2018年高考理科數(shù)學(xué)(3卷)答案詳解(附試卷)

第第頁(yè)共21頁(yè)???OD=2+4=6.???三棱錐D???三棱錐D-ABC體積的最大值為x2y211.設(shè)是雙曲線C：--石=i（a>°，b>°）的左、右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)?過(guò)f2作C的一條漸近線的垂線，垂足為只若IpfJOp，則C的離心率為A.、5B.2C.*3D.迓_,b【解析】雙曲線C的漸近線方程為y=±ax，即bx土ay=0.abc??.點(diǎn)F2到漸近線的距離為d==b，即\PF\=b，y>a2+b22\OP\=■'\OF\2-\PF\2=Jc2-b2=a,22\PF1\=46\OP\=j6a，在Rt△在Rt△OPF2中，cosZPFO=2|PF|2IOFI2PF\2+IFFI2—IPFI2b2+4c2一6a2在Rt△FiPF2中，TOC\o"1-5"\h\zcosZ在Rt△FiPF2中，22IPFI?IFFI4bc2i2bb2+4c2一6a2=，化簡(jiǎn)得4c2一6a2=3b2，將b2=c2一a2代入其中得c2=3a2，c4bc

圖All【答案】C12?設(shè)a=I。％。3,b=log0.3，則2a圖All【答案】C12?設(shè)a=I。％。3,b=log0.3，則2a+b<ab<0a+b<0<abD.ab<0<a+b【解析】???log1<log0.3<log0.20<a<1.0.20.20.2???log20.3<log22,???b<-1.7叩叩=-+丄二log2+log0.2二log0.4<log0.3二1,ab<0,abab0.30.30.30.3綜上所述ab<a+b<0.答案】B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,力.若c〃(2a+b)，則X=1X1【解析】2a+b=(4,2),△-=-，解得X=2I-乙乙【答案】2

14.曲線y=(ax+l)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為-2，則a=.【解析】???y'=aex+(ax+1)e%=(ax+a+1)e%,.?.y'I二a+1=-2,.?.a=-3x=0【答案】-3n15.函數(shù)f(x)=cos3x+；在［0,n］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為k6丿解析】令(n)解析】令(n)cos3x+—k6丿nn=0，得3x+—=—+kn(kgZ)623k+19n(kgZ)18…0<n<n(kgZ)?9-3<k…0<n<n(kgZ)?9???函數(shù)f(x)=cos3x+在【0，n］內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】316.已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C：y2=4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，兩點(diǎn).若ZAMB=90。,則k=.【解析】令由題意可知，拋物線C的焦點(diǎn)為F(1,0)，直線AB的方程為y=k(x-1).［y=k(x-1)聯(lián)立］2外，得k2x2-2(2+k2)x+k2=0，Iy2=4x設(shè)A(x1,設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)則有x1+x24+2k2=4k2k2+2，xx=1，124?y1+y2yy=k2(?y1+y2yy=k2(x-1)(x-1)=-4121212k?M(-1,1)，?MA=(x1+1,y1-1)，MB=(x2+1,y2-1)?.?ZAMB=90,??.MA丄MB，44?MA?MB=(x1+1)(v1土人-1)(y2-1)=込-工+1=°，即k2+4k+4=o，解得k=2.【答案】2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17.(12分)等比數(shù)列｛a｝中，a=1,a=4a.n153求｛a｝的通項(xiàng)公式；n記S為｛a｝的前n項(xiàng)和.若S=63，求m.nnm【解析】(1)設(shè)｛a｝的公比為q，由題設(shè)得a=qn-i.nn由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)，q=—2或q=2.故a=(-2)n-1或a=2n-1.nn(2)若a=(—2)n-1，則S=1—(—2)n.由S=63得(—2)m=—188，此方程沒(méi)有正整數(shù)解.nn3m若a=2n-1，則S=2n—1.由S=63得2m=64，解得m=6.nnm綜上，m=6.18．(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人。第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：第…種生產(chǎn)方式第二種主產(chǎn)方式86556899762701223456689H776543328144521100g0(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由；(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過(guò)m不超過(guò)m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2(ad一be附：K2(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)P(K2三k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析】(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下：由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.(2)由莖葉圖知m(2)由莖葉圖知m二79+812二80.列聯(lián)表如下：超過(guò)m不超過(guò)m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)由于K2二律15；,5；：^二io>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有20x20x20x20差異.19.(12分)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C,D的點(diǎn)．證明：平面AMD丄平面BMC；當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.【解析】(1)由題設(shè)知，平面CMD□平面ABCD，父線為CD.因?yàn)锽C^CD，BCu平面ABCD，所以BC^平面CMD,故BCDDM.因?yàn)镸為CD上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM^CM.又BCCM=C,所以DM□平面BMC.而DMu平面AMD,故平面AMD□平面BMC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

當(dāng)三棱錐M當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，M為CD的中點(diǎn).由題設(shè)得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)AM=(—2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0)設(shè)n二（x,y,Z）是平面MAB的法向量，則n-AMn-AM二0,即Vn-AB二0.—2x+y+z=0,2y=0.可取（1，0,2）.DA是平面MCD的法向量,因此如",DA=nDAi手sin：n,DAj=所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是琴20.（12分）已知斜率為k的直線l與橢圓C：手+斗二1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（1,m）（m〉0）.IJ⑴證明：k<-.（2）設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且FP+FA+FB二0.證明：FA,FP,FB成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差．x2y2x2y2【解析】⑴設(shè)A"人）,叭y2），則丁+丁=1方+t=1y—y兩式相減，并由2=k得x—x12x+xy+y

由題設(shè)知p2=2=m，于是34m由題設(shè)得0<m<I,故k<—g.(2)由題意得F(I，0)，設(shè)P(x,y)，則33(x一1,y)+(x一1,y)+(x一1,y)=(0,0).

331122由(1)及題設(shè)得x=3—(x+x)=1,y=—(y+y)=—2m<0.31231233又點(diǎn)P在C上，所以m=4，從而P(1，—|)，1Fp\=-.于是IFA1=￥(xi—1)2+yj=(xi—1)2+3(1—丁)=2—--.同理|FB|=2所以丨FAI+1FB1=4—1(x+x)=3.故21FP1=1FAI+IFBI，即IFA1,1FP1,1FBI成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列的公差為〃，則21dI=IIFBI—IFA11=丄Ix—xI=丄J(x+x)2—4xx.口21221212將m=4代入□得k=—1._

71所以i的方程為y=—x+4，代入c的方程，并整理得7x2—14x+4=0.故x+x二2,xx二1，代入□解得IdI二322112122828所以該數(shù)列的公差為或—32r-21．(12分)已知函數(shù)f(x)=G+x+ax2)ln(1+x)—2x.(1)若a=0，證明：當(dāng)—1<x<0時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0；(2)若x=0是/(x)的極大值點(diǎn)，求a.解析】(1解析】(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x，f'(x)=ln(1+x)-xx設(shè)函數(shù)g(x)=廣(x)=ln(1+x)―，則gg(x)=.1+x(1+x)2當(dāng)-1<x<0時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0.故當(dāng)x>-1時(shí)，g(x)>g(0)=0，且僅當(dāng)x二0時(shí)，g(x)=0，從而f(x)>0，且僅當(dāng)x二0時(shí)，f(x)=0.所以f(x)在(-1,+s)單調(diào)遞增.又f(0)=0,故當(dāng)-1<x<0時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0.(2)(i)若a>0，由(1)知，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0)，這與x二0是f(x)的極大值點(diǎn)矛盾.(ii)若a<0，設(shè)函數(shù)h(x)==ln(1+x)一.2+x+ax22+x+ax2由于當(dāng)IxI<min{1,1-1}時(shí)，2+x+ax2>0,故h(x)與f(x)符號(hào)相同.Ial又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x=0是h(x)的極大值點(diǎn).12(2+x+ax2)-2x(1+2ax)x2(a2x2+4ax+6a+1)h(x)二二1+x(2+x+ax2)2(x+1)(ax2+x+2)2

如果6a+1>0,貝y當(dāng)o<x<6a+14a且如果6a+1>0,貝y當(dāng)o<x<6a+14a的極大值點(diǎn).如果6a+1<0,貝的極大值點(diǎn).如果6a+1<0,貝ya2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0故當(dāng)xG(X],0)Ixl<min{1,}時(shí),Ialh'(x)<0，所以x=0不是h(x)的極大值點(diǎn).如果6a+1=0，則h(x)=x3(x一24)(x+1)(x2-6x-12)2.則當(dāng)xG(-1,0)時(shí)，hh(x)>0；當(dāng)xG(0,1)時(shí),h'(x)<0.所以x=0是h(x)的極大值點(diǎn)，從而x=0是f(x)的極大值點(diǎn)綜上，a=-

二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)在平面直角坐標(biāo)系x°y中，0°的參數(shù)方程為［X=C°S,(9為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0,-v2)且傾斜角為Iy=sin9a的直線l與0O交于A,B兩點(diǎn).1)求a的取值范圍;2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程．解析】(1)O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2二1.當(dāng)a=時(shí)，1與°交于兩點(diǎn).O2兀,—\2當(dāng)a北懇時(shí)，記tana—k，則1的方程為y=kx-2.1與°交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)1|<1，2V1+k2解得k<—1或k>1，即ag（4,2）或aG（2，才）?綜上，a的取值范圍是(4,普).Ix=tcosa,兀⑵1的參數(shù)方程為|y一邁+1sina(t為參數(shù)，4w3兀)4)，t+t設(shè)A,B，p對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t，,，，則t—ABABPP2，且t,滿足12-2^2tsina+1=0.AB-Ix—tcosa,于是t+1=2\2sina，t=、：2sina.又點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）滿足1abpIy=-Q2+1sina.ip所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是1x=sin2a,2/兀3兀、（a為參數(shù)，一<a<）.邁邁宀為參數(shù)，44y=——cos2a2223．［選修4—5：不等式選講］(10分)設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x-1|.(1)畫(huà)出y=f(x)的圖像;(2)當(dāng)x丘［0,+8),f(X)Wax+b，求a+b的最小值.(2)由(1)知，y二f(x)的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a>3且b>2時(shí)，f(x)<ax+b在［0,+Q成立，因此a+b的最小值為5.2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)3卷、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={xIX—120},B={0,1,2},則AB=1.A.{0}B.{1}J{1,2}D.{0,1,2}2.(1+i)(2-i)=2.A.—3—iB.—3+iC.3—iD.3+i3.3.4.若sina=—3則cos2a4.若sina=—3則cos2a=L)C．C．D．5.6.(5.6.(2、5X2+2的展開(kāi)式中X4的系數(shù)為kX丿A．10B．20直線X+Y+2=0分別與X軸，Y軸交于A,值范圍是C．40D．80B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x-2匕+Y2=2上，則△人^尸面積的取A.[2,6〕B.[4,8〕C.卜運(yùn),3<2]D.[2<2,32]7.函數(shù)y=-x4+x2+2的圖像大致為8.某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為P，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4，P（X二4）<P（X二6），則p=A.A.0.7B.0.6C.0.4D.0.39.9.△ABC的內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，bc，若sc的面積為心產(chǎn)，則C二A.B.A.B.C.D.10.設(shè)A,B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，“ABC為等邊三角形且其面積為9朽，則三棱錐D-ABC體積的最大值為A.A.12*3B.18^3C.2413D.54朽O是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)F作C的一條漸211.設(shè)F，F(xiàn)是雙曲線C：=1（a>O是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)F作C的一條漸212a2b2近線的垂線，垂足為P.若IpfJ=“IopI，則C的離心率為A.啟B.2C./3設(shè)a=log0.3,b=log0.3，貝V0.22A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。TOC\o"1-5"\h\z已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,力.若c〃(2a+b)，則X=.曲線y=(ax+1)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為-2，則a=.15．函數(shù)f(x)=cosf3x+-］在〔0,n］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.k6丿16.已知點(diǎn)M(-1，1)和拋物線C：y2=4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若ZAMB=90。，貝卩k=.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17．(12分)等比數(shù)列｛a｝中，a=1，a=4a．n153求｛a｝的通項(xiàng)公式；n記S為｛a｝的前n項(xiàng)和.若S=63，求m.nnm18．(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人。第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：第…種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式865568^9762701223456689H77654332144521100◎01)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由；求40名工