實(shí)驗(yàn)三 用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器

實(shí)驗(yàn)三用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、了解兩種工程上最常用的變換方法:脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。2、掌握雙線性不變法設(shè)計(jì)IIR濾波器的原理及具體設(shè)計(jì)方法，熟悉雙線性設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)低通、帶通和高通IIR濾波器的計(jì)算機(jī)程序。3、觀察用雙線性變換法設(shè)計(jì)的濾波器的頻域特性，并與脈沖響應(yīng)不變法相比較，了解雙線性變換法的特點(diǎn)。4、熟悉用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字Butterworth和Chebyshev濾波器的全過(guò)程。5、了解多項(xiàng)式乘積和多項(xiàng)式乘方運(yùn)算的計(jì)算機(jī)編程方法。二、實(shí)驗(yàn)原理與方法從模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器具有四種方法:微分一差分變換法、脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法、匹配Z變換法；在工程上常用的是其中兩種：脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法。脈沖響應(yīng)不變法需要經(jīng)歷如下步驟：由已知系統(tǒng)傳輸函數(shù)H(s)計(jì)算系統(tǒng)沖擊響應(yīng)h(t)；對(duì)h(t)進(jìn)行等間隔取樣得到h(n)=h(nT)；由h(n)活的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)響應(yīng)H(z)。這種方法非常直觀，其算法宗旨是保證所設(shè)計(jì)的IIR濾波器的脈沖響應(yīng)和響應(yīng)模擬濾波器的沖擊響應(yīng)在采樣點(diǎn)上完全一致。而雙線性變換法的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與參考模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性的，缺點(diǎn)是有頻譜的周期延拓效應(yīng)，存在頻譜混淆的現(xiàn)象。為了克服頻譜混淆提出了雙線性變換法，它依靠雙線性變換公式：1—zT1+ss=，z=其中，s=b+jQ，z=rejw1+z-11-s建立起S平面和Z平面的單值映射關(guān)系，數(shù)字頻域和模擬頻域之間的關(guān)系：Q=tg(w/2)，&=2arctgQ(3-1)由上面的關(guān)系式可知，當(dāng)。-〉8時(shí)，w中止在折疊頻率3=兀處，整個(gè)JQ軸單值的對(duì)應(yīng)于單位圓的一周。因此雙線性變換法不同于脈沖響應(yīng)不變法，不存在頻譜混淆的問(wèn)題。從式(3-1)還可以看出，兩者的頻率不是線性關(guān)系。這種非線性關(guān)系使得通帶截止頻率、過(guò)渡帶的邊緣頻率的相對(duì)位置都發(fā)生了非線性畸變。用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，一般總是先將數(shù)字濾波器的各臨界頻率經(jīng)過(guò)(3-1)的頻率預(yù)畸，求得相應(yīng)參考模擬濾波器的各臨界頻率，然后設(shè)計(jì)參考模擬濾波器的傳遞參數(shù)，最后通過(guò)雙線性變換式求得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。參考模擬濾波器的設(shè)計(jì)，可以，按照一般模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法，利用已經(jīng)成熟的一整套計(jì)算公式和大量的歸一化設(shè)計(jì)表格和曲線，通過(guò)原型變換完成實(shí)際的濾波器設(shè)計(jì)。在本實(shí)驗(yàn)中，我們只涉及Butterworth和Chebyshev兩種濾波器的設(shè)計(jì)，相應(yīng)的這兩種參考模擬原型濾波器的設(shè)計(jì)公式如下：

Butterworth：傳遞函數(shù):lOoJap—1階數(shù)：NT%不二T/lg(qHa(s廣汗'(s-s)

k傳遞函數(shù):k=0有關(guān)參數(shù)：1Q有關(guān)參數(shù)：1Q=Q/(100.1g—1)2—1Q=Q/(100.icp-1)-—Chebyshev：一，，100.1as—1,,,Q、階數(shù)：N>ch-1/ch-1(p)Y100-1ap—1Qs傳遞函數(shù)：H)=QN/2N-1sr傳遞函數(shù)：H)=QN/2N-1srf[s-Qshxsiny+jchxcosj)]pkkkkk=1七=一Nsh-112k-1兀*=—N2綜上所述，以Butterworth低通濾波器設(shè)計(jì)為例，可以將雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的步驟歸納如下：1、確定數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)。這些指標(biāo)包括：通帶、阻帶臨界頻率fp、fs；；通帶內(nèi)的TOC\o"1-5"\h\z最大衰減a；阻帶內(nèi)的最小衰減a；采樣周期T。ps2、確定相應(yīng)的數(shù)字頻率，sp=2nfT,3,=2酒？3、計(jì)算經(jīng)過(guò)頻率預(yù)畸的相應(yīng)參考低通原型的頻率。=tg(與),Q=tg(與)。p2s24、計(jì)算低通原型階數(shù)N：計(jì)算3db歸一化頻率。c，從而求得低通原型的傳遞函數(shù)H(s)。1—z-1■■/、5、用變換公式S=m，代入Ha(s)，求得數(shù)字濾波器傳遞函數(shù):H(z)=H(s)Is==Z~1+z-16、分析濾波器頻域特性，檢查其指標(biāo)是否滿足要求。三實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟(一)編制實(shí)驗(yàn)用主程序及相應(yīng)子程序f=1；T=1/f;fp=?;fs=?;wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;Qp=2*f*tan(wp/2);Qs=2*f*tan(ws/2);[n,Wn]=cheb1ord(Qp,Qs,Rp,Rs,'s');[b,a]=cheby1(n,f,Wn,'high','s');closeall;freqs(b,a);title('高通模擬濾波器的頻率響應(yīng)')；[bz,az]=bilinear(b,a,f);freqz(bz,az,50,f);title(高通數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)')；(二)上機(jī)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、采樣頻率為1Hz,設(shè)計(jì)一個(gè)Chebyshev高通數(shù)字濾波器，其中通帶臨界頻率fp=0?3HZ,通帶內(nèi)衰減小于0?8db(ap=0?8db)，阻帶臨界頻率fs=0.2HZ，阻帶衰減大于20db(as=20db)。求這個(gè)數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(Z)，輸出它的幅頻特性曲線，觀察其通帶衰減和阻帶衰減是否滿足要求。f=1；T=1/f;fp=0.3;fs=0.2;wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;Qp=tan(wp/2);Qs=tan(ws/2);[n,Wn]=cheb1ord(Qp,Qs,0.8,20,'s');[b,a]=cheby1(n,0.8,Wn,'high','s');closeall;[bz,az]=bilinear(b,a,f);口回區(qū)freqz(bz,az,512,f);title('Chebyshev高通數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)')；j*JFigureNo.1口回區(qū)FileEditViewInsertToolsWindijwHelpChebyshevM通數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)0-100-200-300-40000.050.10.150.20.250.30.350.40.450..5Frequency(Hr)Frequencyi；Hz：(如小廈」sap)廈l￡lE=d

2、采樣頻率為1Hz,設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字低通濾波器，要求其通帶臨界頻率fp=0.2HZ00.050.10.150.20.250.30.350.40.450..5Frequency(Hr)Frequencyi；Hz：(如小廈」sap)廈l￡lE=df=1；T=1/f;fp=0.2;fs=0.3;wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;Qp=2*f*tan(wp/2);Qs=2*f*tan(ws/2);[n,Wn]=cheb1ord(Qp,Qs,1,25,'s');[b,a]=cheby1(n,1,Wn,'low','s');[bz,az]=bilinear(b,a,f);r.freqz(bz,az,512,f);title('數(shù)字低通濾波器的頻率響應(yīng)')；I*JFigureNo.1r.FileEditViewInsertToolsWindowHelpoo5-2數(shù)字低通濾波器的頻率響應(yīng)0.1oo5-2數(shù)字低通濾波器的頻率響應(yīng)0.10.150.20.250.30.350.40.450..5FrequencyfHz]ooooo5050--1-1疙mPJ省MEsrn巨ooooooo-1疙-3(sw<d」bcdpjwSEUdLoLooo頊6oo.0.10.150.20.260.30.350.40.460..5FrequencyfHz)3、設(shè)計(jì)Butterworth帶通數(shù)字濾波器，其上下邊帶1db處的通帶臨界頻率分別為20kHZ和30kHZ(fp1=20kHZ,fp2=30kHZ,ap=1db)，當(dāng)頻率低于15kHZ時(shí)，衰減要大于40db(fs=15kHZ,as=40db)，采樣周期為10us，求這個(gè)數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(Z)，輸出它的幅頻特性曲線，觀察其通帶衰減和阻帶衰減是否滿足要求。T=10A(-5);f=1/T;fp1=20000;fp2=30000;fs1=15000;fs2=35000;wp1=fp1/f*2;wp2=fp2/f*2;ws1=fs1/f*2;ws2=fs2/f*2;Rp=1;Rs=40;[n,Wn]=buttord([wp1wp2],[ws1ws2],Rp,Rs);[b,a]=butter(n,Wn);freqz(b,a,512,f);title('Butterworth帶通數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)');FigureNo.1FileEditViewIfleertTooleWindowHelpooooooooooooo-1~2:-3mm碧mESE圣ooo頊Butterworth帶逋數(shù)字濾波器的頻