＋b＝0的兩個實數(shù)根分別在區(qū)間(－3，－2)，

(0,1)內(nèi)，求實數(shù)b的取值范圍．

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參照答案

1．A∵2012(x－2)2＝2013，

(x－2)2＝2013>1，201282017-2018人教版高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第八周一元二次方程根的分布

x－2<－1或x－2>1，

∴x<1或x>3，∴該方程的兩個根一個小于1，一個大于3.

2．A設(shè)f(x)＝3x2－5x＋a，

f(－2)＞012＋10＋a＞0f(0)＜0a＜0依照函數(shù)圖象可知即，f(1)＜03－5＋a＜0f(3)＞027－15＋a＞0

解此不等式組可得a∈(－12,0)，

即實數(shù)a的取值范圍是(－12,0)．

應(yīng)選A.

3．A由題意x1x2＜0，x1＋x2＜0，＞0，由根與系數(shù)的關(guān)系

因此可知參數(shù)的范圍選A.

4．(－∞，－3)

剖析設(shè)f(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，

其圖象張口向上，由題意，得f(2)<0，

即22＋(2m－1)×2＋4－2m<0，解得m<－3.

5．(－13，0)

6．[11，＋∞)

剖析依題意得

x1x2＝2m－1，x1＋x2＝4m，m＋3m＋3

2(m－1)<0，4

2m＋34>0，

＝4(m－1)2－16(2m＋3)≥0，

－2(m－1)<0，8

9/14

m>1，

3即m>－2，

m≥11或m≤－1，m>1，

故m的取值范圍是[11，＋∞)．

27．(0，3)8．(－2，－1)∪(3,4)剖析設(shè)f(x)＝7x2－(m＋13)x＋m2－m－2，要使方程7x2－(m＋13)x＋m2－m－2＝0(m為實數(shù))有兩個實數(shù)根，且一根在(0,1)上，一根在(1,2)上，f(0)>0m>2或m<－1只需f(1)<0，即－2<m<4，f(2)>0m>3或m<0

則m的取值范圍為(－2，－1)∪(3,4)．

29．(2，3)

剖析設(shè)f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，

f(0)>02k－1>0f(1)<0即3k－2<0，f(2)>04k－1>0

22<k<3.

510．[2，2)

2－2a×1＋4>0剖析因為方程x2－2ax＋4＝0的兩根均大于11，因此，(－2a)2－4×1×4≥0解得實數(shù)a的取值范圍是[2，5)．2102017-2018人教版高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第八周一元二次方程根的分布

11．剖析(1)因為方程有一正一負(fù)兩根，

a－1因此由根與系數(shù)的關(guān)系得a<0，＝12a＋4>0

解得0＜a＜1.

即當(dāng)0＜a＜1時，方程有一正一負(fù)兩根．

方法一：當(dāng)方程兩根都大于1時，函數(shù)y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大體圖象如圖(1)(2)所示，

a>0a<0>0>0因此必定滿足a＋1或a＋1，不等式組無解．a(chǎn)>1a>1f(1)>0f(1)<0因此不存在實數(shù)a，使方程的兩根都大于1.方法二：設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，由方程的兩根都大于1，得x1－1＞0，x2－1＞0，(x1－1)(x2－1)>0x1x2－(x1＋x2)＋1>0即?x1＋x2>2.x1－1＋x2－1>0a－1－2(a＋1)＋1>0a<0aa?因此，2(a＋1)>2a>0a

不等式組無解．

即不論a為何值，方程的兩根不可以能都大于1.

因為方程有一根大于1，一根小于1，

2函數(shù)y＝ax－2(a＋1)x＋a－1的大體圖象如圖(3)(4)所示，

a>0或a<0因此必定滿足，解得a＞0.f(1)<0f(1)>0∴即當(dāng)a＞0時，方程的一個根大于1，一個根小于1.

12．剖析(1)依題意，x1＝－1，x2＝1是方程x2＋