對(duì)面積曲面積分2課件

二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則對(duì)D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件是：函數(shù)(要求是單連通域)2)求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡化計(jì)算,若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;1)計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑;當(dāng)常數(shù)時(shí),常用格林公式計(jì)算二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件設(shè)D是單連通域,在1三、二元函數(shù)的全微分求積定理３.

設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則函數(shù)若則稱u(x,y)

為P(x,y)dx+Q(x,y)dy的原函數(shù)

.求u(x,y)的過程,叫做二元函數(shù)的全微分求積.在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的充要條件是：證:(必要性)設(shè)則所以三、二元函數(shù)的全微分求積定理３.設(shè)D是單連通域,在D2證:(充分性)因?yàn)橛汣.B.A.同理可證所以證:(充分性)因?yàn)橛汣.B.A.同理可證所以3另證:(充分性)因?yàn)楣视泴?duì)x求導(dǎo)不方便,對(duì)y求導(dǎo)方便,且所以另證:(充分性)因?yàn)楣视泴?duì)x求導(dǎo)不方便,對(duì)y求導(dǎo)方便,4定理設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下五個(gè)條件等價(jià):在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即(5)力在D內(nèi)是保守力定理設(shè)D是單連通域,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(15及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為取定點(diǎn)可用通過第二類曲線積分的方法求得

u(x,y)二元函數(shù)的全微分求積簡單情況下提倡用湊微分的方法湊出u(x,y)及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為取定點(diǎn)可用通過第二類曲線積分的方法求得u6一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法§11.4對(duì)面積的曲面積分

第十一章

一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)7一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例:設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度類似求平面薄板質(zhì)量的思想,采用可得求質(zhì)

“分割,近似,求(近似)和,(取)極限”

的方法,量M.其中,表示n

小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).另外按微元法,所以這就是我們下面要講的…Σ一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例:設(shè)曲面形構(gòu)件具有8定義:設(shè)為光滑曲面,“乘積都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在上的一個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對(duì)做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對(duì)面積函數(shù),叫做積分曲面.的和式極限”定義:設(shè)為光滑曲面,“乘積都存在,的曲面積分其中f9對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長的曲線積分性質(zhì)類似(7+1).（k為常數(shù))(Σ

由組成)(S為曲面Σ

的面積)(5)若f≤g則,(中值定理,其中)(f

在Σ上連續(xù)).對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長的曲線積分性質(zhì)類似(7+1).（k10性質(zhì)8.(對(duì)稱性的應(yīng)用)

若f(x,y,z)為關(guān)于x(或y,z)的連續(xù)奇函數(shù),即=0請看P246總習(xí)題十一2一卦限中的部分,則有().請看P181總習(xí)題十1且Σ關(guān)于面yoz(或xoz面,xoy面)對(duì)稱則:性質(zhì)8.(對(duì)稱性的應(yīng)用)若f(x,y,11定理:

設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法則曲面積分證明:(略)(Σ在xoy面投影)實(shí)際是換元法:三換定理:設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù)12說明:1)如果曲面方程為2)如果曲面方程為說明:1)如果曲面方程為2)如果曲面方程為13例1.計(jì)算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:例1.計(jì)算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:14思考:若是球面被平行平面z=±h

截出的上下兩部分,則思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下兩部分15例2.計(jì)算其中是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.解:

設(shè)上的部分,則與

原式=分別表示在平面例2.計(jì)算其中是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.解16例3.

設(shè)計(jì)算解:

錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在xoy面上的投影域?yàn)閯t(其他部分為零)例3.設(shè)計(jì)算解:錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間17對(duì)面積曲面積分2課件18例4.求半徑為R

的均勻半球殼的質(zhì)心坐標(biāo).解:

設(shè)的方程為利用對(duì)稱性可知質(zhì)心的坐標(biāo)而S在xoy面上的投影==所以則質(zhì)心坐標(biāo)為(0,0,)例4.求半徑為R的均勻半球殼的質(zhì)心坐標(biāo).解:19例5.計(jì)算其中是球面利用對(duì)稱性可知解:

顯然球心為半徑為利用質(zhì)心公式例5.計(jì)算其中是球面利用對(duì)稱性可知解:顯然球心為20內(nèi)容小結(jié)1.定義:2.計(jì)算:設(shè)則(曲面的其他兩種情況類似)

注意利用對(duì)稱性、形心公式簡化計(jì)算的技巧.內(nèi)容小結(jié)1.定義:2.計(jì)算:設(shè)則(曲面的其他兩種情況21作業(yè)

P2194(3);5(2);6(1),(3),(4);8作業(yè)P2194(3);5(2);22思考與練習(xí)P219題1；3；4(1);7解答提示:P219題1.P219題3.

設(shè)則思考與練習(xí)P219題1；3；4(1);7解答23P219題4(1).在

xoy

面上的投影域?yàn)檫@是的面積!P219題4(1).在xoy面上的投影域?yàn)檫@是24P220題7.

如圖所示,有P220題7.如圖所示,有25二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則對(duì)D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件是：函數(shù)(要求是單連通域)2)求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡化計(jì)算,若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;1)計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑;當(dāng)常數(shù)時(shí),常用格林公式計(jì)算二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件設(shè)D是單連通域,在26三、二元函數(shù)的全微分求積定理３.

設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則函數(shù)若則稱u(x,y)

為P(x,y)dx+Q(x,y)dy的原函數(shù)

.求u(x,y)的過程,叫做二元函數(shù)的全微分求積.在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的充要條件是：證:(必要性)設(shè)則所以三、二元函數(shù)的全微分求積定理３.設(shè)D是單連通域,在D27證:(充分性)因?yàn)橛汣.B.A.同理可證所以證:(充分性)因?yàn)橛汣.B.A.同理可證所以28另證:(充分性)因?yàn)楣视泴?duì)x求導(dǎo)不方便,對(duì)y求導(dǎo)方便,且所以另證:(充分性)因?yàn)楣视泴?duì)x求導(dǎo)不方便,對(duì)y求導(dǎo)方便,29定理設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下五個(gè)條件等價(jià):在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即(5)力在D內(nèi)是保守力定理設(shè)D是單連通域,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(130及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為取定點(diǎn)可用通過第二類曲線積分的方法求得

u(x,y)二元函數(shù)的全微分求積簡單情況下提倡用湊微分的方法湊出u(x,y)及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為取定點(diǎn)可用通過第二類曲線積分的方法求得u31一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法§11.4對(duì)面積的曲面積分

第十一章

一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)32一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例:設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度類似求平面薄板質(zhì)量的思想,采用可得求質(zhì)

“分割,近似,求(近似)和,(取)極限”

的方法,量M.其中,表示n

小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).另外按微元法,所以這就是我們下面要講的…Σ一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例:設(shè)曲面形構(gòu)件具有33定義:設(shè)為光滑曲面,“乘積都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在上的一個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對(duì)做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對(duì)面積函數(shù),叫做積分曲面.的和式極限”定義:設(shè)為光滑曲面,“乘積都存在,的曲面積分其中f34對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長的曲線積分性質(zhì)類似(7+1).（k為常數(shù))(Σ

由組成)(S為曲面Σ

的面積)(5)若f≤g則,(中值定理,其中)(f

在Σ上連續(xù)).對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長的曲線積分性質(zhì)類似(7+1).（k35性質(zhì)8.(對(duì)稱性的應(yīng)用)

若f(x,y,z)為關(guān)于x(或y,z)的連續(xù)奇函數(shù),即=0請看P246總習(xí)題十一2一卦限中的部分,則有().請看P181總習(xí)題十1且Σ關(guān)于面yoz(或xoz面,xoy面)對(duì)稱則:性質(zhì)8.(對(duì)稱性的應(yīng)用)若f(x,y,36定理:

設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法則曲面積分證明:(略)(Σ在xoy面投影)實(shí)際是換元法:三換定理:設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù)37說明:1)如果曲面方程為2)如果曲面方程為說明:1)如果曲面方程為2)如果曲面方程為38例1.計(jì)算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:例1.計(jì)算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:39思考:若是球面被平行平面z=±h

截出的上下兩部分,則思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下兩部分40例2.計(jì)算其中是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.解:

設(shè)上的部分,則與

原式=分別表示在平面例2.計(jì)算其中是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.解41例3.

設(shè)計(jì)算解:

錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在xoy面上的投影域?yàn)閯t(其他部分為零)例3.設(shè)計(jì)算解:錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間42對(duì)面積曲面積分2課件43例4.求半徑為R

的均勻半球殼的質(zhì)心坐標(biāo).解