2023年北京市西城區(qū)第十五中學高三下學期第一次聯(lián)考數(shù)學試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設過拋物線上任意一點(異于原點)的直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線的另一個交點為，則（）A． B． C． D．2．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．3．設實數(shù)、滿足約束條件，則的最小值為（）A．2 B．24 C．16 D．144．已知雙曲線C：=1(a>0，b>0)的右焦點為F，過原點O作斜率為的直線交C的右支于點A，若|OA|=|OF|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．+15．若集合，，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．6．國務院發(fā)布《關于進一步調整優(yōu)化結構、提高教育經費使用效益的意見》中提出，要優(yōu)先落實教育投入．某研究機構統(tǒng)計了年至年國家財政性教育經費投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù)，并將其繪制成下表，由下表可知下列敘述錯誤的是（）A．隨著文化教育重視程度的不斷提高，國在財政性教育經費的支出持續(xù)增長B．年以來，國家財政性教育經費的支出占比例持續(xù)年保持在以上C．從年至年，中國的總值最少增加萬億D．從年到年，國家財政性教育經費的支出增長最多的年份是年7．三棱錐的各個頂點都在求的表面上，且是等邊三角形，底面，，，若點在線段上，且，則過點的平面截球所得截面的最小面積為（）A． B． C． D．8．已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A． B．C． D．9．已知定義在上的可導函數(shù)滿足，若是奇函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．10．已知點為雙曲線的右焦點，直線與雙曲線交于A，B兩點，若，則的面積為（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項公式()A． B． C． D．12．已知集合，則=A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．三棱柱中，，側棱底面，且三棱柱的側面積為.若該三棱柱的頂點都在同一個球的表面上，則球的表面積的最小值為_____．14．（5分）國家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國青少年毒品預防教育數(shù)字化網(wǎng)絡平臺上開展2019年全國青少年禁毒知識答題活動，活動期間進入答題專區(qū)，點擊“開始答題”按鈕后，系統(tǒng)自動生成20道題.已知某校高二年級有甲、乙、丙、丁、戊五位同學在這次活動中答對的題數(shù)分別是，則這五位同學答對題數(shù)的方差是____________．15．的展開式中含的系數(shù)為__________．（用數(shù)字填寫答案）16．已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直l于點Q，M，N分別為PQ，PF的中點，MN與x軸相交于點R，若∠NRF=60°，則|FR|等于_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，函數(shù).（Ⅰ）若在區(qū)間上單調遞增，求的值；（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）18．（12分）已知橢圓：的離心率為，直線：與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點，過點的直線交橢圓于，兩點，直線，分別交直線于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）以線段為直徑的圓是否過定點？若是，寫出所有定點的坐標；若不是，請說明理由.19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知平行于x軸的動直線l交拋物線C：于點P，點F為C的焦點．圓心不在y軸上的圓M與直線l，PF，x軸都相切，設M的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程；（2）若直線與曲線E相切于點，過Q且垂直于的直線為，直線，分別與y軸相交于點A，當線段AB的長度最小時，求s的值．20．（12分）已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數(shù)，且與直線4x+3y﹣29＝0相切．（1）求圓的方程；（2）設直線ax﹣y+5＝0（a＞0）與圓相交于A，B兩點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)a，使得弦AB的垂直平分線l過點P（﹣2，4），若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．21．（12分）2019年安慶市在大力推進城市環(huán)境、人文精神建設的過程中，居民生活垃圾分類逐漸形成意識.有關部門為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識"的網(wǎng)絡問卷調查，每位市民僅有一次參與機會，通過抽樣，得到參與問卷調查中的1000人的得分數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖：（1）由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調查的得分Z服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表），利用該正態(tài)分布，求P（）；（2）在（1）的條件下，有關部門為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：（i）得分不低于可獲贈2次隨機話費，得分低于則只有1次：（ii）每次贈送的隨機話費和對應概率如下：贈送話費（單位：元）1020概率現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調查，記X（單位：元）為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求X的分布列.附：，若，則，.22．（10分）在平面直角坐標系中,有一個微型智能機器人（大小不計）只能沿著坐標軸的正方向或負方向行進,且每一步只能行進1個單位長度,例如：該機器人在點處時,下一步可行進到、、、這四個點中的任一位置．記該機器人從坐標原點出發(fā)、行進步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為．（1）分別求、、的值；（2）求的表達式．

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【答案解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉為線段長度比，進而轉為坐標的表達式。寫出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點坐標，最后代入坐標，求得三角形面積比.【題目詳解】作圖，設與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，，設，則直線，即，與聯(lián)立，解得，從而得到面積比為.故選：【答案點睛】解決本題主要在于將面積比轉化為線段長的比例關系，進而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯的綜合題.2．B【答案解析】

由已知向量的坐標，利用平面向量的夾角公式，直接可求出結果.【題目詳解】解：由題意得，設與的夾角為，，由于向量夾角范圍為：，∴.故選：B.【答案點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角，注意向量夾角的范圍.3．D【答案解析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.【題目詳解】做出滿足的可行域，如下圖陰影部分，根據(jù)圖象，當目標函數(shù)過點時，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值為.故選：D.【答案點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結合求線性目標函數(shù)的最值，屬于基礎題.4．B【答案解析】

以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，可求出點，則，整理計算可得離心率.【題目詳解】解：以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，取第一象限的解得，即，則，整理得，則（舍去），，.故選：B.【答案點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，考查學生的計算能力，是中檔題.5．D【答案解析】

由題意，分析即得解【題目詳解】由題意，故，故選：D【答案點睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關系，考查了學生概念理解，數(shù)學運算能力，屬于基礎題.6．C【答案解析】

觀察圖表，判斷四個選項是否正確．【題目詳解】由表易知、、項均正確，年中國為萬億元，年中國為萬億元，則從年至年，中國的總值大約增加萬億，故C項錯誤．【答案點睛】本題考查統(tǒng)計圖表，正確認識圖表是解題基礎．7．A【答案解析】

由題意畫出圖形，求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑，再求出外接球球心到D的距離，利用勾股定理求得過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑，則答案可求.【題目詳解】如圖，設三角形ABC外接圓的圓心為G，則外接圓半徑AG=,設三棱錐S-ABC的外接球的球心為O，則外接球的半徑R=取SA中點E，由SA=4，AD=3SD，得DE=1,所以OD=.則過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為所以過點D的平面截球O所得截面的最小面積為故選：A【答案點睛】本題考查三棱錐的外接球問題，還考查了求截面的最小面積，屬于較難題.8．B【答案解析】

選B.考點：圓心坐標9．A【答案解析】

構造函數(shù)，根據(jù)已知條件判斷出的單調性.根據(jù)是奇函數(shù)，求得的值，由此化簡不等式求得不等式的解集.【題目詳解】構造函數(shù)，依題意可知，所以在上遞增.由于是奇函數(shù)，所以當時，，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集為.故選：A【答案點睛】本小題主要考查構造函數(shù)法解不等式，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.10．D【答案解析】

設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，設，得，求出的值，即得解.【題目詳解】設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設，則，又.故，所以.故選：D【答案點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.11．A【答案解析】

利用數(shù)列的遞推關系式，通過累加法求解即可．【題目詳解】數(shù)列滿足：，，可得以上各式相加可得：，故選：．【答案點睛】本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用，數(shù)列累加法以及通項公式的求法，考查計算能力．12．C【答案解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結合的思想解題．【題目詳解】由題意得，，則．故選C．【答案點睛】不能領會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

分析題意可知，三棱柱為正三棱柱，所以三棱柱的中心即為外接球的球心，設棱柱的底面邊長為，高為，則三棱柱的側面積為，球的半徑表示為，再由重要不等式即可得球表面積的最小值【題目詳解】如下圖，∵三棱柱為正三棱柱∴設，∴三棱柱的側面積為∴又外接球半徑∴外接球表面積.故答案為：【答案點睛】考查學生對幾何體的正確認識，能通過題意了解到題目傳達的意思，培養(yǎng)學生空間想象力，能夠利用題目條件，畫出圖形，尋找外接球的球心以及半徑，屬于中檔題14．2【答案解析】

由這五位同學答對的題數(shù)分別是，得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則方差．15．【答案解析】由題意得，二項式展開式的通項為，令，則，所以得系數(shù)為．16．2【答案解析】

由題意知：，，，.由∠NRF=60°，可得為等邊三角形，MF⊥PQ，可得F為HR的中點，即求.【題目詳解】不妨設點P在第一象限，如圖所示，連接MF，QF.∵拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點∴，.∵M，N分別為PQ，PF的中點，∴，∵PQ垂直l于點Q，∴PQ//OR，∵，∠NRF=60°，∴為等邊三角形，∴MF⊥PQ，易知四邊形和四邊形都是平行四邊形，∴F為HR的中點，∴，故答案為：2.【答案點睛】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）；（Ⅱ）3.【答案解析】

（Ⅰ）先求導，得，已知導函數(shù)單調遞增，又在區(qū)間上單調遞增，故，令，求得，討論得，而，故，進而得解；（Ⅱ）可通過必要性探路，當時，由知，又由于，則，當，，結合零點存在定理可判斷必存在使得，得，，化簡得，再由二次函數(shù)性質即可求證；【題目詳解】（Ⅰ）的定義域為.易知單調遞增，由題意有.令，則.令得.所以當時，單調遞增；當時，單調遞減.所以，而又有，因此，所以.（Ⅱ）由知，又由于，則.下面證明符合條件.若.所以.易知單調遞增，而，，因此必存在使得，即.且當時，單調遞減；當時，，單調遞增；則.綜上，的最大值為3.【答案點睛】本題考查導數(shù)的計算，利用導數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值，屬于中檔題18．（1）；（2）是，定點坐標為或【答案解析】

（1）根據(jù)相切得到，根據(jù)離心率得到，得到橢圓方程.（2）設直線的方程為，點、的坐標分別為，，聯(lián)立方程得到，，計算點的坐標為，點的坐標為，圓的方程可化為，得到答案.【題目詳解】（1）根據(jù)題意：，因為，所以，所以橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，點、的坐標分別為，，把直線的方程代入橢圓方程化簡得到，所以，，所以，，因為直線的斜率，所以直線的方程，所以點的坐標為，同理，點的坐標為，故以為直徑的圓的方程為，又因為，，所以圓的方程可化為，令，則有，所以定點坐標為或.【答案點睛】本題考查了橢圓方程，圓過定點問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19．（1），（2）．【答案解析】

根據(jù)題意設，可得PF的方程，根據(jù)距離即可求出；點Q處的切線的斜率存在，由對稱性不妨設，根據(jù)導數(shù)的幾何意義和斜率公式，求，并構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值．【題目詳解】因為拋物線C的方程為，所以F的坐標為，設，因為圓M與x軸、直線l都相切，l平行于x軸，所以圓M的半徑為，點，則直線PF的方程為，即，所以，又m，，所以，即，所以E的方程為，，設，，，由知，點Q處的切線的斜率存在，由對稱性不妨設，由，所以，，所以，，所以，．令，，則，由得，由得，所以在區(qū)間單調遞減，在單調遞增，所以當時，取得極小值也是最小值，即AB取得最小值此時．【答案點睛】本題考查了直線和拋物線的位置關系，以及利用導數(shù)求函數(shù)最值的關系，考查了運算能力和轉化能力，屬于難題．20．（2）（x﹣2）2+y2＝2．（2）（）．（3）存在，【答案解析】

（2）設圓心為M（m，0），根據(jù)相切得到，計算得到答案.（2）把直線ax﹣y+5＝0，代入圓的方程，計算△＝4（5a﹣2）2﹣4（a2+2）＞0得到答案.（3）l的方程為，即x+ay+2﹣4a＝0，過點M（2，0），計算得到答案.【題目詳解】（2）設圓心為M（m，0）（m∈Z）．由于圓與直線4x+3y﹣29＝0相切，且半徑為5，所以，即|4m﹣29|＝2．因為m為整數(shù)，故m＝2．故所求圓的方程為（x﹣2）2+y2＝2．（2）把直線ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圓的方程，消去y，整理得（a2+2）x2+2（5a﹣2）x+2＝0，由于直線ax﹣y+5＝0交圓于A，B兩點，故△＝4（5a﹣2）2﹣4（a2+2）＞0，即22a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以實數(shù)a的取值范圍是（）．（3）設符合條件的實數(shù)a存在，則直線l的斜率為，l的方程為，即x+ay+2﹣4a＝0，由于l垂直平分弦AB，故圓心M（2，0）必在l上，所以2+0+2﹣4a＝0，解得．由于，故存在實數(shù)使得過點P（﹣2，4）的直線l垂直平分弦AB.【答案點睛】本題考查了直線和圓的位置關系，意在考查學生的計算能力和轉化能力.21．（1）（2）詳見解析【答案