線性代數(shù)12矩陣的運算(崔麗鴻)課件

矩陣的運算

矩陣的運算

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在這一講，我們重點介紹矩陣的運算1.2.1矩陣的加法1.2.2矩陣的數(shù)乘在這一講，我們重點介紹矩陣的運算1.2.1矩陣的加為了討論矩陣的運算，先給出同型矩陣與矩陣相等的概念：1.兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣.2.兩個矩陣與為同型矩陣，并且對應元素相等，即

則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B.例如：與為同型矩陣.為了討論矩陣的運算，先給出同型矩陣與矩陣相等的概念：1.兩個【例1.2】設解:已知A=B,求x,y,z.【例1.2】設解:已知A=B,求x,y,z.4那么這四位同學在這兩天的總餐費花銷可以表示為如果引例1.1中：某宿舍四位同學在星期一和星期二的餐費花銷用矩陣表示為仍是一個矩陣，其中的數(shù)就是A1和A2中對應的數(shù)相加那么這四位同學在這兩天的總餐費花銷可以表示為如果引例1.1中51.2.1矩陣的加法定義1.2（矩陣的加法）

設兩個同型矩陣與定義則稱為A與B的和.1.2.1矩陣的加法定義1.2（矩陣的加法）設兩個同型矩1.只有同型矩陣才能相加，其結果與原來矩陣同型.例如：注1.只有同型矩陣才能相加，其結果與原來矩陣同型.例如：注交換律結合律其他矩陣加法的運算規(guī)律設A、B、C是同型矩陣設矩陣A=(aij)，記－A=(－aij)，稱為矩陣A的負矩陣．顯然交換律結合律其他矩陣加法的運算規(guī)律設A、B、C是同型矩陣1.2.2矩陣的數(shù)乘那么這四位同學新的餐費花銷表就可以表示為引例1（續(xù)）：如果引例1中的宿舍每位同學都在星期一改善伙食，把三餐費用提高1.2倍，仍是一個矩陣，其中的元素就是A1中的每個數(shù)乘以1.2

1.2.2矩陣的數(shù)乘那么這四位同學新的餐費花銷表引例1（定義1.3（矩陣的數(shù)乘）

設是一個矩陣，k是一個數(shù)定義則稱為數(shù)k與A的乘積，簡稱為矩陣的數(shù)乘.定義1.3（矩陣的數(shù)乘）設是一個矩陣，k是一個數(shù)定義則稱例如：一個n階數(shù)量陣例如：一個n階數(shù)量陣結合律分配律其他數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.A,B是同型矩陣，是數(shù)結合律分配律其他數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，12引例1.1中的矩陣甲乙丙丁早中晚a1,b1,c1:第2個周一提高餐費的倍數(shù)a2,b2,c2:第3個周一提高餐費的倍數(shù)早中晚1.2.3矩陣的乘法餐費提高后的矩陣引例1.1中的矩陣甲早中晚a1,b1,c1:第2個周一提1.2.3矩陣的乘法定義1.2（矩陣的乘法）

設兩個矩陣與定義則稱矩陣為A與B的乘積.其中記為1.2.3矩陣的乘法定義1.2（矩陣的乘法）設兩個矩陣與【例1.3】計算下列矩陣的乘積【例1.4】【例1.3】計算下列矩陣的乘積【例1.4】【例1.5】計算下列矩陣的乘積從以上幾個例題看出：（1）矩陣乘法不滿足交換律，即；或（2）非零矩陣的乘積可能是零矩陣，即【例1.5】計算下列矩陣的乘積從以上幾個例題看出：或（2）非【例1.6】計算下列矩陣的乘積注1.矩陣右乘對角陣，其結果特點【例1.6】計算下列矩陣的乘積注1.矩陣右乘對角陣，【例1.6】計算下列矩陣的乘積續(xù)注3.矩陣左乘對角陣，其結果特點【例1.6】計算下列矩陣的乘積續(xù)注3.矩陣左乘對角陣，矩陣乘法的運算規(guī)律(1)

乘法結合律：(3)

乘法對加法的分配律：(2)

數(shù)乘和乘法的結合律：

(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即其中k

是數(shù)推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是數(shù)量陣aE

與任何同階方陣都是可交換的.矩陣乘法的運算規(guī)律(1)乘法結合律：(3)乘法對加法的定義1.5（方陣的冪）

設A為n階方陣，k為非負整數(shù).定義A的冪1.2.4方陣的冪與多項式顯然思考：下列等式在什么時候成立？A、B可交換時成立定義1.5（方陣的冪）設A為n階方陣，k為非負整數(shù).定義A1.2.4方陣的冪與多項式定義1.6（方陣的多項式）

設有x的一個k次多項式.設A為n階方陣，則稱為A的k次多項式.【例1.7】設A為n階方陣，則1.2.4方陣的冪與多項式定義1.6（方陣的多項式）設特別地，設因此特別地，設因此設A為n階方陣，容易驗證二項式展開公式從k個元中取出

j個的組合數(shù)是數(shù)求一個方陣的方冪的計算量往往很大，有時需要一些特殊的辦法．現(xiàn)舉例如下：設A為n階方陣，容易驗證二項式展開公式從k個元中取出是【例1.8】求3階方陣觀察矩陣A的特點,將其改寫成：的n次冪例1.7中的B：【例1.8】求3階方陣觀察的n次冪例1.71.2.5矩陣的轉置與對稱定義1.7（矩陣的轉置）

設矩陣稱矩陣記為為A的轉置矩陣即把一個矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A的轉置矩陣.1.2.5矩陣的轉置與對稱定義1.7（矩陣的轉置）設矩陣例如：轉置矩陣的運算性質例如：轉置矩陣的運算性質【例1.9】設【解】方法一【例1.9】設【解】方法一【解】方法二【例1.9】設【解】方法二【例1.9】設【例1.10】證明：【證】用數(shù)學歸納法可以證明下面的等式由矩陣轉置的運算規(guī)律可得：【例1.10】證明：【證】用數(shù)學歸納法可以證明下面的等式由矩定義1.8（對稱矩陣與反對稱矩陣）則稱A為對稱矩陣.（1）若例如：為對稱陣.對稱陣必是

方陣注則稱A為反對稱矩陣.（2）若注定義1.8（對稱矩陣與反對稱矩陣）則稱A為對稱矩陣.（1）若定義1.8（對稱矩陣與反對稱矩陣）則稱A為對稱矩陣.【注】由定義可以得到以下結論:（1）若則稱A為反對稱矩陣.（2）若（1）對稱矩陣和反對稱矩陣都是方陣；（2）對稱矩陣的和，差，乘積仍是對稱矩陣.定義1.8（對稱矩陣與反對稱矩陣）則稱A為對稱矩陣.【注】由【例1.11】設n階方陣A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣.【證】由矩陣轉置的運算規(guī)律可得：證明：為對稱矩陣.【例1.11】設n階方陣A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣.【§1.2小結1.矩陣的線性運算：2.矩陣的乘法.§1.2小結1.矩陣的線性運算：2.矩陣的乘法.矩陣的運算

矩陣的運算

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在這一講，我們重點介紹矩陣的運算1.2.1矩陣的加法1.2.2矩陣的數(shù)乘在這一講，我們重點介紹矩陣的運算1.2.1矩陣的加為了討論矩陣的運算，先給出同型矩陣與矩陣相等的概念：1.兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣.2.兩個矩陣與為同型矩陣，并且對應元素相等，即

則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B.例如：與為同型矩陣.為了討論矩陣的運算，先給出同型矩陣與矩陣相等的概念：1.兩個【例1.2】設解:已知A=B,求x,y,z.【例1.2】設解:已知A=B,求x,y,z.37那么這四位同學在這兩天的總餐費花銷可以表示為如果引例1.1中：某宿舍四位同學在星期一和星期二的餐費花銷用矩陣表示為仍是一個矩陣，其中的數(shù)就是A1和A2中對應的數(shù)相加那么這四位同學在這兩天的總餐費花銷可以表示為如果引例1.1中381.2.1矩陣的加法定義1.2（矩陣的加法）

設兩個同型矩陣與定義則稱為A與B的和.1.2.1矩陣的加法定義1.2（矩陣的加法）設兩個同型矩1.只有同型矩陣才能相加，其結果與原來矩陣同型.例如：注1.只有同型矩陣才能相加，其結果與原來矩陣同型.例如：注交換律結合律其他矩陣加法的運算規(guī)律設A、B、C是同型矩陣設矩陣A=(aij)，記－A=(－aij)，稱為矩陣A的負矩陣．顯然交換律結合律其他矩陣加法的運算規(guī)律設A、B、C是同型矩陣1.2.2矩陣的數(shù)乘那么這四位同學新的餐費花銷表就可以表示為引例1（續(xù)）：如果引例1中的宿舍每位同學都在星期一改善伙食，把三餐費用提高1.2倍，仍是一個矩陣，其中的元素就是A1中的每個數(shù)乘以1.2

1.2.2矩陣的數(shù)乘那么這四位同學新的餐費花銷表引例1（定義1.3（矩陣的數(shù)乘）

設是一個矩陣，k是一個數(shù)定義則稱為數(shù)k與A的乘積，簡稱為矩陣的數(shù)乘.定義1.3（矩陣的數(shù)乘）設是一個矩陣，k是一個數(shù)定義則稱例如：一個n階數(shù)量陣例如：一個n階數(shù)量陣結合律分配律其他數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.A,B是同型矩陣，是數(shù)結合律分配律其他數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，45引例1.1中的矩陣甲乙丙丁早中晚a1,b1,c1:第2個周一提高餐費的倍數(shù)a2,b2,c2:第3個周一提高餐費的倍數(shù)早中晚1.2.3矩陣的乘法餐費提高后的矩陣引例1.1中的矩陣甲早中晚a1,b1,c1:第2個周一提1.2.3矩陣的乘法定義1.2（矩陣的乘法）

設兩個矩陣與定義則稱矩陣為A與B的乘積.其中記為1.2.3矩陣的乘法定義1.2（矩陣的乘法）設兩個矩陣與【例1.3】計算下列矩陣的乘積【例1.4】【例1.3】計算下列矩陣的乘積【例1.4】【例1.5】計算下列矩陣的乘積從以上幾個例題看出：（1）矩陣乘法不滿足交換律，即；或（2）非零矩陣的乘積可能是零矩陣，即【例1.5】計算下列矩陣的乘積從以上幾個例題看出：或（2）非【例1.6】計算下列矩陣的乘積注1.矩陣右乘對角陣，其結果特點【例1.6】計算下列矩陣的乘積注1.矩陣右乘對角陣，【例1.6】計算下列矩陣的乘積續(xù)注3.矩陣左乘對角陣，其結果特點【例1.6】計算下列矩陣的乘積續(xù)注3.矩陣左乘對角陣，矩陣乘法的運算規(guī)律(1)

乘法結合律：(3)

乘法對加法的分配律：(2)

數(shù)乘和乘法的結合律：

(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即其中k

是數(shù)推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是數(shù)量陣aE

與任何同階方陣都是可交換的.矩陣乘法的運算規(guī)律(1)乘法結合律：(3)乘法對加法的定義1.5（方陣的冪）

設A為n階方陣，k為非負整數(shù).定義A的冪1.2.4方陣的冪與多項式顯然思考：下列等式在什么時候成立？A、B可交換時成立定義1.5（方陣的冪）設A為n階方陣，k為非負整數(shù).定義A1.2.4方陣的冪與多項式定義1.6（方陣的多項式）

設有x的一個k次多項式.設A為n階方陣，則稱為A的k次多項式.【例1.7】設A為n階方陣，則1.2.4方陣的冪與多項式定義1.6（方陣的多項式）設特別地，設因此特別地，設因此設A為n階方陣，容易驗證二項式展開公式從k個元中取出

j個的組合數(shù)是數(shù)求一個方陣的方冪的計算量往往很大，有時需要一些特殊的辦法．現(xiàn)舉例如下：設A為n階方陣，容易驗證二項式展開公式從k個元中取出是【例1.8】求3階方陣觀察矩陣A的特點,將其改寫成：的n次冪例1.7中的B：【例1.8】求3階方陣觀察的n次冪例1.71.2.5矩陣的轉置與對稱定義1.7（矩陣的轉置）

設矩陣稱矩陣記為為A的轉置矩陣即把一個矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A的轉置矩陣.1.2.5矩陣的轉置與對稱定義1.7（矩陣的轉置）設矩