《計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套教學(xué)課件

計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一章

函數(shù)、極限與連續(xù)后頁(yè)首頁(yè)前頁(yè)基本要求、重點(diǎn)難點(diǎn)1.1函數(shù)及其圖形1.2函數(shù)運(yùn)算1.3初等數(shù)學(xué)模型1.4函數(shù)極限1.5無(wú)窮大量與無(wú)窮小量1.6極限運(yùn)算1.7函數(shù)的連續(xù)性1.8生活中的極限問(wèn)題1.9演示與實(shí)驗(yàn)一基本要求掌握極限的概念、運(yùn)算法則、連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)。了解如何使用數(shù)學(xué)軟件研究函數(shù)性質(zhì)和求函數(shù)極限。掌握并能熟練運(yùn)用函數(shù)的幾種特性。熟知函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算并加以運(yùn)用。掌握函數(shù)極限的概念、運(yùn)算、無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的定義與性質(zhì)。掌握函數(shù)的連續(xù)性概念及運(yùn)算方法。熟練掌握函數(shù)的基本概念及其定義域、值域、函數(shù)值的求法，了解函數(shù)的幾何性質(zhì)及反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)等概念。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：極限的概念、運(yùn)算法則、連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)。如何使用數(shù)學(xué)軟件研究函數(shù)性質(zhì)和求函數(shù)極限。難點(diǎn)：極限的運(yùn)算、連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)。1.1函數(shù)及其圖形1.1.1函數(shù)概念習(xí)慣上常用字母F、G、f、g、φ、ψ等表示函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，用不同的字母來(lái)表示函數(shù)和變量。在特殊情況下，也可以用相同的符號(hào)來(lái)表示函數(shù)和因變量。下面再看幾個(gè)關(guān)于函數(shù)的例子。例1平方函數(shù)為每個(gè)實(shí)數(shù)x指派了它的平方x2，它用下列等式來(lái)定義：f(x)＝x2

。與自變量x相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是用x代入這個(gè)等式獲得的。例如：f(3)＝32＝9，f(-2)＝(-2)2＝4。平方函數(shù)f的定義域Df是全體實(shí)數(shù)組成的集合R，f的值域是由f(x)的一切值所組成的，即形如x2的全部的實(shí)數(shù)，Rf＝｛y|y≥0｝＝［0，+∞）。例2試求由下列公式定義的函數(shù)的自然定義域：f(x)f(x-1)。

解Df＝｛x|x≠0且x≠1｝＝(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)。１1.1.2函數(shù)的圖形定義1.2

設(shè)f是定義在Df上的函數(shù)，它的圖形是滿足條件y＝f(x)的有序數(shù)對(duì)

(x，y)(即平面點(diǎn))的集合，即G(f)＝｛(x，y)|y＝f(x))，x∈Df｝。函數(shù)f的圖形G(f)給出了直觀的函數(shù)形態(tài)。當(dāng)f(x)＞0時(shí)，在x處圖形的高就是函數(shù)值f(x)(如下圖)。從f的圖形G(f)上，可以在x軸上獲得f的定義域，在y軸上獲得f的值域。即圖形G(f)在x軸上的投影點(diǎn)集就是定義域Df，在y軸上的投影點(diǎn)集就是值域Rf(如圖)。1.1.3分段函數(shù)有的函數(shù)在其定義域的不同范圍中，對(duì)應(yīng)的法則用不同的公式來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)。舉例如下。例1取整函數(shù)

y＝［x］＝n，當(dāng)x∈［n，n+1），n＝0，±1，±2，…時(shí)。顯然，［x］的定義域是全體實(shí)數(shù)集R，值域是全體整數(shù)集Z。例如：［4.5］＝4，［２］＝1，［－3.2］＝－4。函數(shù)圖形如下圖。具有類似圖形的函數(shù)通常稱為階梯函數(shù)?！蹋?.1.4函數(shù)的幾種特性當(dāng)函數(shù)的自變量在定義域中取不同的值時(shí)，通常會(huì)得到不同的函數(shù)值。根據(jù)函數(shù)值的不同性態(tài)可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類。下面是函數(shù)常見(jiàn)的4種性態(tài)。1.2函數(shù)運(yùn)算1.2.1函數(shù)的四則運(yùn)算兩個(gè)函數(shù)f

和g之間可經(jīng)過(guò)類似于實(shí)數(shù)間的四則運(yùn)算，構(gòu)成新的函數(shù)。下面來(lái)定義這些運(yùn)算。定義1.7

設(shè)函數(shù)f

和g的定義域分別為Df和Dg，則和函數(shù)f+g、差函數(shù)f－g、積函數(shù)fg和商函數(shù)f/g分別定義如下：例設(shè)f(x)＝，g(x)＝x2－4，求函數(shù)f和g的和、差、積、商。解易見(jiàn)Df＝［0，+∞），Dg＝（－

∞，－2］∪［2，+∞）。由定義(f±g)(x)＝x±x2

－4

，Df+g＝Df∩Dg＝［2，+∞）；

(fg)(x)＝x(x2

－4)

，Dfg＝［2，+∞）；

(f/g)(x)＝，Df/g＝（2，+∞）?！蘝_√_______√__√_______√________x(x2

－4)_______1√________1.2.2函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算設(shè)函數(shù)y＝f(u)＝，u＝φ(x)＝x2+1，若要求變量x和y之間的對(duì)應(yīng)規(guī)則，即函數(shù)，可用代入法來(lái)實(shí)現(xiàn)：y＝f(u)＝f(φ(x))＝f(x2+1)＝x2+1。這樣處理過(guò)程就是函數(shù)的復(fù)合過(guò)程。一般地有：例1若f(x)＝x2，g(x)＝x－3，試求復(fù)合函數(shù)f

g和g

f，并求其定義域。解(f

g)(x)＝f(g(x))＝f(x－3)＝(x－3)2，

(g

f)(x)＝g(f(x))＝g(x2)＝x2－3且Df

g＝Df

g

＝R。從上例可以看出，一般來(lái)說(shuō)f

g≠g

f，即復(fù)合運(yùn)算不同于乘積運(yùn)算，它與函數(shù)的前后次序有關(guān)。例2試把函數(shù)y＝分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合。解從函數(shù)的表達(dá)式可以看出，求x的函數(shù)值的運(yùn)算過(guò)程是：首先把x除以2，再求其反正弦值，最后再進(jìn)行平方運(yùn)算。因此，可以分解出3個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)：y＝g(u)＝u2，u＝h(v)＝arcsinv，

v＝φ(x)＝。由它們進(jìn)行復(fù)合即為原來(lái)的函數(shù)：y＝f(x)＝＝(g

h

φ)(x)或f＝g

h

φ。。。。。。。。。(arcsin)2x2__x2__。。。。(arcsin)2x2__1.2.3反函數(shù)由定義可以看出：(1)單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)；(2)f－1的定義域就是f的值域，f－1的值域就是f的定義域。求已知函數(shù)的反函數(shù)的步驟可以歸納為以下兩步：(1)從等式y(tǒng)＝f(x)中解出x，得x＝f

－1(y)；(2)在(1)所求出的式子中將x和y互換，得反函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝f－1(x)。繼續(xù)點(diǎn)擊1.2.4初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)下面六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)：a.常數(shù)函數(shù)y＝C(C為常數(shù))；b.冪函數(shù)y＝xα(α為常數(shù))；c.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a為常數(shù)，且a＞0，a≠1)；d.對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a為常數(shù)，且a＞0，a≠1)；e.三角函數(shù)y＝sinx，y＝cosx，y＝secx，y＝tanx，

y＝cotx，y＝cscx；f.反三角函數(shù)y＝arcsinx，y＝arctanx，y＝arccosx，

y＝arccotx。(2)初等函數(shù)定義1.10由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次函數(shù)復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的，并在定義域內(nèi)可以用一個(gè)表達(dá)式表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。繼續(xù)點(diǎn)擊1.3初等數(shù)學(xué)模型1.3.1數(shù)學(xué)模型的概念構(gòu)造數(shù)學(xué)模型過(guò)程主要包括下列三個(gè)步驟：

(1)建立模型：從實(shí)際問(wèn)題中抽象、簡(jiǎn)化、提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題；

(2)數(shù)學(xué)解答：對(duì)所提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題求解；

(3)模型檢驗(yàn)：將所求得的答案返回到實(shí)際問(wèn)題中去，檢驗(yàn)其合理性，并進(jìn)一步對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題總結(jié)出所滿足的數(shù)學(xué)規(guī)律。1.3.2微積分與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系

歷史上，微積分中的主要原理，就來(lái)源于幾個(gè)極為輝煌的數(shù)學(xué)模型：

微積分的基礎(chǔ)——極限概念來(lái)源于“無(wú)窮小”模型。我國(guó)春秋時(shí)期的《莊子》中所說(shuō)“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，可以說(shuō)是無(wú)窮小認(rèn)識(shí)的萌芽。公元3世紀(jì)時(shí)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽把莊子中的無(wú)窮小概念應(yīng)用于計(jì)算“圓田”和“弧田”的面積。他先在圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，計(jì)算其面積，再繼續(xù)算出正十二邊形、正二十四邊形面積等等。劉徽認(rèn)為，隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的增加，其面積將不斷擴(kuò)大，但不會(huì)大于圓面積。同時(shí)劉徽指出“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”。這是無(wú)窮小思想的早期應(yīng)用。所以，微積分根本上起源于人類用數(shù)學(xué)手段解決實(shí)際問(wèn)題的需要。反過(guò)來(lái)，一切可以用連續(xù)變量的函數(shù)描述的數(shù)學(xué)模型，無(wú)不以微積分理論為基礎(chǔ)。這也說(shuō)明了微積分的重要性。1.3.3初等數(shù)學(xué)模型的例子1.4函數(shù)極限1.4.1數(shù)列的極限

(1)數(shù)列及其變化趨勢(shì)數(shù)列：

以正整數(shù)n為自變量的函數(shù)an＝f(n)，我們稱為整變量函數(shù)，把它的函數(shù)值按自變量n從小到大的順序?qū)懗鰜?lái)：a1，a2，…，an，…這就是數(shù)列，記為｛an｝。數(shù)列極限：我們先從一個(gè)例子來(lái)分析數(shù)列的變化趨勢(shì)，并由此引出數(shù)列極限的概念。

《莊子》中所說(shuō)“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，其中蘊(yùn)含著深刻的極限思想。如果令天數(shù)為n，則第n天后余下部分長(zhǎng)為

an＝尺(n＝1，2，…)，這樣就得到了一個(gè)數(shù)列。當(dāng)正整數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列an＝無(wú)限趨近于數(shù)0。n2n｛｝n2nn2n繼續(xù)點(diǎn)擊(2)數(shù)列極限的定義定義1.11

設(shè)有數(shù)列｛an｝和常數(shù)A。若當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，an無(wú)限趨近于A，則稱數(shù)列｛an｝以A為極限，或稱數(shù)列｛an｝收斂于A，記作：

或an→A(n→∞時(shí))。

否則，稱數(shù)列｛an｝的極限不存在，或者說(shuō)數(shù)列｛an｝是發(fā)散的。liman＝An→∞數(shù)列極限的幾何解釋：將數(shù)A和數(shù)列各項(xiàng)a1，a2，a3，…在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)標(biāo)出來(lái)，容易看出，若A是｛an｝的極限，則當(dāng)n無(wú)限變大時(shí)，點(diǎn)an與點(diǎn)A的距離|an－A|無(wú)限變小，即只要n充分大，|an－A|可以任意小。在數(shù)軸上的A點(diǎn)附近聚集了數(shù)列｛an｝的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，而且離A點(diǎn)越近越密集，因此我們也稱數(shù)列｛an｝的極限值(極限點(diǎn))為其聚點(diǎn)(如下圖)。繼續(xù)點(diǎn)擊1.4.2函數(shù)的極限１２３４后頁(yè)后頁(yè)

(1)x趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)f(x)的極限當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，f(x)＝對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限地趨近于0（如下圖），這時(shí)稱x趨于無(wú)窮大時(shí)，f(x)以0為極限。定義1.12

設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)于絕對(duì)值無(wú)論怎樣大的x值是有定義的。若當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限趨近于某一常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨向于無(wú)窮大時(shí)的極限。記作：或f(x)→A

(x→∞)。limf(x)＝An→∞A從幾何意義上看，極限表示：隨著|x|無(wú)限增大，曲線y＝f(x)上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與直線y＝A的距離無(wú)限變小，即曲線y＝f(x)以直線y＝A為漸近線(如圖)。limf(x)＝An→∞由以上定義，我們不難證明：定理1.1存在且為A的充分必要條件是與都存在且都等于A。limf(x)n→∞limf(x)n→－∞limf(x)n→＋∞返回

(2)x趨于某確定有限數(shù)時(shí)函數(shù)f(x)的極限以下我們均假設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，如果在變量x→x0(x≠x0)的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限接近于確定的常數(shù)A，就說(shuō)當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限為A。這種類型的極限稱為函數(shù)在有限點(diǎn)x0處的極限。例如，由于x≠1時(shí)f(x)＝g(x)，所以由上面的說(shuō)明就可得出函數(shù)f(x)在有限點(diǎn)x0處的極限的精確定義。limf(x)x→１＝limg(x)x→１＝２。定義1.13設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義(x0可以除外)，若當(dāng)x無(wú)限趨近于x0(但不等于x0)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限趨近于某一常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x0時(shí)的極限，記作：limf(x)＝Ax→x0或f(x)→Ａ(x→x0)從幾何意義上看，極限表示：當(dāng)x無(wú)限靠近x0(但x≠x0)時(shí)，曲線y＝f(x)上的點(diǎn)(x，f(x))將無(wú)限地靠近點(diǎn)

(x0，A)(如下圖)。例極限不存在的例子：當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)f(x)＝sin沒(méi)有極限。1x從正弦函數(shù)的圖象易見(jiàn)該極限是不存在的，它沒(méi)有任何漸近線。當(dāng)x越來(lái)越接近于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越來(lái)越頻繁地在－1與1之間擺動(dòng)。返回

(3)單側(cè)極限

由于在x→x0的過(guò)程中，x既可以是x0左側(cè)的點(diǎn)，也可以是x0右側(cè)的點(diǎn)。但有的函數(shù)僅在x0的左鄰域有定義，或者我們只需要研究函數(shù)在x0的左鄰域的變化情況，為了明確起見(jiàn)，我們引進(jìn)函數(shù)的“左極限”概念。函數(shù)f(x)在x0處存在左極限，就是指x

從x0的左側(cè)趨向于x0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)f(x)值趨向于一個(gè)定數(shù)A。類似地有“右極限”概念。它們的定義是：定義1.14如果當(dāng)x從x0的左側(cè)趨近于x0時(shí)，函數(shù)f(x)的對(duì)應(yīng)值趨近于常數(shù)A，那么稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x從左側(cè)趨向于x0時(shí)的左極限。記作：類似地，可定義右極限。limf(x)＝Ax→x0－或f(x0－0)＝A。limf(x)＝Ax→x0＋，或f(x0+0)＝A。左極限與右極限通稱為單側(cè)極限。容易證明：定理1.2的充要條件是limf(x)＝Ax→x0limf(x)＝x→x0limf(x)＝Ａ。x→x0－＋返回

(4)極限的簡(jiǎn)單性質(zhì)

＞0，同時(shí)在x1的附近的點(diǎn)的函數(shù)值也是正的。B＜0，同時(shí)在x2附近的點(diǎn)的函數(shù)值也是負(fù)的。（如圖）limf(x)＝Ax→x0由上面的說(shuō)明就可得出函數(shù)f(x)在x0處的極限值的符號(hào)與x0點(diǎn)附近(即某去心鄰域)的點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)的關(guān)系。定理1.3如果，而且A＞0(或A＜0)，那么總存在點(diǎn)x0的某去心鄰域(x0－δ，x0)∪(x0，x0+δ)，使對(duì)該鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)x總有f(x)＞0(或f(x)＜0)。limf(x)＝Ax→x0定理1.4如果，而且在x0的某鄰域內(nèi)(可以不包括x0)f(x)≥0(或f(x)≤0)，那么有A≥0(或A≤0)。limf(x)＝Ax→x0返回1.5無(wú)窮大量與無(wú)窮小量1.5.1無(wú)窮大量定義1.15

在某一自變量的變化過(guò)程中，如果相應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值無(wú)限增大，那么稱此函數(shù)為無(wú)窮大量(簡(jiǎn)稱無(wú)窮大)。“絕對(duì)值無(wú)限增大”包含以下兩種特殊情形：

(1)函數(shù)值大于零，且絕對(duì)值無(wú)限增大。此時(shí)稱函數(shù)為正無(wú)窮大量(簡(jiǎn)稱正無(wú)窮大)；

(2)函數(shù)值小于零，且絕對(duì)值無(wú)限增大。此時(shí)稱函數(shù)為負(fù)無(wú)窮大量(簡(jiǎn)稱負(fù)無(wú)窮大)。繼續(xù)點(diǎn)擊前頁(yè)前頁(yè)1.5.2無(wú)窮小量定義1.16

在某一自變量的變化過(guò)程中，極限為零的函數(shù)稱為無(wú)窮小量(簡(jiǎn)稱無(wú)窮小)。性質(zhì)1

有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和還是無(wú)窮小。性質(zhì)2有界變量與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小。由性質(zhì)2可得下面推論：推論1常數(shù)與無(wú)窮小量的乘積仍然是無(wú)窮小量。推論2

有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。有極限的變量與無(wú)窮小量之間有著密切的關(guān)系。定理1.5

f(x)＝A的充分必要條件是f(x)＝A+α(x)，其中α(x)是無(wú)窮小量(x→x0時(shí))。limf(x)＝Ax→x0注意：所謂某一函數(shù)或某一變量是無(wú)窮大量或無(wú)窮小量都是相對(duì)于某一自變量的變化過(guò)程來(lái)說(shuō)的，離開(kāi)了這一點(diǎn)，單純講某變量是無(wú)窮大量或無(wú)窮小量是無(wú)意義的，除非根據(jù)上下文可以不言自明。1.5.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系關(guān)于無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系有如下定理：定理1.6在自變量x的某一變化過(guò)程中：

(1)如果f(x)是無(wú)窮大量，那么是無(wú)窮小量；

(2)如果f(x)是非零無(wú)窮小量，那么是無(wú)窮大量。１f(x)１f(x)在求極限時(shí)，經(jīng)常要用到無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的這種倒數(shù)關(guān)系。1.5.4無(wú)窮小量的比較無(wú)窮小量雖然都是極限為零的變量，但它們趨于零的速度有快有慢。例如，有一個(gè)正方形的金屬薄片，它的邊長(zhǎng)為1。因?yàn)槭軣?，邊長(zhǎng)增加了η，從而面積的增量是ΔS＝(1+η)2－12＝2η+η2。如果η是無(wú)窮小量，那么2η、η2也是無(wú)窮小量，但它們趨于零的速度是不一樣的。列表比較如下：η0.50.10.010.001…2η10.20.020.002…η20.250.010.00010.000001…定義1.17設(shè)α、β是同一極限過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小量。如果＝0，那么稱α是比β高階的無(wú)窮小，記作

α＝o(β)；如果＝∞，那么稱α是比β低階的無(wú)窮??；如果＝C(C為非零常數(shù))，那么稱α與β是同階無(wú)窮小。在同階無(wú)窮小中，如果＝1，那么稱α與β是等價(jià)無(wú)窮小，記作α～β。limαβlimαβlimαβlimαβ1.6.1極限運(yùn)算性質(zhì)假設(shè)C是常數(shù)，并且極限f(x)和g(x)都存在，則有：例試證明極限運(yùn)算的和性質(zhì)：。證設(shè)，，則由定理1.5得：f(x)＝L+α(x)，g(x)＝M+β(x)，

其中α(x)、β(x)是當(dāng)x→a時(shí)的無(wú)窮小量。于是f(x)+g(x)＝(L+M)+［α(x)+β(x)］。由無(wú)窮小的性質(zhì)知，x→a時(shí)α(x)+β(x)也是無(wú)窮小，所以由定理1.5知：。證畢。1.6極限運(yùn)算1.6.2利用性質(zhì)求極限直觀地觀察下面幾個(gè)極限公式：

(1)limC＝C(C為常數(shù))；

(2)limx＝a；

(3)limxn＝an(由乘方性質(zhì)得到)(n為正整數(shù))；

(4)limnx

＝na(n為正整數(shù)，且當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，假設(shè)a＞0)。利用以上基本公式和極限性質(zhì)，可以計(jì)算多項(xiàng)式、多項(xiàng)式之商(有理函數(shù))及一些無(wú)理函數(shù)的極限。x→ax→ax→a√__√__定理1.7對(duì)于多項(xiàng)式和有理函數(shù)(多項(xiàng)式之商)，當(dāng)x→a時(shí)，將a代入函數(shù)式得到的函數(shù)值等于函數(shù)的極限值。即：

limP(x)＝P(a)(其中P(x)為多項(xiàng)式函數(shù))；

lim

(其中P(x)、Q(x)都是多項(xiàng)式函數(shù)，并且Q(a)≠0)。x→aP(x)

P(a)Q(x)

Q(a)＝x→a1.6.3利用兩個(gè)重要極限公式求極限從下面兩個(gè)函數(shù)值表中初步觀察極限函數(shù)lim和lim的變化趨勢(shì)。sinxxx→0１１x(

)＋x由以上表格，可以發(fā)現(xiàn)常數(shù)的確存在，它就是著名的無(wú)理數(shù)

e＝2.7182818…。這樣我們就有下面兩個(gè)已經(jīng)被數(shù)學(xué)家嚴(yán)格證明了的極限公式：。無(wú)理數(shù)e和無(wú)理數(shù)π一樣，是數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù)之一。這個(gè)無(wú)理數(shù)精確到20位小數(shù)的值是e≈2.71828182845904523536。個(gè)極限公式可寫成如下形式：，（或者）。1.7函數(shù)的連續(xù)性1.7.1連續(xù)與間斷的概念連續(xù)與間斷(不連續(xù))是對(duì)自然界變化過(guò)程漸變與突變現(xiàn)象的描述。為了從數(shù)量上刻畫函數(shù)的連續(xù)和間斷，先引進(jìn)增量(改變量)的概念，再分析連續(xù)和間斷的數(shù)量特征。設(shè)變量u從它的一個(gè)初值u1變化到終值u2，終值與初值的差u2－u1稱為變量u的增量，記為Δu，即Δu＝u2－u1。增量Δu可以是正的，也可以是負(fù)的。若Δu為正，則變量u從u1變到

u2＝u1+Δu是增大的；若Δu為負(fù)，則變量u從u1變到u2是減小的。假設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖形如下圖所示。在［a，b］中除在x＝x1點(diǎn)處間斷外，其余點(diǎn)都連續(xù)。從圖中易見(jiàn)，在間斷點(diǎn)x1處，函數(shù)值有一個(gè)跳躍(突變的表現(xiàn))，自變量從x1向左側(cè)作一任意小的變動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值發(fā)生顯著的變化，用極限來(lái)刻畫就是：。在連續(xù)點(diǎn)x0，情況恰恰相反。當(dāng)自變量從x0向左、右側(cè)作微小改變時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值改變也很小。用極限來(lái)刻畫，則為。由此分析，可引入下面的定義：定義1.18設(shè)函數(shù)y＝f(x)在包含x0在內(nèi)的某開(kāi)區(qū)間內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量Δx＝x－x0趨近于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的增量Δy＝f(x0+Δx)－f(x0)也趨于零，即Δy＝0，則稱函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處是連續(xù)的(此時(shí)稱x0是函數(shù)y＝f(x)的連續(xù)點(diǎn))。否則，稱y＝f(x)在x0處間斷(此時(shí)稱x0是y＝f(x)的間斷點(diǎn))。定義1.19設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)y＝f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)，即limf(x)＝f(x0)，則稱函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)?！鱴→x0由左、右極限的概念，可給出左、右連續(xù)的概念：定義1.20設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x0的某左半鄰域(或右半鄰域)內(nèi)有定義(含x0在內(nèi))。若limf(x)＝f(x0－0)＝f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0左連續(xù)；

若limf(x)＝f(x0+0)＝f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0右連續(xù)。顯然，函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0既左連續(xù)又右連續(xù)。若函數(shù)在區(qū)間

I

內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f(x)在區(qū)間

I

連續(xù)?！鱴→x0－△x→x0＋1.7.2函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)y＝f(x)在x0處連續(xù)是指limf(x)＝f(x0)，這里包含了三個(gè)條件：

(1)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處有定義；

(2)極限limf(x0)存在；

(3)極限limf(x)恰好等于f(x0)。這三個(gè)條件中任何一條不滿足，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處都是間斷的。根據(jù)極限limf(x)是否存在，以及不存在時(shí)的各種情形，常把間斷點(diǎn)分成如下幾種類型：△x→x0△x→x0△x→x0△x→x01.7.3連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義，利用極限的四則運(yùn)算法則，可得下面的定理：定理1.8如果函數(shù)f(x)與g(x)都在點(diǎn)x0處連續(xù)，那么它們的和、差、積、商，即f(x)±g(x)、f(x)·g(x)、(在商的情形下要求g(x0)≠0)，也在x處連續(xù)。f(x)g(x)證這里只證f(x)+g(x)在x0點(diǎn)的連續(xù)性，其余留給讀者證明。因?yàn)閒(x)與g(x)在x0處連續(xù)，由定義1.19得limf(x)＝f(x0)，limg(x)＝g(x0)。由極限運(yùn)算性質(zhì)得lim［f(x)+g(x))］＝limf(x)+limg(x)＝f(x0)+g(x0)。故由連續(xù)函數(shù)的定義1.19可知，f(x)+g(x)在x0處連續(xù)。證畢?！鱴→x0△x→x0△x→x0△x→x0△x→x0定理1.9(反函數(shù)的連續(xù)性)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x＝f－1(y)也在對(duì)應(yīng)區(qū)間Iy＝｛y|y＝f(x)，x∈Ix｝上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù)(證明從略)。定理1.10(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)u＝φ(x)在點(diǎn)x＝x0連續(xù)，y＝f(u)在點(diǎn)u＝u0＝φ(x0)處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y＝(f

g)(x)＝f［φ(x)］在點(diǎn)x＝x0處連續(xù)。。證要證y＝(f

g)(x)＝f［φ(x)］在x＝x0處連續(xù)，只要證明

lim(f

g)(x)＝(f

g)(x0)，即limf［φ(x)］＝f［φ(x0)］。由于u＝φ(x)在x0處連續(xù)，所以limφ(x)＝φ(x0)。因?yàn)閥＝y(tǒng)(u)在u0＝φ(x0)處連續(xù)，所以limy(u)＝y(tǒng)(u0)，即

limf［φ(x)］＝f［φ(x0)］。

y＝(f

g)(x)＝f［φ(x)］在x＝x0處連續(xù)。?！鱴→x0。?！鱴→x0△x→x0△x→x0△x→x0。1.7.4初等函數(shù)的連續(xù)性首先，由基本初等函數(shù)的圖形可以直觀地看出，基本初等函數(shù)在它們的定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)。當(dāng)然，這個(gè)結(jié)論是可以利用連續(xù)性定義、極限運(yùn)算性質(zhì)得到證明的，這里從略。進(jìn)一步地，由于初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合構(gòu)成的，所以由定理1.8和定理1.10易知，一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。根據(jù)上述結(jié)論，若f(u)是初等函數(shù)，u0在其定義域內(nèi)，則有l(wèi)imf(u)＝f(u0)。這里不管u是自變量還是中間變量都成立。若u是中間變量，u＝φ(x)，且limφ(x)在f(u)的定義域內(nèi)，則有△x→x0△x→x01.7.5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義1.21設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，且f(a+0)＝f(a)，f(b－0)＝f(b)，

則稱f(x)是閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)。定理1.11(最大值和最小值定理)閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)f(x)一定有最大值和最小值。這就是說(shuō)，［a，b］上一定存在這樣兩個(gè)點(diǎn)x1和x2，使得對(duì)于［a，b］上的一切點(diǎn)x都有f(x)≥f(x1)，f(x)≤f(x2)。

從物理上看：例如某地一晝夜的溫度變化，總有兩個(gè)時(shí)刻分別達(dá)到最高溫度和最低溫度；又如，拋射一個(gè)物體總可以達(dá)到最高點(diǎn)也可以達(dá)到最低點(diǎn)。

從幾何上看：一段連續(xù)曲線對(duì)應(yīng)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，曲線上必有一點(diǎn)，它的縱坐標(biāo)最大，對(duì)應(yīng)函數(shù)最大值；也總有一點(diǎn)，它的縱坐標(biāo)最小，對(duì)應(yīng)函數(shù)最小值。在下圖中，x1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值最小，x2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值最大，函數(shù)在x2達(dá)到最小值，在x2達(dá)到最大值。若f(x)不是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，結(jié)論就不一定正確。定理1.12(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，則對(duì)于f(a)與f(b)之間的任何數(shù)c，總存在點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得f(ξ)＝c。

該定理也可以敘述為：閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)f(x)，當(dāng)x從a變化到b時(shí)，要經(jīng)過(guò)f(a)與f(b)之間的一切數(shù)值。

從物理上看：例如氣溫的變化，從0℃變到5℃，它必然經(jīng)過(guò)0℃與5℃之間的一切溫度，因?yàn)闅鉁厥请S時(shí)間連續(xù)變化的，即它是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)。

從幾何上看：閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)的圖形如圖(a)所示，是一條從點(diǎn)(a，f(a))到點(diǎn)(b，f(b))不間斷的曲線，因此介于y＝f(a)與y＝f(b)之間的任意一條直線y＝c都必然與該曲線相交。若f(x)在［a，b］上有一間斷點(diǎn)，如圖(b)所示，則直線y＝c就不與f(x)的圖形相交了。由定理1.12可得如下推論：1.8生活中的極限問(wèn)題1.8.1豬肉產(chǎn)銷問(wèn)題的蛛網(wǎng)模型

在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中存在這樣的循環(huán)現(xiàn)象：若去年的豬肉生產(chǎn)量供過(guò)于求，豬肉價(jià)格就會(huì)降低；價(jià)格降低會(huì)使今年養(yǎng)豬量減少，造成今年豬肉生產(chǎn)量供不應(yīng)求，于是肉價(jià)上揚(yáng)；價(jià)格上揚(yáng)又使明年豬肉產(chǎn)量增加，又造成新的供過(guò)于求……1.8.2細(xì)菌繁殖問(wèn)題1.9演示與實(shí)驗(yàn)一1.9.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康?.學(xué)習(xí)在Windows下Mathematica4.0軟件的啟動(dòng)，并熟悉其界面；2.學(xué)習(xí)用繪圖語(yǔ)句作函數(shù)圖形；3.用圖形和數(shù)值觀察數(shù)列極限與函數(shù)極限；4.學(xué)習(xí)用求極限語(yǔ)句求數(shù)列或函數(shù)極限。1.9.2原理與方法

1.函數(shù)作圖的基本原理

2.數(shù)列極限與函數(shù)極限1.9.3內(nèi)容與步驟1.Mathematica4.0的進(jìn)入

2.利用Mathematica作圖

(1)基本作圖命令格式

(a)只規(guī)定自變量范圍的作圖命令：

Plot［f(x),｛x,x1,x2｝］

(b)不僅規(guī)定自變量范圍，還規(guī)定因變量范圍的作圖命令：

Plot［f(x),｛x,x1,x2｝,PlotRange->｛y1,y2｝］

(2)觀察函數(shù)圖形疊加情況

(3)分段函數(shù)的作圖自定義分段函數(shù)常用以下兩種方法：方法1當(dāng)只分兩段時(shí)可用if語(yǔ)句定義，格式如下：

f［x］:＝If［條件1,表達(dá)式1，表達(dá)式2］方法2當(dāng)分段函數(shù)的定義域多于兩段時(shí)可以用Which語(yǔ)句定義，格式如下：

f［x］：＝Which［條件1，表達(dá)式1，條件2，表達(dá)式2，True,表達(dá)式3］

3.用圖形和數(shù)值觀察數(shù)列或函數(shù)極限

(a)生成數(shù)值型點(diǎn)列

(b)畫散點(diǎn)圖

4.用Mathematica求極限

用Mathematica求極限的命令格式如下：

Limit［f(x),x->a］

Limit［f(x),x->Infinity］(其中Infinity表示∞)1.9.4注意事項(xiàng)

1.利用Mathematica系統(tǒng)作圖時(shí)，每個(gè)語(yǔ)句及其中的函數(shù)的第一個(gè)字母必須大寫；

2.如果函數(shù)的圖形在某一點(diǎn)處回轉(zhuǎn)的次數(shù)特別多時(shí)圖形中會(huì)有一些模糊，這是由于在回轉(zhuǎn)多的地方盡量取多的樣點(diǎn)，但樣點(diǎn)又不會(huì)無(wú)窮多而造成的；例如，執(zhí)行Plot［Ｓin［1/x］,｛x,-1,1｝］大家可以看到這種情況。

3.利用Limit［］語(yǔ)句求極限時(shí)，必須指明自變量的趨向方向，否則，對(duì)于某些極限求不出正確結(jié)果；

4.在無(wú)窮振蕩點(diǎn)處雖然函數(shù)極限不存在，但Limit［］語(yǔ)句仍能夠給出函數(shù)無(wú)窮振蕩時(shí)的可能取值范圍。ThankYou!后頁(yè)首頁(yè)前頁(yè)第二章導(dǎo)數(shù)與微分后頁(yè)首頁(yè)前頁(yè)基本要求、重點(diǎn)難點(diǎn)2.1導(dǎo)數(shù)概念2.2導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則2.3殊函數(shù)求導(dǎo)法及高階導(dǎo)數(shù)2.4變化率問(wèn)題實(shí)例2.5微分2.6演示與實(shí)驗(yàn)二基本要求掌握導(dǎo)數(shù)的概念、基本公式與運(yùn)算法則，并會(huì)用定義求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。了解導(dǎo)數(shù)在各種領(lǐng)域的應(yīng)用并觀察其自變量有微小改變時(shí)，函數(shù)大體上的變化。掌握特殊函數(shù)求導(dǎo)法和高階導(dǎo)數(shù)。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：微分概念的理論和實(shí)際應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)在各種領(lǐng)域的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則。難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則。2.1導(dǎo)數(shù)概念2.1.1引例當(dāng)M沿曲線C趨向于M0時(shí)，割線M0M的極限位置是直線M0T，這正是曲線C在點(diǎn)M0處的切線。因此，切線的斜率為：若這個(gè)極限不存在(且不是無(wú)窮大)，則曲線在M0處無(wú)切線。2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義定義2.1

設(shè)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義。當(dāng)自變量x在x0處有增量Δx(Δx≠0)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值有增量Δy＝f(x0+Δx)—f(x0)。如果當(dāng)Δx→0時(shí)，ΔyΔx的極限存在，即存在，那么稱此極限值為f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，并稱函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)。

f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)記作

Δy/Δx稱為f(x)在區(qū)間［x0，x0+Δx］上的平均變化率。導(dǎo)數(shù)f′(x0)也稱為f(x)在x0處的瞬時(shí)變化率(簡(jiǎn)稱變化率)。定義2.2若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)f(x)對(duì)于(a，b)內(nèi)每一個(gè)確定的值，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，因此構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)叫做f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，記作f′(x)或dy/dx。2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義從引例可以看出，函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率。如f(x)＝x3，f′(1)＝3，說(shuō)明曲線y＝x3在點(diǎn)(1，1)處的切線斜率為3。由直線的點(diǎn)斜式方程可知，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)。2.1.4函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理2.1如果函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則y＝f(x)在x0處連續(xù)。

注意：定理2.1的逆命題并不成立，即函數(shù)y＝f(x)在x0處連續(xù)，但不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。2.2導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則2.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.2.2函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則2.2.3初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)至此，我們已經(jīng)推導(dǎo)出所有基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，為查閱方便，把這些公式匯總?cè)缦拢?.3殊函數(shù)求導(dǎo)法及高階導(dǎo)數(shù)2.3.1隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)總是用自變量的一個(gè)表達(dá)式來(lái)表示因變量，即形如

y＝f(x)的形式。變量間的函數(shù)關(guān)系隱含在一個(gè)方程F(x，y)＝0之中，如3x－2y+5＝0，

ex+y＝x·y等這種形式表示的函數(shù)。顯函數(shù)：隱函數(shù)：繼續(xù)點(diǎn)擊2.3.2由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)法圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程為一般地，設(shè)t為參數(shù)，則參數(shù)方程

由參數(shù)方程確定的函數(shù)：表示平面上一條曲線，當(dāng)給定一個(gè)t值時(shí)，由參數(shù)方程確定了x和y的相應(yīng)值。當(dāng)φ(t)滿足一定條件時(shí)，以參數(shù)t為橋梁，參數(shù)方程可以確定y和x之間的函數(shù)關(guān)系的這種函數(shù)。若要求曲線上一點(diǎn)的切線斜率，也就是要求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：將x＝φ(t)的反函數(shù)

t＝h(x)代入y＝ψ(t)中得復(fù)合函數(shù)y＝ψ［h(x)］，再用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求。dydxdydx由反函數(shù)求導(dǎo)法知因此，不必求出x＝φ(t)的反函數(shù)即可得

導(dǎo)數(shù)公式：2.3.3高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)y′＝f′(x)仍是x的函數(shù)，稱為函數(shù)y＝f(x)的一階導(dǎo)數(shù)。如果一階導(dǎo)數(shù)f′(x)仍是可導(dǎo)的，則稱f′(x)的導(dǎo)數(shù)為y＝f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記為即二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為三階導(dǎo)數(shù)，…，一般地，(n－1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為n階導(dǎo)數(shù)。三階以上的導(dǎo)數(shù)依次記為：即

y(n－1)與y(n)的關(guān)系正如y與y′的關(guān)系一樣。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。2.4變化率問(wèn)題實(shí)例2.4.1物理學(xué)方面的變化率問(wèn)題(導(dǎo)數(shù)問(wèn)題)在引入導(dǎo)數(shù)概念時(shí)我們?cè)米兯僦本€運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度作為例子，就是物理學(xué)中的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題(變化率問(wèn)題)。2.4.2化學(xué)方面在引入導(dǎo)數(shù)概念時(shí)我們?cè)米兯僦本€運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度作為例子，就是物理學(xué)中的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題(變化率問(wèn)題)。2.4.3生物學(xué)方面2.4.4經(jīng)濟(jì)學(xué)方面2.4.5其他科學(xué)領(lǐng)域幾乎所有的科學(xué)領(lǐng)域都有變化率的問(wèn)題。地質(zhì)學(xué)家希望知道浸入的融巖通過(guò)向周圍的巖石進(jìn)行熱量傳導(dǎo)而冷卻的速度。都市地理學(xué)家要了解城市人口密度關(guān)于到市中心距離的變化率。氣象學(xué)家則關(guān)心大氣壓力關(guān)于高度的變化率。

心理學(xué)中對(duì)學(xué)習(xí)理論感興趣的人會(huì)研究反映某種技藝學(xué)習(xí)過(guò)程中的學(xué)習(xí)成績(jī)p與培訓(xùn)時(shí)間t之間關(guān)系的所謂學(xué)習(xí)曲線，特別想知道成績(jī)隨時(shí)間的提高率，即導(dǎo)數(shù)。在社會(huì)學(xué)方面，導(dǎo)數(shù)可用于分析信息的傳播、新方法的推廣、服飾新款的流行等等問(wèn)題。如果p(t)表示t時(shí)刻知道某信息的人口比例，那么導(dǎo)數(shù)表示信息的傳播速度。以上我們列舉了物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多領(lǐng)域中變化率的例子，它們都是導(dǎo)數(shù)概念的各種具體表現(xiàn)形式，因此，對(duì)導(dǎo)數(shù)的進(jìn)一步研究不僅是數(shù)學(xué)本身的需要，也是各門學(xué)科的共同要求。下一章將專門學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。dpdtdpdt2.5微分2.5.1函數(shù)的線性逼近和微分定義2.3

設(shè)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x有導(dǎo)數(shù)f′(x)，則稱f′(x)Δx為函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x處的微分，記作dy，即dy＝f(x0)Δx。這時(shí)也稱函數(shù)y＝f(x)在x處是可微分的，或簡(jiǎn)稱函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x處可微。

這個(gè)定義也可簡(jiǎn)述為：函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量增量的乘積。微分具有如下特點(diǎn)：

(1)當(dāng)f′(x)≠0，|Δx|

1時(shí)，微分是函數(shù)增量的主要部分，因此可用微分dy來(lái)近似代替函數(shù)的增量Δy，即dy≈Δy；

(2)dy是Δx的線性函數(shù)，用微分近似表示函數(shù)增量簡(jiǎn)便易求。

微商：dy＝f′(x)dx改寫為dy/dx＝f′(x)，則左邊是函數(shù)微分與自變量微分之商，所以導(dǎo)數(shù)也稱為微商。＜＜2.5.2微分的求法

由微分的定義可知：一個(gè)函數(shù)的微分就是它的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積.所以，只要會(huì)求導(dǎo)數(shù)，微分立即可得。例求y＝sinx的微分。解因?yàn)閥′＝(sinx)′＝cosx，所以dy＝dsinx＝y(tǒng)′dx＝cosxdx。由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可知，復(fù)合函數(shù)y＝f［φ(x)］的微分是

dy＝f′［φ(x)］·φ′(x)dx。由于u＝φ(x)的微分是du＝φ′(x)dx，所以上式可寫成：dy＝f′(u)du。

微分形式的不變性：盡管u是中間變量，不是自變量，仍然與u是自變量時(shí)函數(shù)的微分形式是一樣的。2.5.3微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)函數(shù)y＝f(x)在x0處可導(dǎo)，f′(x0)≠0，且|Δx|

1時(shí)，可用微分近似代替其增量，即Δy≈dy＝f′(x0)Δx。也可以用切線方程y＝f(x0)+f′(x0)(x－x0)來(lái)近似代替函數(shù)y＝f(x)，即f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x－x0)。＜＜2.6.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

1.學(xué)習(xí)用Mathematica輔助理解導(dǎo)數(shù)概念；

2.學(xué)習(xí)用Mathematica求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2.6演示與實(shí)驗(yàn)二2.6.2原理與方法由導(dǎo)數(shù)的定義知，其幾何意義是切線斜率，即割線斜率的極限。我們利用Mathematica可以通過(guò)數(shù)值演示、圖形演示和動(dòng)畫演示等方式觀察割線斜率的變化過(guò)程，或割線的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。2.6.3內(nèi)容與步驟

1.用Mathematica輔助理解導(dǎo)數(shù)概念

(1)數(shù)值演示

(2)圖形演示

(3)動(dòng)畫演示

2.用Mathematica求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分

(1)用D［f［x］,x］語(yǔ)句求函數(shù)f的一階導(dǎo)數(shù)

(2)用D［f［x］,{x,n}］語(yǔ)句求函數(shù)f的n階導(dǎo)

(3)若已經(jīng)自定義了函數(shù)f(x)，則用f［x］也可以求其導(dǎo)數(shù)，其中的求導(dǎo)符號(hào)“′”用單引號(hào)鍵輸入，這也符合我們的手寫習(xí)慣。

(4)利用Dt命令求函數(shù)的微分

(5)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(6)求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)ThankYou!后頁(yè)首頁(yè)前頁(yè)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用后頁(yè)首頁(yè)前頁(yè)基本要求、重點(diǎn)難點(diǎn)3.1函數(shù)的單調(diào)性3.2函數(shù)的極值3.3函數(shù)曲線的凹向與漸近線3.4簡(jiǎn)單最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型3.5演示與實(shí)驗(yàn)三基本要求掌握函數(shù)的單調(diào)性并理解期意義。

了解簡(jiǎn)章最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

掌握如何利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、曲線的凹向、拐點(diǎn)問(wèn)題。

了解邊際與彈性的概念，并會(huì)解答相關(guān)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題。

掌握羅爾定理與拉格朗日中值定理，并能熟練運(yùn)用兩定理證明有關(guān)命題。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、極值、曲線的凹向、拐點(diǎn)問(wèn)題。簡(jiǎn)單的最優(yōu)化問(wèn)題的解法。難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則。三個(gè)中值定理的應(yīng)用、函數(shù)的極值、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。3.1函數(shù)的單調(diào)性3.1.1拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理：設(shè)y＝f(x)為區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)，P(a，f(a))與Q(b，f(b))是曲線y＝f(x)上任意兩點(diǎn)，將直線段PQ平行移動(dòng)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)總能找到一個(gè)位置，使之與曲線恰好相切(如圖)。定理3.1

設(shè)函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則在

(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得推論若在區(qū)間I上f′(x)≡0，則f(x)≡C。證在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)x1，x2，不妨設(shè)x1＜x2，則容易看出f(x)在以x1，x2為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足定理3.1的條件，所以必有ξ∈(x1，x2)，使

f(x2)－f(x1)＝f′(ξ)(x2－x1)，而由條件f′(x)≡0知f′(ξ)＝0，從而有

f(x1)＝f(x2)。由x1，x2的任意性可知，在區(qū)間I上一切不同點(diǎn)的函數(shù)值均相等，所以存在常數(shù)C使f(x)≡C。證畢。3.1.2函數(shù)單調(diào)性的判定定理3.2

設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)。

(1)若對(duì)任意x∈(a，b)，恒有f′(x)＞0，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)增加；

(2)若對(duì)任意x∈(a，b)，恒有f′(x)＜0，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)減小。證在區(qū)間(a，b)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1，x2且x1＜x2，由拉格朗日中值定理得，存在ξ∈(x1，x2)使f(x2)－f(x1)＝f′(ξ)(x2－x1)。

(1)若對(duì)任意x∈(a，b)，有f′(x)＞0，則f′(ξ)＞0，從而f(x2)＞f(x1)，所以，f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)增；

(2)若對(duì)任意x∈(a，b)，有f′(x)＜0，則f′(ξ)＜0，從而f(x2)＜f(x1)，所以，f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)減。證畢。3.2函數(shù)的極值3.2.1函數(shù)極值的定義定義3.1設(shè)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義。若對(duì)該鄰域內(nèi)任意的x，總有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值(或極小值)，稱x0為f(x)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn))。極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。3.2.2函數(shù)極值的判定與求法定理3.3(極值存在的必要條件)如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有極值f(x0)，且f(x)在x0處可導(dǎo)，則f′(x0)＝0。定理3.4(第一充分條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域(x0－δ，x0+δ)內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)(但f′(x0)可以不存在)。

(1)若當(dāng)x∈(x0－δ，x0)時(shí)，f′(x)＞0，而當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時(shí)，

f′(x)＜0，則函數(shù)f(x)在x0處取得極大值f(x0)；

(2)若當(dāng)x∈(x0－δ，x0)時(shí)，f′(x)＜0，而當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時(shí)，

f′(x)＞0，則函數(shù)f(x)在x0處取得極小值f(x0)；

(3)若當(dāng)x∈(x0－δ，x0+δ)(x≠x0)時(shí)，恒有f′(x0)＞0或恒有

f′(x0)＜0，則f(x)在x0處無(wú)極值。定理3.5(第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0存在二階導(dǎo)數(shù)，且f′(x0)＝0，f″(x0)≠0。

(1)若f″(x0)＞0，則f(x)有極小值f(x0)；

(2)若f″(x0)＜0，則f(x)有極大值f(x0)。3.3函數(shù)曲線的凹向與漸近線3.3.1曲線的凹向與拐點(diǎn)

凹向：如圖，曲線y＝f(x)在［a，b］內(nèi)一直是上升的，但其彎曲方向是變化的，在A點(diǎn)的左側(cè)曲線向下凹，而在A點(diǎn)的右側(cè)曲線向上凹。曲線的這種向上凹或向下凹的性質(zhì)。定義3.2如果在某區(qū)間內(nèi)的一段連續(xù)且處處有切線的曲線弧總位于其上任意一點(diǎn)(除端點(diǎn)外)的切線的上方(或下方)，那么稱該曲線段是上凹(或下凹)的。

切線斜率與凹向的關(guān)系：如圖(a)，曲線上的點(diǎn)從左向右移動(dòng)時(shí)，曲線在該點(diǎn)的切線的斜率單調(diào)增加，此時(shí)的曲線總位于切線的上方，即曲線是上凹的。反之，當(dāng)切線斜率單調(diào)減小時(shí)，曲線總位于切線的下方，即曲線是下凹的。如圖(b)。定理3.6(曲線凹向判定定理)

函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)。

(1)若對(duì)任意的x∈(a，b)，有f′(x)＞0，則曲線y＝f(x)在(a，b)內(nèi)是上凹的；

(2)若對(duì)任意的x∈(a，b)，有f′(x)＜0，則曲線y＝f(x)在(a，b)內(nèi)是下凹的。定義3.3曲線的上凹與下凹部分的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。3.3.2曲線的漸近線定義3.4

如果曲線上的動(dòng)點(diǎn)沿著曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)與某直線的距離趨于零，那么稱此直線為曲線的漸近線。曲線有漸近線條件：

(1)水平漸近線

(2)鉛直漸近線

(3)斜漸近線3.4簡(jiǎn)單最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型區(qū)間［a,b］上的函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)xi(i＝1,2,…，n)，則f(x)在［a,b］的最大值M和最小值m分別是：M＝max{f(a),f(b),f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}，m＝min{f(a),f(b),f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}。若f(x)在［a,b］內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0(如圖)，則容易看出f(x0)就是f(x)在［a,b］上的最小值(圖(a))或最大值(圖(b))。3.5演示與實(shí)驗(yàn)三3.5.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

1.學(xué)習(xí)用Mathematica分析函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹向、拐點(diǎn)；

2.學(xué)習(xí)用Mathematica直接求函數(shù)的極值，解簡(jiǎn)單最優(yōu)化問(wèn)題。3.5.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康拇蠹抑?，只要畫出了函?shù)圖形，函數(shù)的幾何形態(tài)就一目了然，但僅憑觀察幾何圖形不能準(zhǔn)確地找出極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等，況且計(jì)算機(jī)繪圖有時(shí)也會(huì)有一些偏差，因此，只有將數(shù)值計(jì)算與幾何圖形結(jié)合起來(lái)綜合分析才能準(zhǔn)確地求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、凹向區(qū)間和拐點(diǎn)。在Mathematica系統(tǒng)中，有求函數(shù)極小值的命令FindMinimum，應(yīng)用它可以直接求函數(shù)在某點(diǎn)附近的極小值。若求極大值，只需將目標(biāo)函數(shù)乘以－1，再求極小值即可。3.5.3內(nèi)容與步驟ThankYou!后頁(yè)首頁(yè)前頁(yè)第四章積分后頁(yè)首頁(yè)前頁(yè)基本要求、重點(diǎn)難點(diǎn)4.1定積分的概念與性質(zhì)4.2微積分基本定理4.3基本積分法4.4無(wú)窮區(qū)間上的反常積分4.5演示與實(shí)驗(yàn)四基本要求掌握切線、變速直線運(yùn)動(dòng)的速度抽象出的導(dǎo)數(shù)概念。

了解變量的“變化率”問(wèn)題。

了解一元微積分的一元函數(shù)積分學(xué)。

掌握積分學(xué)在物理、天文、工程、地質(zhì)、化學(xué)，以及生物學(xué)中的應(yīng)用。

掌握微分與積分之間聯(lián)系的重要結(jié)果——微積分基本定理，以及常用的積分方法和無(wú)窮積分的概念。。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：一元函數(shù)積分的法則。微積分基本定理的使用。難點(diǎn)：定積分概念與性質(zhì)、基本積分與無(wú)窮區(qū)間上的反常積分。定積分的定義、定積分的計(jì)算和應(yīng)用。4.1定積分的概念與性質(zhì)4.1.1引例1.曲邊梯形的面積１２３后頁(yè)返回設(shè)y＝f(x)是定義在［a，b］上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)。我們稱曲線y＝f(x)與直線

y＝0、x＝a、x＝b圍成的平面區(qū)域?yàn)榍吿菪?，其中曲線y＝f(x)為曲邊(如圖所示)。

(1)分割區(qū)間在區(qū)間［a，b］內(nèi)插入n－1個(gè)分點(diǎn)x1，x2，…，xn－1使x0＝a＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b。這些分點(diǎn)將區(qū)間［a，b］分成n個(gè)子區(qū)間［xi－1，xi］(i＝1，2，…，n)，記它們的長(zhǎng)度為Δxi(i＝1，2，…，n)，用λ表示這些子區(qū)間的最大長(zhǎng)度。顯然，

λ的大小反映了對(duì)區(qū)間分割的粗細(xì)程度.通過(guò)此分割我們得到了n個(gè)“窄曲邊梯形”ΔSi(i＝1，2，…，n)，因此有S＝ΔSi(如圖(a))?！苙i＝1

(2)近似代替(以直代曲)，求和在［xi－1，xi］上任取一點(diǎn)ξi，用高為f(ξi)，寬為Δxi的矩形面積近似代替“窄曲邊梯形”面積ΔSi(i＝1，2，…，n)。于是得曲邊梯形的面積的近似值：f(ξi)Δxi＝Sn如圖(b)所示返回

(3)取極限，求得面積精確值可以看出，隨著分割的越來(lái)越細(xì)，即λ→0，Sn對(duì)S的逼近程度越來(lái)越好，于是有返回2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程１２３前頁(yè)后頁(yè)

(1)分割區(qū)間在時(shí)間區(qū)間［a，b］內(nèi)插入n－1個(gè)分點(diǎn)t1，t2，…，tn－1使t0＝a＜t1＜t2＜…＜tn－1＜tn＝b。這些點(diǎn)將［a，b］分成了n個(gè)子區(qū)間［ti－1，ti］(i＝1，2，…，n)。若記物體在［ti－1，ti］上運(yùn)動(dòng)的路程為Δsi，則物體在整個(gè)時(shí)間區(qū)間［a，b］上運(yùn)動(dòng)的路

程為s＝ΔSi

。∑ni＝1返回

(2)近似代替、求和由于速度函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，所以時(shí)間區(qū)間很小時(shí)速度的變化也很小。在

［ti－1，ti］內(nèi)任取一點(diǎn)ξi，可近似看作物體在［ti－1，ti］內(nèi)作速度為v(ξi)的勻速運(yùn)動(dòng)，走過(guò)的路程為v(ξi)Δti。這樣，得到物體在［a，b］上運(yùn)動(dòng)的路程的近似值s≈

v(ξi)Δti，并且分割越細(xì)越接近精確值?！苙i＝1

(3)取極限，得路程之精確值令λ＝｛Δti｝，則就是物體在時(shí)間區(qū)間［a，b］內(nèi)走過(guò)的路程的精確值。max1≤i≤n返回4.1.2定積分的定義定義4.1

設(shè)f(x)是定義在閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)或分段連續(xù)函數(shù)，在

［a，b］內(nèi)插入n－1個(gè)分點(diǎn)x1，x2，…，xn－1，使得a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b，記Δxi＝xi－xi－1(i＝1，2，…，n)，λ＝max1≤i≤n｛Δxi｝。如果不論對(duì)［a，b］怎么分，對(duì)任意選取的ξi∈［xi－1，xi］

(i＝1，2，…，n)，當(dāng)λ→0時(shí)，和式ni＝1f(ξi)Δxi總趨于確定的常數(shù)A，即則稱f(x)在［a，b］上可積，并稱極限A為f(x)在［a，b］上的定積分，記作

f(x)dx，同時(shí)稱f(x)為被積函數(shù)，x為積分變量，數(shù)a和b為積分下限和上限，區(qū)間［a，b］為積分區(qū)間，為積分號(hào)。ba∫ba∫前頁(yè)對(duì)定積分的定義作幾點(diǎn)說(shuō)明：4.1.3定積分的基本性質(zhì)4.2微積分基本定理4.2.1微積分第一基本定理由定積分的定義知道，定積分是一個(gè)僅與被積函數(shù)和積分限有關(guān)的確定的數(shù)。當(dāng)我們固定被積函數(shù)與積分下限時(shí)，定積分隨著積分上限的變化而變化，它是積分上限的函數(shù)，我們把它記作S(x)，即從幾何意義上看，S(x)表示區(qū)間［a，x］所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積，它隨x的變化而變化(如圖)。定理4.1(微積分第一基本定理)

若函數(shù)f(x)在［a，b］上連續(xù)，則積分上限函數(shù)g(x)＝

f(t)dt在［a，b］上可導(dǎo)，且有

g′(x)＝f(x)。其中x∈［a，b］，x0為［a，b］內(nèi)任意取定的一點(diǎn)?！襵x04.2.2原函數(shù)和不定積分定義4.2如果在某區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)，即對(duì)該區(qū)間上的每一點(diǎn)x，都有F′(x)＝f(x)，或dF(x)＝f(x)dx，那么稱F(x)為f(x)在該區(qū)間上的原函數(shù)。

1.原函數(shù)和不定積分概念定義4.3在區(qū)間I上函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為在區(qū)間I上函數(shù)f(x)的不定積分。記作：f(x)dx，其中記號(hào)“I”稱為積分號(hào)，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量?！?.基本積分表4.2.3微積分第二基本定理(牛頓－萊布尼茨公式)

1.原函數(shù)和不定積分概念定理4.