幻矩和多維-超級(jí)幻立方

任何奧秘的揭示或破增添了瑰寶無論它暫（2004612日初稿錄（200591日三稿前言12第一部分本文所用的名詞、記號(hào)、定理?！?12點(diǎn)、線、 34斜線、斜 34原幻立方、幻立 5正交 56定 6第二部 23階超級(jí)幻立 78保氏立方 7823階超級(jí)原幻立方 923階超級(jí)原幻立方M和 9 第三部分n3(n≥3)階超級(jí)幻立 指示立 33階超級(jí)原幻立方 ，前言上世紀(jì)七十年代有人了一個(gè)8階幻立方，其豎和、行和、列和、層面斜和、205222052。有結(jié)果而無構(gòu)造方法。一時(shí)九十年代于所著《幻方》一書中，稱之為特殊幻方。九十年代，福建也造出一個(gè)，僅23階超級(jí)幻立方僅此三個(gè)。造一個(gè)23階的，已非常，遑論更高階的n3，何況當(dāng)時(shí)幻方學(xué)家大多以為超級(jí)幻方或幻立方只2223階之中，為一種特殊現(xiàn)象而已。，2001年，我已解決了超級(jí)幻方問題，所用定理及方法，總結(jié)為《幻方與幻立方的當(dāng)論》一書，在書中才提出n3(n≥3)階超級(jí)幻立方是否存在的問題。原以為十年、二十年后，甚或2004年有了結(jié)果。《超級(jí)幻立方一文初稿寫成后其中不免出現(xiàn)一些新概念新定理即使也要用心能讀懂，乃復(fù)印了若干份，請(qǐng)幻方轉(zhuǎn)送他們的，請(qǐng)?jiān)凇罢f理透徹，文詞淺顯”上多出意使讀者比較容易看懂此文們提了很多意見的曹陵先生還在計(jì)算機(jī)上復(fù)驗(yàn)了3超級(jí)幻立方的全部數(shù)據(jù)，強(qiáng)先生甚至動(dòng)筆改寫了文中幾節(jié)。本文定稿時(shí)，全部吸了他們的意見，在此表示謝意，特別要向兩先生致謝。第二部分為3階超級(jí)幻方在本文之前世上只有三個(gè)這種幻立方但不如何造23了數(shù)的奧秘外，并無神秘可言。抽象地論證n3，篇幅會(huì)很長，語言會(huì)非常煩瑣，很難讀下去。因而本文從33開始。先根據(jù)一個(gè)3階指示立方I作出成為正交組的三個(gè)33階超級(jí)原幻立方，LMN，于是36L+33M+N+133階超級(jí)幻立方。但是，對(duì)于構(gòu)造過程的各項(xiàng)結(jié)果（數(shù)據(jù)用理論證明（其實(shí)，實(shí)地驗(yàn)算已非常了讀者讀懂了這一段，便可自行論證n3了。斜線斜和子立方子立方和超級(jí)原幻立方正交三元組（正交組）超級(jí)幻立方保氏立方以立方體為元素的立方體指示立方第一部分1方位11后右后下22

1由n3個(gè)小立方體堆壘而成一個(gè)n×n×n的大立方體，這個(gè)大立方體稱為立方，小立方體稱為2a,b,c,（a）是層面圖，(b)是直觀圖。(c)是點(diǎn)象圖。 nn這n個(gè)數(shù)字之和稱為一個(gè)豎和。位于同一條由左至右的直線上的n個(gè)點(diǎn)，叫作數(shù)字立方一個(gè)n階立方，從上至下，有n個(gè)層面。最上一層叫頂層，為第1層，順次而下，為第2、3nn123nn1層，順次而后，23n層為后層。ijk層相交而定的格子（胸腔、點(diǎn)）記(1,1,1)，下右后為（n,n,n3345i層，于是(i,1, (i,2,2),(i,3,3(i,4,4)(i,5,5)46610(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7),(4,6,8),(5,7,9),(6,8,10)這是從頂層到后層的六點(diǎn)。(6,8,10)之后為321段。對(duì)角10點(diǎn)組成的對(duì)角斜線在頂層之 (1,4,6)，(1,5,7)，(1,6,8)，(1,8,10)，(1,9,1)，(1,10,2)，(1,1,3)，46（5）440，1，2，……m-1各m2個(gè)組成的m階數(shù)字立方。如果它的豎和、行和、列和以及對(duì)角和1m（m-1，則稱之為原幻立方。212原幻立方12高級(jí)原幻立方12212（m3+1（m3+12m（m3+12而中的n1m（m3+1，則稱為超級(jí)幻立方。255A，B，Cma1,a2,…am;b1,b2,…bmc1,c2,…cm。它們在同位胞a,b,c,a是某個(gè)aib是某個(gè)bj，cckAB,C組成一個(gè)新的立方[A，它的元素是有序組[a,b,c]。也用[A,B,C]來表示其元集，[AB,C]={[a,b,c]|a∈A,b∈B,C∈C,a,b,c如果[AB,C]={[aibj,ck]|ij,A，B，C時(shí)，[A，B，C]m3a1a2,…,am;b1,b2,…bm；c1,c2,…cmA，B，C是一個(gè)正交三元組，在本文中省稱為正交組，以區(qū)別于A，B，C是正交組，則A,B,C的任意排列都是正交組，例如B,A,C。12A,B,C,D6之（1）所示：AB,CAB,D6之（2）所示，[AB,C]0,1AC是個(gè)正交組。[A,B,D]缺了[0,1,0]，[1,1,1]，故A,B,D不是個(gè)正交組。例2 A,B,C如圖7所示，A,B,C是個(gè)正交組661設(shè)LA1，A2，…，Amm2個(gè)構(gòu)成的立方，MB1，B2，…，Bm各m2個(gè)構(gòu)成的立方，N是由C1，C2，…，Cm各m2個(gè)構(gòu)成的立方。諸A，B，C都是小立方，L，M，N作Aiai1ai2,…ain各n2個(gè)構(gòu)成的立方，i=1,2,…m;Bjaj1aj2,…ajn各n2個(gè)構(gòu)成的立方，j=1,2,…,CkcK1cK2,…cKn各n2個(gè)構(gòu)成的立方，k=1,2,…m各Ai是同態(tài)的，各Bj是同態(tài)的，各Ck也是同態(tài)的。但不同的Ai沒有公共元，不同的Bj沒CkA1，B1，C1是個(gè)正交組。Laiu（i=1,2,…mu=1,2,…n）M作為bjv（i=1,2,…m;v=1,2,…,n）NcKW（k=1,2,…,m;w=12,…,n）的立方，時(shí)，L，M，NL，M，NaiubjvckwL，M，N仍為正交組，只要證明，任意的有序組[aiu,bjv,ckw]L，M，N的拼合[L，M，N]的元即可。,bjv∈BjCkCkw∈Ck。A1，B1，C1是正交組，分別與Ai，Bj，Ck同態(tài)，故Ai，Bj，Ck也是正交組，因而有序組[aiu,bjv,ckw]∈[Ai，Bj，Ck]L，M，NAi，Bj，Ck為元時(shí)，有序組[Ai，Bj，Ck]∈[L，M，N]L，M，N以aiu,bjv,ckw為元時(shí)，[Ai，Bj，Ck]成為拼合，且[Ai，Bj，Ck] L，M，Naiu，bjv，CkwA1，A2同態(tài)，無公共元；B1，B2同態(tài)無公共元；C1，C2也同態(tài)，無公共元。A1，B1，C1是8所示。8A，B，C9 9（1,9(1),(2),(3)L，M，N27個(gè)L，M，N2L，M，Nnn證明的方式、方法與《幻方與幻立方的當(dāng)論》P118的定理15完全相同，從略第二部分2377（1592，（127510其性質(zhì)為豎和相等（值為9，面和相等（值為18，相對(duì)兩棱之和相等。保氏以高興的心情“六合立方之巧則智之可以講清了。其實(shí)，將六合立方的各數(shù)表為“二進(jìn)數(shù)”有又8813(b)例如，07互補(bǔ)，16互補(bǔ)。這個(gè)圖的第二層和第一層是互補(bǔ)的，知道了第一層，便也知道了13(c)414141515就是我要構(gòu)造的超級(jí)L（ABCD-A’B’C’D’）L1）LA的前面或后面，故行2）L的列都由八個(gè)數(shù)字組成，正好是保氏立方上下兩面的和數(shù)，故列和73）L的豎都由一對(duì)互補(bǔ)的數(shù)重復(fù)四次而成，故豎和7由上而下的各水平面上的斜線，用到了保氏立方的八個(gè)數(shù)字，故其和k77由左而右的各垂直平面上的斜線，用到了保氏立方的八個(gè)數(shù)字，故其和k面或后面，故其和=14×2=28任取一對(duì)角線，例如說是由（1,1,1）到(8,8,8)的，再任作它的平行線，例如說從(1,3,0，3，6， 7，4，1，設(shè)那對(duì)角斜線 x1x3x5x70，6，7，1（A的前面；x2,x4x6x8為其投影的互4，5，3，2（A的后面，故其和=28，而每根對(duì)角斜線都適用這種推理，故對(duì)角斜和=28由于L中任何上下相鄰兩數(shù)是互補(bǔ)的，故任何2×2×2的子立方由4個(gè)互補(bǔ)的豎構(gòu)成，2×2×2=7×4=28。923M9（1,1,1—自上而下，M的第1、5層全同；第2、6層全同；第3、7層全同，第4、8層全同。自前至1、3、5、72、4、6、8（1,1,1BACDD’C’17。2、3、45、6、7、8層相同。M，NL。L既然是超級(jí)的，M，NL，M，NL，M，N7[L,M,N]=

{[1,m,k]|1∈L,m∈M,k∈N,l,m,k同位}k，把LMk同位的數(shù)找出構(gòu)成{[l,m,k]}，再取并集。k=0時(shí)，可如下所示求得{[l,m,0]}：L，MN018 177551775566440022432543254325000000000000077556775566440022161076107610700000000000052345234

第層第366006600 0022300223547016000018可見，L，MN0{[l,m,o]|l∈Lm∈Mo∈Nl,m,o同位={[l,m,o]|l,m=0,1,2,…,1,2,…,7k

第7{[l,m,k]|l∈Lm∈Mk∈Nl,m,k同位={[l,m,k]|l,m=0,1,2,…,7 [L,M,N]=

{[1,m,k]|l,m=0,1,2,…,={[l,m,k]|l,m,k=0,1,2,…,這就是說，L，M，N既然，L，M，N23AB，C第三部分n3(n≥31為n(n3-1)193I=abcd-2n(n≥3)n33現(xiàn)在作立方L（A1B1C1D1A1B1C1D1。LI的行構(gòu)成，但I(xiàn)的每個(gè)數(shù)字要重復(fù)9次3次。LI9次而成。LA1B1C1D1 圖

23,25,

9,

18,713,20,6,

15,22,24,

112

23,

5,

18,726,

19,

1,

2134、5、61、2、33m+i(m=0,1,2,3,4,5,6,7,8;i=1,2,3)層i層全同。易知，L的行和=a×9+b×9+c×9=(a+b+c)×9=39×9=351a,b,cIL的列和=（a×3+b×3+c×3）×3=351。a,b,c是IL的豎和=（a+b+c）×9=351。a,b,cI27個(gè)列。例如，自（1,5,1）出發(fā)平行于主對(duì)角線的斜線，連續(xù)通過中間的列帶及右邊（a2×3+b2×3+c2×3）+（a3×3+9a1b1c1為I斜和a1+b1+c1a2+b2+c23511層（左層）~9I10~18I的（從左到右）219層~27層（右層）I的右層 000221111111110002211111111100022111111111000221111110002211111100022111111000221110002211100022111 L的左 圖 L的前層（第1層）A1A1B1B1（圖23，它由三個(gè)“行帶”組成，每個(gè)行帶又由三個(gè)全同的9351。由前至后的二十七個(gè)層面中，第1，2，3；10，11，12；19，20，21層，都由I的前層變來。第4，5，6；13，14，15；22，23，24層由I的從前至后的中層變來，第7，8，9；16，17，18；25，26，27I的后層變來，變的方式相同，因此，所有這些層面的斜和=351。 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 L的前 圖

A1C1，即從（1,1,1）到(27,27,27)。而平行于它2327把這層面斜線上的數(shù)用①②③循環(huán)，如圖24所示①②③①②000③①②0①②③①2②55③①②①②3③5①②9 998③ ①②69由L的構(gòu)造，自上而下，每三層循環(huán)一次。故為①的數(shù)，都在指示立方I的頂層上，它就是原像；為②的數(shù)在I的中層的投影是原像；為③的數(shù)在I的底層上的投影是原像。注意，一條層面斜線在穿過圖21的一個(gè)“列帶”時(shí)，數(shù)的有三種可能1）①②③——①②③——2）②③——①②③——①②③—3）③——①②③——①②③—2249ILI39L3階子立方和39×9=351令MI9；MI33；MI9 00 2424242424242424 24242424242424242626262626262626261212121212121212 2626262626262626261212121212121212 2626262626262626261212121212121212 0 2424242424242424 24242424242424242626262626262626261212121212121212 2626262626262626261212121212121212 2626262626262626261212121212121212 0 2424242424242424 24242424242424242626262626262626261212121212121212 2626262626262626261212121212121212 2626262626262626261212121212121212

26,10,左起第1，4，7，10，13，16，`9，22，25層全同；第2，5，8，11，14，17，20，23，26層全同；NI9次而成。NI3N28

20,

6,102

26,

15,

9,22,8 6,103

11,213，6，9，12，15，18，21，24，27 002626 1010102626 1010102626 10102626 1010102626 1010102626 10102626 1010102626 1010102626 10102626 1010102626 1010102626 10102626 1010102626 1010102626 10102626 1010102626 1010102626 10102626 1010102626 1010102626 10102626 1010102626 1010102626