北京工業(yè)大學(xué)線性代數(shù)第六章第五節(jié)標(biāo)準(zhǔn)形第六節(jié)唯一性課件

第五節(jié)標(biāo)準(zhǔn)形一．二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二．化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法1第五節(jié)標(biāo)準(zhǔn)形一．二次型的標(biāo)準(zhǔn)形1一．二次型的標(biāo)準(zhǔn)形只含平方項的二次型，稱為標(biāo)準(zhǔn)形.如標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是一個對角陣，且主對角定義：說明:元素是其平方項的系數(shù)。2一．二次型的標(biāo)準(zhǔn)形只含平方項的二次型，稱為標(biāo)準(zhǔn)形.如標(biāo)準(zhǔn)形的數(shù)域P上任意一個二次型都可以經(jīng)過可逆線性替換化成標(biāo)準(zhǔn)形.數(shù)域P上任意一個對稱矩陣都合同于一個對角陣．定理：推論：問題：由定理可知，將一個二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，關(guān)鍵是要找到可逆替換，如何找?如果對稱矩陣A合同于一個對角陣，則稱這個對角陣是A的合同標(biāo)準(zhǔn)形．定義：3數(shù)域P上任意一個二次型都可以經(jīng)過可逆線性替換化成標(biāo)準(zhǔn)形.數(shù)域二．化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法⑴二次型含有變量的平方項例1用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出可逆線性替換．(P193---例6.5.1)1．配方法4二．化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法⑴二次型含有變量的平方項例1解：用配方法把變量x1,

x2,x3逐個配成完全平方的形式：5解：用配方法把變量x1,x2,x3逐個配成完全平方的形則有所作的可逆替換是6則有所作的可逆替換是6例2用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出可逆替換．(P194---例6.5.2)解：為了能夠配方,首先要變成有平方項.為此令⑴⑵二次型不含變量的平方項則7例2用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出可逆替換．(P19(按例1的方法)8(按例1的方法)8則⑵為了寫出所作可逆替換,先從⑵式解出⑶把⑶式帶入⑴式得所作可逆替換:9則⑵為了寫出所作可逆替換,先從⑵式解出⑶把⑶式帶入⑴式得所作設(shè)設(shè)存在初等矩陣P1,P2,…,Pt,使得則2．初等變換法經(jīng)過可逆替換X=CY化成標(biāo)準(zhǔn)形YTDY,其中D是對角陣.則初等矩陣有三種類型P(j,i(k)),P(i,j),P(i(c)),10設(shè)設(shè)存在初等矩陣P1,P2,…,Pt,使得則2．初因此即它們的轉(zhuǎn)置矩陣分別為像這種初等行、列變換類型相同，稱為成對初等行、列變換。11因此即它們的轉(zhuǎn)置矩陣分別為像這種初等行、列變換類型相同，稱為對于即同樣地，對于即12對于即同樣地，對于即12設(shè)對A作成對的初等行列變換對E只作初等列變換其中D是對角陣，即當(dāng)A變成對角陣時E就變成了可逆矩陣C.且CT

AC=D。由以上討論，我們得到求二次型標(biāo)準(zhǔn)形的另一種方法：13設(shè)對A作成對的初等行列變換對E只作初等列變換其中D是對例3用初等變換法化二次型(P196---例6.5.3)為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出可逆替換．解：的矩陣為14例3用初等變換法化二次型(P196---例6.5.3)為標(biāo)1515161617171818則可逆替換為得19則可逆替換為得19化成標(biāo)準(zhǔn)形則(1)同一個二次型其標(biāo)準(zhǔn)形不唯一.

(2)不同標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)不為0的平方項的個數(shù)相同。設(shè)二次型XTAX經(jīng)過非退化線性替換X=CY比較例2和例3的結(jié)果可看出：因為同一個二次型,用不同的線性替換,可以得到不同的標(biāo)準(zhǔn)形.20化成標(biāo)準(zhǔn)形則(1)同一個二次型其標(biāo)準(zhǔn)形不唯一.(2)不同系數(shù)不為0的平方項的個數(shù)r等于它的矩陣A因此R(A)=r.這表明二次型XTAX的標(biāo)準(zhǔn)形中的秩（即二次型的秩），因而是唯一的。21系數(shù)不為0的平方項的個數(shù)r等于它的矩陣A因此R(A)=r問題:由例2和例3的結(jié)果可看出，同一個二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)不為0的平方項的個數(shù)相同，且系數(shù)為正的平方項的個數(shù)也相同.前者對于任意數(shù)域P上的二次型都成立，后者是否也成立？我們將證明后者對于實數(shù)域上的二次型是成立的。22問題:由例2和例3的結(jié)果可看出，同一個二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)不第六節(jié)唯一性一.實規(guī)范形

n元實二次型XTAX

經(jīng)過一個適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換X=CY,可以化成下述形式的標(biāo)準(zhǔn)形

d1y12

+d2y22+…+dpyp2–dp+1yp+12-…-dr

yr2（1）其中di>0(i=1,2,…,r);且r是這個二次型的秩，因為正實數(shù)總可以開平方，所以可以再作一個可逆線性替換：23第六節(jié)唯一性一.實規(guī)范形n元實二次型則二次型（1）可以變成如下形式的標(biāo)準(zhǔn)形

z12+z22+…+zp2-zp+12-…-zp+q2稱為XTAX的實規(guī)范形.實規(guī)范型的特征：只含平方項，且平方項的系數(shù)為1、-1或0；系數(shù)為1的平方項都寫在前面。24則二次型（1）可以變成如下形式的標(biāo)準(zhǔn)形實規(guī)范型的特征：只含平例1用初等變換法化二次型(P196---例6.5.3)為規(guī)范形，并求出可逆替換．解：用初等變換法經(jīng)可逆替換25例1用初等變換法化二次型(P196---例6.5.3)為得標(biāo)準(zhǔn)形得規(guī)范形再作線性替換問題：實二次型的規(guī)范形是不是唯一呢？26得標(biāo)準(zhǔn)形得規(guī)范形再作線性替換問題：實二次型的規(guī)范形是不是唯一二.唯一性的幾個結(jié)論慣性定理:實二次型的規(guī)范形是唯一的.定義:

實二次型XTAX的規(guī)范形中,正平方項的個數(shù)p稱為XTAX的正慣性指數(shù),負(fù)平方項的個數(shù)r-p稱為負(fù)慣性指數(shù),正、負(fù)慣性指數(shù)之差2p-r稱為XTAX的符號差.任意實規(guī)范形中系數(shù)不為0的平方項的個數(shù)等于二次型的秩，故實二次型的規(guī)范形被它的秩和正慣性指數(shù)決定。注：27二.唯一性的幾個結(jié)論慣性定理:實二次型的規(guī)范形是唯一的.

實二次型XTAX的任一標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)為正的平方項個數(shù)是唯一確定的,且等于XTAX的正慣性指數(shù).系數(shù)為負(fù)的平方項個數(shù)也唯一確定且等于XTAX的負(fù)慣性指數(shù)．推論1

所以，n階實對稱矩陣A的合同標(biāo)準(zhǔn)形中，主對角元素為正(負(fù))數(shù)的個數(shù)等于A的正(負(fù))慣性指數(shù)。28實二次型XTAX的任一標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)為正的平方

任意一個實對稱矩陣A都合同于一個主對角元只有1,-1,0的對角陣.其中1,-1的個數(shù)共有R(A)個，1的個數(shù)等于XTAX的正慣性指數(shù),-1的個數(shù)等于XTAX的負(fù)慣性指數(shù).這個對角陣成為A的合同規(guī)范形;1和-1的個數(shù)分別稱為A的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù).推論2

兩個n階實對稱矩陣合同的充要條件是它們的秩和正慣性指數(shù)相同.推論3

29任意一個實對稱矩陣A都合同于一個主對角元只有作業(yè)P2131217(1)(3)30作業(yè)P21330第五節(jié)標(biāo)準(zhǔn)形一．二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二．化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法31第五節(jié)標(biāo)準(zhǔn)形一．二次型的標(biāo)準(zhǔn)形1一．二次型的標(biāo)準(zhǔn)形只含平方項的二次型，稱為標(biāo)準(zhǔn)形.如標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是一個對角陣，且主對角定義：說明:元素是其平方項的系數(shù)。32一．二次型的標(biāo)準(zhǔn)形只含平方項的二次型，稱為標(biāo)準(zhǔn)形.如標(biāo)準(zhǔn)形的數(shù)域P上任意一個二次型都可以經(jīng)過可逆線性替換化成標(biāo)準(zhǔn)形.數(shù)域P上任意一個對稱矩陣都合同于一個對角陣．定理：推論：問題：由定理可知，將一個二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，關(guān)鍵是要找到可逆替換，如何找?如果對稱矩陣A合同于一個對角陣，則稱這個對角陣是A的合同標(biāo)準(zhǔn)形．定義：33數(shù)域P上任意一個二次型都可以經(jīng)過可逆線性替換化成標(biāo)準(zhǔn)形.數(shù)域二．化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法⑴二次型含有變量的平方項例1用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出可逆線性替換．(P193---例6.5.1)1．配方法34二．化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法⑴二次型含有變量的平方項例1解：用配方法把變量x1,

x2,x3逐個配成完全平方的形式：35解：用配方法把變量x1,x2,x3逐個配成完全平方的形則有所作的可逆替換是36則有所作的可逆替換是6例2用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出可逆替換．(P194---例6.5.2)解：為了能夠配方,首先要變成有平方項.為此令⑴⑵二次型不含變量的平方項則37例2用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出可逆替換．(P19(按例1的方法)38(按例1的方法)8則⑵為了寫出所作可逆替換,先從⑵式解出⑶把⑶式帶入⑴式得所作可逆替換:39則⑵為了寫出所作可逆替換,先從⑵式解出⑶把⑶式帶入⑴式得所作設(shè)設(shè)存在初等矩陣P1,P2,…,Pt,使得則2．初等變換法經(jīng)過可逆替換X=CY化成標(biāo)準(zhǔn)形YTDY,其中D是對角陣.則初等矩陣有三種類型P(j,i(k)),P(i,j),P(i(c)),40設(shè)設(shè)存在初等矩陣P1,P2,…,Pt,使得則2．初因此即它們的轉(zhuǎn)置矩陣分別為像這種初等行、列變換類型相同，稱為成對初等行、列變換。41因此即它們的轉(zhuǎn)置矩陣分別為像這種初等行、列變換類型相同，稱為對于即同樣地，對于即42對于即同樣地，對于即12設(shè)對A作成對的初等行列變換對E只作初等列變換其中D是對角陣，即當(dāng)A變成對角陣時E就變成了可逆矩陣C.且CT

AC=D。由以上討論，我們得到求二次型標(biāo)準(zhǔn)形的另一種方法：43設(shè)對A作成對的初等行列變換對E只作初等列變換其中D是對例3用初等變換法化二次型(P196---例6.5.3)為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出可逆替換．解：的矩陣為44例3用初等變換法化二次型(P196---例6.5.3)為標(biāo)4515461647174818則可逆替換為得49則可逆替換為得19化成標(biāo)準(zhǔn)形則(1)同一個二次型其標(biāo)準(zhǔn)形不唯一.

(2)不同標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)不為0的平方項的個數(shù)相同。設(shè)二次型XTAX經(jīng)過非退化線性替換X=CY比較例2和例3的結(jié)果可看出：因為同一個二次型,用不同的線性替換,可以得到不同的標(biāo)準(zhǔn)形.50化成標(biāo)準(zhǔn)形則(1)同一個二次型其標(biāo)準(zhǔn)形不唯一.(2)不同系數(shù)不為0的平方項的個數(shù)r等于它的矩陣A因此R(A)=r.這表明二次型XTAX的標(biāo)準(zhǔn)形中的秩（即二次型的秩），因而是唯一的。51系數(shù)不為0的平方項的個數(shù)r等于它的矩陣A因此R(A)=r問題:由例2和例3的結(jié)果可看出，同一個二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)不為0的平方項的個數(shù)相同，且系數(shù)為正的平方項的個數(shù)也相同.前者對于任意數(shù)域P上的二次型都成立，后者是否也成立？我們將證明后者對于實數(shù)域上的二次型是成立的。52問題:由例2和例3的結(jié)果可看出，同一個二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)不第六節(jié)唯一性一.實規(guī)范形

n元實二次型XTAX

經(jīng)過一個適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換X=CY,可以化成下述形式的標(biāo)準(zhǔn)形

d1y12

+d2y22+…+dpyp2–dp+1yp+12-…-dr

yr2（1）其中di>0(i=1,2,…,r);且r是這個二次型的秩，因為正實數(shù)總可以開平方，所以可以再作一個可逆線性替換：53第六節(jié)唯一性一.實規(guī)范形n元實二次型則二次型（1）可以變成如下形式的標(biāo)準(zhǔn)形

z12+z22+…+zp2-zp+12-…-zp+q2稱為XTAX的實規(guī)范形.實規(guī)范型的特征：只含平方項，且平方項的系數(shù)為1、-1或0；系數(shù)為1的平方項都寫在前面。54則二次型（1）可以變成如下形式的標(biāo)準(zhǔn)形實規(guī)范型的特征：只含平例1用初等變換法化二次型(P196---例6.5.3)為規(guī)范形，并求出可逆替換．解：用初等變換法經(jīng)可逆替換55例1用初等變換法化二次型(P196---例6.5.3)為得標(biāo)準(zhǔn)形得規(guī)范形再作線性替換問題：實二次型的規(guī)范形是不是唯一呢？56得標(biāo)準(zhǔn)形得規(guī)范形再作線性替換問題：實二次型的規(guī)范形是不是唯一二.唯一性的幾個結(jié)論慣性定理:實二次型的規(guī)范形是唯一的.定義:

實二次型XTAX的規(guī)范形中,正平方項的個數(shù)p稱為XTAX的正慣性指數(shù),負(fù)平方項的個數(shù)r-p稱為負(fù)慣性