數(shù)列求和方法匯編及

數(shù)列求和方法匯編及典題訓(xùn)練數(shù)列求和方法匯編【教學(xué)目標(biāo)】一、知識目標(biāo)熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式；2.能運用倒序相加、錯位相減、裂項相消等重要的數(shù)學(xué)方法進行求和運算；3.熟記一些常用的數(shù)列的和的公式.二、能力目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的“合情推理能力”、“等價轉(zhuǎn)化”和“演繹歸納”的數(shù)學(xué)思想方法，以及創(chuàng)新意識，滲透運用定義、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.三、情感目標(biāo)\u\通過數(shù)列求和的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，使學(xué)生體會知識之間的聯(lián)系和差異，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.\u\【教學(xué)重點】求數(shù)列的和注意方法的選?。宏P(guān)鍵是看數(shù)列的通項公式；求和過程中注意分類討論思想的運用；轉(zhuǎn)化思想的運用；【教學(xué)難點】錯位相減法、裂項相消法的應(yīng)用【知識點梳理】直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。(1)等差數(shù)列的求和公式:S_n?+氣)_泌+n(n-1)日

n‘2〃—na12(2)等比數(shù)列的求和公式$Bna1(q—1)_va(1—qn)、(q豐1)I1—q(切記：公比含字母時一定要討論)2.公式法:寸n(n+1)(2n+1)￡k2=12+22+32+L+n2—k—1n(n+1)

2況k3—13+23+33+L+n3=k—13.錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的.比如博差,也博比,求4.裂項相消法：ab+ab+A+ab的和.1122nn把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.常見拆項公式:1_11—_—n(n+1)nn+1n(n+2)2nn+2)5?分組求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的(—(2n—1)(2n+1)22n—12n+1n-n!=(n+1)!-n!數(shù)列相加或相減組成，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減.6.并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如a=(—1)nfn)類型，可采用兩項合并求解?n例如，Sn=1002—992+982—972+???+22—12=(100+99)+(98+97)+???+(2+1)=5050.7.倒序相加法：如果一個數(shù)列｛%｝的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導(dǎo)的.8.其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法，導(dǎo)數(shù)法等【典型例題】題型一、公式法求和例題1：已知數(shù)列｛a｝是首項a=4,公比q乂1的等

n1比數(shù)列，Sn是其前n項和，且4*,a5,—2a3成等差數(shù)列.(1)求公比q的值；(2)求T=a2+a4+a6+^+a2的值.【解析】⑴由題意得2a5=4a1—2a3.V{a}是等比數(shù)列且a=4,公比qU1,1?L2*q4=4*—2a1q2,Aq4+q2—2=0,解得q2=—2(舍去)或q2=1,Lq=—1.(2)Va2,a4,a6，…，a^是首項為a2=4X(—1)=—4,公比為q2=1的等比數(shù)列‘???T=na=—4n.2【點評】應(yīng)用公式法求和時，要保證公式使用的正確性，尤其要區(qū)分好等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n尤其要區(qū)分好等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項liiJ和公式.變式1：已知數(shù)列.｝滿足a=_4n質(zhì)，nnnai+ai+ai+a+ai（1）nai+ai+ai+a+ai（2）求I,J解：(1)an+i-an=-4(n>1),「.｛a」是以17為首項，公差為-4的等差數(shù)列(2)顯然｛a｝是遞減數(shù)列，令a=0，得n=^4-2n(17+(-4n+21))n=n(19-2n)」.當(dāng)n<6時，a>0,當(dāng)n>6時，a<0,設(shè)S=a+a+???+a2—(a+a+???+a)二當(dāng)n<6日寸,|a|+|a|+???+|a|=a+a+???+a112n12n當(dāng)n>6日寸,aI+\a1+???+aI=a+a+???+a112n125=S5-(S-S5)=2S5-S=2n2-19n+90【點評】對于等差數(shù)列的絕對值的求和，我們一般是轉(zhuǎn)化為分段求和來解決題型一、分組求和例題2：求和：①S=1+11+111+A+心1nn個2n(17+(-4n+21))n=n(19-2n)2—(a+a+???+a)②S=3+1)2+(X2+-1)2+A+3n+_1)2nXX2Xn【解析】：①氣出1=1+10+102+A+101=扣—1)k個S=9[(10-1)+(102-1)+A+(10n-1)]=9[(10+102+A+10n)-n]=J10，1；-1)-n]=10n+1—；"-1°+上)+2nX2n②S=(x2+1+2)+(X4+—+2)+A+(X2n+上+2)nX2+上)+2nX2n—(x2+x4+A+x2n)+(——+——+AX2X4⑴當(dāng)xI時，Sn=*+八+2n=+2〃⑵當(dāng)jx=±1時,S=4nnliiJ【點評】：1、通過分組，直接用公式求和。liiJ2、運用等比數(shù)列前n項和公式時，要注意公比q=1或q引討論。變式2：已知數(shù)列伉｝的首項x1=3,通項xn=2np+nq(nCN*,p,q為常數(shù))，且x1，x4，、成等差數(shù)列.求：p,q的值；(2)數(shù)列伉｝前n項和Sn的公式.【解析】(1)由x1=3,得2p+q=3,又因為x4=24p+TOC\o"1-5"\h\z4q,x^=2^p+5q,且x1+x_=公.，得3+2^p+5q=2^p55+8q,解得p=1,q=1.由(1),知x=2n+n,所以S=(2+22+???+2n)+(1nn,,,、,n(n+1)+2+???+n)=2n+1—2+?2【點評】對于不能由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式直接求和的問題，一般需要將數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)進行合理的拆分，轉(zhuǎn)化成若干個等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和.題型三、裂項相消法求和

1,n(n+1)求它的前1,n(n+1)求它的前n項和TOC\o"1-5"\h\zaanS=a+a+a+L+a+an123n-1nI1I1IL+1+1=七1)r11)r11)r11)r11)1--+—+—+L+一-+—=七1)r11)r11)r11)r11)1--+—+—+L+一-+—L2JL23JL34JLn一1nJLnn+1J1nliiJ【點評】：裂項相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項可以分解成兩項的差，且這兩項是同一數(shù)列的相鄰兩項，即這兩項的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，并且消項時前后所剩的項數(shù)相同.liiJ變式3：求和S廣言+三+A+聲"【解析】a=Q3==1+1=1+」-^--^)k(2k-1)(2k+1)(2k-1)(2k+1)(2k-1)(2k+1)22k-12k+1ca1「/i1、」1、a/11v1/11、2n(n+1)S=a+a+A+a=n+—[(1——)+(——)+A+(—)]=n+—(1—)=n12n23352n-12n+122n+12n+1變式4在數(shù)列底｝中，an=ni1+n+1+"?+n+1，又bn，aan+1【解析】求數(shù)列飽｝的前n項和Sn.1^2，aan+1【解析】求數(shù)列飽｝的前n項和Sn.1^2nnn+1n+1n+1L228na"”[nn+1n(n+l)nn~\-i.、-2^2-n^Fl/n^Fl/8n

n+r2…成等差數(shù)列,匕C/*“C43rC/435變式5等比數(shù)列｛.｝的各項均為正數(shù)，nTOC\o"1-5"\h\z且2?32求數(shù)列｛混的通項公式；n2…成等差數(shù)列,匕C/*“C43rC/435D—/\ClIPjnd\2n+\)\2n+3)???【解析】設(shè)等比數(shù)列｛.｝的公比為/依題意，有n<%=氣;機,艮叫%-“4+2%'所以]“g2—aq^+2aq^,由于八0,c[a=2a2."2=2i202.1a=2a2.i321i疽'32,解之得卜!，或卜=!，q=如[<7=-1-

又，a>0,q>01所以a_1_1，所以數(shù)列｛a｝的通項公式為12,q又，a>0,q>01[1Y(n*)?:=-neN*〃"2J(2)解：由(1),得=,2n：5.a二2n：5」.n(2n+1)(2n+3)n(2n+1)(2n+3)2nn1n12n+12n+3J2n(2n+1)2n-1(2n+3)2n所以S=b+b+L+b

n12n-上｝+[—-」-"35-2J"5-27-2211—(2n+1)2n-1(2n+3)2〃S=1+3a+5S=1+3a+5a2+A+(2n—1)an-1G)aS=a+3a2+5a3+A+(2n—1)an(2)宥_（2n+3）2n故數(shù)列板｝的前n項和S=1—1.n〃n3（2n+3）2n【點評】有時候需要根據(jù)實際情況自己去拼湊。題型四、錯位相減法求和例題4：已知數(shù)列Em,（2n—1）a，-1（a主0），求前口項和。析】G)-(2):(1—a)Sn=1+2a+2a2+2a3+A+2aG)-(2):(1—a)Sn(1-a)2當(dāng)a主1時，(5.=1+普-(25S“山F+1)“(1-a)2【點評】1、已知數(shù)列各項是等差數(shù)列1,3,5,…2n-1與等比數(shù)列…ac對應(yīng)項積，可用錯位相減法求和。ao,a,a2,a,an-12、運用等比數(shù)列前n項和公式時，要注意公比,一政心1q—1弓&q尹1討論。3、錯位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列"｝的公比q；②將兩個等式相減；③利用等比數(shù)列n的前n項和的公式求和.變式5已知a=n?2n-1，求數(shù)列｛%｝的前n項和Sn.【解析】S=1g20+2g21+L+(n-1)g2n-2+ng2n-1①n2S=1g21+2g22+L+(n-1)g2n-1+ng2nn②一①得S=ng2n-1g20-21-L2n-1=ng2n-2n+1n【點評】注意識別數(shù)列形式，運用相應(yīng)的方法題型五、倒序相加法求和【解析】令S=C0+3C1+5C2+A+(2n+1)Cn例題5：求證:Co+3Ci+5C2+A+(2n+1)C=(n+1)2n則八。S=(2n例題5：求證:Co+3Ci+5C2+A+(2n+1)C=(n+1)2n(1)+(2)有:2S=(2n+2)C0+(2n+2)C1+(2n+2)C2+A+(2n+2)Cnnn"冬式成立nS=(n+1)[C0+C1+C2+A+Cn]=(n+1)-2nnnnnn【點評】解題時，認(rèn)真分析對某些前后具有對稱性的數(shù)列，可以運用倒序相加法求和.變式6：已知函數(shù)fQ=-2x+*2(1)證明：f(x)+f(1—x)=1；…卜.匕一(8(2)求f-+f-+L+f-110”I107【解析】:f(制的值.=L=f人I(2\.令s=f二+fI"mJ9、'I10J”兩式相加得：/(1\…V(8)則s=f=+f|mJ+L.(9)\2S=9x|f|仍尸f110J題型六、并項求和例6：S=1002—992+982—971+^+21—12n【解析】Sn=1002—992+982—972+…+22—12=(100+99)+(98+97)+???+(2+1)=5050.【點評】一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如?=(—1)nf(n)類型，可采用兩項n合并求解.題型七、其它求和方法(歸納猜想法，奇偶法等供參考)例7：已知數(shù)列睛}變式7：已知數(shù)列心的通項,{a}ann【解析】：奇數(shù)項組成以「]a1=|6n-5(n為奇數(shù))，求其前n項和S.[2〃(n為偶數(shù))?為首項，公差為12的等差數(shù)J,a

nn=-2[n-(-1)n],求S【解析】：a=—2n+2(-1)n，若n=2m,則S=S=-2(1+2例7：已知數(shù)列睛}變式7：已知數(shù)列心的通項,{a}ann【解析】：奇數(shù)項組成以「]a1=|6n-5(n為奇數(shù))，求其前n項和S.[2〃(n為偶數(shù))?為首項，公差為12的等差數(shù)J,a

nnn=-(2m+1)2m+2[2=-(2m+1)2m+2[2m-(-1)2m]=-(2m+1)2m+2(2m-1)n=2m—1,則S=S.=S—a=-4m2+2m一2=-(n+1)2+(n+1)一2=一n2一n一2'-n(n+1)(n為正偶數(shù))[-n2-n-2(n為正奇數(shù))【點評】：22E，通過分組，對n分奇偶討論求和。a=-2n—2(-1)n列,偶數(shù)項組成以a=4為首項，公比為4的等比數(shù)列;當(dāng)為奇數(shù)時，奇數(shù)項有n+1項，偶數(shù)項有n-1項，n22?n+1(16力_5)n-1..2(1+6n5)4(1-42)(n+1)(3n-2)4(2n-1-1),S=+=+當(dāng)〃為偶數(shù):時，奇數(shù)項和偶數(shù)項分別1有n項，n2_2(1+6n一5)4(1-4；)_n(3n-2)4(2n-1)Sn=—2—+^^"^^+^^所以,(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n+1)(3n-2)4(2n-所以,(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))n(3n-2)4(2n-1)2+3例8：借助導(dǎo)數(shù)求和p(x)=1+2x+3x2+L【解析】〃(x)=(x+x2+Lxn)，=【點評】本題可以用錯位相減法完成，用導(dǎo)數(shù)法求和也可以。'1一(n+1)xn+nxn+1(1)2變式8：借助導(dǎo)數(shù)求和52C2+3SL+〃CC1+2C2+3C3+L+nCn【解析】由二項式定理+LS。(1+x)n=C0+C1x+C2x2+LCnXn求導(dǎo)得nn?&nn(1+x>-1=C1+2C2x+3C3x2+L+nCnxn-19<x=1得://_nC1+2C2+3C3+L+nCn=n-2n-1【方法與技方總結(jié)】n1數(shù)列求和需注意方法的選?。宏P(guān)鍵是看數(shù)列的通項公式，根據(jù)通項選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?.求和過程中注意分類討論思想的運用；liiJliil【鞏固練習(xí)】1.求下列數(shù)列的前〃項和S:(1)5,55,555,5555,〃…，s命…;9(13-1)(2)iiiTiL；,,,T,,L1x32x43x5n(n+2)(3)(4)a,2a2,3a3,L,nan,L；(5)1x3,2X4,3X5,L,n(n+2),L；(5)(6)sin21o+sin22o+sin23°+LL+sin289°*

⑺1,(詞,(1+抻,???,(1+將+???+舟2、巳知等差數(shù)列伉｝的前3項和為6,前8項和為一4.flliiJ⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式;(2)設(shè)如=(4—婦如T(qUO,u《N*),求數(shù)列｛AJ的前n項和3、已知等差數(shù)列k席足Q=_7,S=-24‘求\a\+\a\+\a|+---+|?|"n24123n

4、設(shè)心是等差數(shù)列，如是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且TOC\o"1-5"\h\z{a}a=b=1，a+b=21，a+b=13,liiJ⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式;113553求｛a｝，｛b｝的通項公式；\o"CurrentDocument"nn求數(shù)列值的前n項和S.n5、已知5、已知—二芝登，求"■'1006-XX-10&5(1);=;

(2)/(l)+/(3)+/(5)++/(2009)+/(2011)【課后作業(yè)】1.等比數(shù)列.{a}

n的前n項和S=2n—1,則na2+a2+a2+A+a2123n2.S=-1+3-5+7-(2)/(l)+/(3)+/(5)++/(2009)+/(2011)【課后作業(yè)】1.等比數(shù)列.{a}

n的前n項和S=2n—1,則na2+a2+a2+A+a2123n2.1X44X7(3n-2)x(3n+1)\o"CurrentDocument"4.111+++…+?43?54?6(n+1)(n+3)liiJ數(shù)列的通項公式1,(1+2),(1+2+22),L,(1+2+22+L+2n-1),L'liiJ前n項和＜S=n61AAA乂A?的前n項和為2,22，23，'2n''7、在數(shù)列伉}中，a1=1,當(dāng)nN2時，其前n項和Sn滿-—(一1、足S2=anSn—2.nnn2kJ(1)求Sn的表達式;-S(2)設(shè)如=瓦*，求飽｝的前n項和Tn.8、已知等差數(shù)列伉｝滿足a2=0,a6+a8=—10.(1)求數(shù)列伉｝的通項公式;(2)求數(shù)列［￡%|的前n項和.9、設(shè)數(shù)列｛%｝滿足a1+3a2+32o3H3”ran=3，n《N*.求數(shù)列｛%｝的通項公式；設(shè)bn=H，求數(shù)列飽｝的前n項和Sn.10、已知數(shù)列￡｝的通項為:nliiJn,n為偶數(shù),求數(shù)列10、已知數(shù)列￡｝的通項為:nliiJn,n為偶數(shù),求數(shù)列￡｝的前n2n,n為奇數(shù)n11已知函數(shù)/3）=蘋點耳必渥函數(shù)＜3溷像上任意兩點，且線段陣的中點的橫坐標(biāo)為X求證：（1）點P的縱坐標(biāo)為定值；O在數(shù)列"中,若⑦二.■--二■二..二.二'mmtn求數(shù)列」的前:頊和?

【拓展訓(xùn)練】1.數(shù)列｛婦滿足：a1=1,且對任意的m,n^N*都有:am+n=am+an+mn，則1+k1?！苟?)aaaa1232008A.4016B?2008C.2007D?200720092009100420082.數(shù)列｛%｝、｛勾｝都是公差為1的等差數(shù)列，若其首項滿足a1+b1=5,a1>b1，且a1,b^N*，則數(shù)列｛.｝前10項的和等于()%A.100B.85C.70D.553.設(shè)m=1X2+2X3+3X4+…+(n-1)?n，則m等于()A.〃("2-i)B.in(n+4)C.1n(n+5)TOC\o"1-5"\h\zD.in(n+7)222若Sn=1?2+3?4+…+(?1)n?1?n,則S17+S33+s50等于()A.1B.-1C.0D.2設(shè)伉｝為等比數(shù)列,｛bn｝為等差數(shù)列，且b1=0Jcn=an+bn,若數(shù)列｛cn｝是1,1,2,…，則｛cn｝的前10項和為()D.979的值是A.978B.557C.46761002-992+982-972+…+22-12D.979的值是A.5000B.5050C.10100D.202007.一個有2001項且各項非零的等差數(shù)列，其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為.8.若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，則a=，=,c=.9、已知數(shù)列代｝是首項為a1=4,公比q=4的等比數(shù)列，設(shè)bn+2=3log1an(nGN*),數(shù)列杞“｝滿足C="、求數(shù)列飽｝的通項公式；n求數(shù)列｛烏｝的前n項和Sn.10、設(shè)數(shù)列｛an｝滿足a1+3a2+32a3+^+3n-1an=；，n《N*.liiJ求數(shù)列同｝的通項公式；設(shè)bn==,求數(shù)列也｝的前n項和Sn.liiJ11、已知等差數(shù)列伉｝的首項a=l，公差d>0,且其第二項、第五項、第十四項分別是等比數(shù)列｛勾｝的第二、三、四項.求數(shù)列｛婦與代｝的通項公式；匕+%+§+A+Cn=a成bbbb匕+%+§+A+Cn=a成bbbbn+1求c1+c2+c3c頒3的值.12、已知數(shù)列伉｝的前n項和Sn滿足:Sn=2an+(-1)n,nN1.⑴求證數(shù)列伉+2(-1)n｝是等比數(shù)列；n-3liil(2)求數(shù)列伉｝的通項公式；(3)證明：對任意的整數(shù)m>4,有上―+A+l7a4a5a813、已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)y=j(X)為E)二6X-2，數(shù)列｛a｝的前n項和為S，點(n,S)(neN)均在函nnn數(shù)1(X)的圖像上。liil(X)求數(shù)列｛。｝的通項公式；n設(shè)、二二,T是數(shù)列心的前n項和，求使得T—對naannn20所有〃GN?都成立的最小正整數(shù)m；=)【參考答案】鞏固練習(xí)答案1、解：(1)Sn(3)67個8567個8S=5+55+555+L+55L5=-(9+99+999+L+99L9)=|[(10-1)+(102-1)+(103-1)+L+(10-1)]=5[10+102+103+L+10n-n]=50(10〃-1)-5n?

98191=1(1-1)，n(n+2)2nn+21、，11、，11、t,111,1111、?=—[(1—)+(—)+(—)+L+()]=(1+)32435nn+222n+1n+2?「1E-插a=——：==—育==(n+1一、；nnvn+\：n+1(<n+<n+1)(Vn+1一n)—：==+—=+L+—，—一v'2+寸1<3+、：2Jn+1+乙n=(?克-1)+(寸3-鹽+l+(<nzr-插)=<n+i-1?(4)當(dāng)、時，a=1當(dāng)［時，ccc…，a。1S=a+2a2+3a3++nanS=a+2a2+3a3+L+nan，〃(〃+1)，S——1+2+3++n=n2aS=a2+2a3+3a4++nan+1，兩式相減得(「、—???_a(1-an),(1—a)S=a+a2+a3++an—nan+1=—nan+1n1—anan+2—(n+1)a?+1+a?Sn⑸I5J?，n(n+2)=n2+2n*原式=(12+22+32+…+n2)+2x(1+2+3+^+n)=顧+1)(2〃+7)-(6)設(shè)S=210+sy+sm，3o+LL+心以又...,S=sin2890+sin288o+sin2870+LL+sin21o(1-a)2**2S=89，S=89*2(7)v和式中第k項為11111?，=1+2+4+-+2T1:.S=2

n,m1-土1-21-2M1-22j+-+(1-^.211=rw2、（1）設(shè)｛““｝的公差為d,1+2n-22”一1則由已知得33a1+3d=6,、阿+28d=-4,a1+a2+a3=6,&1+打2+…+/=一4,解得％=3,d=—1,故％=3—(n—1)=4—n.

(2)由(1)知，bn=n?qn-i,于是Sn=1?q0+2?qi+3?q2+???+n?qn-1,若q尹1,上式兩邊同乘以q.qSn=1?q1+2?q2+???+(n—1)?qn-1+n?qn,兩式相減得：(1—q)Sn=1+q1+q2+???+qn-1—n?qn1—qn=!—q—n?qn._1—qnn.qn_n?qn+1—(n+1)qn+1(1-q)2,,S"(1—q)21—q若q=1,則S=1+2+3+?+n(1-q)2(q=1)，n((q=1)，.'.S=

nnqn+1-(n+1)qn+1(q』(1—q)2解：Ja=2n-11a+d=-7(a〔+a】+3d)4=解：Ja=2n-113、顯然｛a」是遞增數(shù)列，令a二當(dāng)n<6時，a<0,當(dāng)n>6時，a+a+???+12la+a+???+i12:.當(dāng)n<6時當(dāng)n>6時,an\aI=n=-S5+(S-S5)=S11=a+a+???+a=-(a+a+…+a)=(-9+2n-11)n=n(n-10)=0>0,設(shè)Sn12n'2—(a+a+???+a)+(a+a+???+a)12567n-2S5=n(n-10)+504、解：「+2,+1.q4=21,解得：d=2,q=2[1+4d+1-q2=13.?.a=2n—1,b=2n-1a2n-1..—nb2n-1ns--1+1+蘭+...+心n2021221S-1+-3+...2n21222n-12n一1+——

2n兩式相減得：2s1一上12n-1"11、12n-112n-1+2(—+—+…+)-1+——穿202n21222n-12n111——22n一11、S=2一一+4(1^—)

n2n-12n-15、解：因為*…一―…:.AQ+/(2012>=/(I)+/(2011)=-=-2,⑴設(shè)E=，(0)+f(l)+/0)+-+r(2(HD+f(2D12>^=/(2012)+/(2011)+/(2010)+--+/<l)+/(0)/.宅=2013(/(0)+/(2012))=T026Sfi=2013⑵S=Al)+/(3)+/(5)+--+/(2009>+/(2011)5=/(2011)+/<2009)+-(2007)+…+f(3)+/(I)g=l00&(/(1)+/(201P)=-2012楫=—10。6課后作業(yè)答案1、y2、(-1)n.n3、工4、1r1+1—-,33n+12(23n+2n+3J5、6。Q2n+3o2n—1;2n+1—2—nS—3—n2n7、解⑴^^2=anfsn-1J,an=Sn-Sn_i(n^2)fMF—S“—i)(Sn—1)即2、八足=&_f①由題意Sn「Sn^09.—11①式兩邊同除以S]?S,得寸一——=2,n-1n見L?.?數(shù)列由是首項為11S==1,公差為2的等差數(shù)列.?.?數(shù)列由是首項為S1a11■,、1.，Sn=l+2(n—D=2n—l,^Sn=2n—1.S1(2)又ftn=2nri=(2n—ixznTi)12n—-1-2n1Fi)???Tn=b1+b2+…+bn1((11)3—5k\1)?1—3+k)1—JL一一2n+1)2n+1.1_1((11)3—5k\1)?1—3+k)1—JL一一2n+1)2n+1.1_12n—12n+1⑵設(shè)數(shù)列房土1s”，6MCO￡E?v+..?+SEXE+島XE+EXIH或..?優(yōu)FmHAz)B*—卜—TS*“呢?—一I—e8||1—弟占+..?+§+*+?.tezAe凱???0…+SE+宙+ad%，db?T點—?I則3S=32+2X33+3X34+???+*3“+i,④n?'?③一④得:—2S=3+32+33+?+3n—n,3n+in3(3(1—3n)1—3-—n,3n+iTOC\o"1-5"\h\z3~-、?=—2(1—3n)—n?3n+1.3,、，n*3n+1?.?Sn=4(1—3n)+2-.(2n—1),3n+1=4+4'10、解：a=2m,a=22m-1=2-4m當(dāng)〃為偶數(shù)時，令n=2m(meN),S=S=a+a+a+???+a+n2m1232m4(1-4m)(1+m)m=(a+a+...+a)+(a+a+...+a)=—?+2?132m-1242m21-42=—?4m+m2+m——=—?2n+n+n-—33423當(dāng)n為奇數(shù)時，令n=2mn2n2+，423???Sn-1(meN),S=S2】=S2-a2=|?4m-?2n+n2+n-2,n為偶數(shù)3423=52?2n+n2-生-2,n為奇數(shù)〔342311、TOC\o"1-5"\h\z解：設(shè)P(x,y),x+x=1o012114氣+4x2+44氣+4x2+41+===—

4x+24x+24x+x+2(4x+4x)+42(4x+4x)+82x1x2x1+x2x2x2x2x2/y+y1…y°=^r^=4(2)由(1)得：f(x)+f(1-x)=；,.?.f(0)+f⑴=f(^)+￡(^-1)=…=!,2mm2設(shè)｛a｝的前m項和為S,則f(0)+S=f(0)+f(-)+f(2)+...+f(虹)+f(1)mmmmmm???f(0)+S=f⑴+f(虹)+f(m^^)+…+f(1)+f(0)mmmm兩式相加：2(f(0)+S)=-Cm+1),.??S=1m-—m2m4123、拓展訓(xùn)練答案n+1n1.解：Va=a+a+mn,.a=a+a+n=a+1m*nmnn+1n+n,.??利用疊加法得到:n(n+1).??利用疊加法得到:n(n+1),2.?111A+—+—+A+

aaa1231C/1111A=2(1—+———+Aa2232008-=2(L—上)，an(n+1)nn+1n1、…1、+—)=2(1—)2008200920092009答案：A.2.解：?..an=a1+n—1,bn=b1+n—1?a=a1+bn—1=a1+(b1+n-1)-1bn=a1+b1+n—2=5+n—2=n+3則數(shù)列｛a｝也是等差數(shù)列，并且前10項和等于:bn4^3X10=852答案：B.

3.解：因為a=n2-n.,則依據(jù)分組集合即得.n答案;A.4.解：對前n項和要分奇偶分別解決，即：Sn=［號（〃為奇）n1一2（n為偶）答案：A解由題意可得a1=1,設(shè)公比為Q,公差為d,則"+d=1[q2+2d=2:.q2-2q=0,Vq乂0,q=2,:.an=2n-i，n=(n-1)(-1)=1-n,:.cn=2n-i+1-n,:.Sn=978."答案：A"解:并項求和，每兩項合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B7.解：設(shè)此數(shù)列{an},其中間項為a1001,貝°S=a+a+a+???+?=1001aS=a+a+a+…M^.nc,K^246+a2000=1000a1001.答案:10018.解:1000l,原式=(n一1)n?(2n一1)答案:2n3—3n2+n69、(1)由題意，知an=(4)n(nGN*),1又b8.解:1000l,原式=(n一1)n?(2n一1)答案:2n3—3n2+n6(2)由(1)，知an=G｝，bn=3n—2(n《N*),6^寸m?寸+寸—―富—Drus.?.I+UE.VE.E9VI富—D0—HETIT+點?g——H(點—mI+UE.陸—占+???+品+島+EHUSZ—@4+占.v+???+^XE+EEXZ+ZEHasmwf@￡E?t/+..?+EEXE+ZEXZ+EXIH^S.??請imnAz)點U?言——???I—-依『處理汨陸洲_.：節(jié)小—8|'|$*“史@)—。ITVv/*+..?+胃E+富+?■teE公凱..