線性代數(shù)：22 矩陣的運算與概念課件

2.2矩陣的運算與概念，這個表就稱為矩陣.a11

a12

a1nb1a21

a22

a2nb2am1

am2

amnbm這些有序數(shù)組可以構成一個表

在某些問題中，存在若干個具有相同長度的有序數(shù)組.比如線性方程組的每個方程對應一個有序數(shù)組：a11x1+a12x2++a1nxn

=b1a21x1+a22x2++a2nxn

=b2am1x1+am2x2++amnxn

=bm

2.1矩陣的概念說明2點：矩陣的行數(shù)與列數(shù)不一定相同，而行列式兩者必須相同.矩陣是一個數(shù)表，而行列式是一個數(shù)值.2.2矩陣的運算與概念，這個表就稱為矩陣.a11a11其中

aij稱為矩陣的第

i行第

j列的元素.

一般情況下，我們用大寫字母

A，B，C等表示矩陣.mn矩陣A簡記為

A(aij)mn

或記作

Amn.a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amn定義1

由

mn個數(shù)

aij(i1,2,,m；j1,2,,n)排成一個

m行

n列的矩形表稱為一個

mn矩陣，記作其中aij稱為矩陣的第i行第j列的元素.a11什么是矩陣？黑客帝國3Thematrixrevolution什么是矩陣？黑客帝國3機器帝國集結了烏賊大軍攻打真實世界僅存的人類城市－錫安城，錫安城內(nèi)的人類拼死抵抗，但最后仍是兵敗如山倒；另一方面，電腦人史密斯進化成為更高等的電腦病毒，幾乎占領了整個矩陣（Matrix），甚至包括了“矩陣之母”－先知。經(jīng)過與先知密談的救世主尼奧進入機器城市，與矩陣的造物主達成停戰(zhàn)協(xié)議。代價是尼奧必須進入矩陣，刪除叛逃異變的強大病毒—史密斯。機器帝國集結了烏賊大軍攻打真實世界僅存的人類城市－錫安城，錫零矩陣

所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記為O.行矩陣與列矩陣

只有一行的矩陣稱為行矩陣，只有一列的矩陣稱為列矩陣.常用小寫黑體字母

a，b，x，y等表示.例如a=(a1

a2

an)，b1b2bm

b=.負矩陣-a11

-a12

-a1n-a21

-a22

-a2n-am1

-am2

-amn稱矩陣為A的負矩陣,記作–A.零矩陣a=(a1a2an)，b1bb11b21bn10b22bn200bnnB=.A=.a11a12a1n

0a22a2n

00ann

如下形式的

n

階矩陣稱為上三角矩陣.三角矩陣

如下形式的

n

階矩陣稱為下三角矩陣.方陣

若矩陣

A的行數(shù)與列數(shù)都等于

n，則稱

A為

n階矩陣，或稱為

n階方陣.b1100B=.A=.a11a12a110

00a22000annA=.對角矩陣

如下形式的n

階矩陣稱為對角矩陣.

對角矩陣可簡單地記為A=diag(a11,a22,,ann).

單位矩陣(Identitymatrix)

如下形式的n

階矩陣稱為單位矩陣，記為En

或E.10

0010001E=.a1100A=2.2矩陣的運算定義1

設A與B為兩個mn矩陣ABa11+b11

a12+b12

a1n+b1na21+b21

a22+b22

a2n+b2nam1+bm1

am2+bm2

amn+bmn=.a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=，b11

b12

b1nb21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=，

A與B對應位置元素相加得到的mn矩陣稱為矩陣A與B的和，記為AB.即C=A+B.1.矩陣的加法

2.2矩陣的運算定義1設A與B為兩個mn矩陣

設A,B,C都是mn矩陣.容易證明，矩陣的加法滿足如下運算規(guī)律：

（1）交換律：

A+B=B+A;（2）結合律：(A+B)+C=A+(B+C);

（3）A+O=A，其中O是與A同型的零矩陣;

矩陣的減法可定義為:

顯然：若A=B，則A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，則A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是與A同型的零矩陣.

設A,B,C都是mn矩陣.容易證明，矩陣的加法滿足如a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=，

定義2

設A(aij)為mn矩陣則以數(shù)k乘矩陣A的每一個元素所得到的mn矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的積，記為kA.即ka11

ka12

ka1n

ka21

ka22

ka2n

kam1

kam2

kamnkA=.2.數(shù)與矩陣的乘法a11a12a1n(5)

k(AB)kAkB；(6)(kl)AkAlA

；(7)(kl)Ak(lA)；(8)1A=A.

設A，B，C，O都是mn矩陣，k，l為常數(shù)，則矩陣數(shù)乘的性質(zhì)性質(zhì)(1)-(8)，稱為矩陣線性運算的8條性質(zhì)，須熟記.(5)k(AB)kAkB；設A，B，

例1．設357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，求3A-2B.

解：3A-2B

357

22043012

3=3132

02157064

8-2264

04210140128

16-91521

66012

9036

9

=.7917

62-22

-50-9-2

-7=9-215-621-4

6-06-40-212-10

9-140-03-126-8

9-16

=例1．設3572204X

=?*(B-A)例2．已知357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，且A+2X=B，求X.解：X=?*(B-A)例2．已知357某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000=1800020200+50100+30150+251803.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.1800018150=1815020180+50120+30160+251503.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.180001815016750=1675020190+50100+30140+251503.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000181501675010480=1048016200+20100+16150+161803.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.1800018150167501048010240=1024016180+20120+16160+161503.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000181501675010480102409680=968016190+20100+16140+161503.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000

定義3

設A是一個ms矩陣，B是一個sn矩陣：構成的mn矩陣C稱為矩陣A與矩陣B的積，記為CAB.

則由元素

cijai1b1jai2b2j

aisbsj(i1,2,,m；j1,2,,n)

a11

a12

a1sa21

a22

a2sam1

am2

amsA=，b11

b12

b1nb21

b22

b2nbs1

bs2

bsnB=，c11

c12

c1nc21

c22

c2ncm1

cm2

cmnAB=.即3.矩陣的乘法

定義3設A是一個ms矩陣，B是一個s

cijai1b1jai2b2j

aisbsj(i1,2,,m；j1,2,,n).

a11

a12

a1sa21

a22

a2sam1

am2

amsb11

b12

b1nb21

b22

b2nbs1

bs2

bsnc11

c12

c1nc21

c22

c2ncm1

cm2

cmn=

ai1b1jai2b2j

aisbsj.(ai1

ai2

ais

)b1jb2jbsj

注：

A的列數(shù)等于B的行數(shù)，AB才有意義;

C的行數(shù)等于A的行數(shù)，列數(shù)等于B的列數(shù).

因此，cij

可表示為A的第i行與B的第

j列的乘積.cij3.矩陣的乘法

cijai1b1jai2b2j矩陣乘法AB

：1.條件：前列=后行

2.結果：前行×后列

反例．設B=.

1-2-32-10A=

，010

-112151-2-32-10則AB=

010

-11215=無意義.m×

kk×

n相等m×n矩陣乘法AB：1.條件：前列=后行反B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法B=，求AB及

例6．設A=

，4-2-21B=

，求AB及BA.

4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.例6．設A=，4-2-21

例4．設A=

，4-2-21B=

，求AB及BA.

4

2-6-3AB=解：-32

-16168，BA=0

000B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.注2：矩陣乘法一般不滿足交換律，即ABBA;注3：兩個非零矩陣相乘，乘積可能是零矩陣，但不能從AB=O，推出A=O或B=O

.注意：左乘右乘的不同例4．設A=，4-2-211110

例5．設A=

，B=

，求AB及BA.

2110

解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=顯然AB=BA

.定義：如果兩矩陣A與B相乘，有AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換.1110例5．設A=，B=顯然AC=BC，但AB.

例6．設注4：矩陣乘法不滿足消去律.顯然AC=BC，但AB.例6．設注4：例8.100000001設A=則AA=100000001100000001100000001==A.顯然AA=A，但AE，AO

.

例7．

對于任意矩陣A及相應的矩陣O，E，有AO=O，

OA=O；AE=A，

EA=A，EE=E.例8.1000000a11x1+a12x2+…+a1nxn

=

b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bsb=b1

b2

…bs

a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………as1

as2…asnA=Ax=b

x=x1

x2

…xn

例9.

線性方程組的矩陣表示（矩陣方程）a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1b=b應注意的問題(1)ABBA

；(3)AB=OA=O或B=O；

/(2)AC=BCA=B；

/矩陣乘法的性質(zhì)(4)AA=AA=E或A=O.

/(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).應注意的問題(1)ABBA；(3)AB=OA=O或B4.方陣的冪

對于方陣A及自然數(shù)k

Ak=AA

A(k個A相乘)，稱為方陣A的k次冪.

方陣的冪有下列性質(zhì)：

(1)ArAs=Ar+s；

(2)

(Ar)s=Ars.問題：(A+B)2=?問題：(A+B)2=?②(A

B)2=A2

AB

BA

+B2

注:①(A+B)2

=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2

③

(A+B)(A

B)=A2

AB

+BA

B2

②(AB)2=A2ABBA+B2

定義4

將mn矩陣A的行與列互換，得到的nm矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A.即如果a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=則.

例如，設x=(x1

x2

xn)T，y=(y1

y2

yn)T，則(y1

y2

yn)xyTx1x2xn

==x1y1x2y1…xny1

x1y2x2y2…xny2

x1ynx2yn…xnyn

…………

.5.轉(zhuǎn)置矩陣及對稱方陣顯然，ET＝E.定義4將mn矩陣A的行與列互換，得到的nm矩轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)

(1)(AT)T=A；

(2)(A+B)T=AT+BT；

(3)(kA)T=kAT；a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=則.

定義4

將mn矩陣A的行與列互換，得到的nm矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A.即如果

(4)(AB)T=BTAT

.5.轉(zhuǎn)置矩陣及對稱方陣轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)a11a12a1n…A=，a11a21a

定義5

設A

為n階方陣，若AT=A，則稱A為對稱矩陣，如果AT=-A，則稱A為反對稱矩陣.分別是三階對稱矩陣和三階反對稱矩陣.顯然：A為對稱矩陣的充分必要條件是aij=aji

;

A為反對稱矩陣的充分必要條件是

aij=-aji.如：定義5設A為n階方陣，若AT=A，則稱A為對稱矩定義6

設A是n階方陣，由A的元素構成的n階行列式稱為方陣A的行列式，記為|A|或detA

.性質(zhì)：設A、B為n階方陣，k為數(shù)，則(1)|A|=|AT|;(3)|AB|=|A||B|.(2)|kA|=kn|A|;6.方陣的行列式顯然，|E|=1.一般地，若A1,A2,…Ak都是n階方陣，則

顯然

定義6設A是n階方陣，由A的元素構成的n階行列式A——方陣

f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0

f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E

f(x)——多項式

注意!!!

定義7.

方陣A的多項式

6.方陣的行列式A——方陣f(x)=asxs+as1xs1例10．設

求解:

因為由公式

則若先求得

同樣

例10．設求解:因為由公式則若先求得同樣例11．設

A，B均為四階方陣，且.

計算.解

由方陣的行列式的運算規(guī)律，

例11．設A，B均為四階方陣，且.2．設

A,B都是2階方陣，且｜A｜=2，B=-3E，則

|ATB|=().

1．設

A是3階方陣，且｜A｜=－2，則｜A2｜=()|2A|=(),|－A|=().

4-16218練習2．設A,B都是2階方陣，且｜A｜=2，B=-3E，1．設作業(yè)：77頁3(1)；4(2)(5)；

5；6;7;8

作業(yè)：77頁3(1)；4(2)(5)；2.2矩陣的運算與概念，這個表就稱為矩陣.a11

a12

a1nb1a21

a22

a2nb2am1

am2

amnbm這些有序數(shù)組可以構成一個表

在某些問題中，存在若干個具有相同長度的有序數(shù)組.比如線性方程組的每個方程對應一個有序數(shù)組：a11x1+a12x2++a1nxn

=b1a21x1+a22x2++a2nxn

=b2am1x1+am2x2++amnxn

=bm

2.1矩陣的概念說明2點：矩陣的行數(shù)與列數(shù)不一定相同，而行列式兩者必須相同.矩陣是一個數(shù)表，而行列式是一個數(shù)值.2.2矩陣的運算與概念，這個表就稱為矩陣.a11a148其中

aij稱為矩陣的第

i行第

j列的元素.

一般情況下，我們用大寫字母

A，B，C等表示矩陣.mn矩陣A簡記為

A(aij)mn

或記作

Amn.a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amn定義1

由

mn個數(shù)

aij(i1,2,,m；j1,2,,n)排成一個

m行

n列的矩形表稱為一個

mn矩陣，記作其中aij稱為矩陣的第i行第j列的元素.a11什么是矩陣？黑客帝國3Thematrixrevolution什么是矩陣？黑客帝國3機器帝國集結了烏賊大軍攻打真實世界僅存的人類城市－錫安城，錫安城內(nèi)的人類拼死抵抗，但最后仍是兵敗如山倒；另一方面，電腦人史密斯進化成為更高等的電腦病毒，幾乎占領了整個矩陣（Matrix），甚至包括了“矩陣之母”－先知。經(jīng)過與先知密談的救世主尼奧進入機器城市，與矩陣的造物主達成停戰(zhàn)協(xié)議。代價是尼奧必須進入矩陣，刪除叛逃異變的強大病毒—史密斯。機器帝國集結了烏賊大軍攻打真實世界僅存的人類城市－錫安城，錫零矩陣

所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記為O.行矩陣與列矩陣

只有一行的矩陣稱為行矩陣，只有一列的矩陣稱為列矩陣.常用小寫黑體字母

a，b，x，y等表示.例如a=(a1

a2

an)，b1b2bm

b=.負矩陣-a11

-a12

-a1n-a21

-a22

-a2n-am1

-am2

-amn稱矩陣為A的負矩陣,記作–A.零矩陣a=(a1a2an)，b1bb11b21bn10b22bn200bnnB=.A=.a11a12a1n

0a22a2n

00ann

如下形式的

n

階矩陣稱為上三角矩陣.三角矩陣

如下形式的

n

階矩陣稱為下三角矩陣.方陣

若矩陣

A的行數(shù)與列數(shù)都等于

n，則稱

A為

n階矩陣，或稱為

n階方陣.b1100B=.A=.a11a12a110

00a22000annA=.對角矩陣

如下形式的n

階矩陣稱為對角矩陣.

對角矩陣可簡單地記為A=diag(a11,a22,,ann).

單位矩陣(Identitymatrix)

如下形式的n

階矩陣稱為單位矩陣，記為En

或E.10

0010001E=.a1100A=2.2矩陣的運算定義1

設A與B為兩個mn矩陣ABa11+b11

a12+b12

a1n+b1na21+b21

a22+b22

a2n+b2nam1+bm1

am2+bm2

amn+bmn=.a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=，b11

b12

b1nb21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=，

A與B對應位置元素相加得到的mn矩陣稱為矩陣A與B的和，記為AB.即C=A+B.1.矩陣的加法

2.2矩陣的運算定義1設A與B為兩個mn矩陣

設A,B,C都是mn矩陣.容易證明，矩陣的加法滿足如下運算規(guī)律：

（1）交換律：

A+B=B+A;（2）結合律：(A+B)+C=A+(B+C);

（3）A+O=A，其中O是與A同型的零矩陣;

矩陣的減法可定義為:

顯然：若A=B，則A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，則A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是與A同型的零矩陣.

設A,B,C都是mn矩陣.容易證明，矩陣的加法滿足如a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=，

定義2

設A(aij)為mn矩陣則以數(shù)k乘矩陣A的每一個元素所得到的mn矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的積，記為kA.即ka11

ka12

ka1n

ka21

ka22

ka2n

kam1

kam2

kamnkA=.2.數(shù)與矩陣的乘法a11a12a1n(5)

k(AB)kAkB；(6)(kl)AkAlA

；(7)(kl)Ak(lA)；(8)1A=A.

設A，B，C，O都是mn矩陣，k，l為常數(shù)，則矩陣數(shù)乘的性質(zhì)性質(zhì)(1)-(8)，稱為矩陣線性運算的8條性質(zhì)，須熟記.(5)k(AB)kAkB；設A，B，

例1．設357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，求3A-2B.

解：3A-2B

357

22043012

3=3132

02157064

8-2264

04210140128

16-91521

66012

9036

9

=.7917

62-22

-50-9-2

-7=9-215-621-4

6-06-40-212-10

9-140-03-126-8

9-16

=例1．設3572204X

=?*(B-A)例2．已知357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，且A+2X=B，求X.解：X=?*(B-A)例2．已知357某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000=1800020200+50100+30150+251803.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.1800018150=1815020180+50120+30160+251503.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.180001815016750=1675020190+50100+30140+251503.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000181501675010480=1048016200+20100+16150+161803.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.1800018150167501048010240=1024016180+20120+16160+161503.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000181501675010480102409680=968016190+20100+16140+161503.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000

定義3

設A是一個ms矩陣，B是一個sn矩陣：構成的mn矩陣C稱為矩陣A與矩陣B的積，記為CAB.

則由元素

cijai1b1jai2b2j

aisbsj(i1,2,,m；j1,2,,n)

a11

a12

a1sa21

a22

a2sam1

am2

amsA=，b11

b12

b1nb21

b22

b2nbs1

bs2

bsnB=，c11

c12

c1nc21

c22

c2ncm1

cm2

cmnAB=.即3.矩陣的乘法

定義3設A是一個ms矩陣，B是一個s

cijai1b1jai2b2j

aisbsj(i1,2,,m；j1,2,,n).

a11

a12

a1sa21

a22

a2sam1

am2

amsb11

b12

b1nb21

b22

b2nbs1

bs2

bsnc11

c12

c1nc21

c22

c2ncm1

cm2

cmn=

ai1b1jai2b2j

aisbsj.(ai1

ai2

ais

)b1jb2jbsj

注：

A的列數(shù)等于B的行數(shù)，AB才有意義;

C的行數(shù)等于A的行數(shù)，列數(shù)等于B的列數(shù).

因此，cij

可表示為A的第i行與B的第

j列的乘積.cij3.矩陣的乘法

cijai1b1jai2b2j矩陣乘法AB

：1.條件：前列=后行

2.結果：前行×后列

反例．設B=.

1-2-32-10A=

，010

-112151-2-32-10則AB=

010

-11215=無意義.m×

kk×

n相等m×n矩陣乘法AB：1.條件：前列=后行反B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法B=，求AB及

例6．設A=

，4-2-21B=

，求AB及BA.

4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.例6．設A=，4-2-21

例4．設A=

，4-2-21B=

，求AB及BA.

4

2-6-3AB=解：-32

-16168，BA=0

000B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.注2：矩陣乘法一般不滿足交換律，即ABBA;注3：兩個非零矩陣相乘，乘積可能是零矩陣，但不能從AB=O，推出A=O或B=O

.注意：左乘右乘的不同例4．設A=，4-2-211110

例5．設A=

，B=

，求AB及BA.

2110

解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=顯然AB=BA

.定義：如果兩矩陣A與B相乘，有AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換.1110例5．設A=，B=顯然AC=BC，但AB.

例6．設注4：矩陣乘法不滿足消去律.顯然AC=BC，但AB.例6．設注4：例8.100000001設A=則AA=100000001100000001100000001==A.顯然AA=A，但AE，AO

.

例7．

對于任意矩陣A及相應的矩陣O，E，有AO=O，

OA=O；AE=A，

EA=A，EE=E.例8.1000000a11x1+a12x2+…+a1nxn

=

b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bsb=b1

b2

…bs

a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………as1

as2…asnA=Ax=b

x=x1

x2

…xn

例9.

線性方程組的矩陣表示（矩陣方程）a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1b=b應注意的問題(1)ABBA

；(3)AB=OA=O或B=O；

/(2)AC=BCA=B；

/矩陣乘法的性質(zhì)(4)A