小學奧數 整除問題

小學數學整除問題一、相關概念對于整數a和不為零的整數13,如果2除以b的商是整數且沒有余數，我們就說a能被b整除，b能整除a。a就是b的倍數，b是a的約數。0是任何自然數的倍數，1是任何整數的約數二、一些數的整除特征被2整除的特征：數的個位上是0、2、4、6、8（即是偶數）被3、9整除的特征：數的各數位上的數字和是3或9的倍數被5整除的特征：數的個位上是0、5被4、25整除的特征：數的末兩位是4或25的倍數被8、125整除的特征：數的末三位是8或125的倍數被11整除的特征：數的奇數位上的數字和與偶數位上的數字和，兩者的差是11的倍數被7、11、13整除的特征：數的末三位與末三位以前的數字所組成的數，兩者的差是7、11、13的倍數一個整數既能被2整除又能被3整除，那這個數就能被6整除一個整數既能被2整除又能被5整除，那這個數就能被10整一個整數既能被3整除又能被5整除，那這個數就能被15整除三、整除的應用（一）簡單應用題型例1,期末考試六年級某班數學平均分是90分，總分是□95□，這個班有多少名學生？解析：總分二平均分義人數，即□95□是90的倍數，而90=2X5X9,□95□也應為2、5、9的倍數，根據相關數的整除特征，B5口的個位數一定是0,而□+9+5+0的和也一定是9的倍數，所以千位上的口一定是4,總分一定是4950,學生人數=4950:90=55（人）例2．一位馬虎的采購員買了36套桌椅，，洗衣服時將購貨發(fā)票洗爛了，只能依稀看到：36套桌椅，單價：D3.□□元，總價：1D24.5□元。你能幫忙算出單價和總價嗎？解析：先不考慮小數點.總價=單價X數量，即1D245□應是36的倍數，而36=4*9,1口245□也應為4、9的倍數，根據相關數的整除特征，5□應為4的倍數，即個位上的□只能是2或6,同時，1+口+2+4+5+□應是9的倍數.如果個位上取2,那么百位上的□應是4,1424.52^36=39.57,與題不符所以個位上只能取6,那么百位上的□應是0或9,如果是0,1024.56?36=28.46，與題不符.所以總價應為1924.56元，單價=1924.56：36=53.46元例3.水果店運來蘋果和桔子共六筐,分別重15,16,18,19,20,31千克,兩天已賣出其中五筐.賣出的五筐中蘋果是桔子重量的2倍.剩下一筐是哪筐?解析:因為五筐中蘋果是桔子重量的2倍,說明這五筐的總重量應是3的倍數.六筐的總重量是15+16+18+19+20+31=119千克，119：3=39…2,由于其中5筐總重量是3的倍數,除以3沒有余數,也就是說剩下的那筐重量除以3后,余數是2.在六筐中,20除以3的余數是2,所以,剩下那筐重20千克.例4.希望小學有11個興趣小組,各小組人數如下表:組別鋼琴手風琴古箏攝影足球乒乓球二胡繪畫書法聲樂舞蹈人數6791519161925213530一天下午,學校同時舉辦寫作、數學兩個講座，已知有10個小組去聽講座，其中叫寫作講座的人數是聽數學講座人數的6倍，還剩下一個小組在討論問題，這一組是哪個小組？解析：由“其中叫寫作講座的人數是聽數學講座人數的6倍”可知：聽講座的人數一定是7的倍數，除以7肯定沒有余數，而總人數除以7必得一余數，再看表中哪組人數除以7得到的余數，與上面那個余數相同，該組就是去參加討論的那組例5．小兵和小亮兩人做一種輪流報數的游戲。規(guī)則是：每個人報出的數不能超過8，也不是0，把兩人報出的數加起來，誰報數后加起來是100，誰就獲勝。小亮先報，并且第一次都報1，以后不管小兵報幾，最后小亮準贏。這是為什么？請說明理由？解析：因為小亮總是先報1，那么剩下的和就只能是99，又因每次報的數在0至8之間，99：9=11,沒有余數，不管小兵報幾，小亮就報9減去小兵報的數的差，這樣，加起來是100的數一定是小亮報，所以小亮準贏。（二）復雜應用題型例1．在1至100的整數中，能被2整除或能被3整除的整數共有多少個？解析：由于100：2=50,能被2整除的有50個100：3=33、、、1,能被3整除的有33個以上這些數中，包括了既能被2整除也能被3整除，即能被6整除的數，共有100：6=16、、、4,有16個，是重復計數的，要扣除所以，符合題目要求的數有50+33-16=67個例2．從1、3、5、7、、、、97、99中最多可以選出幾個數，使它們當中的每一個數都不能另一個數的倍數。解析：題中全部是奇數，在考慮倍數時，首先把數字1排除，最小的倍數應是3倍由于3X33=99,3X35=105超過99,因此從35開始，以后每一個奇數都不可能是另一個數的倍數，1—99有50個奇數，1—33有17個奇數,所以最多可以選出50-17=33個數,使它們當的任一個數都不會是另一數的倍數。例3．在1、2、3、、、29、30這30個數中,最多可能取出多少個數,使取出的這些數中,任意兩個不同的數的和都不是7的倍數。解析：我們把這30個數按照除以7的余數分組，分別有整除、余1、余2、、、余6這七組，每組中的數分別有4個，5個、5個、4個、4個、4個、4個，要想和不是7的倍數，整除的這組只能取一個；取了余1這組的一個數，就不能從余6這組再取，取了余2這組中的數，就不能從余5這組中取數，取了余3這組中的數就不能再從余4組中取數。要想取的數最多，我們可以把余1、余2、余3中的數全部取出來，再從整除組中取一個，即符合題目要求，共可取5+5+4+1=15個例3．某住宅區(qū)有12家住房，他們的門牌號分別是1、2、3、、、、12，他們的電話號碼依次是12個連續(xù)的六位自然數，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除。已知這些電話號碼的首位數字都小于6，并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除。這一家的電話號碼是多少解析：兩個整數甲和乙，如果甲能被乙整除，那么甲與乙的差仍能被乙整除。由于每家電話號碼能被門牌號整除，所以電話號碼與門牌號的差也能被門牌號整除。電話號碼是12個連續(xù)的自然數，門牌號也是1、2、3、、、12這12個連續(xù)的自然數，每家的電話號碼與門牌號的差是同一個整數。它能被1、2、3、、、12這12個數整除，因此它是1、2、3、、、12這12個數最小公倍數的倍數，即27720的倍數，可以寫成：27720義某個整數。門牌號是9的這一家，電話號碼是：27720義某個整數+9。因為它能被13整除，9除以13的余數是9,那么27720義某個整數除以13的余數應該是4,而27720=13X2132+4,27720義某個整數二(13X2132+4)*某個整數，說明4義某個整數除以13的余數是4,那么某個整數除以13的余數應該是1，這樣的整數可能是1、14、27、、、、由于這家的電話號碼首位小于6,經嘗試，27720X14+9=388089符合題意.所以,這家電話號碼是388089例4．如果各位數字都是1的某個整數能被33333整除,那么這個整數中的1的個數最少有多少個。解析：33333=3X11111,說明這個數既能被3整除，也能被11111整除能被3整除,說明這個數中1的個數應該是3的倍數個能被11111整除,說明這個數中的1的個數應該是5的倍數個即這個數中1的個數應該是15的倍數個,所以,最少有15個1例5.41位數55、、、55口99、、、99(5和9分別有20個)能被7整除,中間方格代表的數是幾？解析：牢記111111=3X7X11X13X37,所以555555=5X111111,999999=9X111111,這兩個數肯定能被7整除。這樣18個5和18個9分別組成的數也能被7整除。原式二555、5500、、00（18個5和23個0）+55口99+99、、99（18個9）上面三個數中，第一個和第三個能被7整除，由于原數能被7整數，所以中間一個數55口99肯定也能被7整除把55口99拆成兩個數的和：55A00+B99,其中□二A+B因為55300能被7整數，399能被7整數，所以口=3+3=6后記：除了要牢記111111=3X7X11X13X37,還要牢記1001=3X11X13,在解題中很有用的。例6.甲、乙兩人進行下面的游戲。兩人先約定一個整數N,然后由甲開始，輪流把0、1、2、、、、9這10個數字之一填入□□□□□□的任一格中，每一方格只填一個數字，數字可以重復，填滿后就形成了一個六位數。如果這個六位數能被N整除，就算乙勝；如果不能，就算甲勝。假設N小于15,那么當N取哪幾個數時，乙才能取勝。解析：由于甲先取，N如果是偶數，只要甲在最右邊方格中放入一個奇數，就能使這個六位數不能被N整除，乙不能獲勝。如果N=5,甲可以在最右邊方格中填入一個不為0或5的數，乙也不能獲勝。如果N=1,隨便怎么取，乙必勝；如果N=3或9,乙在放入最后一個數時,總能把這6個數之和湊成3的倍數或9的倍數,乙也能勝；如果N=7、11、13時。我們注意到1001=3X11X13,舉個例子1001*123=123123,我們把格子從左到右配好對了，第1格和第4格，第2格和第5格，第3格和第6個配對，甲在任意一對格子中放入一個數,乙就在這對格子的另一個格子中放入同樣的數,那樣這六位數肯定能被1001整除,也就能被7整除,乙獲勝。所以，當N=1、3、7、9、11、13時，乙才能獲勝例7.一個四位數AB12加上9能被9整除，加上8能被8整數,求滿足條件的最大數。解析：如果整數甲和乙,能被丙整除,那么甲和乙的和或差也能被丙整除四位數人812加上9能被9整除，說明四位數人812也能被9整除,即是9的倍數四位數AB12加上8能被8整數，說明四位數AB12也能被8整數,即是8的倍數根據被8整除特征，四位數中的末三位812能被8整除，8可能是1、4、5、7、9根據被9整除特征,各個數字和是9的倍數,即A+B+1+2=A+B是39的倍數，當B=1、3、5、7、9時，對應地A=5、3、1、8、6要想這四位數最大，A=8,B=7符合要求。例8．4名同學做加法練習：任寫一個六位數，把它的個位數字(不為0)拿到這個數的最左邊得到一個新的六位數，然后與原六位數相加，它們的得數分別是172536、568741、620708、845267。結果中哪一個可能是正確的，為什么？解析：仔細分析，原六位數與新六位數對比，發(fā)現，其中五位數字是相同的，另一個數字是位置不同。假設原六位數的個位數是X,去掉個位數后的五位數是Y,那么原六位數可以表示為：10Y+X,新六位數可以表示為：100000X+Y。這樣這兩個數的和就是：10Y+X+100000X+Y=100001X+11Y=11X(9091X+Y),這個得數應該是11的倍數，根據被11整除的特征，很容易找到只有620708是正確的。例9．從0、1、4、7、9中選出4個數字，可組成若干個四位數，把其中