向量及其線性運(yùn)算課件

第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算一問題的提出四空間直角坐標(biāo)系六小結(jié)與思考判斷題二向量的概念三向量的線性運(yùn)算五利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算11/22/20221第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算一問題的提出四空間直角坐標(biāo)一問題的提出

在平面解析幾何中，我們?cè)?jīng)用代數(shù)的方法來解決集合問題，空間解析幾何也是按照類似的方法建立起來的。和解決平面問題相仿，我們先是給出空間直角坐標(biāo)系的定義，接著給出空間中任意一點(diǎn)的坐標(biāo)表示。和平面上任意兩點(diǎn)間的距離相仿我們給出空間中任意兩點(diǎn)間的距離公式。11/22/20222一問題的提出在平面解析幾何中，我們?cè)?jīng)用代

向量是我們解決空間解析幾何問題的一個(gè)重要工具，同時(shí)向量的方法也是力學(xué)，物理學(xué)以及其他應(yīng)用學(xué)科的一個(gè)好的方法。在這一節(jié)，我們?cè)谝胂蛄扛拍畹幕A(chǔ)上，給出向量的加減數(shù)乘的概念。同時(shí)要會(huì)應(yīng)用向量來解決空間幾何中的問題。大家需要注意的是，向量的方法是我們解決以后問題的一個(gè)重要的方法。11/22/20223向量是我們解決空間解析幾何問題的一個(gè)9/24/202向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量（它的方向是任意的）.||向量的模：向量的大小（長度）.單位向量：二向量(Vector)的概念或或或11/22/20224向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)

與原點(diǎn)構(gòu)成的向量.

∥11/22/20225自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同1加法(Addition)：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向三向量的線性運(yùn)算（OperationsofVectors)11/22/202261加法(Addition)：（平行四邊形法則）特殊地：若向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：2減法(Subtraction)11/22/20227向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：2(MultiplicationbyNumbers)3向量與數(shù)的乘法11/22/20228(MultiplicationbyNumbers)3數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算律（1）結(jié)合律：（2）分配律：（3）分配律：向量相加及數(shù)乘向量統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.11/22/20229數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算律（1）結(jié)合律：（2）分配律：（3按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.11/22/202210按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的我們用數(shù)乘向量來說明兩個(gè)向量的平行關(guān)系：證條件的充分性顯然；下證必要性‖11/22/202211我們用數(shù)乘向量來說明兩個(gè)向量的平行關(guān)系：證條件的充分性顯然；兩式相減，得11/22/202212兩式相減，得9/24/202212例1化簡解11/22/202213例1化簡解9/24/202213平行四邊形的對(duì)角線互相平分解11/22/202214平行四邊形的對(duì)角線解9/24/202214橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.四空間直角坐標(biāo)系11/22/202215橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ11/22/202216Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ9/24/2空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)11/22/202217空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)9/2軸X上點(diǎn)P軸Y上點(diǎn)P軸Z上點(diǎn)P11/22/202218軸X上點(diǎn)P軸Y上點(diǎn)P軸Z上點(diǎn)P9/24/202218空間的點(diǎn)M向量的坐標(biāo)式11/22/202219空間的點(diǎn)M向量的坐標(biāo)式9/24/202219空間兩點(diǎn)間的距離11/22/202220空間兩點(diǎn)間的距離9/24/202220空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為11/22/202221空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為9/24/202221五利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算利用向量的坐標(biāo)，可得向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算11/22/202222五利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算利用向量的坐標(biāo)，可得向量的加解設(shè)為直線上的點(diǎn)，11/22/202223解設(shè)為直線上的點(diǎn)，9/24/202223由題意知：11/22/202224由題意知：9/24/202224六向量的模、方向角、投影11/22/202225六向量的模、方向角、投影9/24/20222511/22/2022269/24/202226解原結(jié)論成立.11/22/202227解原結(jié)論成立.9/24/202227解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為所求點(diǎn)為11/22/202228解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為所求點(diǎn)為9/24/202228空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.2向量的方向角與方向余弦11/22/202229空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.11/22/202230向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.9/24/20當(dāng)時(shí)，向量方向余弦的坐標(biāo)表示式11/22/202231當(dāng)方向余弦的特征特殊地：單位向量的方向余弦為11/22/202232方向余弦的特征特殊地：單位向量的方向余弦為9/24/2022解所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)反向或11/22/202233解所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)反向或9/24/20解11/22/202234解9/24/20223411/22/2022359/24/202235空間一點(diǎn)在軸上的投影11/22/202236空間一點(diǎn)在軸上的投影9/24/2022363向量在軸上的投影11/22/2022373向量在軸上的投影9/24/202237空間一向量在軸上的投影11/22/202238空間一向量在軸上的投影9/24/202238關(guān)于向量的投影定理（1）證11/22/202239關(guān)于向量的投影定理（1）證9/24/202239關(guān)于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個(gè)）11/22/202240關(guān)于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個(gè)）9/24/202證于是11/22/202241證于是9/24/202241解11/22/202242解9/24/202242向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘向