數(shù)學(xué)三角函數(shù)章末綜合檢測(cè)及答案解析

(時(shí)間：100分鐘；滿(mǎn)分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列角中終邊與330°相同的角是()A．30° B．－30°C．630° D．－630°解析：選B.與330°終邊相同的角為{α|α＝330°＋k·360°，k∈Z}．當(dāng)k＝－1時(shí)，α＝－30°.2．如果cos(π＋A)＝－eq\f(1,2)，那么sin(eq\f(π,2)＋A)＝()A．－eq\f(1,2) \f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) \f(\r(3),2)解析：選(π＋A)＝－cosA＝－eq\f(1,2)，則cosA＝eq\f(1,2)，sin(eq\f(π,2)＋A)＝cosA＝eq\f(1,2).3．半徑為πcm，圓心角為60°所對(duì)的弧長(zhǎng)是()\f(π,3)cm \f(π2,3)cm\f(2π,3)cm \f(2π2,3)cm解析：選＝|α|·r＝eq\f(π,3)×π＝eq\f(π2,3)(cm)，故選B.4．函數(shù)y＝|sinx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是()A．(－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)) B．(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))C．(π，eq\f(3π,2)) D．(eq\f(3π,2)，2π)解析：選C.先畫(huà)出函數(shù)f(x)＝|sinx|的圖象，易得一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是(π，eq\f(3π,2))．5．函數(shù)y＝tan(eq\f(π,2)－x)(x∈[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]且x≠0)的值域?yàn)?)A．[－1,1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－∞，1) D．[－1，＋∞)解析：選B.∵－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，≤eq\f(3π,4)且eq\f(π,2)－x≠eq\f(π,2).由函數(shù)y＝tanx的單調(diào)性，可得y＝tan(eq\f(π,2)－x)的值域?yàn)?－∞，－1]∪[1，＋∞)．6．要得到函數(shù)y＝sin(2x－eq\f(π,4))的圖象，可以把函數(shù)y＝sin2x的圖象()A．向左平移eq\f(π,8)個(gè)單位長(zhǎng)度B．向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移eq\f(π,8)個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度解析：選＝sin2x向右平移eq\f(π,8)個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝sin2(x－eq\f(π,8))＝sin(2x－eq\f(π,4))．7．若函數(shù)f(x)＝sineq\f(x＋φ,3)(φ∈[0,2π])是偶函數(shù)，則φ＝()\f(π,2) \f(2π,3)\f(3π,2) \f(5π,3)解析：選C.由已知f(x)＝sineq\f(x＋φ,3)是偶函數(shù)，可得eq\f(φ,3)＝kπ＋eq\f(π,2)，即φ＝3kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)．又φ∈[0,2π]，所以φ＝eq\f(3π,2)，故選C.8．將函數(shù)f(x)＝sinωx(其中ω>0)的圖象向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq\f(3π,4)，0)，則ω的最小值是()\f(1,3) B．1\f(5,3) D．2解析：選D.將函數(shù)f(x)＝s圖象向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝sin[ω(x－eq\f(π,4))]的圖象，因?yàn)樗脠D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq\f(3,4)π，0)，則sineq\f(ω,2)π＝0，所以eq\f(ω,2)π＝kπ(k∈t)，即ω＝2k(k∈t)，又ω>0，所以ωmin＝2，故選D.9．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx－eq\f(π,6))－eq\f(1,2)(ω>0)和g(x)＝eq\f(1,2)cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸完全相同，若x∈[0，eq\f(π,2)]，則f(x)的取值范圍是()A．[－eq\f(5,2)，eq\f(3,2)] B．[－eq\f(1,2)，eq\f(3,2)]C．[－eq\f(3,2)，eq\f(3,2)] D．[－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)]解析：選C.由題意知ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x－eq\f(π,6))－eq\f(1,2)，又x∈[0，eq\f(π,2)]，所以2x－eq\f(π,6)∈[－eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]，由三角函數(shù)的圖象知，f(x)min＝f(0)＝2sin(－eq\f(π,6))－eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2)，f(x)max＝f(eq\f(π,3))＝2sineq\f(π,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).10.函數(shù)y＝cos(ωx＋φ)(ω<π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，A、B分別為最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，并且兩點(diǎn)間的距離為2eq\r(2)，則該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為()A．x＝eq\f(2,π) B．x＝eq\f(π,2)C．x＝1 D．x＝2解析：選C.函數(shù)y＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值為1，最小值為－1，所以周期T＝2eq\r(2\r(2)2－22)＝4，所以ω＝eq\f(π,2)，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以cosφ＝0(0<φ<π)?φ＝eq\f(π,2)，所以函數(shù)解析式為y＝cos(eq\f(π,2)x＋eq\f(π,2))＝－sineq\f(π,2)x，所以直線(xiàn)x＝1為該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸．二、填空題(本大題共5小題，請(qǐng)把正確的答案填在題中的橫線(xiàn)上)11．化簡(jiǎn)：eq\f(1,tan450°－xtan810°－x)·eq\f(cos360°－x,sin－x)＝________.解析：原式＝eq\f(1,tan90°－xtan90°－x)·eq\f(cosx,sin－x)＝tanx·tanx·(－eq\f(1,tanx))＝－tanx.答案：－tanx12．將函數(shù)fos(eq\f(x,3)＋eq\f(π,6))的圖象向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)的解析式為_(kāi)_______．解析：左移eq\f(π,4)個(gè)單位，即是將，下移1個(gè)單位即是函數(shù)值減1，變化后可得解析式為2cos(eq\f(x,3)＋eq\f(π,4))－1.答案：g(x)＝2cos(eq\f(x,3)＋eq\f(π,4))－113．函數(shù)y＝tan(eq\f(x,2)＋eq\f(π,4))的遞增區(qū)間是________．解析：由－eq\f(π,2)＋kπ<eq\f(x,2)＋eq\f(π,4)<eq\f(π,2)＋kπ，解得－eq\f(3π,2)＋2kπ<x<eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z.答案：(－eq\f(3π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ)(k∈Z)14．若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在區(qū)間[0，eq\f(π,3)]上的最大值為eq\r(2)，則ω＝________.解析：0<ω<1，x∈[0，eq\f(π,3)][0，eq\f(π,2)]，故f(x)max＝2sineq\f(ωπ,3)＝eq\r(2)，∴sineq\f(ωπ,3)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(ωπ,3)＝eq\f(π,4)，∴ω＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)15．有下列說(shuō)法：①函數(shù)y＝－cos2x的最小正周期是π；②終邊在y軸上的角的集合是{α|α＝eq\f(kπ,2)，k∈Z}；③在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝sinx的圖象和函數(shù)y＝x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)；④把函數(shù)y＝3sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝3sin2x的圖象；⑤函數(shù)y＝sin(x－eq\f(π,2))在[0，π]上是減函數(shù)．其中，正確的說(shuō)法是________．(填序號(hào))解析：對(duì)于①，y＝－cos2x的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，故①對(duì)；對(duì)于②，因?yàn)閗＝0時(shí)，α＝0，角α的終邊在x軸上，故②錯(cuò)；對(duì)于③，作出y＝sinx與y＝x的圖象，可知兩個(gè)函數(shù)只有(0,0)一個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)；對(duì)于④，y＝3sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度后，得y＝3sin[2(x－eq\f(π,6))＋eq\f(π,3)]＝3sin2x，故④對(duì)；對(duì)于⑤，y＝sin(x－eq\f(π,2))＝－cosx，在[0，π]上為增函數(shù)，故⑤錯(cuò)．答案：①④三、解答題(本大題共5小題，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)16．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－3,4)，求：eq\f(2sinπ－α·cos2π－α＋1,cos2α＋sin\f(π,2)－α·cos\f(3π,2)＋α)的值．解：由題意：tanα＝－eq\f(4,3).原式＝eq\f(2sinα·cosα＋1,cos2α＋cosαsinα)＝eq\f(2tanα＋tan2α＋1,1＋tanα)＝－eq\f(1,3).17．已知tanα、方程x2－kx＋k2－3＝0的兩實(shí)根，且3π<α<eq\f(7,2)π，求cos(3π＋α)－sin(π＋α)的值．解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得tanα·eq\f(1,tanα)＝k2－3＝1，∴k＝±2.又3π<α<eq\f(7,2)π，∴tanα>0，eq\f(1,tanα)>0，∴tanα＋eq\f(1,tanα)＝k>0，即k＝2，而k＝－2舍去．∴tanα＋tanα＝eq\f(1,tanα)＝1，∴sinα＝cosα＝－eq\f(\r(2),2)，∴cos(3π＋α)－sin(π＋α)＝sinα－cosα＝0.18．已知函數(shù)f(x)＝3tan(2x－eq\f(π,3))．(1)求f(x)的定義域；(2)比較f(eq\f(π,2))與f(－eq\f(π,8))的大?。猓?1)由已知，得2x－eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴x≠eq\f(1,2)kπ＋eq\f(5π,12)(k∈Z)，所以f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠eq\f(1,2)kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z}．(2)f(eq\f(π,2))＝3ta＝3tan(－eq\f(π,3))<0，f(－eq\f(π,8))＝3tan(－eq\f(π,4)－eq\f(π,3))＝3tan(－eq\f(7π,12))＝3tan(π－eq\f(7π,12))＝3taneq\f(5π,12)>0，所以f(eq\f(π,2))<f(－eq\f(π,8))．19．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))．(1)利用“五點(diǎn)法”，按照列表——描點(diǎn)——連線(xiàn)三步，畫(huà)出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期上的圖象；(2)當(dāng)x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,8)]時(shí)，f(x)－a＝0有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)列表、畫(huà)圖如下：2x－eq\f(π,4)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,8)eq\f(3π,8)eq\f(5π,8)eq\f(7π,8)eq\f(9π,8)f(x)0eq\r(2)0－eq\r(2)0(2)∵－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,8)，∴－eq\f(5π,4)≤2x－eq\f(π,4)≤0，∴－1≤sin(2x－eq\f(π,4))≤eq\f(\r(2),2)，∴－eq\r(2)≤eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))≤1.f(x)－a＝0有解，即a＝f(x)有解，故a∈[－eq\r(2)，1]．即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－eq\r(2)，1]．20．已知函數(shù)f(x)＝2msinx－2cos2x＋eq\f(m2,2)－4m＋3，且函數(shù)f(x)的最小值為19，求m的值．解：f(x)＝2(sinx＋eq\f(m,2))2－4m＋1.(1)當(dāng)－1≤－eq\f(m,2)≤1，即－2≤m≤2時(shí)，由sinx＝－eq\f(m,2)，得函數(shù)f(x)的最小值為－4m＋1，由－4m＋1＝1