解三角形知識點

《必修五》解三角形知識點歸納一、正弦定理正弦定理：文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.符號語言：特點：對稱美、和諧美（一）理解定理1、正弦定理：在△中，【在這個式子當中，已知兩邊和一角或已知兩角和一邊，可以求出其它所有的邊和角，從而知正弦定理的基本作用是進行三角形中的邊角互化】2、正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如角化邊②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如3、常用公式及其結論⑴正弦定理包含三個等式，，每一個等式中都包含四個量，可以“知三求一”(2)三內角和為即，(3)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊(4)面積公式：⑸三角函數(shù)的恒等變形：，，，，，，⑹⑺角化邊:⑻邊化角:⑼在△中，①若，則△是等腰三角形或直角三角形;②若，則△是等腰三角形;③若或，則△是直角三角形.⑽在△ABC中，（二）題型：使用正弦定理解三角形共有三種題型題型1：利用正弦定理公式原型解三角形題型2：利用正弦定理公式的變形(邊角互化)解三角形：關于邊或角的齊次式可以直接邊角互化.例如：題型3：三角形解的個數(shù)的討論方法一：畫圖看結論：△中，已知銳角，邊，則①時，無解；②或時，有一個解；③時，有兩個解;方法二：通過正弦定理解三角形，利用三角形內角和與三邊的不等關系檢驗解出的結果是否符合實際意義，從而確定解的個數(shù).（三）三角形內角平分線定理：△中，是的角平分線，則我們知道，當一個三角形已知任意兩角和一邊時，根據(jù)全等三角形的判定定理可以得知這個三角形就是唯一確定的,也就是可解的.先由三角形內角和定理求出第三個角，再由正弦定理計算另兩邊.另外，一個三角形的三邊之間必須滿足：任意兩邊之和大于第三步且任意兩邊之差小于第三邊.當已知一個三角形的三邊時，已知的三條邊必須滿足上面的條件才能夠作出三角形.否則作不出三角形，當然也無法解三角形.從上面的探討可以得知，已知三角形的三邊要解三角形時，必須滿足三邊關系，解三角形才有意義.當已知三邊時，連續(xù)利用余弦定理的推論求出較小邊的對角，再用三角形內角和求出第三個角.如果已知三角形的兩邊及其夾角，那么根據(jù)三角形的判定定理我們知道這個三角形是唯一確定的，也就是可解的.我們可以利用余弦定理計算第三邊，用余弦定理的推論或正弦定理計算其余兩個角.如果已知任意兩邊及其中一邊的對角如何來解三角形呢？我們先看下面的例題：例題：已知：在△中，解三角形.解：∴根據(jù)正弦定理，得∴，或∴或【師】：問題出在哪里呢？【生】：分析已知條件，我們注意到，是一個鈍角，根據(jù)三角形的性質應該有,因而也是一個鈍角.而在一個三角形中是不可能存在兩個鈍角的.【師】：從上面的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形.【結論】：（1）如果已知的角是鈍角或直角，那么必須才能夠有解，這時從計算角時，只能夠取銳角的值，因此只有一個解.（2）如果已知的角是銳角，并且或，這時從計算角時，也只能取銳角的值，因此都只有一個解.（3）如果已知的角是銳角，并且，這時從計算角時，我們可以分下面三種情形來討論①如果，這時從計算得，可以取一個銳角的值和一個鈍角的值，因此可以有兩個解.②如果，這時從計算得，只能夠取一個直角的值，因此只有一個解.③如果，這時從計算得，由于一個角的正弦值不可能大于1，因此沒有解.如：①已知,求(有一個解);②已知,求(有兩個解)二、余弦定理（一）知識與工具：余弦定理：（二）題型:使用余弦定理解三角形共有三種現(xiàn)象的題型題型1:利用余弦定理公式的原型解三角形題型2:利用余弦定理公式的變形(邊角互換)解三角形：凡在同一式子中既有角又有邊的題，要將所有角轉化成邊或所有邊轉化成角，在轉化過程中需要構造公式形式。題型3:判斷三角形的形狀結論：根據(jù)余弦定理，當、、中有一個關系式成立時，該三角形為鈍角三角形，而當中有一種關系式成立時，所對的角是銳角，但并不能得出該三角形為銳角三角形的結論.當中有一種關系式成立時，則該三角形為直角三角形.判斷三角形形狀的方法：(1)將已知式所有的邊和角轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀.(2)將已知式所有的邊和角轉化為內角三角函數(shù)間的關系，通過三角恒等變形，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，這時要注意使用這個結論.特別要注意：在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取出公因式，以免漏解.（三）正余弦定理的應用正余弦定理在實際中的應用求距離兩點間不可通又不可視兩點間可視但不可達兩點都不可達求高度底部可達底部不可達題型1計算高度題型2計算距離題型3計算角度題型4測量方案的設計實際應用題型的本質就是解三角形，無論是什么樣的現(xiàn)象，都要首先畫出三角形的模型，再通過正弦定理和余弦定理進行求解.（四）常見結論1、三角形內切圓的半徑：，