高中數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)問(wèn)題十七_(dá)第1頁(yè)
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挑戰(zhàn)答題17：如圖，在四邊形ADEB中，∠D=∠E=90°，點(diǎn)C在DE上且△ABC是等邊三角形.如果AD=7，BE=11，求△ABC的面積.解題思路：要解決等邊三角形的面積問(wèn)題，只要求出△ABC的邊長(zhǎng)a，易求思路1：構(gòu)造“一線三等角”模型；方法1：如圖1，作∠FAD=30°，∠EBG=30°，與直線DE分別交于點(diǎn)F、G.則∠F=∠G=∠ACB=60°，則△AFC≌△CGB分別解Rt△ADF和Rt△BEG，得FD=，BG=，而B(niǎo)G=FC，∴DC=，從而可求AC2=AD2+DC2=124，圖1124=圖1方法2：如圖2，過(guò)B作BF⊥AD，交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，構(gòu)造“一線三等角”，則可證△CAG≌△ABH，AH=CG，AG=BH.設(shè)DG=x，F(xiàn)H=y，可得22x=4+y2y=7+x解得：x=5,y=6∴DC=，從而可求AC2=AD2+DC2=124，圖2124=圖2思路2：利用“旋轉(zhuǎn)”解決方法3：如圖3，將△ADC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°至△AD1B的位置.過(guò)點(diǎn)D1作DE的平行線，與AD、BE分別交于點(diǎn)F、G.則AD1=AD=7，AF=3.5，DF=3.5，BG=7.5，BD1=，從而可求AB的長(zhǎng)，再求面積.圖圖3思路3：構(gòu)造“矩形”，利用相似解決方法4：如圖4，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F.再過(guò)F作作DE的平行線，與AD、BE分別交于點(diǎn)G、H.則△AGF∽△FHB，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn).AG=DG=3.5，BH=7.5，∴，F(xiàn)G=圖4從而可求出AF、AC，再求再求面積圖4方法5：如圖5構(gòu)造矩形，利用梯形中位線可求FG=9.再用三角形相似，仿照方法4可求解.圖圖5思路4：構(gòu)造“圓”解決方法6：如圖6，構(gòu)造△ABC的外接圓，則∠AFB=∠ACB=60°，∠BFC=∠BAC=60°，則∠AFD=60°.在Rt△ADF和Rt△BFE中，可求DF=，EF=∴DE=，則AG=，而B(niǎo)G=4，可求AB.圖圖6方法7：如圖7，以C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑構(gòu)造圓，與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

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