山西省太原市2022~2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

山西省太原市2022~2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A B. C. D.【詳解】由得：，所以，由得：，所以，所以.故選：C2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【詳解】由得故選：D3.已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，滿，，則點(diǎn)依次是的（）A.重心，外心 B.內(nèi)心，外心 C.重心，內(nèi)心 D.垂心，外心【詳解】解：設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以，三點(diǎn)共線，即在的中線，同理可得在的三條中線上，即為的重心；因?yàn)?，所以，點(diǎn)為的外接圓圓心，即為的外心綜上，點(diǎn)依次是的重心，外心.故選：A4.從2007年10月24日18時(shí)05分，我國(guó)首顆繞月人造衛(wèi)星“嫦娥一號(hào)”成功發(fā)射以來(lái)，中國(guó)航天葆有穩(wěn)步前進(jìn)的力量，標(biāo)志著中國(guó)人一步一步將“上九天纜月”的神話變?yōu)榱爽F(xiàn)實(shí)，月球距離地球大約38萬(wàn)千米，有人說(shuō)，在理想狀態(tài)下，將一張厚度約為0.1毫米的紙對(duì)折次，其厚度就可以超過(guò)月球與地球之間的距離，那么至少對(duì)折的次數(shù)是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.41 B.42 C.43 D.44【詳解】解：由題知，第一次對(duì)折后紙張的厚度為毫米，第二次對(duì)折后紙張的厚度為毫米，第三次次對(duì)折后紙張的厚度為毫米，……所以，第次對(duì)折后紙張的厚度為毫米，因?yàn)?8萬(wàn)千米為毫米，所以，，所以兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，即，解得，所以，至少對(duì)折的次數(shù)是次.故選：B5.已知，則（）A. B. C. D.【詳解】.故選：A.6.已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【詳解】對(duì)于A，由，則設(shè)，當(dāng)時(shí)，也是符合條件的，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則直線與的位置是平行或異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，則存在，，由，則，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，當(dāng)時(shí)，且，也可推出，故D錯(cuò)誤，故選：C7.已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【詳解】解：由題知函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)為偶函數(shù)，所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，所以又因?yàn)?，，所以，所以，由函?shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)可得，所以故選：D8.若曲線和y＝x2＋mx＋1有公切線，則實(shí)數(shù)m＝（）A. B. C.1 D.－1【詳解】設(shè)，則，曲線與切線相切于，則切線方程為：①因?yàn)榍芯€與y＝x2＋mx＋1②相切，聯(lián)立①②：x2＋mx＋1=，所以，所以，所以，則有，解得，故選：A二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A.是等差數(shù)列 B.C. D.有最大值【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合，故，所以，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差，A正確；，B正確；因?yàn)楣?，所以?shù)列是遞減數(shù)列，所以，C錯(cuò)誤；，易知當(dāng)或時(shí)，有最大值，D錯(cuò)誤.故選：AB10.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.有最小值 B.有最小值C. D.【詳解】由，則，對(duì)于A，由，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為，故B正確；對(duì)于C，令，當(dāng)時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，則令，易知該函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，則不等式成立，故D正確.故選：BD.11.已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以因?yàn)椋遥驗(yàn)?，所以，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；、所以，，所以，，即，故B選項(xiàng)正確；所以，因?yàn)?，所以，所以，所以令，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，所以，，因?yàn)?，所以，即，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC12.已知四棱錐S－ABCD的底面是矩形，，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面SAD⊥平面SABB.BC⊥平面SABC.直線SC與平面ABCD所成角的正弦值為D.四棱錐S－ABCD外接球的表面積為13【詳解】如圖所示：因?yàn)槭蔷匦?，所以又因，，平面，所以平面，而平面SAB，所以平面SAD⊥平面SAB，A正確；因?yàn)橛捎嘞叶ɡ砜芍?，而，所以與所成夾角的余弦值為，所以BC與平面SAB不垂直，B錯(cuò)誤；作，垂足為，連接，因平面，平面，所以，而，平面，所以平面，平面，所以，，所以，，則，，在Rt中，，所以，即直線SC與平面ABCD所成角的正弦值為，C正確；作矩形的中心，連接，，設(shè)外接球球心為，作平面ABCD，且，作，垂足為，易知，連接，，易知，因?yàn)?，，故，，①，②由①②解得：，，所以四棱錐S－ABCD外接球的表面積，D正確.故選：ACD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，若，則實(shí)數(shù)________．【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)樗?，即，解得所以，?shí)數(shù).故答案為：14.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則________．【詳解】解：因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，所以，即，所以，等比數(shù)列的公比為，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以

故答案為：15.已知函數(shù)的最小正周期為T，若，且當(dāng)時(shí)，取得最小值1，則________．【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)）的最小正周期為T，若，所以，解得，因?yàn)闀r(shí)，取得最小值1，所以，，所以，，因?yàn)樗裕?，即，所以故答案為?6.已知定義在上的函數(shù)滿足，且是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為________．【詳解】解：令，則因?yàn)?，即，所以，即函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋砸驗(yàn)榭勺冃螢?，即，因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，或，即或，所以，不等式的解集為故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.已知集合，，且．（1）若命題“”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（1）解：因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，且，所以，，解得，因?yàn)槊}“”為真命題，所以，所以，解得，所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)解：由（1）知，，，所以，因?yàn)椋?，或，解得或，所以，?shí)數(shù)a的取值范圍是18.已知是偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）求不等式的解集．（1）由題意，，則，解得.(2)由（1）可知，則，整理為，，，，，，解得，即.19.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）記分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且，的中線，求面積的最大值．（1）由，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)因?yàn)?，可得，因?yàn)?，所以即，由及可得，，所以所以即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，所以，故面積的最大值為.20.已知數(shù)列中，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）因?yàn)椋?，即?shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，則，即.(2)，則故，，兩式作差可得：，即,則.即數(shù)列的前n項(xiàng)和.21.如圖，PO是三棱錐P－ABC的高，點(diǎn)D是PB的中點(diǎn)，．（1）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知，證明另一個(gè)條件成立；（2）若，OB平分，PB＝5，PO＝3，在（1）的條件下，求平面PAB與平面PAC夾角的余弦值．條件①：OD//平面PAC；條件②．（1）選擇①：OD//平面PAC，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，如下所示：因?yàn)?/面面，面面，故//，在△中，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，故可得為的中點(diǎn)；又，故可得;因?yàn)槊?，面，則，故△，則；選擇②：，取中點(diǎn)為，連接如下所示：因?yàn)槊?，面，則，又，故△，則；在△中，又為中點(diǎn)，故可得，又，則//面面，故//面；在△中，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，故//，又面面，故//面；又面，故面//面，又面，故可得//面.(2)選擇①：OD//平面PAC，由（1）所證可得：；選擇②：，由（1）所證可得：OD//平面PAC，故不論（1）中選擇哪個(gè)條件，都會(huì)有，且OD//平面PAC.連接，取中點(diǎn)為，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作與平行的直線為軸，以分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：在△中，，又，易得，在△中，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得，取，則，則；設(shè)平面的法向量為，則，即，解得，取，則，；故，設(shè)平面PAB與平面PAC的夾角為，則，即平面PAB與平面PAC的夾角的余弦值為.22.已知函數(shù)，是非零常數(shù)．（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍；（2）設(shè)，且滿足，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)．（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，在上恒成立，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，故，與在上恒成立矛盾，所以，的取值范圍為(2)解：令得，所以，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，存在，使得，即，所以，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)