實驗三 用雙線性變換法設計IIR濾波器

實驗三用雙線性變換法設計IIR濾波器一、實驗目的1、了解兩種工程上最常用的變換方法:脈沖響應不變法和雙線性變換法。2、掌握雙線性不變法設計IIR濾波器的原理及具體設計方法，熟悉雙線性設計法設計低通、帶通和高通IIR濾波器的計算機程序。3、觀察用雙線性變換法設計的濾波器的頻域特性，并與脈沖響應不變法相比較，了解雙線性變換法的特點。4、熟悉用雙線性變換法設計數(shù)字Butterworth和Chebyshev濾波器的全過程。5、了解多項式乘積和多項式乘方運算的計算機編程方法。二、實驗原理與方法從模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器具有四種方法:微分一差分變換法、脈沖響應不變法、雙線性變換法、匹配Z變換法；在工程上常用的是其中兩種：脈沖響應不變法、雙線性變換法。脈沖響應不變法需要經(jīng)歷如下步驟：由已知系統(tǒng)傳輸函數(shù)H(s)計算系統(tǒng)沖擊響應h(t)；對h(t)進行等間隔取樣得到h(n)=h(nT)；由h(n)活的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)響應H(z)。這種方法非常直觀，其算法宗旨是保證所設計的IIR濾波器的脈沖響應和響應模擬濾波器的沖擊響應在采樣點上完全一致。而雙線性變換法的設計準則是使數(shù)字濾波器的頻率響應與參考模擬濾波器的頻率響應相似。脈沖響應不變法的優(yōu)點是頻率坐標的變換是線性的，缺點是有頻譜的周期延拓效應，存在頻譜混淆的現(xiàn)象。為了克服頻譜混淆提出了雙線性變換法，它依靠雙線性變換公式：1—zT1+ss=，z=其中，s=b+jQ，z=rejw1+z-11-s建立起S平面和Z平面的單值映射關系，數(shù)字頻域和模擬頻域之間的關系：Q=tg(w/2)，&=2arctgQ(3-1)由上面的關系式可知，當。-〉8時，w中止在折疊頻率3=兀處，整個JQ軸單值的對應于單位圓的一周。因此雙線性變換法不同于脈沖響應不變法，不存在頻譜混淆的問題。從式(3-1)還可以看出，兩者的頻率不是線性關系。這種非線性關系使得通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率的相對位置都發(fā)生了非線性畸變。用雙線性變換法設計數(shù)字濾波器時，一般總是先將數(shù)字濾波器的各臨界頻率經(jīng)過(3-1)的頻率預畸，求得相應參考模擬濾波器的各臨界頻率，然后設計參考模擬濾波器的傳遞參數(shù)，最后通過雙線性變換式求得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。參考模擬濾波器的設計，可以，按照一般模擬濾波器的設計方法，利用已經(jīng)成熟的一整套計算公式和大量的歸一化設計表格和曲線，通過原型變換完成實際的濾波器設計。在本實驗中，我們只涉及Butterworth和Chebyshev兩種濾波器的設計，相應的這兩種參考模擬原型濾波器的設計公式如下：

Butterworth：傳遞函數(shù):lOoJap—1階數(shù)：NT%不二T/lg(qHa(s廣汗'(s-s)

k傳遞函數(shù):k=0有關參數(shù)：1Q有關參數(shù)：1Q=Q/(100.1g—1)2—1Q=Q/(100.icp-1)-—Chebyshev：一，，100.1as—1,,,Q、階數(shù)：N>ch-1/ch-1(p)Y100-1ap—1Qs傳遞函數(shù)：H)=QN/2N-1sr傳遞函數(shù)：H)=QN/2N-1srf[s-Qshxsiny+jchxcosj)]pkkkkk=1七=一Nsh-112k-1兀*=—N2綜上所述，以Butterworth低通濾波器設計為例，可以將雙線性變換法設計數(shù)字濾波器的步驟歸納如下：1、確定數(shù)字濾波器的性能指標。這些指標包括：通帶、阻帶臨界頻率fp、fs；；通帶內的TOC\o"1-5"\h\z最大衰減a；阻帶內的最小衰減a；采樣周期T。ps2、確定相應的數(shù)字頻率，sp=2nfT,3,=2酒？3、計算經(jīng)過頻率預畸的相應參考低通原型的頻率。=tg(與),Q=tg(與)。p2s24、計算低通原型階數(shù)N：計算3db歸一化頻率。c，從而求得低通原型的傳遞函數(shù)H(s)。1—z-1■■/、5、用變換公式S=m，代入Ha(s)，求得數(shù)字濾波器傳遞函數(shù):H(z)=H(s)Is==Z~1+z-16、分析濾波器頻域特性，檢查其指標是否滿足要求。三實驗內容及步驟(一)編制實驗用主程序及相應子程序f=1；T=1/f;fp=?;fs=?;wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;Qp=2*f*tan(wp/2);Qs=2*f*tan(ws/2);[n,Wn]=cheb1ord(Qp,Qs,Rp,Rs,'s');[b,a]=cheby1(n,f,Wn,'high','s');closeall;freqs(b,a);title('高通模擬濾波器的頻率響應')；[bz,az]=bilinear(b,a,f);freqz(bz,az,50,f);title(高通數(shù)字濾波器的頻率響應')；(二)上機實驗內容1、采樣頻率為1Hz,設計一個Chebyshev高通數(shù)字濾波器，其中通帶臨界頻率fp=0?3HZ,通帶內衰減小于0?8db(ap=0?8db)，阻帶臨界頻率fs=0.2HZ，阻帶衰減大于20db(as=20db)。求這個數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(Z)，輸出它的幅頻特性曲線，觀察其通帶衰減和阻帶衰減是否滿足要求。f=1；T=1/f;fp=0.3;fs=0.2;wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;Qp=tan(wp/2);Qs=tan(ws/2);[n,Wn]=cheb1ord(Qp,Qs,0.8,20,'s');[b,a]=cheby1(n,0.8,Wn,'high','s');closeall;[bz,az]=bilinear(b,a,f);口回區(qū)freqz(bz,az,512,f);title('Chebyshev高通數(shù)字濾波器的頻率響應')；j*JFigureNo.1口回區(qū)FileEditViewInsertToolsWindijwHelpChebyshevM通數(shù)字濾波器的頻率響應0-100-200-300-40000.050.10.150.20.250.30.350.40.450..5Frequency(Hr)Frequencyi；Hz：(如小廈」sap)廈l￡lE=d

2、采樣頻率為1Hz,設計一個數(shù)字低通濾波器，要求其通帶臨界頻率fp=0.2HZ00.050.10.150.20.250.30.350.40.450..5Frequency(Hr)Frequencyi；Hz：(如小廈」sap)廈l￡lE=df=1；T=1/f;fp=0.2;fs=0.3;wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;Qp=2*f*tan(wp/2);Qs=2*f*tan(ws/2);[n,Wn]=cheb1ord(Qp,Qs,1,25,'s');[b,a]=cheby1(n,1,Wn,'low','s');[bz,az]=bilinear(b,a,f);r.freqz(bz,az,512,f);title('數(shù)字低通濾波器的頻率響應')；I*JFigureNo.1r.FileEditViewInsertToolsWindowHelpoo5-2數(shù)字低通濾波器的頻率響應0.1oo5-2數(shù)字低通濾波器的頻率響應0.10.150.20.250.30.350.40.450..5FrequencyfHz]ooooo5050--1-1疙mPJ省MEsrn巨ooooooo-1疙-3(sw<d」bcdpjwSEUdLoLooo頊6oo.0.10.150.20.260.30.350.40.460..5FrequencyfHz)3、設計Butterworth帶通數(shù)字濾波器，其上下邊帶1db處的通帶臨界頻率分別為20kHZ和30kHZ(fp1=20kHZ,fp2=30kHZ,ap=1db)，當頻率低于15kHZ時，衰減要大于40db(fs=15kHZ,as=40db)，采樣周期為10us，求這個數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(Z)，輸出它的幅頻特性曲線，觀察其通帶衰減和阻帶衰減是否滿足要求。T=10A(-5);f=1/T;fp1=20000;fp2=30000;fs1=15000;fs2=35000;wp1=fp1/f*2;wp2=fp2/f*2;ws1=fs1/f*2;ws2=fs2/f*2;Rp=1;Rs=40;[n,Wn]=buttord([wp1wp2],[ws1ws2],Rp,Rs);[b,a]=butter(n,Wn);freqz(b,a,512,f);title('Butterworth帶通數(shù)字濾波器的頻率響應');FigureNo.1FileEditViewIfleertTooleWindowHelpooooooooooooo-1~2:-3mm碧mESE圣ooo頊Butterworth帶逋數(shù)字濾波器的頻