小升初奧數(shù)講義打印版答案

工程問(wèn)題1、甲乙兩個(gè)水管單獨(dú)開，注滿一池水，分別需要20小時(shí)，16小時(shí).丙水管單獨(dú)開，排一池水耍10小時(shí)，若水池沒水，同時(shí)打開甲乙兩水管，5小時(shí)后，再打開排水管丙，問(wèn)水池注滿還是要多少小時(shí)？【解析：】1/20+優(yōu)6=9/80表示甲乙的工作效率9/80x5=45/80表示5小時(shí)后進(jìn)水量1-45/80=35/80表示還要的進(jìn)水量35/80+(9/80-1/10)=35表示還要35小時(shí)注滿答：5小時(shí)后還要35小時(shí)就能將水池注滿。2、修一條水渠，單獨(dú)修，甲隊(duì)需要20天完成，乙隊(duì)需要30天完成.如果兩隊(duì)合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊(duì)的工作效率是原來(lái)的五分之四，乙隊(duì)工作效率只有原來(lái)的十分之九?，F(xiàn)在計(jì)劃16天修完這條水渠，且要求兩隊(duì)合作的天數(shù)盡可能少,那么兩隊(duì)要合作幾天？【解析：】由題意得，甲的工效為1/20,乙的工效為1/30,甲乙的合作工效為1720*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲乙合作工效〉甲的工效〉乙的工效。又因?yàn)椋蟆皟申?duì)合作的天數(shù)盡可能少”，所以應(yīng)該讓做的快的甲多做，16天內(nèi)實(shí)在來(lái)不及的才應(yīng)該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊(duì)合作的天數(shù)盡可能少”。設(shè)合作時(shí)間為x天，則甲獨(dú)做時(shí)間為(16-x)天1/20*(16-x)+7/100*x=1x=10答：甲乙最短合作10天3、一件工作，甲、乙合做需4小時(shí)完成，乙、丙合做需5小時(shí)完成?，F(xiàn)在先請(qǐng)甲、丙合做2小時(shí)后，余下的乙還需做6小時(shí)完成。乙單獨(dú)做完這件工作要多少小時(shí)？【解析：】由題意知，1/4表示甲乙合作1小時(shí)的工作量，1/5表示乙丙合作1小時(shí)的工作量(1/4+1/5)x2=9/10表示甲做了2小時(shí)、乙做了4小時(shí)、丙做了2小時(shí)的工作量。根據(jù)“甲、丙合做2小時(shí)后，余下的乙還需做6小時(shí)完成”可知甲做2小時(shí)、乙做6小時(shí)、丙做2小時(shí)一共的工作量為1。所以1-9/10=1/10表示乙做61=2小時(shí)的工作量。1/10-2=1/20表示乙的工作效率。1-1/20=20小時(shí)表示乙單獨(dú)完成需要20小時(shí)。答：乙單獨(dú)完成需要20小時(shí)。4、一項(xiàng)工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整數(shù)天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，那么完工時(shí)間要比前一種多半天。已知乙單獨(dú)做這項(xiàng)工程需17天完成，甲單獨(dú)做這項(xiàng)工程要多少天完成？【解析：】由題意可知1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲=11/乙+1/甲+1/乙+1/甲+ +1/乙+1/甲x0.5=1(1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后結(jié)束必須如上所示，否則第二種做法就不比第一種多0.5天)1/甲=1/乙+1/甲x0.5(因?yàn)榍懊娴墓ぷ髁慷枷嗟?得到1/甲=1/乙x2又因?yàn)?/乙=1/17所以1/甲=2/17,甲等于17+2=8.5天5、師徒倆人加工同樣多的零件。當(dāng)師傅完成了1/2時(shí)，徒弟完成了120個(gè)。當(dāng)師傅完成了任務(wù)時(shí)，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個(gè)？【解析：】答案為300個(gè)120-(4/5+2)=300個(gè)可以這樣想：師傅第一次完成了1/2,第二次也是1/2,兩次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5,可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5,剛好是120個(gè)。6、一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？【解析：】答案是15棵算式:1+(1/6-1/10)=15棵7.一個(gè)池上裝有3根水管。甲管為進(jìn)水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完?，F(xiàn)在先打開甲管，當(dāng)水池水剛溢出時(shí)，打開乙，丙兩管用了18分鐘放完，當(dāng)打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完？【解析：】答案45分鐘。1+(1/20+1/30)=12表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數(shù)。1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲18分鐘進(jìn)的水。1/2+18=1/36表示甲每分鐘進(jìn)水最后就是1+(1/20-1/36)=45分鐘。8、某工程隊(duì)需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊(duì)去做，恰好如期完成，若乙隊(duì)去做，要超過(guò)規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊(duì)單獨(dú)做，恰好如期完成，問(wèn)規(guī)定日期為幾天？【解析：】答案為6天解：由“若乙隊(duì)去做，要超過(guò)規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊(duì)單獨(dú)做，恰好如期完成，”可知：乙做3天的工作量=甲2天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2甲、乙分別做全部的的工作時(shí)間比是2：3時(shí)間比的差是1份實(shí)際時(shí)間的差是3天所以3+(3-2)x2=6天，就是甲的時(shí)間，也就是規(guī)定日期方程方法：[1/x+1/(x+2)]x2+1Z(x+2)x(x-2)=1解得x=69、兩根同樣長(zhǎng)的蠟燭，點(diǎn)完一根粗蠟燭耍2小時(shí)，而點(diǎn)完一根細(xì)蠟燭要1小時(shí)，一天晚上停電，小芳同時(shí)點(diǎn)燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來(lái)點(diǎn)了，小芳將兩支蠟燭同時(shí)熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長(zhǎng)是細(xì)蠟燭的2倍，問(wèn)：停電多少分鐘？【解析：】答案為40分鐘。解：設(shè)停電了x分鐘根據(jù)題意列方程1-1/120*x=(1-1/60*x)*2解得x=40雞兔同籠問(wèn)題沒有答案數(shù)字?jǐn)?shù)位問(wèn)題1、把1至2005這2005個(gè)自然數(shù)依次寫下來(lái)得到一個(gè)多位數(shù)123456789..…2005,這個(gè)多位數(shù)除以9余數(shù)是多少？【解析：】首先研究能被9整除的數(shù)的特點(diǎn)：如果各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個(gè)數(shù)也能被9整除：如果各個(gè)位數(shù)字之和不能被9整除，那么得的余數(shù)就是這個(gè)數(shù)除以9得的余數(shù)。解題：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除依次類推：1~1999這些數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字之和可以被9整除10-19,20~29……90~99這些數(shù)中十位上的數(shù)字都出現(xiàn)了10次，那么十位上的數(shù)字之和就是10+20+30+……+90=450它有能被9整除同樣的道理，100~900百位上的數(shù)字之和為4500同樣被9整除也就是說(shuō)1~999這些連續(xù)的自然數(shù)的各個(gè)位上的數(shù)字之和可以被9整除；同樣的道理：10007999這些連續(xù)的自然數(shù)中百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字之和可以被9整除(這里千位上的“1”還沒考慮，同時(shí)這里我們少200020012002200320042005從10007999千位上一共999個(gè)“1”的和是999,也能整除；200020012002200320042005的各位數(shù)字之和是27,也剛好整除。最后答案為余數(shù)為0o2、A和B是小于100的兩個(gè)非零的不同自然數(shù)。求A+B分之A-B的最小值…【解析：】(A-B)/(A+B)=(A+B-2B)/(A+B)=1-2*B/(A+B)前面的1不會(huì)變了，只需求后面的最小值，此時(shí)(A-B)/(A+B)最大。對(duì)于B/(A+B)取最小時(shí)，(A+B)/B取最大,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求(A+B)/B的最大值。(A+B)/B=1+A/B,最大的可能性是A/B=99/1(A+B)/B=100(A-B)/(A+B)的最大值是：98/1003、已知A.B.C都是非0自然數(shù),A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,那么它的準(zhǔn)確值是多少？【解析：】答案為6.375或6.4375因?yàn)锳/2+B/4+C/16=8A+4B+C/16?6.4,所以8A+4B+O102.4,由于A、B、C為非0自然數(shù)，因此8A+4B+C為一個(gè)整數(shù)，可能是102,也有可能是103。當(dāng)是102時(shí)，102/16=6.375當(dāng)是103時(shí)，103/16=6.43754、一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和是17.其中十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大1.如果把這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，得到一個(gè)新的三位數(shù),則新的三位數(shù)比原三位數(shù)大198,求原數(shù).【解析：】答案為476解：設(shè)原數(shù)個(gè)位為a,則十位為a+1,百位為16-2a根據(jù)題意列方程100a+10a+16-2a—100(16-2a)-10a-a=198解得a=6,貝i]a+1=716-2a=4答：原數(shù)為476。5,一個(gè)兩位數(shù)，在它的前面寫上3,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的7倍多24,求原來(lái)的兩位數(shù).【解析：】答案為24解：設(shè)該兩位數(shù)為a,則該三位數(shù)為300+a7a+24=300+aa=24答：該兩位數(shù)為24。6、把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù),它與原數(shù)相加，和恰好是某自然數(shù)的平方，這個(gè)和是多少？【解析：】答案為121解：設(shè)原兩位數(shù)為10a+b,則新兩位數(shù)為10b+a它們的和就是10a+b+10b+a=11(a+b)因?yàn)檫@個(gè)和是,個(gè)平方數(shù)，可以確定a+b=11因此這個(gè)和就是11x11=121答:它們的和為121。7、一個(gè)六位數(shù)的末位數(shù)字是2,如果把2移到首位，原數(shù)就是新數(shù)的3倍，求原數(shù).【解析：】答案為85714解：設(shè)原六位數(shù)為abcde2,則新六位數(shù)為2abcde(字母上無(wú)法加橫線，請(qǐng)將整個(gè)看成一個(gè)六位數(shù))再設(shè)abcde(五位數(shù))為x,則原六位數(shù)就是10x+2,新六位數(shù)就是200000+x根據(jù)題意得，(200000+x)*3=10x+2解得x=85714所以原數(shù)就是857142答：原數(shù)為8571428,有一個(gè)四位數(shù)，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字的和是12,十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是9,如果個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字互換，千位數(shù)字與十位數(shù)字互換，新數(shù)就比原數(shù)增加2376,求原數(shù).【解析：】答案為3963解：設(shè)原四位數(shù)為abed,則新數(shù)為edab,且d+b=12,a+c=9根據(jù)“新數(shù)就比原數(shù)增加2376”可知abcd+2376=cdab,歹U豎式便于觀察abed2376edab根據(jù)d+b=12,可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。再觀察豎式中的個(gè)位，便可以知道只有當(dāng)d=3,b=9：或d=8,b=4時(shí)成立。先取d=3,b=9代入豎式的百位，可以確定十位上有進(jìn)位。根據(jù)a+c=9,可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。再觀察豎式中的十位，便可知只有當(dāng)c=6,a=3時(shí)成立。再代入豎式的千位，成立。得到:abed=3963再取d=8,b=4代入豎式的十位，無(wú)法找到豎式的十位合適的數(shù)，所以不成立。9、有一個(gè)兩位數(shù)，如果用它去除以個(gè)位數(shù)字，商為9余數(shù)為6,如果用這個(gè)兩位數(shù)除以個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和,則商為5余數(shù)為3,求這個(gè)兩位數(shù).【解析：】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為ab10a+b=9b+610a+b=5（a+b）+3化簡(jiǎn)得到一樣：5a+4b=3由于a、b均為一位整數(shù)得到a=3或7,b=3或8原數(shù)為33或78均可以10、如果現(xiàn)在是上午的10點(diǎn)21分，那么在經(jīng)過(guò)28799...99（一共有20個(gè)9）分鐘之后的時(shí)間將是幾點(diǎn)幾分？【解析：】答案是10：20解：（28799……9（20個(gè)9）+1）/60/24整除，表示正好過(guò)了整數(shù)天，時(shí)間仍然還是10：21,因?yàn)槭孪扔?jì)算時(shí)加了1分鐘，所以現(xiàn)在時(shí)間是10：20排列組合問(wèn)題1、有五對(duì)夫婦圍成一圈，使每一對(duì)夫婦的夫妻二人動(dòng)相鄰的排法有（）A768種B32種C24種D2的10次方中【解析：】根據(jù)乘法原理，分兩步：第一步是把5對(duì)夫妻看作5個(gè)整體,進(jìn)行排列有5X4X3X2X1=120種不同的排法，但是因?yàn)槭菄梢粋€(gè)首尾相接的圈，就會(huì)產(chǎn)生5個(gè)5個(gè)重復(fù)，因此實(shí)際排法只有1204-5=24種。第二步每一對(duì)夫妻之間又可以相互換位置，也就是說(shuō)每一對(duì)夫妻均有2種排法，總共又2X2X2X2X2=32種綜合兩步，就有24x32=768種。2、若把英語(yǔ)單詞hell。的字母寫錯(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有（）A119種B36種C59種D48種【解析：】5全排列5*4*3*2*1=120有兩個(gè)I所以120/2=60原來(lái)有一種正確的所以60-1=593、小新、阿呆等七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個(gè)人排成一排；（2）七個(gè)人排成一排，小新必須站在中間.（3）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（4）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.（5）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.（6）七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.（7）七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排?！窘馕觯骸浚?）q=5040（種）。（2）只需排其余6個(gè)人站剩F的6個(gè)位置.母=720（種）.（3）先確定中間的位置站誰(shuí)，冉排剩下的6個(gè)位置.2X收=i440（種）.（4）先排兩邊，再排剩下的5個(gè)位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置.2x/?5=240（種）.（5）先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5個(gè)人中選2人，再排剩F的5個(gè)人，P^xP^=2400（種）.（6）七個(gè)人排成一排時(shí)，7個(gè)位置就是各不相同的.現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個(gè)人，7個(gè)位置還是各不相同的，所以本題實(shí)質(zhì)就是7個(gè)元素的全排列.哥=5040（種）.（7）可以分為兩類情況：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，兩種情況是對(duì)等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2即可.4X3義匕x2=2880（種）.排隊(duì)問(wèn)題，一般先考慮特殊情況再去全排列。4、用1、2、3、4、5、6可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的個(gè)位是5的三位數(shù)？【解析：】個(gè)位數(shù)字已知，問(wèn)題變成從從5個(gè)元素中取2個(gè)元素的排列問(wèn)題，已知”=5,m=2,根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成抬=5x4=20（個(gè)）符合題意的三位數(shù)。5、用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)比20000大且百位數(shù)字不是3的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？【解析】可以分兩類來(lái)看：⑴把3排在最高位上，其余4個(gè)數(shù)可以任意放到其余4個(gè)數(shù)位上，是4個(gè)元素全排列的問(wèn)題，有8=4x3x2x1=24（種）放法，對(duì)應(yīng)24個(gè)不同的五位數(shù)；⑵把2,4,5放在最高位上，有3種選擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和3之外的3個(gè)數(shù)字可以選擇，有3種選擇，其余的3個(gè)數(shù)字可以任意放到其余3個(gè)數(shù)位上，有片=6種選擇.由乘法原理，可以組成3x3x6=54（個(gè)）不同的五位數(shù)。由加法原理，可以組成24+54=78（個(gè)）不同的五位數(shù)。6、用0到9十個(gè)數(shù)字組成沒有看復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個(gè)數(shù)？【解析】從高位到低位逐層分類：（1）千位上排1,2,3或4時(shí)，千位有4種選擇，而百、十、個(gè)位可以從0?9中除千位已確定的數(shù)字之外的9個(gè)數(shù)字中選擇，因?yàn)閿?shù)字不重復(fù)，也就是從9個(gè)元素中取3個(gè)的排列問(wèn)題，所以百、十、個(gè)位可有代=9x8x7=504（種）排列方式.由乘法原理，有4x504=2016（個(gè)）.⑵千位上排5,百位上排0~4時(shí)，千位有1種選擇，百位有5種選擇，十、個(gè)位可以從剩下的八個(gè)數(shù)字中選擇.也就是從8個(gè)元素中取2個(gè)的排列問(wèn)題，即《2=8x7=56,由乘法原理，有1x5x56=280（個(gè)）.⑶千位上排5,百位上排6,十位上排0,1,2,3,4,7時(shí)，個(gè)位也從剩下的七個(gè)數(shù)字中選擇，有1x1x6x7=42（個(gè)）.（4）千位上排5,百位上排6,十位上排8時(shí)，比5687小的數(shù)的個(gè)位可以選擇0,1,2,3,4共5個(gè).綜上所述，比5687小的四位數(shù)有2016+280+42+5=2343（個(gè)），故比5687小是第2344個(gè)四位數(shù).7、用1、2、3、4,5這五個(gè)數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個(gè)3的倍數(shù)？【解析：】按位數(shù)來(lái)分類考慮：（1）一位數(shù)只有1個(gè)3；⑵兩位數(shù)：由1與2,1與5,2與4,4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成8=2x1=2（個(gè)）不同的兩位數(shù)，共可組成2x4=8（個(gè)）不同的兩位數(shù)；⑶三位數(shù)：由1,2與3；1,3與5：2,3與4；3,4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成片=3x2x1=6（個(gè)）不同的三位數(shù)，共可組成6x4=24（個(gè)）不同的三位數(shù)：（4）四位數(shù)：可由1,2,4,5這四個(gè)數(shù)字組成，有療=4x3x2x1=24（個(gè)）不同的四位數(shù)；（5）五位數(shù)：可由1,2,3,4,5組成，共有耳=5x4x3x2x1=120（個(gè)）不同的五位數(shù).由加法原理，-共有1+8+24+24+120=177（個(gè)）能被3整除的數(shù)，即3的倍數(shù).8、用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)不同的偶數(shù)？【解析：】由于組成偶數(shù)，個(gè)位上的數(shù)應(yīng)從2,4,6中選一張，有一3種選法：十位和百位上的數(shù)可以從剩下的5張中選二張，有用=5x4=20（種）選法.由乘法原理，一共可以組成3x20=60（個(gè)）不同的偶數(shù).9、某管理員忘記了自己小保險(xiǎn)柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個(gè)非。數(shù)碼組成，且四個(gè)數(shù)碼之和是9,那么確保打開保險(xiǎn)柜至少要試幾次？【解析：】四個(gè)非0數(shù)碼之和等于9的組合有1,1,1,6；1,1,2,5；1,1,3,4；1,2,2,4；1,2,3,3；2,2,2,3六種。第一種中，可以組成多少個(gè)密碼呢？只要考慮6的位置就可以了，6可以任意選擇4個(gè)位置中的一個(gè)，其余位置放1,共有4種選擇；第二種中，先考慮放2,有4種選擇，再考慮5的位置，可以有3種選擇，剩下的位置放1,共有4x3=12（種）選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有12種選擇.最后一種，與第一種的情形相似，3的位置有4種選擇，其余位置放2,共有4種選擇.綜上所述，由加法原理，一共可以組成4+12+12+12+12+4=56（個(gè)）不同的四位數(shù)，即確保能打開保險(xiǎn)柜至少要試56次.10、兩對(duì)三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個(gè)人都不與自己的同胞兄妹相鄰，（同一位置上坐不同的人算不同的坐法），那么共有多少種不同的坐法？第一個(gè)位置在6個(gè)人中任選一個(gè)，有煤=6（種）選法，第二個(gè)位置在另一胞胎的3人中任選一個(gè)，有C；=3（種）選法.同理，第3,4,5,6個(gè)位置依次有2,2,1,1種選法.由乘法原理，不同的坐法有穴xgxgxgxp =6x3x2x2x1x1=72（種）。11、已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍對(duì)乙說(shuō):“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從這個(gè)回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？【解析】這道題乍一看不太像是排列問(wèn)題，這就需要靈活地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.仔細(xì)審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍”，而且“乙不是最差的”，也就等價(jià)于5人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因?yàn)橐业南拗谱疃啵韵扰乓?，?種排法，再排甲，也有3種排法，剩下的人隨意排，有片=3x2xl=6（種）排法.由乘法原理，一共有3x3x6=54（種）不同的排法。12、4名男生，5名女生，全體排成一行，問(wèn)下列情形各有多少種不同的排法：⑴甲不在中間也不在兩端；⑵甲、乙兩人必須排在兩端；⑶男、女生分別排在一起；（4）男女相間.【解析】⑴先排甲，9個(gè)位置除了中間和兩端之外的6個(gè)位置都可以，有6種選擇，剩下的8個(gè)人隨意排，也就是8個(gè)元素全排列的問(wèn)題，有與=8x7x6x5x4x3x2x1=40320（種）選擇.由乘法原理，共有6x40320=241920（種）排法.（2）甲、乙先排，有g(shù)=2x1=2（種）排法：剩下的7個(gè)人隨意排，有%=7x6x5x4x3x2x1=5040（種）排法.由乘法原理，共有2x5040=10080（種）排法.⑶分別把男生、女生看成一個(gè)整體進(jìn)行排列，有用=2x1=2（種）不同排列方法，再分別對(duì)男生、女生內(nèi)部進(jìn)行排列，分別是4個(gè)元素與5個(gè)元素的全排列問(wèn)題，分別有P*=4x3x2x1=24（種）和.=5x4x3x2x1=120（種）排法.由乘法原理，共有2x24x120=5760（種）排法.（4）先排4名男生，有片=4x3x2x1=24（種）排法，再把5名女生排到5個(gè)空檔中，有片=5x4x3x2x1=120（種）排法.由乘法原理，一共有24x120=2880（種）排法。13、⑴從1,2,…，8中任取3個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個(gè)？（只要求列式）⑵從8位候選人中任選三位分別任團(tuán)支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？（3）3位同學(xué)坐8個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有幾種坐法？⑷8個(gè)人坐3個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有多少種坐法？⑸一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的停放方法？⑹8種不同的菜籽，任選3種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？【解析】⑴按順序，有百位、十位、個(gè)位三個(gè)位置，8個(gè)數(shù)字（8個(gè)元素）取出3個(gè)往上排，有片種.（2）3種職務(wù)3個(gè)位置，從8位候選人（8個(gè)元素）任取3位往上排，有片種.（3）3位同學(xué)看成是三個(gè)位置，任取8個(gè)座位號(hào)（8個(gè)元素）中的3個(gè)往上排（座號(hào)找人），每確定--種號(hào)碼即對(duì)應(yīng)一種坐法，有片種.（4）3個(gè)坐位排號(hào)1,2,3三個(gè)位置，從8人中任取3個(gè)往上排（人找座位），有P；種.（5）3列火車編為1,2,3號(hào)，從8股車道中任取3股往上排，共有片種.⑹土地編1,2,3號(hào)，從8種菜籽中任選3種往上排，有因種。14、某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個(gè)階段進(jìn)行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個(gè)小組，每組6人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第二階段：將8個(gè)小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成4個(gè)小組，每組4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第三階段：由4個(gè)小組產(chǎn)生的4個(gè)第1名進(jìn)行2場(chǎng)半決賽和2場(chǎng)決賽，確定1至4名的名次.問(wèn)：整個(gè)賽程-共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【解析】第一階段中，每個(gè)小組內(nèi)部的6個(gè)人每2人要賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽C；=^=15場(chǎng)，共8個(gè)小組，有15x8=120場(chǎng)；第二階段中，每個(gè)小組內(nèi)部4人中每2人賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽C：=山=6場(chǎng)，共4個(gè)小組，有6x4=24場(chǎng)；第三階段賽2+2=4場(chǎng),根2x1據(jù)加法原理，整個(gè)賽程共有120+24+4=148場(chǎng)比賽。15、由數(shù)字1,2,3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1,2,3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有個(gè)。（2007年“迎春杯”高年級(jí)組決賽）【解析】這是一道組合計(jì)數(shù)問(wèn)題.由于題目中僅要求1,2,3至少各出現(xiàn)一次，沒有確定1,2,3出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，也可以從反面想,從由1,2,3組成的五位數(shù)中，去掉僅有1個(gè)或2個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)即可.（法1）分兩類:⑴1,2,3中恰有一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)3次，這樣的數(shù)有C；x5x4=60（個(gè)）；⑵1,2,3中有兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)2次，這樣的數(shù)有C；x5xC：=90（個(gè)）.符合題意的五位數(shù)共有60+90=150（個(gè)）.（法2）從反面想，由1,2,3組成的五位數(shù)共有3,個(gè)，由1,2,3中的某2個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有3x（2'-2）個(gè)，由1,2,3中的某1個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有3個(gè)，所以符合題意的五位數(shù)共有3,-3x（2$-2）-3=150（個(gè)）。16、10個(gè)人圍成一圈，從中選出兩個(gè)不相鄰的人，共有多少種不同選法？【解析】（法1）乘法原理.按題意，分別站在每個(gè)人的立場(chǎng)匕當(dāng)自己被選中后，另一個(gè)被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個(gè)人都有7種選擇,總共就有7x10=70種選擇，但是需要注意的是，選擇的過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來(lái)是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結(jié)果應(yīng)該是（10-1-1-1）x10+2=35（種）.（法2）排除法.可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為C3而被選的兩個(gè)人相鄰的情況有10種，所以共有。-10=45-10=35（種）。17、8個(gè)人站隊(duì)，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？【解析】冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個(gè)人選定了三個(gè)位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇.小慧和大智不能相鄰的互補(bǔ)事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個(gè)條件的站法總數(shù)為：C；xP；xC：xP；xP；=3360（種）同時(shí)滿足第一、三個(gè)條件，滿足小慧和大智必須相鄰后站法總數(shù)為：C；xP；xP；xP；xP；=960（種）因此同時(shí)滿足三個(gè)條件的站法總數(shù)為：3360-960=2400（種）。18、小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法？【解析】我們將10塊大白兔奶糖從左至右排成一列,如果在其中9個(gè)間隙中的某個(gè)位置插入"木棍”，則將4塊糖分成了兩部分。我們記從左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的，…，如：OOOIOOOOOOO表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：OOOO|OOOlOOO表示第一天吃了4粒，第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒.不難知曉,每一種插入方法對(duì)應(yīng)一種吃法,而9個(gè)間隙,每個(gè)間隙可以插人也可以不插入，且相互獨(dú)立，故共有29=512種不同的插入方法,即512種不同的吃法。19、某池塘中有4、B、C三只游船，A船可乘坐3人，8船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3個(gè)成人和2個(gè)兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，那么他們5人乘坐這三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】由于有兒童乘坐的游船上必須至少有1個(gè)成人陪同，所以兒童不能乘坐C船.⑴若這5人都不乘坐C船，則恰好坐滿A、8兩船，①若兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在4船匕此時(shí)A船上還必須有1個(gè)成人，有C；=3種方法；②若兩個(gè)兒童不在同一條船上，即分別在4、8兩船上，則8船上有1個(gè)兒童和1個(gè)成人，1個(gè)兒童有C；=2種選擇，1個(gè)成人有C；=3種選擇，所以有2x3=6種方法.故5人都不乘坐C船有3+6=9種安全方法；⑵若這5人中有1人乘坐C船，這個(gè)人必定是個(gè)成人，有C；=3種選擇.其余的2個(gè)成人與2個(gè)兒童，①若兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在4船上，此時(shí)A船上還必須有1個(gè)成人，有C；=2種方法，所以此時(shí)有3x2=6種方法；②若兩個(gè)兒童不在同一條船上，那么8船上有1個(gè)兒童和1個(gè)成人，此時(shí)1個(gè)兒童和1個(gè)成人均有C；=2種選擇，所以此種情況下有3x2x2=12種方法；故5人中有1人乘坐C船有6+12=18種安全方法.所以，共有9+18=27種安全乘法.20、從10名男生，8名女生中選出8人參加游泳比賽.在下列條件下，分別有多少種選法？⑴恰有3名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選；⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時(shí)入選：⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人?！窘馕觥竣徘∮?名女生入選，說(shuō)明男生有5人入選，應(yīng)為C；xC】=14112種；⑵要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求.運(yùn)用包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：G-G-ClxC：=43758；(3)4人必須入選，則從剩下的14人中再選出另外4人，有=1001種；⑷從所有的選法種中減去這4個(gè)人同時(shí)入選的C：種：=43758-1001=42757.⑸分三類情況：4人無(wú)人入選；4人僅有1人入選；4人中有2人入選，共：3+C：xC：+C：x =34749。21、在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，按照下列條件各有多少種選派方法？⑴有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；⑵既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；⑶至少有一名主任參加；(4)既有主任，又有外科醫(yī)生?！窘馕觥竣畔葟?名內(nèi)科醫(yī)生中選3名，有C；=""=20種選法；再?gòu)?名外科醫(yī)生中3x2x1選2名，共有C：=9=6種選法.根據(jù)乘法原理，一共有選派方法20x6=120種.2x1⑵用“去雜法”較方便，先考慮從10名醫(yī)生中任意選派5人，有黨=10x9x8x7x6=2525x4x3x2xl種選派方法；再考慮只有外科醫(yī)生或只有內(nèi)科醫(yī)生的情況.由于外科醫(yī)生只有4人，所以不可能只派外科醫(yī)生.如果只派內(nèi)科醫(yī)生，有C；=C：=6種選派方法.所以，一共有252-6=246種既有內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生的選派方法。⑶如果選1名主任，則不是主任的8名醫(yī)生要選4人，有2xC；=2x8x7x6x5=140種選派4x3x2xl方法；如果選2名主任，則不是主任的8名醫(yī)生要選3人，有l(wèi)*C；=lx竺”=56種選派3x2x1方法.根據(jù)加法原理，一共有140+56=196種選派方法.⑷分兩類討論：①若選夕卜科主任，則其余4人可任意選取，有篝蓄56種選取方法；②若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余4人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，用“去雜法”有。"；=宏詈篝詈65種選取法.根據(jù)加法原理，一共有126+65=191種選派方法。22、在10名學(xué)生中，有5人會(huì)裝電腦，有3人會(huì)安裝音響設(shè)備，其余2人既會(huì)安裝電腦，又會(huì)安裝音響設(shè)備，今選派由6人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要3人，安裝音響設(shè)備要3人，共有多少種不同的選人方案？【解析】按具有雙項(xiàng)技術(shù)的學(xué)生分類：⑴兩人都不選派，有C；="@=l（）（種）選派方法；3x2x1⑵兩人中選派1人，有2種選法.而針對(duì)此人的任務(wù)又分兩類：若此人要安裝電腦，則還需2人安裝電腦，有或=絲=10（種）選法，而另外會(huì)安裝音響2x1設(shè)備的3人全選派上，只有1種選法.由乘法原理，有10x1=10（種）選法；若此人安裝音響設(shè)備，則還需從3人中選2人安裝音響設(shè)備，有C；=^g=3（種）選法，需2x1從5人中選3人安裝電腦，有=（種）選法.由乘法原理，有3x10=30（種）選3x2x1法.根據(jù)加法原理，有10+30=40（種）選法；綜上所述，一共有2x40=80（種）選派方法.⑶兩人全派，針對(duì)兩人的任務(wù)可分類討論如下：①兩人全安裝電腦，則還需要從5人中選1人安裝電腦，另外會(huì)安裝音響設(shè)備的3人全選上安裝音響設(shè)備，有5x1=5（種）選派方案；②兩人一個(gè)安裝電腦，一個(gè)安裝音響設(shè)備，有C；xC；=吆xm0=60（種）選派方案；2x1 2x1③兩人全安裝音響設(shè)備，有3xC；=3x29=30（種）選派方案.3x2x1根據(jù)加法原理，共有5+60+30=95（種）選派方案.綜合以上所述，符合條件的方案一共有10+80+95=185（種）.23、有11名外語(yǔ)翻譯人員，其中5名是英語(yǔ)翻譯員，4名是日語(yǔ)翻譯員，另外兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通.從中找出8人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作.問(wèn)這樣的分配名單共可以開出多少?gòu)?？【解析】針?duì)兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通人員（以下稱多面手）的參考情況分成三類:⑴多面手不參加，則需從5名英語(yǔ)翻譯員中選出4人，有C；=C；=5種選擇，需從4名日語(yǔ)翻譯員中選出4人，有1種選擇.由乘法原理，有5x1=5種選擇.⑵多面手中有一人入選，有2種選擇，而選出的這個(gè)人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：如果參加英文翻譯，則需從5名英語(yǔ)翻譯員中再選出3人，有C；=?也@=io3x2x1種選擇，需從4名日語(yǔ)翻譯員中選出4人，有1種選擇.由乘法原理，有2x10x1=20種選擇;如果參加H文翻譯，則需從5名英語(yǔ)翻譯員中選出4人，有C；=C；=5種選擇,需從4名日語(yǔ)翻譯員中再選出3名，有C：=C：=4種選擇.由乘法原理，有2x5x4=40種選擇.根據(jù)加法原理，多面手中有一人入選，有20+40=60種選擇.⑶多面手中兩人均入選，對(duì)應(yīng)一種選擇，但此時(shí)又分三種情況：①兩人都譯英文；②兩人都譯日文；③兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種.情況①中，還需從5名英語(yǔ)翻譯員中選出2人，有仁=絲=10種選擇.需從2x14名日語(yǔ)翻譯員中選4人，1種選擇.由乘法原理，有1x10x1=10種選擇.情況②中，需從5名英語(yǔ)翻譯員中選出4人，有C；=C；=5種選擇.還需從4名日語(yǔ)翻譯員中選出2人，有C：=M2=6種選擇.根據(jù)乘法原理，共有2x11x5x6=30種選擇.情況③中，兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種，有兩種安排即兩種選擇.剩下的需從5名英語(yǔ)翻譯員中選出3人，有C；="@=10種選擇，需從4名日語(yǔ)翻譯員中選出3人，有C：=C；=4種選擇.由乘法原理，有1x2x10x4=80種選擇.容斥原理1、有100種赤貧.其中含鈣的有68種,含鐵的有43種,那么，同時(shí)含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小值分別是（）A43,25B32,25 C32,15D43,11【解析：】根據(jù)容斥原理最小值68+43-100=11最大值就是含鐵的有43種2、在多元智能大賽的決賽中只有三道題.已知：（1）某校25名學(xué)生參加競(jìng)賽,每個(gè)學(xué)生至少解出一道題；（2）在所有沒有解出第?題的學(xué)生中，解出第二題的人數(shù)是解出第三題的人數(shù)的2倍：（3）只解出第一題的學(xué)生比余下的學(xué)生中解出第一題的人數(shù)多1人；（4）只解出一道題的學(xué)生中,有一半沒有解出第一題,那么只解出第二題的學(xué)生人數(shù)是（）A,5B,6c,7D,8【解析：】根據(jù)“每個(gè)人至少答出三題中的一道題”可知答題情況分為7類：只答第1題，只答第2題，只答第3題，只答第1、2題，只答第1、3題，只答2、3題，答1、2、3題。分別設(shè)各類的人數(shù)為al、a2、a3、al2、al3、a23、al23由(1)知：al+a2+a3+al2+al3+a23+al23=25…①TOC\o"1-5"\h\z由(2)知：a2+a23=(a3+a23)X2 ②由(3)知：al2+al3+al23=al-l ③由(4)知：al=a2+a3 ④再由②得a23=a2-a3X2 ⑤再由③④得a12+al3+a123=a2+a3-1@然后將④⑤⑥代入①中，整理得到a2X4+a3=26由于a2、a3均表示人數(shù)，可以求出它們的整數(shù)解：當(dāng)a2=6、5,4、3、2、1時(shí)，a3=2、6、10、14、18、22又根據(jù)a23=a2-a3X2 ⑤可知：a2>a3因此，符合條件的只有a2=6,a3=2,然后可以推出al=8,al2+al3+al23=7,a23=2,總?cè)藬?shù)=8+6+2+7+2=25,檢驗(yàn)所有條件均符。故只解出第二題的學(xué)生人數(shù)a2=6人。3、一次考試共有5道試題。做對(duì)第1、2、3、、4、5題的分別占參加考試人數(shù)的95%、80%、79%,74%、85%。如果做對(duì)三道或三道以上為合格，那么這次考試的合格率至少是多少？【解析：】答案：及格率至少為71%。假設(shè)一共有100人考試100-95=5 100-80=20 100-79=21 100-74=26 100-85=155+20+21+26+15=87(表示5題中有1題做錯(cuò)的最多人數(shù))87+3=29(表示5題中有3題做錯(cuò)的最多人數(shù)，即不及格的人數(shù)最多為29人)100-29=71(及格的最少人數(shù)，其實(shí)都是全對(duì)的)及格率至少為71%4、某大樓里有125盞燈，按1,2,3, 125編號(hào)，每盞燈有一個(gè)拉線開關(guān)，拉一次燈亮,再拉一次燈熄。工程師做實(shí)驗(yàn)，他先把所有號(hào)碼是4的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉1次，再把所有號(hào)碼是6的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉1次，同時(shí)再拉1次號(hào)碼是4的倍數(shù)、但不是6的倍數(shù)的燈開關(guān),問(wèn)：現(xiàn)在有多少盞燈是亮的？【解析：】號(hào)碼是4的倍數(shù)的燈有4,8,12,…，124,共31盞；號(hào)碼是6的倍數(shù)的燈有6,12,18,…，120,共20盞；號(hào)碼是4的倍數(shù)也是6的倍數(shù)的燈有12,24,36, 120,共10盞。

號(hào)碼是4的倍數(shù)，但不是6的倍數(shù)的燈有31-10=21盞。則亮的燈數(shù)是20-10=10（盞）。5、A、B、C三位質(zhì)檢員對(duì)流水線上的書包進(jìn)行檢查，A每3個(gè)書包抽查1個(gè)，B每5個(gè)書包抽查1個(gè)，C每7個(gè)書包抽查1個(gè)，一共有250個(gè)書包通過(guò)流水線，假定A、B、C首個(gè)抽查到的書包分別是第三個(gè)、第五個(gè)和第七個(gè)，試求：（1）沒被抽查到的書包數(shù)。（2）在A或B抽查到的書包中，沒被C抽直到的書包數(shù)?！窘馕觯骸浚?）250內(nèi)，3的倍數(shù)有83個(gè)，5的倍數(shù)有50個(gè)，7的倍數(shù)有35個(gè)，15的倍數(shù)有16個(gè)，21的倍數(shù)有11個(gè)，35的倍數(shù)有7個(gè)，105的倍數(shù)有2個(gè)，沒被抽查到的書包有250-83-50-35+16+11+7-2=114（個(gè)）。（2）是3或5的倍數(shù)，但不是7的倍數(shù)的有83+50-16-11-7+2=101（個(gè)）。6、學(xué)校舉行趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，班里的同學(xué)有20人報(bào)名。參加障礙過(guò)河比賽的有10人，參加自行車慢騎的有13人，參加“袋鼠跳”比賽的有15人，障礙過(guò)河、“袋鼠跳”都參加的有9人，障礙過(guò)河、自行車慢騎都參加的有6人，自行車慢騎、“袋鼠跳”都參加的有8人，你能畫出參加比賽的人數(shù)文氏圖嗎？【解析：】三項(xiàng)比賽都參加的人數(shù)為：20-10-13-15+9+8+6=5（人）。文氏圖如下：i+y+?=l3x+5<12y+5<9s+5<9i+y+?=l3x+5<12y+5<9s+5<9只獻(xiàn)箴足7、某體育學(xué)校的運(yùn)動(dòng)員中，會(huì)游泳的有15人，會(huì)跳高的有12人，會(huì)跳遠(yuǎn)的有9人，以上三個(gè)項(xiàng)目只會(huì)其中兩種的有13人，會(huì)三種的有5人，則只會(huì)其中兩種的人分別有多少可能?【解析：】設(shè)只會(huì)游泳、跳高的有X人，只會(huì)游泳、跳遠(yuǎn)的有y人，只會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)的有Z人，則4rH=13的一即可.

0<y<40<k<4共有6組解：(l)x=7,y=4,z=2；(2)x=7,y=3,z=3；(3)x=7,y=2,z=4；(4)x=6,y=4,z=3；(5)x=6,y=3,z=4；(6)x=5,y=4,z=4。8、在一所中學(xué)的實(shí)驗(yàn)班里，60個(gè)學(xué)生參加過(guò)競(jìng)賽。其中參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有30人，參加過(guò)英語(yǔ)競(jìng)賽的有25人，參加過(guò)作文比賽的有17人，參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽和英語(yǔ)競(jìng)賽的有12人，參加過(guò)英語(yǔ)競(jìng)賽和作文比賽的有10人，參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽和作文比賽的有7人，則三種競(jìng)賽都參加過(guò)的學(xué)生有()人。請(qǐng)寫出過(guò)程：抽屜原理、奇偶性問(wèn)題練11、把40名小朋友看做40個(gè)抽屜，將125件玩具放入這些抽屜，因?yàn)?25=3X40+5,根據(jù)抽屜原理，可知至少有一個(gè)抽屜有4件或4件以上的玩具，所以肯定有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具。2、把三個(gè)筆盒看做3個(gè)抽屜，因?yàn)?6=5X3+1,根據(jù)抽屜原理可以至少有一個(gè)筆盒里的筆有6枝或6枝以上。3、把盒子數(shù)看成抽屜，要使其中一個(gè)抽屜里至少有7個(gè)球，那么球的個(gè)數(shù)至少應(yīng)比抽屜個(gè)數(shù)的(7-1)倍多1,而25=4X(7-1)+1,所以最多方子4個(gè)盒子里，才能保證至少有一個(gè)盒子里有7個(gè)球。練21、最少應(yīng)取出(3-1)X5+l=ll個(gè)球2、至少取出(4-1)X3+l=10塊木塊。3、如果沒有兩張王牌，至少要取(4-1)X13+1=40張，再加上兩張王牌，至少要摸出40+2=42張，才能保證其中必有4張牌點(diǎn)數(shù)相同。練31,小學(xué)六年中最多有2個(gè)閏年，共366X2+365X4=2191天，因?yàn)?3170=6X2192+18,所以其中一定有7人是同年同月同日生的。2、參加課外興趣小組的學(xué)生共分四種情況，只參加一個(gè)組的有4種類型，只參加兩個(gè)組的有6種類型，只參加三個(gè)字的有4種類型，參加四個(gè)組的有1種類型。把4+6+4+1=15種類型看作15個(gè)抽屜，把46個(gè)學(xué)生放入這些抽屜，因?yàn)?6=15X3+1,所以班級(jí)中至少有4名學(xué)生參加的項(xiàng)目完全相同。3、全班訂閱報(bào)刊的類型共有3+3+1=7種，因?yàn)?7=5X7+2,所以其中至少有6位學(xué)生訂的報(bào)刊相同。練41、在1?50中，5的倍數(shù)有50+5=10個(gè)，不是5的倍數(shù)的就有50—10=40個(gè)，至少要取出40+1=41個(gè)不同的數(shù)才能保證其中有個(gè)數(shù)能貝5整除。2、在1?120中，4的倍數(shù)有120+4=30個(gè)，不是4的倍數(shù)有120—30=90個(gè)，正是要取出90+1=91個(gè)不同的數(shù)才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)。3、差是5的兩數(shù)有下列5組：1、6,11、16,21、26,31、36；2、7,12、17,22、27；3、8,13、18,23、28、33；4、9,14、19,24、29,34；5、10,15、20,25、30、35o要使取出的數(shù)中沒有兩個(gè)數(shù)的差是5的倍數(shù)，最多只能從每組中各取1個(gè)數(shù)，即最多可以取5個(gè)數(shù)。練51、把11秒鐘看做11個(gè)抽屜，把100米看作100個(gè)元素，因?yàn)?00=9*11+1,所以必有1個(gè)抽屜里超過(guò)9米，即必有某一秒鐘，他跑的距離超過(guò)9米。2、如圖答30—1,把邊長(zhǎng)為2的等邊三角形分成四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形。把它看作4個(gè)抽屜，5個(gè)點(diǎn)看作5個(gè)元素，則一定有一個(gè)小三角形內(nèi)有2個(gè)點(diǎn)，這2個(gè)點(diǎn)之間的距離不超過(guò)lo3、先把長(zhǎng)方形的每邊剪去寬1厘米的長(zhǎng)條，余下一個(gè)50X40的長(zhǎng)方形，它的面積為2000平方厘米，再把每個(gè)圓的半徑放大1厘米成為3厘米的圓，若剪去后的長(zhǎng)方形至少有一個(gè)點(diǎn)未被70個(gè)鑲邊后的圓蓋住的話，那么原來(lái)的長(zhǎng)方形中就能放進(jìn)一個(gè)以這點(diǎn)為圓心的圓。因?yàn)镕1X32X70的值就小于630X3.15=1984.5<2000,所以在原來(lái)的長(zhǎng)方形中一定可以放進(jìn)一個(gè)半徑為1厘米的圓。例題6、1+2+3+…+1993的和是奇數(shù)?還是偶數(shù)？【解析：】此題可以利用高斯求和公式直接求出和，再判別和是奇數(shù)，還是偶數(shù).但是如果從加數(shù)的奇、偶個(gè)數(shù)考慮，利用奇偶數(shù)的性質(zhì)，同樣可以判斷和的奇偶性.此題可以有兩種解法。解法1：V1+2+3+―+1993(1+1993)X1993— =997X1993,又和1993是奇數(shù)，奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)，.?.原式的和是奇數(shù)。解法2：；1993+2=996…1,二1?1993的自然數(shù)中，有996個(gè)偶數(shù)，有997個(gè)奇數(shù)。V996個(gè)偶數(shù)之和一定是偶數(shù)，又?.?奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)，A997個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)。因?yàn)?，偶?shù)+奇數(shù)=奇數(shù)，所以原式之和?定是奇數(shù)。例題7、一個(gè)數(shù)分別與另外兩個(gè)相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個(gè)積相差150,這個(gè)數(shù)是多少？【解析：】解法1：???相鄰兩個(gè)奇數(shù)相差2,A150是這個(gè)要求數(shù)的2倍。.?.這個(gè)數(shù)是150+2=75。解法2：設(shè)這個(gè)數(shù)為X,設(shè)相鄰的兩個(gè)奇數(shù)為2a+l,2a-l(a2l).則有(2a+l)x-(2a-l)x=150,2ax+x-2ax+x=l50,2x=150,x=75o.?.這個(gè)要求的數(shù)是75。例題8、元旦前夕，同學(xué)們相互送賀年卡.每人只要接到對(duì)方賀年卡就一定回贈(zèng)賀年卡，那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)？為什么？【解析：】此題初看似乎缺總?cè)藬?shù).但解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在送賀年卡的張數(shù)的奇偶性上,因此與總?cè)藬?shù)無(wú)關(guān)。解：由于是兩人互送賀年卡，給每人分別標(biāo)記送出賀年卡一次.那么賀年卡的總張數(shù)應(yīng)能被2整除，所以賀年卡的總張數(shù)應(yīng)是偶數(shù)。送賀年卡的人可以分為兩種：一種是送出了偶數(shù)張賀年卡的人：他們送出賀年卡總和為偶數(shù)。另一種是送出了奇數(shù)張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數(shù)=所有人送出的賀年卡總數(shù)-所有送出了偶數(shù)張賀年卡的人送出的賀年卡總數(shù)=偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)。他們的總?cè)藬?shù)必須是偶數(shù)，才使他們送出的賀年卡總數(shù)為偶數(shù)。所以，送出奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)一定是偶數(shù)。例題9、已知a、b、c中有一個(gè)是5,一個(gè)是6,—個(gè)是7.求證aT,b-2,c-3的乘積一定是偶數(shù)。【解析：】證明：；a、b、c中有兩個(gè)奇數(shù)、一個(gè)偶數(shù)，...a、c中至少有一個(gè)是奇數(shù)，.?.aT,c-3中至少有一個(gè)是偶數(shù)。又?.?偶數(shù)X整數(shù)=偶數(shù)，/.(a-1)X(b-2)X(c-3)是偶數(shù)。例題10、如下圖，從起點(diǎn)始，隔一米種一棵樹，如果把三塊“愛護(hù)樹木”的小牌分別掛在三棵樹匕那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹，它們之間的距離是偶數(shù)（以米為單位），這是為什么？起點(diǎn)【解析：】任意挑選三棵樹掛上小牌，假設(shè)第一棵掛牌的樹與第二棵掛牌的樹之間相距a米，第二棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間相距b米，那么第一棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間的距離c=a+b（米）（如下圖），如果a、b中有一個(gè)是偶數(shù),題目已得證；如果a、b都是奇數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，所以c必為偶數(shù)，那么題目也得證。小試牛刀1.為保證取出的球中有兩個(gè)球的顏色相同，則最少要取出4個(gè)球。.最少要抽取29張牌，方能保證其中至少有3張牌有相同的點(diǎn)數(shù)。.證明：A、B、C、D四類書，根據(jù)題目條件，這些學(xué)生借書的組合可能有十種，分別是：12345678910ABCDABACADBCBDCD因?yàn)橛?1名學(xué)生到老師家借書，而只有10種借書情況，因此必有兩個(gè)學(xué)生所借的書的類型相同。.證明，所謂單循環(huán)賽即每個(gè)運(yùn)動(dòng)員都與其它運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行一場(chǎng)比賽。即每個(gè)人要參加49場(chǎng)比賽，這樣如果假設(shè)沒有運(yùn)動(dòng)員積分相同，因?yàn)闆]有全勝，則運(yùn)動(dòng)員的積分就有48勝、47勝……2勝、1勝、。勝共49個(gè)枳分情況，而50名運(yùn)動(dòng)員需要有50個(gè)不同的積分結(jié)果，這里“49個(gè)積分情況”與“需要50個(gè)積分結(jié)果”出現(xiàn)了矛盾，所以假設(shè)“沒有運(yùn)動(dòng)員積分相同”是錯(cuò)誤的，因此一定有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員積分相同。.至少有9名同學(xué)所拿的球種類是一致的。.則參賽男生46人。.至少要拿出10只才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。.至少把這些水果分成了5堆。分四種情況：第一種第二種第三種第四種??m平果奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)梨奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)9.至少選出51個(gè)數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)的和是100。.46乘客帶蘋果。.提示：分值從0?100,共101種可能的分值，101014-(0+1+2+……+100)=2……1,則至少有3人得分相同。.至少有335個(gè)人游覽的地方完全相同。.則至少有5人植樹的株數(shù)相同。14、偶數(shù)至多有48個(gè)。15、提示：先按規(guī)律寫出一些數(shù)來(lái)，再找其奇、偶性的排列規(guī)律，便可得到答案：不會(huì)依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個(gè)數(shù)。16、設(shè)四個(gè)連續(xù)奇數(shù)是2n+l,2n+3,2n+5,2n+7,n為整數(shù)，則它們的和是(2n+l)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)=2nX4+16=8n+16=8(n+2)。所以，四個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是8的倍數(shù)。17、證明：設(shè)填入數(shù)分別為a1、a2>a3>a］、a5>a6.有

■為A,假設(shè)要證明的結(jié)論不成立，則有：?.?偶數(shù)W奇數(shù)，...假設(shè)不成立，命題得證。18、應(yīng)選擇（B）.參考例3。19、是偶數(shù).參考例考20、不能.因?yàn)?個(gè)奇數(shù)的和為奇數(shù)，不可能等于20。21、能.例如第一次78910第二次3456第三次2345第四次134522、這種交換方法是不可行的.參考例12。23、利用黑白相間染色方法可以證明：不可能剪成由7個(gè)相鄰兩個(gè)方格組成的長(zhǎng)方形，因?yàn)閳D形中一種顏色有8格，另一種顏色有6格，而每個(gè)相鄰兩個(gè)方格組成的長(zhǎng)方形是一黑格一白格，7個(gè)這樣的長(zhǎng)方形共7黑格7白格.與圖形相矛盾.行程問(wèn)題］這個(gè)題可以簡(jiǎn)單的找規(guī)律求解1、某停車場(chǎng)有10輛出租汽車，第一輛出租汽車出發(fā)后，每隔4分鐘，有一輛出租汽車開出.在第一輛出租汽車開出2分鐘后，有一輛出租汽車進(jìn)場(chǎng).以后每隔6分鐘有一輛出租汽車回場(chǎng).回場(chǎng)的出租汽車，在原有的10輛出租汽車之后又依次每隔4分鐘開出一輛，問(wèn)：從第一輛出租汽車開出后，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，停車場(chǎng)就沒有出租汽］這個(gè)題可以簡(jiǎn)單的找規(guī)律求解時(shí)間車輛4分鐘9輛6分鐘10輛8分鐘9輛12分鐘9輛16分鐘8輛18分鐘9輛20分鐘8輛【解析:24分鐘 8輛由此可以看出：每12分鐘就減少一輛車，但該題需要注意的是：到了剩下一輛的時(shí)候是不符合這種規(guī)律的到了12*9=108分鐘的時(shí)候，剩下一-輛車，這時(shí)再經(jīng)過(guò)4分鐘車廠恰好沒有車了，所以第112分鐘時(shí)就沒有車輛了，但題目中間從第一輛出租汽車開出后，所以應(yīng)該為108分鐘。2、小峰騎自行車去小寶家聚會(huì)，一路上小峰注意到，每隔9分鐘就有一輛公交車從后方超越小峰，小峰騎車到半路，車壞了，小峰只好打的去小寶家，這時(shí)小峰又發(fā)現(xiàn)出租車也是每隔9分鐘超越一輛公交車，已知出租車的速度是小峰騎車速度的5倍，那么如果公交車的發(fā)車時(shí)間間隔和行駛速度固定的話，公交車的發(fā)車時(shí)間間隔為多少分鐘？【解析：】間隔距離=（公交速度-騎車速度）X9分鐘；間隔距離=（出租車速度-公交速度）X9分鐘所以，公交速度-騎車速度=出租車速度-公交速度；公交速度=（騎車速度+出租車速度）/2=3X騎車速度.由此可知，間隔距離=（公交速度-騎車速度）X9分鐘=2X騎車速度X9分鐘=3X騎車速度X6分鐘=公交速度X6分鐘.所以公交車站每隔6分鐘發(fā)一輛公交車.3、小英和小敏為了測(cè)量K駛而過(guò)的火車速度和車身長(zhǎng)，他們拿了兩塊跑表.小英用一塊表記下了火車從她面前通過(guò)所花的時(shí)間是15秒;小敏用另一塊表記下了從車頭過(guò)第一根電線桿到車尾過(guò)第二根電線桿所花的時(shí)間是20秒.已知兩電線桿之間的距離是100米.你能幫助小英和小敏算出火車的全長(zhǎng)和時(shí)速嗎？【解析：】火車的時(shí)速是：100+（20-15）X60X60=72000（米/小時(shí)），車身長(zhǎng)是:20X15=300（米）4、一條單線鐵路上有A,B,C,D,E5個(gè)車站,它們之間的路程如圖所示（單位:千米）.兩列火車同時(shí)從4后兩站相對(duì)開出，從｛站開出的每小時(shí)行60千米,從￡站開出的每小時(shí)行50千米.由于單線鐵路上只有車站才鋪有停車的軌道,要使對(duì)面開來(lái)的列車通過(guò),必須在車站停車,才能讓開行車軌道.因此,應(yīng)安排哪個(gè)站相遇,才能使停車等候的時(shí)間最短.先到這一站的那一列火車至少需要停車多少分鐘？【解析：】225千米25千米15千米230千米， 人 ~~ A A BCD E兩列火車同時(shí)從4/兩站相對(duì)開出，假設(shè)途中都不停.可求出兩車相遇的地點(diǎn)，從而知道應(yīng)在哪一個(gè)車站停車等待時(shí)間最短.從圖中可知,46的距離是:225+25+15+230=495（千米）兩車相遇所用的時(shí)間是:495+（60+50）=4.5（小時(shí)）相遇處距4站的距離是:60X4.5=270（千米）而A,〃兩站的距離為：225+25+15=265（千米）由于270千米＞265千米,從4站開出的火車應(yīng)安排在〃站相遇,才能使停車等待的時(shí)間最短.因?yàn)橄嘤鎏庪x〃站距離為270-265=5（千米），那么，先到達(dá)〃站的火車至少需要等待：2:1（小時(shí)），x小時(shí)=11分鐘5、乙船順?biāo)叫?小時(shí)，行了120千米，返回原地用了4小時(shí).甲船順?biāo)叫型欢嗡罚昧?小時(shí).甲船返回原地比去時(shí)多用了幾小時(shí)？【解析：】乙船順?biāo)俣龋?20+2=60（千米/小時(shí)）.乙船逆水速度：1204-4=30（千米/小時(shí)）。水流速度：（60-30）+2=15（千米/小時(shí)）.甲船順?biāo)俣龋?2"3=4。（千米/小時(shí)）。甲船逆水速度：40-2X15=10（千米/小時(shí)）.甲船逆水航行時(shí)間：120+10=12（小時(shí)）。甲船返回原地比去時(shí)多用時(shí)間：12-3=9（小時(shí)）.6、一條小河流過(guò)力，B,C三鎮(zhèn).46兩鎮(zhèn)之間有汽船來(lái)往，汽船在靜水中的速度為每小時(shí)11千米.B,C兩鎮(zhèn)之間有木船擺渡,木船在靜水中的速度為每小時(shí)3.5千米.已知A,C兩鎮(zhèn)水路相距50千米,水流速度為每小時(shí)1.5千米.某人從A鎮(zhèn)上船順流而下到B鎮(zhèn),吃午飯用去1小時(shí),接著乘木船又順流而下到。鎮(zhèn),共用8小時(shí).那么A,8兩鎮(zhèn)間的距離是多少千米？【解析：】如下畫出示意圖水速：1.5千米/小時(shí)50千米. 3--1An* 8木船 c■水:11千米/小時(shí) ■水35千米/小時(shí)有1—8段順?biāo)乃俣葹?1+1.5=12.5千米/小時(shí)，有6fC段順?biāo)乃俣葹?.5+1.5=5千米/小時(shí).而從4—C全程的行駛時(shí)間為8-1=7小時(shí).設(shè)48長(zhǎng)工千米,有_匚+竺==7,解得x=25.所以A,5兩鎮(zhèn)間的距離是25千米.12.5 57、現(xiàn)在是10點(diǎn)，再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，時(shí)針與分針將第一次在一條直線上？【解析：】時(shí)針的速度是360+12+60=0.5（度/分），分針的速度是360+60=6（度/分）即分針與時(shí)針的速度差是6-0.5=5.5（度/分），10點(diǎn)時(shí)，分針與時(shí)針的夾角是60度，第一次在一條直線時(shí)，分針與時(shí)針的夾角是180度，即分針與時(shí)針從60度到180度經(jīng)過(guò)的時(shí)間為所求。所以答案為12（分）8、有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示10時(shí)整.那么，經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；再經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第二次重合？【解析：】在加點(diǎn)時(shí)，時(shí)針?biāo)谖恢脼榭潭?0,分針?biāo)谖恢脼榭潭?2；當(dāng)兩針重合時(shí)，分針必須追上5。個(gè)小刻度，設(shè)分針?biāo)俣葹橛袝r(shí)針?biāo)俣葹榭帷?，于是需要時(shí)間：504-（1--）=54—.12 11所以，再過(guò)54A分鐘，時(shí)針與分針將第一次重合.第二次重合時(shí)顯然為12點(diǎn)整,所以再經(jīng)過(guò)（12-10）x60-54R=65、分鐘，時(shí)針與分針第二次重合.標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)鐘，每隔65、分鐘，時(shí)針與分針重合一次.我們來(lái)熟悉一下常見鐘表（機(jī)械）的構(gòu)成：一般時(shí)鐘的表盤大刻度有12個(gè)，即為小時(shí)數(shù)；小刻度有60個(gè)，即為分鐘數(shù).所以時(shí)針一圈需要12小時(shí)，分針一圈需要60分鐘（1小時(shí)），時(shí)針的速度為分針?biāo)俣鹊娜绻O(shè)分針的速度為單位“/"，那么時(shí)針的速度為“54”.129、某科學(xué)家設(shè)計(jì)了只怪鐘，這只怪鐘每晝夜10時(shí)，每時(shí)100分（如右圖所示）。當(dāng)這只鐘顯示5點(diǎn)時(shí)，實(shí)際上是中午12點(diǎn)；當(dāng)這只鐘顯示6點(diǎn)75分時(shí)，實(shí)際上是什么時(shí)間？【解析：】標(biāo)準(zhǔn)鐘一晝夜是24X60=1440（分），怪鐘一晝夜是100X10=1000（分）怪鐘從5點(diǎn)到6點(diǎn)75分，經(jīng)過(guò)175分，根據(jù)十字交叉法，1440X1754-1000=252（分）即4點(diǎn)12分。10、手表比鬧鐘每時(shí)快60秒，鬧鐘比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每時(shí)慢60秒。8點(diǎn)整將手表對(duì)準(zhǔn)，12點(diǎn)整手表顯示的時(shí)間是幾點(diǎn)幾分幾秒？【解析：】按題意，鬧鐘走3600秒手表走3660秒，而在標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的一小時(shí)中，鬧鐘走了3540秒。所以在標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的一小時(shí)中手表走3660+3600X3599=3599（秒），即手表每小時(shí)慢1秒，所以12點(diǎn)時(shí)手表顯示的時(shí)間是11點(diǎn)59分56秒。11、甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲、乙的速度之比是4:3,-人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到達(dá)B地和乙到達(dá)A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地點(diǎn)距第一次相遇的地點(diǎn)30千米，則A、B兩地相距多少千米？【解析：】?jī)蓚€(gè)人同時(shí)出發(fā)相向而行，相遇時(shí)時(shí)間相等，路程比等于速度之比，即兩個(gè)人相遇時(shí)所走過(guò)的路程比為4:3.第一次相遇時(shí)甲走了全程的4/7；第二次相遇時(shí)甲、乙兩個(gè)人共走了3個(gè)全程，三個(gè)全程中甲走了？x3=l上個(gè)全程，與第一次相遇地點(diǎn)的距離為7 72一（1-3）=2個(gè)全程.所以A、B兩地相距30+2=105（千米）.7 7 7 712、B地在A,C兩地之間.甲從B地到A地去送信，甲出發(fā)10分后，乙從B地出發(fā)到C地去送另一封信，乙出發(fā)后10分，丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了，于是他從B地出發(fā)騎車去追趕甲和乙，以便把信調(diào)過(guò)來(lái).已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙從出發(fā)到把信調(diào)過(guò)來(lái)后返回B地至少要用多少時(shí)間?！窘馕觥扛鶕?jù)題意當(dāng)丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了此時(shí)甲、乙位置如下：A?1°分鐘"B c10分釗，?因?yàn)楸乃俣仁羌?、乙?倍，分步討論如下：（1）若丙先去追及乙，因時(shí)間相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走兩倍乙走需要10分鐘，所以丙用時(shí)間為：10+（3-1）=5（分鐘）此時(shí)拿上乙拿錯(cuò)的信

10分鐘10分鐘B' , _5分好10分鐘” ”5分鐘當(dāng)丙再回到B點(diǎn)用5分鐘，此時(shí)甲已經(jīng)距B地有10+10+5+5=30（分鐘），同理丙追及時(shí)間為30+（3-1）=15（分鐘），此時(shí)給甲應(yīng)該送的信,換回乙應(yīng)該送的信在給乙送信，此時(shí)乙已經(jīng)距B地：10+5+5+15+15=50（分鐘），此時(shí)追及乙需要：504-（3-1）=25（分鐘），返回B地需要25分鐘所以共需要時(shí)間為5+5+15+15+25+25=90（分鐘）（2）同理先追及甲需要時(shí)間為120分鐘。13、甲、乙兩車分別從A,B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行.出發(fā)時(shí)，甲、乙的速度之比是5:4,相遇后甲的速度減少20%,乙的速度增加20%.這樣當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙離A地還有10千米.那么A、B兩地相距多少千米？TOC\o"1-5"\h\z5 4【解析：】?jī)绍囅嘤鰰r(shí)甲走了全程的乙走了全程的二，之后甲的速度減少20%,乙的速

9 9度增加20%,此時(shí)甲、乙的速度比為5x（l-20%）:4x（l+20%）=5:6,所以甲到達(dá)B地時(shí)，乙又走了 = 距離A地2-芻=」-,所以A、B兩地的距離為10+」-=4509515 91545 45（千米13、在一圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，6分后兩人相遇，再過(guò)4分甲到達(dá)B點(diǎn)，又過(guò)8分兩人再次相遇.甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？【解析：】由題意知，甲行4【解析：】由題意知，甲行4分相當(dāng)于乙行系）從第一次相遇到再次相遇，兩人共走一周，所以甲環(huán)行一周需12+8=20（分），乙需6分.（抓住走同一段路程時(shí)間或速度的比例關(guān)各行12分，而乙行12分相當(dāng)于甲行8分,20+4X6=30（分）.14、一輛汽車從甲地開往乙地，每分鐘行750米，預(yù)計(jì)50分鐘到達(dá).但汽車行駛到路程的士時(shí)，出了故障，用5分鐘修理完畢，如果仍需在預(yù)定時(shí)間內(nèi)到達(dá)乙地，汽車行駛余下的路程時(shí)，每分鐘必須比原來(lái)快多少米？【解析：】當(dāng)以原速行駛到全程的3時(shí)，總時(shí)間也用了3,所以還剩下50x(1-3)=20分鐘5 5 5的路程；修理完畢時(shí)還剩下20-5=15分鐘，在剩下的這段路程上，預(yù)計(jì)時(shí)間與實(shí)際時(shí)間之比為20:15=4:3,根據(jù)路程一定，速度比等于時(shí)間的反比，實(shí)際的速度與預(yù)定的速度之比也為4:3,因此每分鐘應(yīng)比原來(lái)快750x2-750=250米.3小結(jié)：本題也可先求出相應(yīng)的路程和時(shí)間，再采用公式求出相應(yīng)的速度，最后計(jì)算比原來(lái)快多少，但不如采用比例法簡(jiǎn)便.15、狗跑5步的時(shí)間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米，馬開始追它。問(wèn)：狗再跑多遠(yuǎn)，馬可以追上它？【解析：】根據(jù)“馬跑4步的距離狗跑7步”，可以設(shè)馬每步長(zhǎng)為7x米，則狗每步長(zhǎng)為4x米。根據(jù)“狗跑5步的時(shí)間馬跑3步”，可知同一時(shí)間馬跑3*7x米=21x米，則狗跑5*4x=20米?？梢缘贸鲴R與狗的速度比是21x：20x=21：20根據(jù)“現(xiàn)在狗已跑出30米”，可以知道狗與馬相差的路程是30米，他們相差的份數(shù)是21-20=1,現(xiàn)在求馬的21份是多少路程，就是30+(21-20)x21=630米16、甲乙輛車同時(shí)從ab兩地相對(duì)開出，幾小時(shí)后再距中點(diǎn)40千米處相遇？已知，甲車行完全程要8小時(shí)，乙車行完全程要10小時(shí)，求ab兩地相距多少千米？【解析：】答案720千米。由“甲車行完全程要8小時(shí)，乙車行完全程要10小時(shí)”可知，相遇時(shí)甲行了10份，乙行了8份(總路程為18份)，兩車相差2份。又因?yàn)閮绍囋谥悬c(diǎn)40千米處相遇，說(shuō)明兩車的路程差是(40+40)千米。所以算式是(40+40)+(10-8)x(10+8)=720千米。17、在一個(gè)600米的環(huán)形跑道上，兄兩人同時(shí)從同一個(gè)起點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蚺懿剑瑑扇嗣扛?2分鐘相遇一次，若兩個(gè)人速度不變，還是在原來(lái)出發(fā)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，哥哥改為按逆時(shí)針?lè)较蚺?，則兩人每隔4分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？【解析：】答案為兩人跑一圈各要6分鐘和12分鐘。解：600+12=50,表小哥哥、弟弟的速度差600-4=150,表示哥哥、弟弟的速度和(50+150)+2=100,表示較快的速度，方法是求和差問(wèn)題中的較大數(shù)(150-50)/2=50,表示較慢的速度，方法是求和差問(wèn)題中的較小數(shù)600+100=6分鐘，表示跑的快者用的時(shí)間600/50=12分鐘，表示跑得慢者用的時(shí)間18、慢車車長(zhǎng)125米，車速每秒行17米，快車車長(zhǎng)140米，車速每秒行22米，慢車在前面行駛，快車從后面追上來(lái)，那么，快車從追上慢車的車尾到完全超過(guò)慢車需要多少時(shí)間？【解析：】答案為53秒算式是(140+125)+(22-17)=53秒可以這樣理解：“快車從追上慢車的車尾到完全超過(guò)慢車”就是快車車尾上的點(diǎn)追及慢車車頭的點(diǎn)，因此追及的路程應(yīng)該為兩個(gè)車長(zhǎng)的和。19、在300米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上，甲乙兩個(gè)人同時(shí)同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米？【解析：】答案為100米300+(5-4.4)=500秒,表示追及時(shí)間5x500=2500米，表示甲追到乙時(shí)所行的路程2500+300=8圈……100米，表示甲追及總路程為8圈還多100米，就是在原來(lái)起跑線的前方100米處相遇。20、一個(gè)人在鐵道邊，聽見遠(yuǎn)處傳來(lái)的火車汽笛聲后，在經(jīng)過(guò)57秒火車經(jīng)過(guò)她前面，已知火車?guó)Q笛時(shí)離他1360米，(軌道是直的)，聲音每秒傳340米，求火車的速度(得出保留整數(shù))【解析：】答案為22米/秒算式：1360+(1360+340+57)=22米/秒關(guān)鍵理解：人在聽到聲音后57秒才車到，說(shuō)明人聽到聲音時(shí)車已經(jīng)從發(fā)聲音的地方行出1360-340=4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57=61秒。21、獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10米遠(yuǎn)的前方有一只奔跑著的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動(dòng)作快，獵犬跑2步的時(shí)間，兔子卻能跑3步，問(wèn)獵犬至少跑多少米才能追上兔子。【解析：】正確的答案是獵犬至少跑60米才能追上。解：由“獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知當(dāng)獵犬每步a米，則兔子每步5/9米。由“獵犬跑2步的時(shí)間，兔子卻能跑3步”可知同一時(shí)間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3=5/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a：5/3a=6：5,也就是說(shuō)當(dāng)獵犬跑60米時(shí)候，兔子跑50米，本來(lái)相差的10米剛好追完22、AB兩地，甲乙兩人騎自行車行完全程所用時(shí)間的比是4:5,如果甲乙二人分別同時(shí)從AB兩地相對(duì)行使,40分鐘后兩人相遇，相遇后各自繼續(xù)前行,這樣，乙到達(dá)A地比甲到達(dá)B地要晚多少分鐘？【解析：】答案：18分鐘解：設(shè)全程為1,甲的速度為X乙的速度為y列式40x+40y=1x:y=5:4得x=1/72y=1/90走完全程甲需72分鐘，乙需90分鐘故得解23、甲乙兩車同時(shí)從AB兩地相對(duì)開出。第一次相遇后兩車?yán)^續(xù)行駛，各自到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回。第二次相遇時(shí)離B地的距離是AB全程的1/5。已知甲車在第一次相遇時(shí)行了120千米。AB兩地相距多少千米？【解析：】答案是300千米。解：通過(guò)畫線段圖可知，兩個(gè)人第一次相遇時(shí)一共行了1個(gè)AB的路程，從開始到第二次相遇，一共又行了3個(gè)AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分別是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3=360千米，從線段圖可以看出，甲一共走了全程的(1+1/5)(.因此360+(1+1/5)=300千米24、一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時(shí);逆流8小時(shí)。如果水流速度是每小時(shí)2千米，求兩地間的距離？【解析：】(1/6-1/8)+2=1/48表示水速的分率2+1/48=96千米表示總路程25、快車和慢車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開出，快車每小時(shí)行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢車行完全程需要8小時(shí)，求甲乙兩地的路程?！窘馕觯骸肯嘤鍪且恍辛巳痰钠叻种谋硎炯滓业乃俣缺仁?：3時(shí)間比為3：4所以快車行全程的時(shí)間為8/4*3=6小時(shí)6*33=198千米26、小華從甲地到乙地,3分之1騎車,3分之2乘車;從乙地返回甲地,5分之3騎車,5分之2乘車，結(jié)果慢了半小時(shí).已知，騎車每小時(shí)12千米，乘車每小時(shí)30千米，問(wèn):甲乙兩地相距多少千米？【解析：】把路程看成1,得到時(shí)間系數(shù)去時(shí)時(shí)間系數(shù)：1/3X2+2/3+30返回時(shí)間系數(shù)：3/5+12+2/5+30兩者之差：(3/5+12+2/5+30)-(1/3X2+2/3+30)=1/75相當(dāng)于1/2小時(shí)去時(shí)時(shí)間：1/2*(1/3+12)+1/75和1/2、(2/3+30)1/75路程：12x(1/2x(1/3-12)+1/75)+30x(1/2x(2/3+30)1/75)=37.5(千米)比例問(wèn)題1、已知甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲等于乙、丙兩數(shù)和的工，乙等于甲、丙兩數(shù)和的工，丙等于3 2甲、乙兩數(shù)和的3,求甲:乙:丙.7【解析：】由甲等于乙、丙兩數(shù)和的1,得到甲等于三個(gè)數(shù)和的」一=1,同樣的乙等于甲、3 3+14丙兩數(shù)和的」-=1，同樣的丙等于甲、乙兩個(gè)數(shù)和的工=』，所以2+13 7+512甲：乙：丙=!」：2=3:4:543127 72、已知甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的屋那么甲的支乙的2倍、丙的一半這三個(gè)數(shù)的比為多少？

【解析：】甲的一半、乙的2倍、丙的2這三個(gè)數(shù)的比為1:1:1,所以甲、乙、丙這三個(gè)數(shù)的3比為+ + 即2:；:|,化簡(jiǎn)為4:1:3,那么甲的g、乙的2倍、丙的一半這三個(gè)數(shù)的比為（4*1卜1*2）:（3、；卜仁：2:|,化簡(jiǎn)為16:12:93、如下圖所示，圓8與圓C的面積之和等于圓A面積的自，且圓A中的陰影部分面積占圓5A面積的1,圓B的陰影部分面積占圓B面積的,，圓C的陰影部分面積占圓C面積的6 5求圓4、圓8、圓C的面積之比。3【解析：】設(shè)4與8的共同部分的面積為x,A與C的共同部分的面枳為y,則根據(jù)題意有A=|（B+C）=6（x+y）,x=1,y=y,于是得至U京B+C）=66+號(hào)），這條式子可化簡(jiǎn)為8=15C,所以4=:（8+C）=20C.最后得到4:8:C=20:15:l4、某俱樂(lè)部男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3:2,分為甲、乙、丙三組.已4、某俱樂(lè)部男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3:2,分為甲、乙、丙三組.已知甲、乙、丙三組的人數(shù)比是10:8:7,甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3:1,乙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是5:3.求丙組中男、女會(huì)員人數(shù)之比?！窘馕觯骸恳钥?cè)藬?shù)為1,則甲組男會(huì)員人數(shù)為——X—=A,女會(huì)員為W_xJ_=_L,10+8+73+110 103101lo，乙組男會(huì)員為二10+8+75+355I |3 3」=!，女會(huì)員為!、2=二；丙組男會(huì)員為552531 十一105女會(huì)員為二—f—+-->1=—;所以，丙組中男、女會(huì)員人數(shù)之比為