2018年高考理科數學(3卷)答案詳解(附試卷)

第第頁共21頁???OD=2+4=6.???三棱錐D???三棱錐D-ABC體積的最大值為x2y211.設是雙曲線C：--石=i（a>°，b>°）的左、右焦點，。是坐標原點?過f2作C的一條漸近線的垂線，垂足為只若IpfJOp，則C的離心率為A.、5B.2C.*3D.迓_,b【解析】雙曲線C的漸近線方程為y=±ax，即bx土ay=0.abc??.點F2到漸近線的距離為d==b，即\PF\=b，y>a2+b22\OP\=■'\OF\2-\PF\2=Jc2-b2=a,22\PF1\=46\OP\=j6a，在Rt△在Rt△OPF2中，cosZPFO=2|PF|2IOFI2PF\2+IFFI2—IPFI2b2+4c2一6a2在Rt△FiPF2中，TOC\o"1-5"\h\zcosZ在Rt△FiPF2中，22IPFI?IFFI4bc2i2bb2+4c2一6a2=，化簡得4c2一6a2=3b2，將b2=c2一a2代入其中得c2=3a2，c4bc

圖All【答案】C12?設a=I。％。3,b=log0.3，則2a圖All【答案】C12?設a=I。％。3,b=log0.3，則2a+b<ab<0a+b<0<abD.ab<0<a+b【解析】???log1<log0.3<log0.20<a<1.0.20.20.2???log20.3<log22,???b<-1.7叩叩=-+丄二log2+log0.2二log0.4<log0.3二1,ab<0,abab0.30.30.30.3綜上所述ab<a+b<0.答案】B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,力.若c〃(2a+b)，則X=1X1【解析】2a+b=(4,2),△-=-，解得X=2I-乙乙【答案】2

14.曲線y=(ax+l)ex在點(0,1)處的切線的斜率為-2，則a=.【解析】???y'=aex+(ax+1)e%=(ax+a+1)e%,.?.y'I二a+1=-2,.?.a=-3x=0【答案】-3n15.函數f(x)=cos3x+；在［0,n］的零點個數為k6丿解析】令(n)解析】令(n)cos3x+—k6丿nn=0，得3x+—=—+kn(kgZ)623k+19n(kgZ)18…0<n<n(kgZ)?9-3<k…0<n<n(kgZ)?9???函數f(x)=cos3x+在【0，n］內有3個零點個數.【答案】316.已知點M(-1,1)和拋物線C：y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，兩點.若ZAMB=90。,則k=.【解析】令由題意可知，拋物線C的焦點為F(1,0)，直線AB的方程為y=k(x-1).［y=k(x-1)聯立］2外，得k2x2-2(2+k2)x+k2=0，Iy2=4x設A(x1,設A(x1,y1)B(x2,y2)則有x1+x24+2k2=4k2k2+2，xx=1，124?y1+y2yy=k2(?y1+y2yy=k2(x-1)(x-1)=-4121212k?M(-1,1)，?MA=(x1+1,y1-1)，MB=(x2+1,y2-1)?.?ZAMB=90,??.MA丄MB，44?MA?MB=(x1+1)(v1土人-1)(y2-1)=込-工+1=°，即k2+4k+4=o，解得k=2.【答案】2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。(一)必考題：共60分。17.(12分)等比數列｛a｝中，a=1,a=4a.n153求｛a｝的通項公式；n記S為｛a｝的前n項和.若S=63，求m.nnm【解析】(1)設｛a｝的公比為q，由題設得a=qn-i.nn由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)，q=—2或q=2.故a=(-2)n-1或a=2n-1.nn(2)若a=(—2)n-1，則S=1—(—2)n.由S=63得(—2)m=—188，此方程沒有正整數解.nn3m若a=2n-1，則S=2n—1.由S=63得2m=64，解得m=6.nnm綜上，m=6.18．(12分)某工廠為提高生產效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人。第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式.根據工人完成生產任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：第…種生產方式第二種主產方式86556899762701223456689H776543328144521100g0(1)根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；(2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m,并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表：超過m不超過m第一種生產方式第二種生產方式3)根據(2)中的列聯表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？附：K2(ad一be附：K2(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)P(K2三k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析】(1)第二種生產方式的效率更高.理由如下：由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘，用第二種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至多79分鐘.因此第二種生產方式的效率更高.由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85.5分鐘，用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73.5分鐘.因此第二種生產方式的效率更高.由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘，因此第二種生產方式的效率更高.由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少，因此第二種生產方式的效率更高.以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.(2)由莖葉圖知m(2)由莖葉圖知m二79+812二80.列聯表如下：超過m不超過m第一種生產方式155第二種生產方式515(3)由于K2二律15；,5；：^二io>6.635，所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有20x20x20x20差異.19.(12分)如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C,D的點．證明：平面AMD丄平面BMC；當三棱錐M-ABC體積最大時，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.【解析】(1)由題設知，平面CMD□平面ABCD，父線為CD.因為BC^CD，BCu平面ABCD，所以BC^平面CMD,故BCDDM.因為M為CD上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM^CM.又BCCM=C,所以DM□平面BMC.而DMu平面AMD,故平面AMD□平面BMC.(2)以D為坐標原點,DA的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.

當三棱錐M當三棱錐M-ABC體積最大時，M為CD的中點.由題設得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)AM=(—2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0)設n二（x,y,Z）是平面MAB的法向量，則n-AMn-AM二0,即Vn-AB二0.—2x+y+z=0,2y=0.可取（1，0,2）.DA是平面MCD的法向量,因此如",DA=nDAi手sin：n,DAj=所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是琴20.（12分）已知斜率為k的直線l與橢圓C：手+斗二1交于A，B兩點，線段AB的中點為M（1,m）（m〉0）.IJ⑴證明：k<-.（2）設F為C的右焦點，P為C上一點，且FP+FA+FB二0.證明：FA,FP,FB成等差數列,并求該數列的公差．x2y2x2y2【解析】⑴設A"人）,叭y2），則丁+丁=1方+t=1y—y兩式相減，并由2=k得x—x12x+xy+y

由題設知p2=2=m，于是34m由題設得0<m<I,故k<—g.(2)由題意得F(I，0)，設P(x,y)，則33(x一1,y)+(x一1,y)+(x一1,y)=(0,0).

331122由(1)及題設得x=3—(x+x)=1,y=—(y+y)=—2m<0.31231233又點P在C上，所以m=4，從而P(1，—|)，1Fp\=-.于是IFA1=￥(xi—1)2+yj=(xi—1)2+3(1—丁)=2—--.同理|FB|=2所以丨FAI+1FB1=4—1(x+x)=3.故21FP1=1FAI+IFBI，即IFA1,1FP1,1FBI成等差數列.設該數列的公差為〃，則21dI=IIFBI—IFA11=丄Ix—xI=丄J(x+x)2—4xx.口21221212將m=4代入□得k=—1._

71所以i的方程為y=—x+4，代入c的方程，并整理得7x2—14x+4=0.故x+x二2,xx二1，代入□解得IdI二322112122828所以該數列的公差為或—32r-21．(12分)已知函數f(x)=G+x+ax2)ln(1+x)—2x.(1)若a=0，證明：當—1<x<0時，f(x)<0；當x>0時，f(x)>0；(2)若x=0是/(x)的極大值點，求a.解析】(1解析】(1)當a=0時，f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x，f'(x)=ln(1+x)-xx設函數g(x)=廣(x)=ln(1+x)―，則gg(x)=.1+x(1+x)2當-1<x<0時，g'(x)<0；當x>0時，g'(x)>0.故當x>-1時，g(x)>g(0)=0，且僅當x二0時，g(x)=0，從而f(x)>0，且僅當x二0時，f(x)=0.所以f(x)在(-1,+s)單調遞增.又f(0)=0,故當-1<x<0時，f(x)<0；當x>0時，f(x)>0.(2)(i)若a>0，由(1)知，當x>0時，f(x)>(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0)，這與x二0是f(x)的極大值點矛盾.(ii)若a<0，設函數h(x)==ln(1+x)一.2+x+ax22+x+ax2由于當IxI<min{1,1-1}時，2+x+ax2>0,故h(x)與f(x)符號相同.Ial又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的極大值點當且僅當x=0是h(x)的極大值點.12(2+x+ax2)-2x(1+2ax)x2(a2x2+4ax+6a+1)h(x)二二1+x(2+x+ax2)2(x+1)(ax2+x+2)2

如果6a+1>0,貝y當o<x<6a+14a且如果6a+1>0,貝y當o<x<6a+14a的極大值點.如果6a+1<0,貝的極大值點.如果6a+1<0,貝ya2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0故當xG(X],0)Ixl<min{1,}時,Ialh'(x)<0，所以x=0不是h(x)的極大值點.如果6a+1=0，則h(x)=x3(x一24)(x+1)(x2-6x-12)2.則當xG(-1,0)時，hh(x)>0；當xG(0,1)時,h'(x)<0.所以x=0是h(x)的極大值點，從而x=0是f(x)的極大值點綜上，a=-

二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22．［選修4—4：坐標系與參數方程］(10分)在平面直角坐標系x°y中，0°的參數方程為［X=C°S,(9為參數)，過點(0,-v2)且傾斜角為Iy=sin9a的直線l與0O交于A,B兩點.1)求a的取值范圍;2)求AB中點P的軌跡的參數方程．解析】(1)O的直角坐標方程為x2+y2二1.當a=時，1與°交于兩點.O2兀,—\2當a北懇時，記tana—k，則1的方程為y=kx-2.1與°交于兩點當且僅當1|<1，2V1+k2解得k<—1或k>1，即ag（4,2）或aG（2，才）?綜上，a的取值范圍是(4,普).Ix=tcosa,兀⑵1的參數方程為|y一邁+1sina(t為參數，4w3兀)4)，t+t設A,B，p對應的參數分別為t，,，，則t—ABABPP2，且t,滿足12-2^2tsina+1=0.AB-Ix—tcosa,于是t+1=2\2sina，t=、：2sina.又點P的坐標（x，y）滿足1abpIy=-Q2+1sina.ip所以點P的軌跡的參數方程是1x=sin2a,2/兀3兀、（a為參數，一<a<）.邁邁宀為參數，44y=——cos2a2223．［選修4—5：不等式選講］(10分)設函數f（x）=|2x+1|+|x-1|.(1)畫出y=f(x)的圖像;(2)當x丘［0,+8),f(X)Wax+b，求a+b的最小值.(2)由(1)知，y二f(x)的圖像與y軸交點的縱坐標為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當且僅當a>3且b>2時，f(x)<ax+b在［0,+Q成立，因此a+b的最小值為5.2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數學3卷、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={xIX—120},B={0,1,2},則AB=1.A.{0}B.{1}J{1,2}D.{0,1,2}2.(1+i)(2-i)=2.A.—3—iB.—3+iC.3—iD.3+i3.3.4.若sina=—3則cos2a4.若sina=—3則cos2a=L)C．C．D．5.6.(5.6.(2、5X2+2的展開式中X4的系數為kX丿A．10B．20直線X+Y+2=0分別與X軸，Y軸交于A,值范圍是C．40D．80B兩點，點P在圓(x-2匕+Y2=2上，則△人^尸面積的取A.[2,6〕B.[4,8〕C.卜運,3<2]D.[2<2,32]7.函數y=-x4+x2+2的圖像大致為8.某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為P，各成員的支付方式相互獨立，設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，DX=2.4，P（X二4）<P（X二6），則p=A.A.0.7B.0.6C.0.4D.0.39.9.△ABC的內角A,B，C的對邊分別為a，bc，若sc的面積為心產，則C二A.B.A.B.C.D.10.設A,B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，“ABC為等邊三角形且其面積為9朽，則三棱錐D-ABC體積的最大值為A.A.12*3B.18^3C.2413D.54朽O是坐標原點.過F作C的一條漸211.設F，F是雙曲線C：=1（a>O是坐標原點.過F作C的一條漸212a2b2近線的垂線，垂足為P.若IpfJ=“IopI，則C的離心率為A.啟B.2C./3設a=log0.3,b=log0.3，貝V0.22A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。TOC\o"1-5"\h\z已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,力.若c〃(2a+b)，則X=.曲線y=(ax+1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為-2，則a=.15．函數f(x)=cosf3x+-］在〔0,n］的零點個數為.k6丿16.已知點M(-1，1)和拋物線C：y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點.若ZAMB=90。，貝卩k=.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。(一)必考題：共60分。17．(12分)等比數列｛a｝中，a=1，a=4a．n153求｛a｝的通項公式；n記S為｛a｝的前n項和.若S=63，求m.nnm18．(12分)某工廠為提高生產效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人。第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式.根據工人完成生產任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：第…種生產方式第二種生產方式865568^9762701223456689H77654332144521100◎01)根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；求40名工