任意角的三角函數(shù)的定義

任意角的三角函數(shù)的定義任意角的三角函數(shù)的定義任意角的三角函數(shù)的定義V:1.0精細整理，僅供參考任意角的三角函數(shù)的定義日期：20xx年X月任意角三角函數(shù)的定義【教學目標】1.理解并掌握任意角三角函數(shù)的定義；熟記其在各象限的符號；掌握三角函數(shù)線的定義及畫法．2．通過教學，使學生進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想．【教學重點】任意角三角函數(shù)的定義．【教學難點】單位圓及三角函數(shù)線．【教學方法】本節(jié)課主要采用啟發(fā)引導與講練結(jié)合的教學方法．在復習銳角三角函數(shù)定義的基礎上，定義了任意角的三角函數(shù)，講練結(jié)合，使學生牢固掌握．然后引導學生根據(jù)三角函數(shù)定義和象限內(nèi)的點坐標符號導出三角函數(shù)在各象限的符號，接著把正弦值、余弦值、正切值轉(zhuǎn)化為單位圓中的有向線段表示，使數(shù)與形密切結(jié)合起來，以加強學生對三角函數(shù)定義的理解．【教學過程】環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設計意圖導入復習銳角三角函數(shù)定義．師：初中時我們學過銳角三角函數(shù)，當時是怎樣定義的以舊引新．新課新課新課新課任意角的三角函數(shù)定義．已知是任意角，P(x，y)，P(x，y)是角的終邊與兩個半徑不同的同心圓的交點．(r＝EQ\R(,x2+y2)，r'＝EQ\R(,x'2+y'2))yPyPrr′yy′Ox′xxP’當角不變時，對于角的終邊上任意一點P（x，y），不論點P在角的終邊上的位置如何，三個比值EQ\F(x,r)，EQ\F(y,r)，EQ\F(y,x)始終等于定值．因此定義：角的余弦cos＝EQ\F(x,r)；角的正弦sin＝EQ\F(y,r)；角的正切tan＝EQ\F(y,x)．依照上述定義，對于每一個確定的角，都分別有唯一確定的余弦值、正弦值、正切值與之對應，所以這三個對應關系都是以角為自變量的函數(shù)，分別叫做角的余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)．三角函數(shù)求值．根據(jù)三角函數(shù)定義，可得計算三角函數(shù)值的步驟：S1畫角：在直角坐標系中，作轉(zhuǎn)角等于α；S2找點：在角α的終邊上任找一點P，使OP＝1，并量出該點的縱坐標和橫坐標；S3求值：根據(jù)相應三角函數(shù)的定義，求該角的三角函數(shù)值．例1已知角終邊上一點P(2，－3)，求角的三個三角函數(shù)值．解已知點P（2，－3），則r＝?OP＝EQ\R(,22＋（－3）2)＝EQ\R(,13)，由三角函數(shù)的定義，得sin＝EQ\F(y,r)＝EQ\F(－3,EQ\R(,13))＝－EQ\F(3EQ\R(,13),13)；cos＝EQ\F(x,r)＝EQ\F(2,EQ\R(,13))＝；tan＝EQ\F(y,x)＝－EQ\F(3,2)；練習1教材P138，練習A組第1、4、5題．例2試確定三角函數(shù)在各象限的符號．解由三角函數(shù)的定義可知，sin＝EQ\F(y,r)，角終邊上點的縱坐標y的正、負與角的正弦值同號；cos＝EQ\F(x,r)，角終邊上點的橫坐標x的正、負與角的余弦值同號；由tan＝EQ\F(y,x)，則當x與y同號時，正切值為正，當x與y異號時，正切值為負．OxyOxy＋＋－－sinαOxy＋－＋－cosαOxy＋－－＋tanα練習2確定下列各三角函數(shù)值的符號：(1)sin(－EQ\F(π,4))；(2)cos130；(3)tanEQ\F(4π,3)．例3使用函數(shù)型計算器，計算下列三角函數(shù)值：(1)，cos372，tan(－86)；(2)，cosEQ\F(3π,4)，tanEQ\F(5π,6)．解略．3.單位圓與三角函數(shù)線．如圖，以原點為圓心，半徑為1的圓稱作單位圓．OMxOMxA(1，0)1P(cos，sin)y設角的終邊與單位圓的交點為P(x，y)，過點P作PM垂直于x軸，則sin＝y(tǒng)，cos＝x，即P(cos，sin)．cos＝x＝OM；sin＝y(tǒng)＝MP．于是我們把規(guī)定了方向的線段OM，MP分別稱作角的余弦線、正弦線．練習3（1）在直角坐標系的單位圓中，分別畫出EQ\F(π,3)和－EQ\F(2π,3)的正弦線、余弦線．設單位圓在點A的切線與角的終邊或其反向延長線相交于點T(T)，則tan＝EQ\F(y,x)＝EQ\F(AT,OA)＝AT(AT)，所以AT(AT)稱作角α的正切線．練習3（2）在直角坐標系的單位圓中，分別畫出EQ\F(π,3)和－EQ\F(2π,3)的正切線．問題1：當我們把銳角的概念推廣為轉(zhuǎn)角后，我們?nèi)绾味x任意角的三角函數(shù)呢如左圖所示，由相似三角形對應邊成比例得，EQ\F(

x,

r)＝EQ\F(

x',r')，EQ\F(

y,

r)＝EQ\F(

y',r')，EQ\F(

y,

x)＝EQ\F(

y',x').由于點P，P'在同一象限內(nèi)，所以它們的坐標符號相同，因此，EQ\F(x,r)＝EQ\F(x',r')，EQ\F(y,r)＝EQ\F(y',r')，EQ\F(y,x)＝EQ\F(y',x')，所以三個比值EQ\F(x,r)，EQ\F(y,r)，EQ\F(y,x)只依賴于的大小，與點P在終邊上的位置無關．教師引領學生識記三角函數(shù)定義．依據(jù)函數(shù)定義說明角與三角函數(shù)值的對應關系．練習：在直角坐標系中，畫出半徑為１的圓，求出30°，38°，128°等角的正弦、余弦和正切的值.在例1中強調(diào)：（１）P為角α的終邊上任意一點；（２）求三角函數(shù)值時用到的三個量x，y，r以及三者的關系；教師可通過教材P138練習A組第1題中的練習讓學生自己總結(jié)出三角函數(shù)在各象限的符號．根據(jù)三角函數(shù)的定義，及各象限內(nèi)點的坐標的符號得出三角函數(shù)在各象限的符號，教師總結(jié)口訣，幫助學生記憶：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦．練習2也可以用計算器直接求出三角函數(shù)值，然后確定符號．師：在任意角三角函數(shù)的定義中，當角的終邊上一點P（x，y）的坐標滿足r＝EQ\R(,x2+y2)＝1時，三角函數(shù)的正弦、余弦會變成什么樣呢看著圖示，結(jié)合三角函數(shù)定義講解正弦線、余弦線、正切線的由來．學生自己動手，熟悉正弦線，余弦線的畫法．學生自己動手，熟悉當角在不同象限時正切線的畫法．說明三角函數(shù)定義的理論根據(jù)．通過學生自己動手測量,加深學生對三角函數(shù)定義的理解,并為學習單位圓做鋪墊.強調(diào)這幾點為練習B組第1、2、3做鋪墊.通過練習1，熟練已知角的終邊上一點求三角函數(shù)值的步驟．由練習中的具體題目到例2的理論分析，由特殊到一般加深學生對三角函數(shù)符號的理解.學生理解正切線難度較大，教師要詳細講解各個象限內(nèi)的角的正切線的做法.小結(jié)回憶本節(jié)課所學知識點：(1)任意角