2021年廣西高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷詳解版）

第21頁（共21頁）2021年廣西高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）設(shè)集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|2x＞7}，則M∩N＝（）A．{7，9} B．{5，7，9} C．{3，5，7，9} D．{1，3，5，7，9}2．（5分）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6% B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10% C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元 D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間3．（5分）已知（1﹣i）2z＝3+2i，則z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．﹣+i D．﹣﹣i4．（5分）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝（）x C．f（x）＝x2 D．f（x）＝5．（5分）點（3，0）到雙曲線﹣＝1的一條漸近線的距離為（）A． B． C． D．6．（5分）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L＝5+lgV．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）（≈1.259）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.67．（5分）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐A﹣EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）A． B． C． D．8．（5分）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，則BC＝（）A．1 B． C． D．39．（5分）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若S2＝4，S4＝6，則S6＝（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（5分）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.811．（5分）若α∈（0，），tan2α＝，則tanα＝（）A． B． C． D．12．（5分）設(shè)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（﹣）＝，則f（）＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若向量，滿足||＝3，|﹣|＝5，?＝1，則||＝．14．（5分）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分圖像如圖所示，則f（）＝．16．（5分）已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：+＝1的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|＝|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知an＞0，a2＝3a1，且數(shù)列{}是等差數(shù)列，證明：{an}是等差數(shù)列．19．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，BF⊥A1B1．（1）求三棱錐F﹣EBC的體積；（2）已知D為棱A1B1上的點，證明：BF⊥DE．20．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝a2x2+ax﹣3lnx+1，其中a＞0．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若y＝f（x）的圖像與x軸沒有公共點，求a的取值范圍．21．（12分）拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x＝1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ．已知點M（2，0），且⊙M與l相切．（1）求C，⊙M的方程；（2）設(shè)A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切．判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ．（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設(shè)點A的直角坐標為（1，0），M為C上的動點，點P滿足＝，寫出P的軌跡C1的參數(shù)方程，并判斷C與C1是否有公共點．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|．（1）畫出y＝f（x）和y＝g（x）的圖像；（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范圍．

2021年廣西高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）設(shè)集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|2x＞7}，則M∩N＝（）A．{7，9} B．{5，7，9} C．{3，5，7，9} D．{1，3，5，7，9}【分析】直接根據(jù)交集的運算性質(zhì)，求出M∩N即可．【解答】解：因為N＝{x|2x＞7}＝{x|x＞}，M＝{1，3，5，7，9}，所以M∩N＝{5，7，9}．故選：B．【點評】本題考查了交集及其運算，屬基礎(chǔ)題．2．（5分）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6% B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10% C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元 D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【分析】利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過求解頻率即可判斷選項A，B，D，利用平均值的計算方法，即可判斷選項C．【解答】解：對于A，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為（0.02+0.04）×1＝0.06＝6%，故選項A正確；對于B，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為（0.04+0.02×3）×1＝0.1＝10%，故選項B正確；對于C，估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5萬元，故選項C錯誤；對于D，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為（0.1+0.14+0.2+0.2）×1＝0.64＞0.5，故估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項D正確．故選：C．【點評】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握頻率分布直方圖中頻率的求解方法以及平均數(shù)的計算方法，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知（1﹣i）2z＝3+2i，則z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．﹣+i D．﹣﹣i【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則以及除法的運算法則進行求解即可．【解答】解：因為（1﹣i）2z＝3+2i，所以．故選：B．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算，主要考查了復(fù)數(shù)的乘法運算法則以及除法的運算法則的運用，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝（）x C．f（x）＝x2 D．f（x）＝【分析】結(jié)合基本初等函數(shù)在定義域上的單調(diào)性分別檢驗各選項即可判斷．【解答】解：由一次函數(shù)性質(zhì)可知f（x）＝﹣x在R上是減函數(shù)，不符合題意；由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知f（x）＝（）x在R上是減函數(shù)，不符合題意；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知f（x）＝x2在R上不單調(diào)，不符合題意；根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可知f（x）＝在R上單調(diào)遞增，符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）點（3，0）到雙曲線﹣＝1的一條漸近線的距離為（）A． B． C． D．【分析】首先求得漸近線方程，然后利用點到直線距離公式，求得點（3，0）到一條漸近線的距離即可．【解答】解：由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，即3x±4y＝0，結(jié)合對稱性，不妨考慮點（3，0）到直線3x﹣4y＝0的距離，則點（3，0）到雙曲線的一條漸近線的距離．故選：A．【點評】本題主要考查雙曲線的漸近線方程，點到直線距離公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L＝5+lgV．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）（≈1.259）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【分析】把L＝4.9代入L＝5+lgV中，直接求解即可．【解答】解：在L＝5+lgV中，L＝4.9，所以4.9＝5+lgV，即lgV＝﹣0.1，解得V＝10﹣0.1＝＝＝≈0.8，所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8．故選：C．【點評】本題考查了對數(shù)與指數(shù)的互化問題，也考查了運算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（5分）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐A﹣EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）A． B． C． D．【分析】作出正方體，截去三棱錐A﹣EFG，根據(jù)正視圖，擺放好正方體，即可求解側(cè)視圖．【解答】解：由題意，作出正方體，截去三棱錐A﹣EFG，根據(jù)正視圖，可得A﹣EFG在正方體左側(cè)面，如圖，根據(jù)三視圖的投影，可得相應(yīng)的側(cè)視圖是D圖形，故選：D．【點評】本題考查簡單空間圖形的三視圖，屬基礎(chǔ)題．8．（5分）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，則BC＝（）A．1 B． C． D．3【分析】設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，利用余弦定理得到關(guān)于a的方程，解方程即可求得a的值，從而得到BC的長度．【解答】解：設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，結(jié)合余弦定理，可得19＝a2+4?2×a×2×cos120°，即a2+2a?15＝0，解得a＝3（a＝﹣5舍去），所以BC＝3．故選：D．【點評】本題考查了余弦定理，考查了方程思想，屬基礎(chǔ)題．9．（5分）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若S2＝4，S4＝6，則S6＝（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比數(shù)列，從而得到關(guān)于S6的方程，再求出S6．【解答】解：∵Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，S2＝4，S4＝6，由等比數(shù)列的性質(zhì)，可知S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比數(shù)列，∴4，2，S6﹣6成等比數(shù)列，∴22＝4（S6﹣6），解得S6＝7．故選：A．【點評】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查方程思想和運算求解能力，是基礎(chǔ)題．10．（5分）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【分析】首先求得3個1和2個0隨機排成一行的數(shù)量和2個0不相鄰的數(shù)量，然后利用古典概型計算公式，求出2個0不相鄰的概率．【解答】解：將3個1和2個0隨機排成一行的方法可以是：00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100，共10種排法，其中2個0不相鄰的排列方法可以是：01011，01101，01110，10101，10110，11010，共6種方法，滿足題意的概率為，故選：C．【點評】本題主要考查古典概型計算公式，排列組合公式在古典概型計算中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）若α∈（0，），tan2α＝，則tanα＝（）A． B． C． D．【分析】把等式左邊化切為弦，再展開倍角公式，求解sinα，進一步求得cosα，再由商的關(guān)系可得tanα的值．【解答】解：由tan2α＝，得，即，∵α∈（0，），∴cosα≠0，則2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，解得sinα＝，則cosα＝＝，∴tanα＝．故選：A．【點評】本題考查三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值，考查倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．12．（5分）設(shè)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（﹣）＝，則f（）＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】由已知f（﹣x）＝﹣f（x）及f（1+x）＝﹣f（x）進行轉(zhuǎn)化得f（2+x）＝f（x），再結(jié)合f（﹣）＝從而可求．【解答】解：由題意得f（﹣x）＝﹣f（x），又f（1+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（2+x）＝f（x），又f（﹣）＝，則f（）＝f（2﹣）＝f（﹣）＝．故選：C．【點評】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是進行合理的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若向量，滿足||＝3，|﹣|＝5，?＝1，則||＝．【分析】由題意首先計算，然后結(jié)合所給的條件，求出向量的模即可．【解答】解：由題意，可得，因為||＝3，?＝1，所以，所以．故答案為：．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算和向量的模，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為39π．【分析】由題意，設(shè)圓錐的高為h，根據(jù)圓錐的底面半徑為6，其體積為30π求出h，再求得母線的長度，然后確定圓錐的側(cè)面積即可．【解答】解：由圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，設(shè)圓錐的高為h，則，解得，所以圓錐的母線長，所以圓錐的側(cè)面積．故答案為：39π．【點評】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式和圓錐的體積公式，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分圖像如圖所示，則f（）＝﹣．【分析】根據(jù)圖象可得f（x）的最小正周期，從而求得ω，然后利用五點作圖法可求得φ，得到f（x）的解析式，再計算f（）的值．【解答】解：由圖可知，f（x）的最小正周期T＝（﹣）＝π，所以ω＝＝2，因為f（）＝0，所以由五點作圖法可得2×+φ＝，解得φ＝﹣，所以f（x）＝2cos（2x﹣），所以f（）＝2cos（2×﹣）＝﹣2cos＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題主要考查由y＝Acos（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：+＝1的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|＝|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為8．【分析】判斷四邊形PF1QF2為矩形，利用橢圓的定義及勾股定理求解即可．【解答】解：因為P，Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|＝|F1F2|，所以四邊形PF1QF2為矩形，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，由橢圓的定義可得||PF1|+|PF2||＝m+n＝2a＝8，所以m2+2mn+n2＝64，因為|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝4（a2﹣b2）＝48，即m2+n2＝48，所以mn＝8，所以四邊形PF1QF2的面積為|PF1||PF2|＝mn＝8．故答案為：8．【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，橢圓的定義，考查方程思想與運算求解能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）根據(jù)表格中統(tǒng)計可知甲機床、乙機床生產(chǎn)總數(shù)和頻數(shù)，再求出頻率值即可；（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表，求出K2，再將K2的值與6.635比較，即可得出結(jié)論；【解答】解：由題意，可得甲機床、乙機床生產(chǎn)總數(shù)均為200件，因為甲的一級品的頻數(shù)為150，所以甲的一級品的頻率為；因為乙的一級品的頻數(shù)為120，所以乙的一級品的頻率為；（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表，可得K2＝＝≈10.256＞6.635．所以有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異．【點評】本題考查了統(tǒng)計與概率中的獨立性檢驗，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知an＞0，a2＝3a1，且數(shù)列{}是等差數(shù)列，證明：{an}是等差數(shù)列．【分析】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，可用、求出d，得到Sn的通項公式，利用an＝Sn﹣Sn﹣1可求出an的通項，從而證明{an}是等差數(shù)列．【解答】證明：設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，由題意得＝；＝＝＝2，則d＝﹣＝2﹣＝，所以＝+（n﹣1）＝n，所以Sn＝n2a1①；當(dāng)n≥2時，有Sn﹣1＝（n﹣1）2a1②．由①②，得an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2a1﹣（n﹣1）2a1＝（2n﹣1）a1③，經(jīng)檢驗，當(dāng)n＝1時也滿足③．所以an＝（2n﹣1）a1，n∈N+，當(dāng)n≥2時，an﹣an﹣1＝（2n﹣1）a1﹣（2n﹣3）a1＝2a1，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．【點評】本題考查了等差數(shù)列的概念和性質(zhì)，涉及邏輯推理，數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，屬于中檔題．19．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，BF⊥A1B1．（1）求三棱錐F﹣EBC的體積；（2）已知D為棱A1B1上的點，證明：BF⊥DE．【分析】（1）先證明AB⊥平面BCC1B1，即可得到AB⊥BC，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知，最后根據(jù)三棱錐的體積公式計算即可；（2）取BC中點G，連接EG，B1G，先證明EG∥AB∥B1D，從而得到E、G、B1、D四點共面，再由（1）及線面垂直的性質(zhì)定理可得BF⊥EG，通過角的正切值判斷出∠CBF＝∠BB1G，再通過角的代換可得，BF⊥B1G，再根據(jù)線面垂直的判定定理可得BF⊥平面EGB1D，進而得證．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥A1B1，又BF⊥A1B1，BB1∩BF＝B，BB1，BF?平面BCC1B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1，∵AB∥A1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥BC，又AB＝AC，故，∴，而側(cè)面AA1B1B為正方形，∴，∴，即三棱錐F﹣EBC的體積為；（2）證明：如圖，取BC中點G，連接EG，B1G，設(shè)B1G∩BF＝H，∵點E是AC的中點，點G時BC的中點，∴EG∥AB，∴EG∥AB∥B1D，∴E、G、B1、D四點共面，由（1）可得AB⊥平面BCC1B1，∴EG⊥平面BCC1B1，∴BF⊥EG，∵，且這兩個角都是銳角，∴∠CBF＝∠BB1G，∴∠BHB1＝∠BGB1+∠CBF＝∠BGB1+∠BB1G＝90°，∴BF⊥B1G，又EG∩B1G＝G，EG，B1G?平面EGB1D，∴BF⊥平面EGB1D，又DE?平面EGB1D，∴BF⊥DE．【點評】本題主要考查三棱錐體積的求法以及線線，線面間的垂直關(guān)系，考查運算求解能力及邏輯推理能力，屬于中檔題．20．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝a2x2+ax﹣3lnx+1，其中a＞0．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若y＝f（x）的圖像與x軸沒有公共點，求a的取值范圍．【分析】（1）對f（x）求導(dǎo)得f′（x）＝，分析f′（x）的正負，即可得出f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）由（1）可知，f（x）min＝f（），由y＝f（x）的圖像與x軸沒有公共點，得3+3lna＞0，即可解出a的取值范圍．【解答】解：（1）f′（x）＝2a2x+a﹣＝＝，x＞0，因為a＞0，所以﹣＜0＜，所以在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．綜上所述，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上f（x）單調(diào)遞增．（2）由（1）可知，f（x）min＝f（）＝a2×（）2+a×﹣3ln+1＝3+3lna，因為y＝f（x）的圖像與x軸沒有公共點，所以3+3lna＞0，所以a＞，所以a的取值范圍為（，+∞）．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．21．（12分）拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x＝1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ．已知點M（2，0），且⊙M與l相切．（1）求C，⊙M的方程；（2）設(shè)A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切．判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由題意結(jié)合直線垂直得到關(guān)于p的方程，解方程即可確定拋物線方程，然后利用直線與圓的關(guān)系確定圓的圓心和半徑即可求得圓的方程；（2）分類討論三個點的橫坐標是否相等，當(dāng)有兩個點橫坐標相等時明顯相切，否則，求得直線方程，利用直線與圓相切的充分必要條件和題目中的對稱性可證得直線與圓相切．【解答】解：（1）因為x＝1與拋物線有兩個不同的交點，故可設(shè)拋物線C的方程為：y2＝2px（p＞0），令x＝1，則，根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)P在x軸上方，Q在X軸下方，故，因為OP⊥OQ，故，拋物線C的方程為：y2＝x，因為⊙M與l相切，故其半徑為1，故⊙M：（x﹣2）2+y2＝1．（2）設(shè)A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）．當(dāng)A1，A2，A3其中某一個為坐標原點時（假設(shè)A1為坐標原點時），設(shè)直線A1A2方程為kx﹣y＝0，根據(jù)點M（2，0）到直線距離為1可得＝1，解得k＝，聯(lián)立直線A1A2與拋物線方程可得x＝3，此時直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系為相切，當(dāng)A1，A2，A3都不是坐標原點時，即x1≠x2≠x3，直線A1A2的方程為x?（y1+y2）y+y1y2＝0，此時有，，即，同理，由對稱性可得，，所以y2，y3是方程的兩根，依題意有，直線A2A3的方程為x?（y2+y3）y+y2y3＝0，令M到直線A2A3的距離為d，則有，此時直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系也為相切，綜上，直線A2A3與⊙M相切．【點評】本題主要考查拋物線方程的求解，圓的方程的求解，分類討論的數(shù)學(xué)思想，直線與圓的位置關(guān)系，同構(gòu)、對稱思想的應(yīng)用等知識，屬于中