精算模型第二講

第二節(jié)賠次數(shù)的分主要內(nèi)容1、母函數(shù)與矩母函2、一張保單的理賠次數(shù)分3、理賠次數(shù)的混合分4、理賠次數(shù)的復(fù)合分5、免賠額對理賠次數(shù)分布的影一、母函數(shù)與矩母函設(shè)N是一個離散隨量，取值于0,1,分布列母函數(shù)

pkP(N kP(z)E(zN)p 矩母

k(z)(z) )e，M M k

(z)P(ez母(矩母)函數(shù)性1、若N的母(矩母)函數(shù)存在，那么母(矩母)函數(shù)與分布函數(shù)2、由母(矩母)函數(shù)可以導(dǎo)出矩的計算kP(1)kpE(Nkkkkk

E(N(N請問

E(N2)E(NVar(N)E(N2)E(NNM'(0)NNM''(0)Nn3n3、設(shè)NN1N2 Nn， ,Nn相互獨立，PN(z)PNjjnnMN(z)MNj二、一張保單的理賠次數(shù)分1、泊松分布生理賠N的分布列為：P(N(t)k)

tk

，k0,1,令t1，則在單位時間內(nèi)理賠次數(shù)N的分布列為pkP(Nk) k!，k0,1,泊松分布的性質(zhì)、均值和方E(N)Var(N)、母函 k

(PN(z)z

k!

exp((zk

k kM(t)E(etN)e(et、可加定理：設(shè)N1,N2, ,Nn是相互獨立的泊松隨量，參數(shù)分別為 ,n，則NN1N2 Nn服從泊松分布，參數(shù)證明 PN(z)

(z

故故N服從泊松分布，參數(shù)12 、可分解Cm假設(shè)損失事故可以分為m個不同類型C1,CCmEi表示第i類事故發(fā)生mpiP(Ei表示第i類事故發(fā)生的概率i1mmNi表示第i類事故發(fā)生的次數(shù)i1mNN1N2 Nm表示所有事故發(fā)生的次數(shù)定理定理：若N服從參數(shù)為的泊松分布，則N1,N2 Nm都是相m獨立的，且服從泊松分布，參數(shù)分別是piimNm證明給定Nn，Ni|Nn服從二項分布B(npi，(N1NNmpm服從多項分布B(npm因此PP(N1 ,NmnmP(N1 ,Nmnm|Nn)P(N

ne pm

nm

(pepj

j

njP(Njnj)

P(Njnj|Nn)P(N nn Cp(1p

(p

jnjj

e(1pjep

(pnj因此，因此，N(N1,N2 ,Nm)的聯(lián)合分布等于N1,N2 ,Nm分布的積，N1,N2,,Nm是相互獨立的隨量例N表示損失事故發(fā)生的次數(shù)X表示損失額N服從泊松分布10XU020。問損失額超過5的事故發(fā)生解：令E表示事件“損失額超過P(E)20

dx5所以損失額超過5的次數(shù)服從參數(shù)為100.757.5的泊松分布例例XfX(1)0.40,fX(2)0.35,fX(3)又假設(shè)保單在一年內(nèi)發(fā)生的損失事件的次數(shù)N服從泊松分布200。Ni表示損失額為i的損失事件的次數(shù)。N1,N2,N3的分布解由于NN1N2N3，且N服從泊松分布，由定理知N1N2N3相互獨立且服從泊松分布。參數(shù)i等于iP(Xi)200P(X計算得到180;270;3練習(xí)假設(shè)免賠額為1，求 當(dāng)免賠額為1時，賠償事件為損失額等于23的損失事件。發(fā)生的賠償事件的次數(shù)等于N1N2，服從參數(shù)23120的分布2、其他常見的理賠次數(shù)分負(fù)二項分布（negativebinomialpP(Nk)kr1()k(1)r，r0, 1 1 其中xx(x1xkkk注r

k()k(

,為幾何分布 1 1p

,q1

1

，負(fù)二項分布也可以寫為pP(Nk)kr1 ：背景試驗系列中第r次成功正好出現(xiàn)在第rk次試驗上的概率。k為第r次成功前失敗的次數(shù)。p為成功概率：母函數(shù)P(z)

kr

)r k0 kr

qz1q 將1qz

k0 1q 1qz 化簡得到NP(z)(1(zN均值和方

E(N) 或

E(N)pVar(N)r(1

或者Var(NE(N)Var(N注注這里的負(fù)二項是廣義的負(fù)二項分布，r：數(shù)：m 二項式分m pP(N

m(q)k(1

0q

k背景：m次試驗中成功的次數(shù)m個率相同的投保人，q表示概率P(z)zkp

m k(qz)(1 k k

k0 均值與方

(qz(1(1q(zNM(z)(1q(ezNE(N)P'(z)

Var(N)

q(1

E(N)Var(N例：設(shè)有10040歲的投保人投保生命險，q表示一個3、(a,b,0)分布上述3種分布都可以用(a,b,0)分布來表定義：設(shè)隨量N的分布列{pk}滿（1）pk0p00pkk

ak

為(ab0)分布族注：泊松分布，二項分布，負(fù)二項分布是(a,b,0)分布族(a,b,0)分布族只包含這三種類型的分布1、泊松分布

pk

ek e

(k因此，泊松分布屬于(a,b,0)分布族a

b

p0泊松分布是唯一使得a0的分02、負(fù)二項分布kr1()k(1 1 1k pk

kr2()k1(1 k11 1 因k kr1k krk

(kr1)(k(kr1)(krkr (k(krrkpkkrpk

1 (r1)1 1 因此，負(fù)二項式分布屬于(a,b,0)分布a

b(r

p(11

1

1當(dāng)r1時

pkpk 1a1

b

p0

1

(1幾何分布是唯一使得b0的分3、二項分布pkp

n(p)kkn(p)k1(q)nkkk

kn(n1)(n (nk1)k

(k1)! pn(n1)(n (nk)nk1 p(n1)p 因此，二項分布屬于(a,b,0)分布族a

b(n1)p，

問題：如何簡單的區(qū)別泊松、負(fù)二項和二項分布例：設(shè)N是一隨量，令pkP(Nk)，如pk14pk N的分布是什么10N服從二項式分布p1(n1p4，解出3n11p1q3

練習(xí)：設(shè)X的分布屬于(ab0)class，已求PX3解p1ab

P(X0)P(X1)P(X2) p2ab0.1875 解得a0.5,b因p(0.50.5)

4、(ab,1分布定義：隨量N的分布列滿足

abk

k2,(a,

class可以分為兩類p00，則稱為截斷的ZT（Z—p00,則稱為ZM(Z—記號(a,b,0)class

pkP(Nk)

P(P(z)pkkkkZT(a,b,0)

pTP(Nk)

PT(z)pTkkkkZMab0pMP(Nk，k

P(z)P(z)pkk1、ZMab0與(ab0)分布的關(guān)系1 pMcp 0p,k1, k11 1PM(z)(1 0) 01 1 證明：由于pMcpk1 PM(z)pMzk kpMcp k pMc(P(z)p 11pMc(1p)c 1

1 kpMcp 0p,k1, k110PM(z)pM 0(P(z)p0011 1(1 0) 01 1ZMZM分布可以看作一個(ab0)1EM(N) 0E(N12、ZTab0分布與(ab0)族分布的關(guān)系kpTk

k1kPT(z)

1

(P(z)p0證明0令pM0，即得0PT(z)

1

) 1p0

0 (P(z)p01kpTkET(N)

111

E(N3、ZT和ZM的關(guān)；1； kpMcp 0p,k1, k1kpTk

k1kpM(1pM) PM(z)pM(1pM)PT(z)(請推導(dǎo)一遍 N服從負(fù)二項分布，0.5r2.5ppTpMk 0其中pM0.60解：由于負(fù)二項式分布屬于(a,b,0)分布，其p

1

(10.5)25 1a0.51 b(1)(2.51)(0.5)1

于是計算得

pp(ab) pp(ab) p0.176404(111)31pT1

1

2 1

pT0.474651(ab) pT0.276680(ab) 1 k由 0.6，pM 0p知 k1p 1 0.302406p 1pM

1

ppM(ab) 1 例 pkdenotestheprobabilitythatthenumberofclaimskfo