人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊 《拋物線課時(shí)3》教學(xué)設(shè)計(jì)

21/21《拋物線》教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)3拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)必備知識學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)理解能力觀察記憶概括理解說明論證應(yīng)用實(shí)踐能力分析計(jì)算推測解釋簡單問題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問題解決猜想探究發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學(xué)抽象直觀想象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算【考查內(nèi)容】1.根據(jù)幾何條件求出拋物線的方程.2.進(jìn)一步掌握拋物線的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用.3.會判斷直線與拋物線的位置關(guān)系.【考查題型】填空題、選擇題、解答題拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模一、本節(jié)內(nèi)容分析從本章來講,這一節(jié)放在橢圓和雙曲線之后,一方面是三種圓錐曲線統(tǒng)一定義的需要,拋物線是離心率e=1的特例;另一方面也是解析幾何“用方程研究曲線”這一基本思想的再次強(qiáng)化.本節(jié)對拋物線定義和性質(zhì)的研究,與初中階段二次函數(shù)的圖像遙相呼應(yīng),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧之美.教材的這種安排,是為了分散難點(diǎn),符合認(rèn)知的漸進(jìn)性原則.這是繼橢圓、雙曲線之后的又一重要內(nèi)容,它有著廣泛的應(yīng)用,能使學(xué)生進(jìn)一步感受坐標(biāo)法及數(shù)形結(jié)合的思想,坐標(biāo)法的教學(xué)貫穿了整個(gè)“圓錐曲線方程”一章,是學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)掌握的基本數(shù)學(xué)方法.運(yùn)動變化和對立統(tǒng)一的思想觀點(diǎn)在這節(jié)知識中得到了突出體現(xiàn),我們必須充分利用好這部分教材進(jìn)行教學(xué).本節(jié)包含的核心知識和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識1.拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2.拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)3.拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)二、學(xué)情整體分析從知識上看,學(xué)生已掌握了一些拋物線圖形的實(shí)物與實(shí)例,對曲線和方程的概念有了一些了解,對用坐標(biāo)法研究幾何問題有了初步的認(rèn)識.從學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力看,通過一年多的學(xué)習(xí),學(xué)生已具備了一定的觀察事物的能力,積累了一些研究問題的經(jīng)驗(yàn),在一定程度上具備了抽象、概括的能力和語言轉(zhuǎn)換能力.從學(xué)生的學(xué)習(xí)心理上看,學(xué)生頭腦中雖有一些拋物線的實(shí)物實(shí)例,但并沒有上升為“概念”的水平,如何給拋物線以數(shù)學(xué)描述?如何“定性”“定量”地描述拋物線是學(xué)生關(guān)注的問題,也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)問題.他們渴望將感性認(rèn)識理性化,渴望通過自己動手作圖、觀察來辨析和完善概念,通過對比產(chǎn)生頓悟,渴望獲得這種學(xué)習(xí)的積極心理是學(xué)生學(xué)好本節(jié)課的情感基礎(chǔ).學(xué)情補(bǔ)充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學(xué)活動準(zhǔn)備【任務(wù)專題設(shè)計(jì)】1.拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2.拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)3.拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)【教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)】1.理解拋物線的定義,掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用.【教學(xué)策略設(shè)計(jì)】本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線之后,因此在教學(xué)中,要時(shí)時(shí)注意與前兩種曲線進(jìn)行對比,求曲線方程的步驟、建系方法都是學(xué)生已經(jīng)理解和掌握了的,充分調(diào)動學(xué)生已有的知識,引導(dǎo)學(xué)生把新舊知識有機(jī)融合,掌握知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu).在教學(xué)過程中,教師需要不斷為學(xué)生提供思考及合作的探究性活動,讓學(xué)生充分發(fā)揮他們的聰明才智,通過恰當(dāng)?shù)膯栴}設(shè)置,啟發(fā)學(xué)生參與到問題中進(jìn)行思考探究,學(xué)生在輕松、愉悅的氣氛中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.【教學(xué)方法建議】情境教學(xué)法、問題教學(xué)法,還有__________________________________________________【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn):1.拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程.2.拋物線的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用.3.直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用.難點(diǎn):1.運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題.2.解決與拋物線性質(zhì)有關(guān)的應(yīng)用問題.【教學(xué)材料準(zhǔn)備】1.常規(guī)材料:多媒體課件、_________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教學(xué)活動設(shè)計(jì)教學(xué)導(dǎo)入師:拋物線的簡單幾何性質(zhì)都有哪些?各種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的幾何性質(zhì)分別是什么?【學(xué)生回答填表,教師展示多媒體】【要點(diǎn)知識】拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍對稱軸軸軸軸軸焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程頂點(diǎn)坐標(biāo)離心率師:本節(jié)課我們將應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)直線和拋物線的位置關(guān)系.【設(shè)情境巧激趣】通過圖表的方式把前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容復(fù)習(xí)一遍,這樣不但讓學(xué)生溫習(xí)了舊知識,而且將對新知識的掌握起到承上啟下的作用.本表格由學(xué)生獨(dú)立完成,鍛煉學(xué)生類比,獨(dú)立自主的能力.教學(xué)精講探究1拋物線的方程與性質(zhì)問題:斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),且與拋物線相交于、兩點(diǎn),求線段的長.師:在前面橢圓、雙曲線的學(xué)習(xí)中,我們也遇到過類似的直線與橢圓、雙曲線相交的問題,回憶一下是如何解決的,對于這道題,你有什么解答思路?生:將直線和拋物線聯(lián)立為方程組,求出兩個(gè)交點(diǎn),然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求的長.【以學(xué)定教】利用三種方法求拋物線的弦長問題,讓學(xué)生比較三種方法的不同之處,從而引出拋物線定義的應(yīng)用,讓學(xué)生體會定義的重要性、省去煩瑣計(jì)算的優(yōu)越性.師:解法一可求得,直線的方程為.聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程,整理得.用求根公式解得或不妨令.由兩點(diǎn)間距離公式,得即線段的長為8.師:這種方法與之前直線與橢圓、雙曲線相交問題上所使用的方法是統(tǒng)一的,說明它具有一般性,為我們解決直線與圓錐曲線問題提供了基本的解題思路.但是在計(jì)算時(shí)有些麻煩.能否不求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)而求出呢?生:在兩點(diǎn)間距離公式中,我們只要求出的值就可以求出.【分析計(jì)算能力】通過動手實(shí)踐,學(xué)生體會不同方法計(jì)算量的大小,對于簡便方法的接受水到渠成,理解弦長公式的應(yīng)用,提高解決問題的能力和分析計(jì)算能力.師:設(shè)而不求,利用弦長公式來求的長.由此得到解決這個(gè)問題的第二種方法.解法二設(shè),將直線的方程與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立,代入消元得,所以可得,.因?yàn)?所以,.師:相較第一種解法中,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,第二種解法的計(jì)算過程簡化很多,所以在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),希望同學(xué)們多注意觀察和思考,用最簡便的方法解決問題.師:根據(jù)題目條件作圖觀察,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想,再回憶一下拋物線的定義,有沒有給你一些啟發(fā)?生:設(shè)而不求,數(shù)形結(jié)合,利用定義來求的長.師:解法三直線過拋物線的焦點(diǎn),根據(jù)拋物線的定義可知,拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離相等,所以.那么因?yàn)檩S,所以.同理.于是得,.師:由題意知,,再由解法二,聯(lián)立直線的方程與拋物線方程,代入化簡得.根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系,得.所以,.所以,線段的長是8.師:如果直線不經(jīng)過焦點(diǎn),那么還等于嗎?生:由圖觀察,顯然.師:如果直線不經(jīng)過焦點(diǎn),那么不等于.同學(xué)們也可以用代數(shù)法,設(shè)出直線的方程,與拋物線方程聯(lián)立,探究與誰的值有關(guān),從而發(fā)現(xiàn)它的長度不等于.【簡單問題解決能力】此問題主要是求過焦點(diǎn)弦的弦長問題,同樣很基礎(chǔ),但是解法三很恰當(dāng)?shù)匕褣佄锞€的定義融合進(jìn)去了,利用定義解決此問題,凸顯拋物線與橢圓、雙曲線的不同.提升簡單問題解決能力.【總結(jié)】比較三種解題方法,可以發(fā)現(xiàn)這三種方法各有特點(diǎn).解法一最直接,具有一般性,但是計(jì)算量大.解法二運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,簡化運(yùn)算,但是需要掌握變形技巧.解法三充分運(yùn)用拋物線的定義:拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于這個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,使運(yùn)算大大簡化,但要注意,直線必須過焦點(diǎn).這種方法把拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和其幾何特征緊密地結(jié)合起來,體現(xiàn)了用坐標(biāo)法解決問題的基本思想方法:先用幾何眼光觀察,再用代數(shù)運(yùn)算解決.【以學(xué)定教】類比直線與橢圓、直線與雙曲線的位置關(guān)系,直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷方法很容易理解,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋求方法、總結(jié)結(jié)論的思維路線,經(jīng)歷知識形成的全過程,使學(xué)生提高綜合問題的解決能力,從而達(dá)到形成技能的目的.探究2直線和拋物線的位置關(guān)系師:根據(jù)上面的解題思路,我們繼續(xù)研究直線和拋物線的位置關(guān)系的判斷方法.【要點(diǎn)知識】直線和拋物線的位置關(guān)系直線和拋物線的位置關(guān)系有三種:相交、相切、相離,將直線方程和拋物線方程聯(lián)立,消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于(或)的方程組:(或),其中為常數(shù).若,則直線和拋物線相交(直線與拋物線的對稱軸平行),有一個(gè)交點(diǎn);若,計(jì)算判別式:若,則直線和拋物線相交(有兩個(gè)交點(diǎn));若,則直線和拋物線相切(有一個(gè)交點(diǎn));若,則直線和拋物線相離(無交點(diǎn)).【概括理解能力】通過對直線與拋物線的幾種位置關(guān)系的學(xué)習(xí),增強(qiáng)學(xué)生的概括理解能力.師:下面我們看一道例題.【典型例題】直線和拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用例1(1)過定點(diǎn)作與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條?(2)若直線與曲線恰好有一個(gè)公共點(diǎn),試求實(shí)數(shù)的取值集合.【分析】(1)分斜率存在、不存在兩種情況,存在時(shí)將直線方程代入拋物線方程,轉(zhuǎn)化為求解;不存在時(shí)顯然滿足題意.(2)將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去后化為關(guān)于的方程分類討論方程有一解時(shí)的取值【學(xué)生回答,教師板書】師解:(1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線,符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)過點(diǎn)的直線方程為,當(dāng)時(shí),直線的方程為,滿足直線與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)時(shí),將直線方程代入,消去得.由,得,直線方程為.故滿足條件的直線有三條.(2)因?yàn)橹本€與曲線恰好有一個(gè)公共點(diǎn),所以方程組只有一組實(shí)數(shù)解,消去,得,即.①當(dāng),即時(shí),方程①是關(guān)于的一元一次方程,解得,這時(shí),原方程組有唯一解.當(dāng),即時(shí),方程①是關(guān)于的一元二次方程.令,解得(舍去)或.所以原方程組有唯一解綜上,實(shí)數(shù)的取值集合是.【分析計(jì)算能力】通過典型例題,熟練掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的求解方法,將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程組的解,體現(xiàn)從量變到質(zhì)變的哲學(xué)思想.提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合及方程思想,鞏固提升,鍛煉學(xué)生的分析計(jì)算能力.師:我們再看一道例題.【典型例題】直線和拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用例2已知點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn),為拋物線的焦點(diǎn),且,直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)、.(1)求拋物線的方程;(2)若,求的值.【教師展示規(guī)范解答,講授例題,學(xué)生聽課、思考】【典例解析】直線和拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用解:(1)拋物線的準(zhǔn)線為,由得:,得.所以拋物線的方程為.(2)設(shè),由可得,∴.∵直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),∴,解得,所以的值為1或.【深度學(xué)習(xí)】通過例題學(xué)生體會設(shè)而不求的方程思想.判斷直線與拋物線的位置關(guān)系,就是利用拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用,讓學(xué)生體會解題的本質(zhì),降低思維難度.【簡單問題解決能力】通過對直線與拋物線位置關(guān)系的學(xué)習(xí),用其解決相關(guān)例題,鞏固所學(xué)知識,提高學(xué)生的解決問題的能力.探究3坐標(biāo)法解決拋物線的綜合問題師:下面我們繼續(xù)探究關(guān)于拋物線幾何性質(zhì)的例題.【典型例題】坐標(biāo)法解決拋物線的綜合問題例3經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn),求證:直線平行于拋物線的對稱軸.師:這條拋物線的對稱軸是什么?生:開口方向與軸的正方向相同,拋物線在軸右側(cè),對稱軸為軸.師:如何證明一條直線平行于軸?生:直線斜率為0,直線上任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等,等等.因此,本題可證明點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等.師:如何求點(diǎn)的縱坐標(biāo)?生:點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn),需要構(gòu)建直線方程與拋物線方程間的聯(lián)系.點(diǎn)為直線與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn),需要構(gòu)建直線方程與準(zhǔn)線方程間的聯(lián)系.因此,我們從點(diǎn)與焦點(diǎn)弦的關(guān)系出發(fā),通過設(shè)直線的方程,從而表示點(diǎn).師:如何設(shè)直線的方程便于計(jì)算?生:不妨將過焦點(diǎn)的直線方程設(shè)為,從而避免直線斜率是否存在的分類討論.【意義學(xué)習(xí)】教師通過層層追問的方式,幫助學(xué)生明確用坐標(biāo)法解決拋物線綜合問題的步驟,體現(xiàn)意義學(xué)習(xí).【簡單問題解決能力】通過典例解析,歸納基本題型,幫助學(xué)生形成基本解題思路,進(jìn)一步體會坐標(biāo)法的基本解題步驟和數(shù)形結(jié)合的思想方法,發(fā)展學(xué)生的簡單問題解決能力.師:下面我們來具體計(jì)算.【師生合作交流,教師板書】解:設(shè),設(shè)直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立,得,所以.即.直線的方程為,因?yàn)?所以直線的方程為.令,得點(diǎn)縱坐標(biāo)為.所以.所以直線平行于軸.即直線平行于拋物線的對稱軸.【總結(jié)】本題揭示了處理解析幾何問題的核心方法——坐標(biāo)法.求解中將直線與軸平行問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等,借助根與系數(shù)的關(guān)系,整體代換進(jìn)行求解.【說明論證能力】在解決與拋物線有關(guān)的綜合問題時(shí),學(xué)生要掌握坐標(biāo)法的解題步驟,結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì),通過觀察、討論、歸納概括使問題簡單化.利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的思想,提升學(xué)生的說明論證能力.師:在順利完成本題的解答后我們又想到,這個(gè)結(jié)論在一般的拋物線方程中是否仍然成立?【典型例題】坐標(biāo)法解決拋物線的綜合問題例4經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn),求證:直線平行于拋物線的對稱軸.師:我們以拋物線為例進(jìn)行證明.依然用坐標(biāo)法證明這個(gè)結(jié)論,即通過建立拋物線及直線的方程,運(yùn)用方程研究直線與拋物線對稱軸之間的位置關(guān)系.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,只要證明點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等即可.【教師講授例題,學(xué)生認(rèn)真思考】【典例解析】坐標(biāo)法解決拋物線的綜合問題解法一:如圖,以拋物線的對稱軸為軸,拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè),設(shè)拋物線的方程為,①設(shè)過焦點(diǎn)的直線方程為,②聯(lián)立①②,消去,可得.所以.即.直線的方程為,因?yàn)?所以直線的方程為.令,得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.所以.所以直線平行于軸.即直線平行于拋物線的對稱軸.【意義學(xué)習(xí)】用坐標(biāo)法解決拋物線的綜合問題時(shí),拋物線上的點(diǎn)的設(shè)定一定要簡潔直接,盡量用一個(gè)未知量來表示,讓學(xué)生體會設(shè)點(diǎn)對于解題的重要性.師:其他拋物線形式也可以類似得到證明,請同學(xué)們課下完成.師:你還有其他證明方法嗎?生:從點(diǎn)與拋物線的關(guān)系出發(fā),通過設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),得到直線、直線的方程,聯(lián)系拋物線方程和準(zhǔn)線方程,從而表示點(diǎn)、點(diǎn).師:點(diǎn)坐標(biāo)如何表示?生:因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線上的點(diǎn),所以為.師:為什么用含有的式子表示點(diǎn)坐標(biāo)?生:因?yàn)楸绢}要求證的是平行關(guān)系,只需證明縱坐標(biāo)相等,因此我們傾向于用縱坐標(biāo)表示點(diǎn)坐標(biāo).【教師講授例題,學(xué)生認(rèn)真思考】【典例解析】坐標(biāo)法解決拋物線的綜合問題解法二:如圖,以拋物線的對稱軸為軸,拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線的方程為,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則直線的方程為,①拋物線的準(zhǔn)線方程是.②聯(lián)立①②,可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.因?yàn)榻裹c(diǎn)的坐標(biāo)是,當(dāng)時(shí),直線的方程為③聯(lián)立③和拋物線方程,消去,可得,所以.即.所以.于是平行于軸.當(dāng)時(shí),易知結(jié)論成立.所以,直線平行于拋物線的對稱軸.【發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力】利用多種方法解決拋物線的綜合問題,強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)法的教學(xué)貫穿了整個(gè)“圓錐曲線方程”一章的理念,運(yùn)動變化和對立統(tǒng)一的思想觀點(diǎn),是學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)掌握的基本數(shù)學(xué)方法.通過學(xué)習(xí),發(fā)展了學(xué)生的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力.【總結(jié)】例4是拋物線的一個(gè)性質(zhì),由這個(gè)性質(zhì)我們發(fā)現(xiàn),經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的直線很重要.本題的求解采用了坐標(biāo)法,通過代數(shù)運(yùn)算解決問題,把平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的關(guān)系.【方法策略】解析幾何的核心方法——坐標(biāo)法用代數(shù)法解決幾何問題,其核心的解題方法是坐標(biāo)法.所謂坐標(biāo)法,就是建立平面直角坐標(biāo)系,把幾何對象轉(zhuǎn)化為代數(shù)對象,把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,利用代數(shù)工具、方法研究并獲得結(jié)論,然后再解釋幾何對象的過程.因此,用坐標(biāo)法解決圓錐曲線問題時(shí),建立在幾何直觀基礎(chǔ)上的運(yùn)算是有效解題的關(guān)鍵,這里的運(yùn)算具有“數(shù)形結(jié)合”的特征,而不僅僅是代數(shù)運(yùn)算.【深度學(xué)習(xí)】總結(jié)解析幾何的核心方法,體會坐標(biāo)法解決圓錐曲線問題的關(guān)鍵和應(yīng)用的廣泛性.師:了解坐標(biāo)法的用途之后,我們共同探究下面的題目吧.【典型例題】利用坐標(biāo)法解決拋物線軌跡問題例5如圖,已知定點(diǎn)軸于點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn),軸于點(diǎn)于點(diǎn)與相交于點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡方程.【教師組織學(xué)生思考后回答問題,隨后出示解題過程】【典例解析】利用坐標(biāo)法解決拋物線軌跡問題解:設(shè)點(diǎn),其中,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題意,直線的方程為.①因?yàn)辄c(diǎn)在上,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入①,得,②所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足②.直線的方程為③因?yàn)辄c(diǎn)在上,所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足③,將②代入③,消去,得,即點(diǎn)的軌跡方程.【綜合問題解決能力】利用坐標(biāo)法解決拋物線軌跡問題,讓學(xué)生先回顧坐標(biāo)法的步驟,然后學(xué)生通過動手實(shí)踐體會利用坐標(biāo)法求拋物線方程的應(yīng)用,有助于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和方法的總結(jié),提升了學(xué)生的綜合問題解決能力.師:下面我們總結(jié)一下本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容.【課堂小結(jié)】拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)1.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系.2.利用拋物線的定義解決直線與拋物線相交的弦長問題.3.坐標(biāo)法解決與拋物線方程有關(guān)的綜合問題.【設(shè)計(jì)意圖】通過拋物線的綜合應(yīng)用和本節(jié)所學(xué)知識練習(xí)鞏固,利用問題教學(xué)的教學(xué)策略和師生配合共同解決問題的學(xué)習(xí)方式,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).教學(xué)評價(jià)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生理解拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程取決于值的大小和焦點(diǎn)的位置,重視拋物線定義在解題中的應(yīng)用.類比研究橢圓和拋物線的幾何性質(zhì)的方法學(xué)習(xí)拋物線的幾何性質(zhì),在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí),聯(lián)想直線與橢圓、直線與雙曲線的位置關(guān)系.【設(shè)計(jì)意圖】在解決與拋物線方程有關(guān)的問題時(shí),學(xué)生要充分利用拋物線的簡單幾何性質(zhì),通過觀察、討論、歸納概括使問題簡單化.利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的思想在解決與拋物線的有關(guān)問題時(shí)經(jīng)常運(yùn)用,培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維、歸納概括的能力.應(yīng)用所學(xué)知識,完成下面各題:1.根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)準(zhǔn)線方程為;(2)焦點(diǎn)在軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5.思路:若已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程,則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出的值,若焦點(diǎn)位置無法確定,則需分類討論,已知拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo),一般能求出兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程.解析:(1)因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線交軸于正半軸,且,則,所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)已知拋物線的焦點(diǎn)在軸上,可設(shè)方程為,由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5,知,所以滿足條件的拋物線有兩條,它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為和.【分析計(jì)算能力】從基礎(chǔ)入手,通過練習(xí),使學(xué)生更好地理解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式、各個(gè)量之間的關(guān)系,掌握求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法.提升分析計(jì)算能力.2.位于軸右側(cè)的動點(diǎn)到的距離比它到軸的距離大.求點(diǎn)的軌跡方程.思路:根據(jù)動點(diǎn)滿足的條件轉(zhuǎn)化為滿足拋物線的定義的條件.解析:由于位于軸右側(cè)的動點(diǎn)到的距離比它到軸的距離大,所以動點(diǎn)到的距離與它到直線的距離相等.由拋物線的定義知動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點(diǎn)),其方程應(yīng)為的形式,而,所以,故點(diǎn)的軌跡方程為.3.若拋物線上有一點(diǎn),其橫坐標(biāo)為-9,它到焦點(diǎn)的距離為10,求點(diǎn)的坐標(biāo).思路:根據(jù)拋物線的定義,拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離.解析:由拋物線方程,得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,則,即,得,故拋物線方程為.由點(diǎn)在拋物線上,得,故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【概括理解能力】理解拋物線的定義的條件,將定義與動點(diǎn)的軌跡聯(lián)系起來解決問題,培養(yǎng)了學(xué)生的概括理解能力.【簡單問題解決能力】通過拋物線的定義和幾何性質(zhì)設(shè)計(jì)習(xí)題,鞏固學(xué)習(xí)效果,同時(shí)回顧了學(xué)生已有相關(guān)知識和方法,連接了本章的重點(diǎn)和難點(diǎn),符合學(xué)生學(xué)習(xí)上的認(rèn)知規(guī)律,提升簡單問題解決能力.4.設(shè)直線與拋物線交于、兩點(diǎn),已知弦的長為,求的值.思路:根據(jù)直線與圓錐曲線相交的弦長公式列方程.解析:由消去,得.由,得.設(shè).則.∴.∴,即.5.過拋物線的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦交拋物線于、兩點(diǎn).(1)求證:、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積分別為定值;(