換與分部積分法

一、定積分問(wèn)題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成

, 求其面積

A

.A

?y

yO

ab

x2020/11/21今后的使用方便，對(duì)于a

b，a

b時(shí)作如下規(guī)定：ba(4)在定積分

f

(x的)dx定義中，總假設(shè)

，a

為b了f

(x)dx.當(dāng)a

b時(shí)，當(dāng)a

b時(shí),f

(

x)dx

0；baabbaf

(

x)dx

即互換定積分的上、下限，定積分要變號(hào).–

公式(

-公式)記作定理3.6.函數(shù),則2020/11/21定積分的換元法上一節(jié)

建立了積分學(xué)兩類基本問(wèn)題之間的聯(lián)系——微積分基本公式，利用這個(gè)公式計(jì)算定積分的關(guān)鍵是求出不定積分，而換元法和分部積分法是求不定積分的兩種基本方法，如果能把這兩種方法直接應(yīng)用到定積分的計(jì)算，相信定能使得定積分的計(jì)算簡(jiǎn)化，下面

就來(lái)建立定積分的換元積分公式和分部積分公式。2020/11/21先來(lái)看一個(gè)例子例140x

2dx2x

1換元求不定積分令t

2

x

1

則x

1

(t

2

1)2dx

tdtx

222x

1tdtt1

t2

1

2dx

2

t

t

C6

21

33

1(2x

1)32

3(2x

1)12

C6

22020/11/21

1

t2

3

dt

2

2

2020/11/21先來(lái)看一個(gè)例子例140dx x

2

2x

1320131

426

(2x

1)

2

(2x

1)故40dx

x

2

2x

1

1

(９)3

2

3

(９)

126

2

22

1

36

23為去掉根號(hào),dx

tdt則令

t

2

x

1

x

2t

2

1當(dāng)

x

從0連續(xù)地增加到4時(shí)，t

相應(yīng)地從1連續(xù)地增加到3;于是40x

2dx

2x

1嘗試一下直接換元求定積分:1

t

2

3312t2tdt

3211(t

3)dt231

t3

3t

2

3

1222020/11/213443201(2x

1)2

3

(2x

1)

12

0dx

x

2

2x

1

640dx

x

2

2x

13

2(t

3)dt112t

2

x

12020/11/21換元并換限2020/11/21由此可見，定積分也可以象不定積分一樣進(jìn)行換元，所不同的是不定積分換元時(shí)要回代原積分變量，而對(duì)定積分則只需將其上、下限換成新變量的上、下限即可計(jì)算出定積分，而不必回代原積分變量將上例一般化就得到定積分的換元積分公式2020/11/21一、換元公式假設(shè)f

(x)在[a,b]上連續(xù)；函數(shù)x

(t)在[

,

]上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng)t

在區(qū)間[

,

]上變化時(shí)，x

(t

)的值在[a,b]上變化，且

(

)

a

、

(

)

b

，則有f

(

x)dx

baf

[

(t

)]

(t

)dt

.2020/11/21應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:(1):設(shè)定新變量t后，要列出新變量的變化范圍做為新的積分限；a,b

,

(2):新的上限

舊的上限b;新的下限

舊的下限a;(3):求出原函數(shù)后，不必?fù)Q回原來(lái)的積分變量x;f

(

x)dx

baf

[

(t

)]

(t

)dt

.計(jì)算a2

x2

dx0ax

a22y

a

xo例2解1

令0a

a2

x2

dxa2

cos2

tdt20220(1

cos

2t)dta

24

a2x

a

sin

t

dx

a

costdtx

0

t

022020/11/21x

a

t

2212sin

2ta

t

2

0計(jì)算a2

x2

dx0a解2

由定積分的幾何意義a2

x2

dx0a等于圓周的第一象限部分的面積4a2解3xxa22

222故2

20a

x

dx

a

x

arcsin

C2

2

aa4a

2a

x

dx

x

a2020/11/2122y

a

xo例2cos5

x

sin

xdx.20解令t

cos

x,dt

sin

xdx,x

t

0,2cos5

x

sin

xdxx

0

t

1,20

015t

dtt

6

10612020/11/21

.6例3

計(jì)算01

5

t

dt250cos

x

sin

xdx

1

cos6

(

1

cos6

0)

16

2

6

6如果用第一換元法(湊微分法)求原函數(shù)，一般不用設(shè)出新變量，因此原積分限不變.02

cos5

xd

cos

x02020/11/216

1

cos6

x

2例４e

ln

x41dxx

41e15

1

ln

x5ln

x d

ln

xe

15140u

du150151u

5換元必須換限不換元?jiǎng)t不變限湊微分d

ln

x另解原式

解原式u

ln

x2020/11/21由定積分的幾何意義(面積的代數(shù)和)也可得.奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)當(dāng)f

(x)在[a,a]上連續(xù),且有(1)

f

(x)為偶函數(shù),則2020/11/21a

aaf

(

x)dx0f

(

x)dx

2(2)

f

(x)為奇函數(shù),則aaf

(

x)dx

0x

sin

xdx

41124

x

dx

dx

x4

2x2

15x3

sin2

x54

x2dx2020/11/21100例20定積分的換元積分法小結(jié)1、基本換元規(guī)律，與不定積分相同；2、定積分的換元法，得到新元的原函數(shù)后，無(wú)須回代，但必須做到換元同時(shí)換限。若是湊微分，沒(méi)有發(fā)生換元行為，那么就不用換限2020/11/21幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式22020/11/21200三角函數(shù)的定積分公式f

(sin

x)dx

f

(cos

x)dx;

當(dāng)f

(x)在[a,a]上連續(xù),(1)

f

(x)為偶函數(shù),aaaf

(

x)dx0f

(

x)dx

2(2)

f

(x)為奇函數(shù),af

(

x)dx

0a定積分的分部積分公式則二、定積分的分部積分法definite

integral

by

parts定理2

設(shè)

u(

x),v(

x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),由不定積分的分部積分法及N--L公式.2020/11/21ab

baa

b

vduudv

uv例1.計(jì)算解:

原式=

x

arcsin

x120120dx21

xx2d

(1

x

)021212(1

x

)12π

112

2π1

(1

x2

)212012

π2

3

1分部積分過(guò)程：2020/11/21babaa

b

vduudv

uv已積出的部分要求值00r(t)dt

te

dtTTkt解：D

00k

2k

1

(t

e

k

T

ek

2

1kk

2

e

kT

(T

1

)babaa

bvduudv

uv分部積分過(guò)程：練習(xí)求解:

令2x

t

,則x

1

t

2

,dx

x

8

t

4,

x

2

t

22原式2t4

4

4422tt

te

e

dt22020/11/21

4e4

2e2

et

4

4e4

2e2

e4

e2

3e4

e2已積出的部分要求值2t

e

dt

tt

de作業(yè)P90，7.（8）-（12）ab

baba

vduudv

uv定積分的換元法和分部積分法三、小結(jié)定積分的換元公式baf

(

x)dx

f

[(t

)](t

)dt奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)三角函數(shù)的定積分公式周期函數(shù)的定積分公式定積分的分部積分公式2020/11/21例8

計(jì)算dx.1

1

x22

x2

x

cos

x11解

原式111

1

x22

x2dx11

1

x21x

cos

xdx偶函數(shù)奇函數(shù)1

1

x210

4x2dx1

(1

x2

)x2

(1

1

x2

)dx10

42020/11/21(1

1

x2

)dx10

410

4

41

x2

dx

4

.四分之一單位圓的面積

2思考題求2的解法.dx的解法中的錯(cuò)誤，并寫出正確xx2

1解令x

sect,3

4t

:

2

3

,

dx

tan

t

sec

tdt,

222x

x

1dxsec

t

tan

tdt1sec

t

tan

t33

42

3

432

12dt

.2020/11/21思考題解答計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的.t

2

,

3,

3 4

正確解法是tan

t

0,x2

x

sec

t

1

tan

t

tan

t.

22x

x2

1dxx

sec

tsec

t

tan

tdt1sec

t

tan

t33

42

dt

3

432

122020/11/21

.練習(xí)題一、填空題：1、3

sin(

x

)dx

；2、303(1

sin

)d

；3、2

x

2

dx

；20dx

1

x

212124、5、(arcsin

x)2；554

1

dx

x

2

x

2x

3

sin

2

x..2020/11/211、203二、計(jì)算下列定積分：sin

cos

d；

2、1

x

231x

2dx；3、1

x

1143dx；4、225、01

cos

2xdx

；6、2cos

x

cos3

xdx24

cos4

dx；7、112(

x

1

x

2

x

3

1

x

2

)dx

；2038、

max{

x

,

x

}dx；9、2020/11/21x x

dx20（

為參數(shù)）.三、設(shè)f

(x)2020/11/21,當(dāng)x

0時(shí)，,當(dāng)x

0時(shí)，求1

x11

e

x1f

(

x

1)dx

.20四