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2018年數(shù)學(xué)試題文(全國卷3)一、選擇題(本題共12小題,每小題5分,共60分?在每小題給的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求的?)1.已知集合a={x1x-1三0},B={o,1,2},則AdB=()A.{o}B.{1}C.{1,2}D.{o,1,2}2-(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來,構(gòu)件的凸出部分叫棒頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是棒頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是cos2a=))BC“4.若cos2a=))BC“4.若sina=3,7-9B.若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的TOC\o"1-5"\h\z概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7函數(shù)f(x)=匹的最小正周期為()1+tan2xA.巴B.巴C.“D.2“42下列函數(shù)中,其圖像與函數(shù)y=inx的圖像關(guān)于直線x=1對稱的是(A.y=in(1-x)B.y=in(2-x)Cy=in(1+x)D,y=in(2+x)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2匕+y2=2上,則AABP積的取值范圍是()TOC\o"1-5"\h\zA.[2,6]B[4,8]C?卜2,3V2]D-[2^2,3V2]9.函數(shù)y=_x4+x2+2的圖像大致為()已知雙曲線C:蘭_22=1(a〉0,b〉0)的離心率為込,則點(diǎn)(4,0)到C的a2b2漸近線的距離為()A?込B-2C-疸D-2運(yùn)2AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c-若AABC的面積為a+b2_C,4則c=()A-巴B-更C-巴D-12346設(shè)a,b,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn),AABC為等邊三角形且其面積為久3,則三棱錐D_ABC體積的最大值為()A-12方B-18爲(wèi)C-24爲(wèi)D-54^3二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)已知向量a=(1,2),b=(2,_2),c=(1,力?若c〃(2a+b),則九二--某公司有大量客戶,且不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異-為了解客戶的評價,該公司準(zhǔn)進(jìn)行抽樣調(diào)查,可供選擇的抽樣方法有簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣,則最合適的抽樣方法是2x+y+3三0,?若變量x,y滿足約束條件Jx_2y+4三0,則z=x+丄y的最大值是x一2W0.'-已知函數(shù)f(x)=InC1_x2_x)+1,f(a)=4,則f(_a)=三、解答題(共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟,第17~31題為必考題,每個試考生都必須作答,第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.)(一)必考題:共60分。17.(12分)等比數(shù)列{a}中,a=1,a=4a-n153⑴求{a}的通項(xiàng)公式;n⑵記s為{a}的前n項(xiàng)和?若S=63,求m-nnm18.(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:⑴根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;⑵求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:超過m不超過m一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式⑶根據(jù)⑵中的列表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?
附:n(ad附:n(ad-be匕(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819?(12分)如圖,矩形abCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直,m是仙上異于C,d的點(diǎn).⑴證明:平面AMD丄平面BMC;⑵在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC//平面PBD?說明理由.?(12分)知斜率為k的直線1與橢圓CX2+蘭=1交于A,B兩點(diǎn)?線段AB的中點(diǎn)為°43(1,m)(m〉0)-證明:k<-丄;2設(shè)f為c的右焦點(diǎn),p為c上一點(diǎn),且FP+FA+FB=0?證明:2FP=FA+FB?.(12分)知函數(shù)f(x)=ax2+x—1?ex求由線y=f(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程;證明:當(dāng)a21時,f(x)+e20?二)選考題:共10分,請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按做的第一題計分.?[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)
23.[選修4—5:不等式選講](10分)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|?⑴畫出y=f(x)的圖像;⑵當(dāng)x£[0+),f(x)wax+b,求a+b的最小值.參考答案一、選擇題答案:C解答:TA二{xIx-1>0}二{xIx>1},B二{0,1,2},?:Ap|B二{1,2}?故選C.答案:D解答:(1+i)(2-i)二2+i-i2二3+i,選D.答案:A解答:根據(jù)題意,A選項(xiàng)符號題意;答案:B解答:cos2a=1—2sin2a=1——=7.故選B.99答案:B解答:由題意p=1-0.45-0.15=0.4?故選B.答案:C???f???f(x)的周期T=竺=兀2sinxtanxf(x)-1+tan2xcosxsinxcosx.1._===sinxcosx=sin2xfsin2xsin2x+cos2x21+cos2x故選C7?答案:B解答:f(x)關(guān)于x=i對稱,則f(x)=f(2-x)=ln(2-x)?故選B?8?答案:A解答:由直線x+y+2=0得A(—2,0),B(0,-2),-IAB1*22+22二2邁,圓(x-2)2+y2=2的圓心為(2,0),?:圓心到直線x+y+2二0的距離為三+三=2邁,???點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離的取值范圍為敘+12邁-邁<d<2、遼+^2,即空2<d<3邁,?:S=丄丨ABI?dg[2,6]?AABP29?答案:D解答:當(dāng)x二0時,y=2,可以排除A、B選項(xiàng);又因?yàn)閥,=-4x3+2x=-4x(x+¥)(x-呂),則f'(x)>0的解集為Y,-2)u(0,込,f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為yJ和(o,込;廣(x)<02222的解集為(-2,0)U(2,+8),f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,0),(至,+8)?2222結(jié)合圖象,可知D選項(xiàng)正確?10?答案:D解答:由題意e二C二邁,則b二1,故漸近線方程為x土y=0,則點(diǎn)(4,0)到漸aa近線的距離為d=匕期=2^2?故選D.11?答案:C解答:nnnS二a2+加—c2二型竺C二1abcosC,乂S=1absinC,故tanC=1,AABC442AABC2C=L.故選C.412?答案:B解答:如圖,AABC為等邊三角形,點(diǎn)O為A,B,C,D外接球的球心,G為AABC的重心,由S=9\3,得AB=6,取BC的中點(diǎn)H,??AH=AB-sin60°=3\'3,…AG――AH—2J3,aabc3???球心O到面ABC的距離為d-$42—(2朽)2-2,?:三棱錐D-ABC體積最大值V—-x9爲(wèi)x(2+4)—18屈?D-ABC3二、填空題13?答案:12解答:2a+b—(4,2),丁c//(2a+b),?:1x2—入x4—0,解得入—1?14?答案:分層抽樣解答:由題意,不同齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異,故采取分層抽樣法.15?答案:3解答:由圖可知在直線x-2y+4-0和x-2的交點(diǎn)(2,3)處取得最大值,故z-2+1x3-3?316?答案:—2解答:f(—x)—ln(1+x2+x)+1(xeR)f(x)+f(—x)—lnG-1+x2—x)+1+ln(J1+x2+x)+1—ln(1+x2—x2)+2—2,?:f(a)+f(—a)—2,?:f(—a)——2?三、解答題17?答案:(1)a—2n—1或a—(—2)n—1;(2)6?解答:(1)設(shè)數(shù)列{a}的公比為q,?:q2=a=4,?:q=±2?na3??a=2n-i?或a=(—2)n—1?nn(2)由(1)知,S==2n—1或S=1+(—2)n=][1—(—2)n],n1—2n1+23?:S=2m—1=63或S=1[1—(—2)m]=63(舍),mm3?m=6.18.解答:第一種生產(chǎn)方式的平均數(shù)為x1=84,第二種生產(chǎn)方式平均數(shù)為7=74.7?2x>r,所以第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時間大于第二種…??第二12種生產(chǎn)方式的效率更高.由莖葉圖數(shù)據(jù)得到m=80,?列聯(lián)表為n(ad—be)40(15x15—5x5)2K2===10>6.635(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)20x20x20x20,e?有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.19.解答:(1)???正方形ABCD丄半圓面CMD,?:AD丄半圓面CMD,?:AD丄平面MCD??CM在平面MCD內(nèi),???AD丄CM,乂?M是半圓弧CD上異于C,D的點(diǎn),?:CM丄MD?乂?AD^DM=D,?:CM丄平面ADM,?CM在平面BCM內(nèi),平面BCM丄平面ADM?(2)線段AM上存在點(diǎn)P且P為AM中點(diǎn),證明如下:連接BD,AC交于點(diǎn)O,連接PD,PB,PO;在矩形ABCD中,O是AC中點(diǎn),P是AM的中點(diǎn);「?OP//MC,???OP在平面PDB內(nèi),MC不在平面PDB內(nèi),二MC//平面PDB.20.解答:(1)設(shè)直線1方程為y=kx+1,設(shè)A(x,y),B(x,y),1122y=kx+1<x2y2聯(lián)立消y得(4k2+3)x2+8ktx+4t2-12=0,——^―=1TOC\o"1-5"\h\zI43則A=64k212-4(412-12)(3+4k2)>0,得4k2+3>12…①,且-8kt,6t,且x+x==2,y+y=k(x+x)+2t==2m,123+4k21^2'1/3+4k2?m>0,?:t>0且k<0?由①②得4k2+3>(3+4k2)2,16k2?k>或k<-?22k<0,…k<—?2(2)FP+Fa+FB=0,FP+2FM=0,???M(1m),F(xiàn)(1,0),?:P的坐標(biāo)為(1,-2m)?由于P在橢圓上,23.23.兩式相減可得匸£=-3.f,x-x4y+y1212又x+x=2,y+y=,…k=-1,12122直線/方程為y-1=-(x-1),消去y得28x2-56x+1=0,x=1,2IFAI+1FBI=J(x-1)2+y2+J(x-1)2+y2=3,*11*221FPI=(I-I)2+(-—-°)2=,??-1FAI+1FBi=21FPI.21.ex解答:(1)由題意:f(x)=a2+x-1ex(2ax+1)ex-(ax2+x-1)ex-ax2+2ax-x+2(ex)2J(ex)2???廣(0)=2=2,即曲線y=f(x)在點(diǎn)(o,-1)處的切線斜率為2,?:y-(一1)=2(x-0),艮卩2x-y-1=0;2)證明:由題意:原不等式等價于:2)證明:由題意:原不等式等價于:ex+1+ax2+x-1>0恒成立;令g(x)=ex+1+ax2+x-1,??g'(x)=ex+1+2ax+1,g〃(x)=ex+1+2a,?a>1,…g〃(x)>0恒成立,…g'(x)在(-也+Q上單調(diào)遞增,?g/(x)在(-8,+Q上存在唯一x使g/(x)=0,00??ex0+1+2ax+1=0,即ex0+1=-2ax-1,且g(x)在(x)上單調(diào)遞減,在(x,+Q0000上單調(diào)遞增,.Ig(x)>g(x)?0
又g(x)=exo^i+ax2+x—1=ax2+(1—2a)x—2=(ax+l)(x—2),0000000gr(—丄)=e1—a—1,?a>1,…0<e1—a—1<e—1,…x<——,…g(x)>0,得a0a0證.綜上所述:當(dāng)a>1時,f(x)+e>0-22.解答:(l)?O的參數(shù)方程為Ix二co號,????O的普通方程為x2+y2=1,當(dāng)[y=sin0a=90°時,直線:l:x=0與0O有兩個父點(diǎn),當(dāng)az90°時,設(shè)直線l的方程為y=xtana—,由直線l與OO有兩個交點(diǎn)有學(xué)0-Q<1,得tan2a>1,?1+tan2atana>1或tana<—1,?:45°<a<90°或90°<a<135°,綜上ae(45°,135°)-(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)a=90°時,點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,0),當(dāng)a豐90°時,設(shè)直線l的方程為y=kx-邁,A(x,y),B(x,y),?Ix2+*=L①有1122Iy=kx-近②2j2k?x+x=121+k2y1+y2-2%''21+k2x=1+k2-近2j2k?x
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