基于數(shù)學(xué)思維方法的學(xué)習(xí)活動(dòng)課件

介紹張維忠，教育學(xué)博士。浙江師大教師教育學(xué)院教授，浙江省高校中青年學(xué)科帶頭人。兼任全國高師數(shù)學(xué)教育研究會(huì)常務(wù)理事、副秘書長，浙江省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)副會(huì)長，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》編委，教育部中小學(xué)數(shù)學(xué)教材審查委員，浙江省高中新課程改革專家組成員等。主持完成全國教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題2項(xiàng)，出版學(xué)術(shù)專著4部，在《教育研究》等學(xué)術(shù)刊物發(fā)表論文100余篇。主持完成的科研課題曾獲教育部第三屆全國教育科學(xué)優(yōu)秀成果獎(jiǎng)以及浙江省人民政府頒發(fā)的多項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)。11/22/2022介紹張維忠，教育學(xué)博士。浙江師大教師教育學(xué)院教授，浙江省高校1基于數(shù)學(xué)思維方法的學(xué)習(xí)活動(dòng)

張維忠11/22/2022基于數(shù)學(xué)思維方法的學(xué)習(xí)活動(dòng)11/22/20222數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)數(shù)學(xué)是人類的一種活動(dòng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，倒不如說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)。日本數(shù)學(xué)家米山國藏也認(rèn)為，對于學(xué)生們而言，作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常是出校門后不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，那些深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等(若培養(yǎng)了這方面的素質(zhì)的話)都隨時(shí)隨地發(fā)生作用，讓他們受益終生。

11/22/2022數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)數(shù)學(xué)是人類的一種活動(dòng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其說是3基本思維方法由于數(shù)學(xué)是一種思維科學(xué)，其基本思維方法包括觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、分類、分析、綜合、抽象、概括、類比、歸納、演繹、聯(lián)想、猜想、—般化、特殊化等等，所以數(shù)學(xué)思維方法就是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的思維運(yùn)動(dòng)形式的認(rèn)識(shí)。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維，就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維運(yùn)動(dòng)形式。這樣，數(shù)學(xué)的思維方法就成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方面。

11/22/2022基本思維方法由于數(shù)學(xué)是一種思維科學(xué)，其基本思維方法包4全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展數(shù)學(xué)的數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念，以及應(yīng)用意識(shí)與推理能力。推理能力主要表現(xiàn)在：能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例；能清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據(jù)；在與他人交流的過程中，能用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地進(jìn)行討論與質(zhì)疑。11/22/2022全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)5普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》3頁課程的基本理念：4.注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程。這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對客觀事物中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷。11/22/2022普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》3頁課程的基本理念：4.注重提高學(xué)生6一、觀察與實(shí)驗(yàn)

1.觀察觀察是人們對周圍世界客觀事物和現(xiàn)象在其自然條件下，按照客觀事物本身存在的實(shí)際情況，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系，從而獲取經(jīng)驗(yàn)材料的—種方法。數(shù)學(xué)觀察則是對數(shù)學(xué)問題在客觀情境下考察其數(shù)量關(guān)系及圖形性質(zhì)的方法。11/22/2022一、觀察與實(shí)驗(yàn)

1.觀察11/22/202271.觀察觀察是一種重要的心理活動(dòng)，是感知的特殊形式，是有目的、有計(jì)劃、有組織的主動(dòng)知覺。在觀察過程中，還包含著積極的思維活動(dòng)，知覺和思維密切地聯(lián)系著。這樣才能觀察深刻，從而發(fā)現(xiàn)觀察對象的本質(zhì)和內(nèi)在的聯(lián)系。在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，常常通過觀察來搜集新材料、發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，通過觀察認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、揭示數(shù)學(xué)的規(guī)律、探求數(shù)學(xué)的思想和方法。11/22/20221.觀察觀察是一種重要的心理活動(dòng)，是感知的特殊形式，是有目的8費(fèi)馬與歐拉11/22/2022費(fèi)馬與歐拉11/22/20229《課標(biāo)》第14，23頁例1在下列橫線上填上合適的數(shù)字，并說明理由：1，1，2，1，1，2，——，——，——；例2完成序列，并說明理由。0.5，1.5，4.5，——。11/22/2022《課標(biāo)》第14，23頁例1在下列橫線上填上合適的數(shù)字，并說10例1已知數(shù)列1，-4，9，-16，……試求出這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和。觀察1=11+(-4)=-31+(-4)+9=61+(-4)+9+(-16)=-10……

試總結(jié)出一般規(guī)律。11/22/2022例1已知數(shù)列1，-4，9，-16，……試求出這個(gè)數(shù)列的前n11解：學(xué)生可能會(huì)觀察計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)和看看（特殊化）:S1=1，S2=1+(-4)=-3=-(1+2)，S3=1+(-4)+9=6=1+2+3，S4=1+(-4)+9+(-16)=-10=-(1+2+3+4)，……從而歸納猜想出（一般化）：Sn=(-1)n+1(1+2+3+4+…+n)=(-1)n+1。11/22/2022解：學(xué)生可能會(huì)觀察計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)和看看（特殊化）:11/12例2（小學(xué)）

觀察1=13+5=87+9+11=2713+15+17+19=6421+23+25+27+29=125試總結(jié)出一般規(guī)律。

11/22/2022例2（小學(xué)）觀察1=111/22/202213例3用小學(xué)數(shù)學(xué)方法計(jì)算1+3+5+7+……+99=?解：觀察可見：1+3=221+3+5=321+3+5+7=42……1+3+5+……+99=502=250011/22/2022例3用小學(xué)數(shù)學(xué)方法計(jì)算1+3+5+7+……+99=?11/14觀察在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用(1)有利于數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)在數(shù)學(xué)概念建構(gòu)學(xué)習(xí)中，要依賴于對事物的觀察，并通過觀察得到事物的本質(zhì)特征，進(jìn)而形成概念。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)圓上弦切角概念時(shí)，可通過弦的變化的觀察，形成弦切角概念。11/22/2022觀察在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用(1)有利于數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)1115觀察在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用(2)有利于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是通過學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，親自發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種學(xué)習(xí)形式。在發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中，重要的是從對事物的觀察開始。例如學(xué)生通過對一元二次方程的兩個(gè)根的關(guān)系的觀察而發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系。11/22/2022觀察在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用(2)有利于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)11/2216觀察在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用(3)有利于獲得解題方法、途徑在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很重要的一項(xiàng)內(nèi)容是解題。解題途徑的獲得有賴于對題目條件(結(jié)論)的深入觀察。(4)有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察力學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)能力。觀察能力是數(shù)學(xué)的一種能力。學(xué)生通過觀察不僅得到觀察方法，而且還可提高自己的觀察技巧，從而提高了觀察能力。11/22/2022觀察在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用(3)有利于獲得解題方法、途徑11172.實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)則是人們根據(jù)—定的研究目的，利用儀器或工具對周圍世界的客觀事物與現(xiàn)象，進(jìn)行人為的控制、模擬，排除干擾，突出主要因素，在最有利的條件下考察和研究它們的性質(zhì)和關(guān)系，從而獲取經(jīng)驗(yàn)材料的—種方法。在實(shí)驗(yàn)中，人們要變革和控制被研究的對象，這使得實(shí)驗(yàn)法比觀察能更好地發(fā)揮人的主觀能動(dòng)性，因而實(shí)驗(yàn)是比觀察更有力的認(rèn)識(shí)手段。一般說來，觀察是實(shí)驗(yàn)的前提，實(shí)驗(yàn)則是觀察的證實(shí)和發(fā)展。

11/22/20222.實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)則是人們根據(jù)—定的研究目的，利用儀器或工具對周18在數(shù)學(xué)研究中，通過觀察與實(shí)驗(yàn)不僅可以收集新材料、獲得新知識(shí)，而且常常導(dǎo)致數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和理論的創(chuàng)新。早在200多年前，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫(G．Goldbach)提出了一個(gè)命題：“凡大于4的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)的和?！庇捎谶@個(gè)命題至今還未能被證明，人們稱它為“哥德巴赫猜想”，它的發(fā)現(xiàn)完全來源于觀察。

11/22/2022在數(shù)學(xué)研究中，通過觀察與11/22/202219實(shí)驗(yàn)的作用

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題活動(dòng)中，觀察和實(shí)驗(yàn)也有著重要的作用。通過觀察和實(shí)驗(yàn)，不僅可以幫助形成數(shù)學(xué)概念、探求數(shù)學(xué)命題，而且可以幫助發(fā)現(xiàn)解題途徑，從而實(shí)現(xiàn)解題思路的突破。11/22/2022實(shí)驗(yàn)的作用11/22/202220例4(小學(xué)、初中)證明三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°

實(shí)驗(yàn)1以硬紙片為材料，剪出一個(gè)任意三角形，用量角器量它的三個(gè)角，求其和．11/22/2022例4(小學(xué)、初中)證明三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°121實(shí)驗(yàn)2先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點(diǎn)落在對邊上，折線與對邊平行(圖５-６（１）)，然后把另外兩角相向?qū)φ郏蛊漤旤c(diǎn)與已折角的頂點(diǎn)相嵌合(圖５-６（２）)，最后得（圖５-６（３））所示結(jié)果，觀察、猜想三角形三內(nèi)角的和。

11/22/2022實(shí)驗(yàn)2先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點(diǎn)落在對邊上，折線與22實(shí)驗(yàn)3設(shè)所剪出的紙片三角形為△ABC，剪下∠A與∠B

把它們和∠C拼在一起(圖５-７)，這時(shí)可發(fā)現(xiàn)CD恰為BC的延長線。通過上述實(shí)驗(yàn)我們有理由確信，三角形的三內(nèi)角之和等于180°．從實(shí)驗(yàn)3還可以得到有關(guān)證明方法的啟迪。

11/22/2022實(shí)驗(yàn)3設(shè)所剪出的紙片三角形為△ABC，剪下∠A與∠B把它23例5平面上條彼此相交而無三條直線共點(diǎn)的直線，把平面分割成多少部分?實(shí)驗(yàn)等于找出了下面計(jì)算公式：S1=1+1,S2=1+1+2,S3=1+1+2+3,S4=1+1+2+3+4,…由此可獲得公式：Sn=1+1+2+3+…+n=1+1/2n(n+1).11/22/2022例5平面上條彼此相交而無三條直線共點(diǎn)的直線，把平面分割成多24例6圓柱側(cè)面展開圖

①提出問題：圓柱面上的橢圓在圓柱側(cè)面展開圖中是什么形狀?

②學(xué)生猜想：圓弧、拋物線段等二次曲線的一部分。

11/22/2022例6圓柱側(cè)面展開圖①提出問題：圓柱面上的橢圓在圓柱側(cè)面25③實(shí)驗(yàn)觀察：要學(xué)生自制長方形紙片圍住水杯，按紙片接頭所在母線AB的位置分三種情形(如圖５-8，5-9，5-10)畫出截面的截口(無法精確，近似即可)，其中圖5-10中的A，B是半圓弧的中點(diǎn)。

11/22/2022③實(shí)驗(yàn)觀察：要學(xué)生自制長方形紙片圍住水杯，按紙片接頭所在母線26觀察相應(yīng)展開圖的形狀(如圖5-11，5-12，5-13)。

學(xué)生驚訝：正弦曲線或余弦曲線!④探求論證：建立坐標(biāo)系，證明展開圖中的曲線方程為y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式。11/22/2022觀察相應(yīng)展開圖的形狀(如圖5-11，5-12，5-13)。127例7在△ABC中，若cn=an+bn(n＞2)，問△ABC為何種三角形？

分析最明顯的是，若c2=a2+b2，則△ABC為直角三角形。但現(xiàn)在題目中的n大于2，所以我們一下難以說出結(jié)論來?？梢韵热∫恍┨厥馇闆r考察。比如，取n=3，a=1，b=2，作出這個(gè)三角形的草圖，得到一個(gè)銳角三角形。觀察另外一些特例，發(fā)現(xiàn)還是銳角三角形。進(jìn)而猜想:若cn=an+bn(n＞2)，則△ABC為銳角三角形。11/22/2022例7在△ABC中，若cn=an+bn(n＞2)，問△ABC28證明在△ABC中，因?yàn)閏n=an+bn(n＞2)，所以c為△ABC的最大邊，為此只需驗(yàn)證C為銳角即可。問題轉(zhuǎn)化為證明:a2+b2＞c2，而該式等價(jià)于(a2+b2)cn-2＞cn，因此問題又歸為證明(a2+b2)cn-2-cn＞0把已知式cn=an+bn代入上式左邊，得(a2+b2)cn-2-an-bn=a2(cn-2-an-2)+b2(cn-2-bn-2)＞0，從而cosC＞0，C(此題的解決過程是:取特殊情況實(shí)驗(yàn)、觀察，作出合情推理，然后再證明。在證明過程中，又多次將問題轉(zhuǎn)化，以達(dá)目的。)11/22/2022證明在△ABC中，因?yàn)閏n=an+bn(n＞2)，所以c29二、一般化與特殊化1.一般化一般化也稱普遍化，它是一種數(shù)學(xué)思維方法。波利亞在《怎樣解題》中指出：“普遍化就是從考慮一個(gè)對象過渡到考慮包含該對象的一個(gè)集合；或者從考慮一個(gè)較小的集合過渡到考慮一個(gè)包含該較小集合的更大的集合?！币话慊趯W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有以下作用。11/22/2022二、一般化與特殊化1.一般化11/22/202230

(1)可以通過一般化而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的一般性原理、性質(zhì)、法則、規(guī)律等

如果我們見到下列和數(shù):1+8+27+64=100發(fā)現(xiàn)它可以表示成這樣的奇特形式13+23+33+43=102這時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)一般化的規(guī)律：“前n個(gè)自然數(shù)的立方和是一個(gè)自然數(shù)的平方?！?/p>

當(dāng)然這只是猜想，還不知道此猜想是否正確。這又引導(dǎo)我們?nèi)プ龈M(jìn)一步的一般化工作。

11/22/2022

(1)可以通過一般化而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的一般性原理、性質(zhì)、法則、31讓我們觀察以下一些特殊情況：13+23=3213+23+33=6213+23+33+43=10213+23+33+43+53=152等號右邊的各個(gè)數(shù)的底數(shù)是等號左邊各數(shù)的底數(shù)之和。于是我們又可一般化為13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2，即

11/22/2022讓我們觀察以下一些特殊情況：11/22/202232

(2)一般化思維方法有助于數(shù)學(xué)解題途徑的獲得

波利亞指出：“雄心大的計(jì)劃，成功的希望也較大”，“更普遍的問題可能更易于求解”。在數(shù)學(xué)解題過程中，我們思考一個(gè)問題，有時(shí)可以跳出它的范圍而去思考比它大的范圍的更一般性的問題。一般性的問題有時(shí)比特殊性問題還易于解決。因此，只要解決一般性的問題，特殊性的問題則就迎刃而解了。例8(初中)n條直線交于一點(diǎn)時(shí)，對頂角有幾組？

11/22/2022(2)一般化思維方法有助于數(shù)學(xué)解題途徑的獲得

波利亞指出33２.

特殊化

與一般化的思維方法相反，特殊化是從原思維對象所在的范圍轉(zhuǎn)化為比它小的，且被它所包含的范圍內(nèi)進(jìn)行思維的方法。波利亞指出：“特殊化是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合中一個(gè)較小集合，或僅僅一個(gè)對象。”11/22/2022２.特殊化與一般化的思維方法相反，特殊化是從原思維對象所34當(dāng)我們見到多邊形的內(nèi)角和公式為時(shí)，可以用它的一個(gè)特殊化情形——三角形來檢驗(yàn)：(3-2)·180°=180°，于是可以初步接受多邊形內(nèi)角和的公式。這就是特殊化的思維方法。它簡便、易行，是學(xué)習(xí)過程的好辦法，是“以退求進(jìn)”的思維方法。11/22/2022當(dāng)我們見到多邊形的內(nèi)角和公式為時(shí)，可以用它的一個(gè)特殊化情形—35特殊化方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到“實(shí)驗(yàn)室”的作用。例如，有一種游戲，一張圓桌上恰好可不重疊地放置若干個(gè)大小相同的硬幣，由甲、乙兩人輪流在桌上放置硬幣，每人每次各放一枚，兩枚硬幣不能重疊。這樣輪流放置下去，誰放置最后一個(gè)硬幣，則為勝者。假設(shè)兩人都是放置游戲的能手，問先放置者勝，還是后放置者勝?這是一個(gè)看起來較難的問題。

11/22/2022特殊化方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到“實(shí)驗(yàn)室”的作用。例如，有一種游戲36特殊化在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中作用(1)有助于解題途徑的發(fā)現(xiàn)

例9（初中）求證：無論k為何值，直線都通過一定點(diǎn)。11/22/2022特殊化在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中作用(1)有助于解題途徑的發(fā)現(xiàn)1137

分析題目沒有給出這個(gè)定點(diǎn)。因此，首先要探索這個(gè)定點(diǎn)。用特殊化方法：任取k=0和1，則得直線y=2，y=x+1.11/22/2022分析題目沒有給出這個(gè)定點(diǎn)。因此，首先要探索這個(gè)定點(diǎn)。用特3811/22/202211/22/202239(2)推翻某一結(jié)論的反例特殊化作為某一結(jié)論的特殊形式，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中就是特例形式。一個(gè)結(jié)論的推翻，只要一個(gè)反例即可。

例10（初中）在一個(gè)三角形中，令內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，最長的高為H，則11/22/2022(2)推翻某一結(jié)論的反例特殊化作為某一結(jié)論的特殊形式，在學(xué)4011/22/202211/22/202241三、類比與歸納

1．類比類比是根據(jù)兩個(gè)或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們在其他屬性上也相同或相似的思維方法．從某種意義上講，類比是一種相似，可以說是較明確、較概念化的相似，它把在某些方面彼此一致的相似對象的這些一致之處歸結(jié)為明確的概念，進(jìn)而構(gòu)建其它一致之處．

11/22/2022三、類比與歸納1．類比11/22/202242例如，由平面上的三角形性質(zhì)，可以類比到空間中四面體的性質(zhì)?？臻g的四面體與平面上的三角形有一致之處：平面之于空間(低一維)恰似直線之于平面(低一維)，四面體是由空間中最少數(shù)目的平面圍成的有限幾何體，而三角形是由平面上最少數(shù)目的直線圍成的有限圖形．故四面體在空間的位置與三角形在平面上的位置是一致的，或者說在這一點(diǎn)上是相似的，它們具有類比關(guān)系．也因此，我們可以根據(jù)三角形的有關(guān)概念、性質(zhì)類比推理出四面體的相應(yīng)概念、性質(zhì)。

11/22/2022例如，由平面上的三角形性質(zhì)，可以類比到空間中四面體的性質(zhì)?？?3由平面上直角三角形的射影定理：Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，有AC2=AB·AD(如圖5-23(1))，可類比到空間中的四面體O-ABC，直三面角O-ABC，∠AOB=∠BOC=∠AOC=90°，面OAB在面ABC上的投影為△ABD，可能有(如圖5-23(2))11/22/2022由平面上直角三角形的射影定理：Rt△ABC中，∠C=90°，44進(jìn)一步作出的類比:

直角三角形←—→三直四面體正三角形←—→等面四面體三角形內(nèi)切圓←—→四面體內(nèi)切球(內(nèi)心)(內(nèi)心)三角形外接圓←—→四面體外接球(外心)(外心)頂點(diǎn)到對邊中點(diǎn)連線←—→頂點(diǎn)到對面重心連線(重心)(重心)正三角形三心重合←—→等面四面體三心重合11/22/2022進(jìn)一步作出的類比:

直角三角形←—→三直四45例11勾股定理的推廣1勾股定理告訴我們:如果一個(gè)三角形ABC的三邊之長是a、b、c,那么,當(dāng)滿足等式a2+b2=c2時(shí),該三角形是直角三角形；反過來,如果這個(gè)三角形是直角三角形,則上述等式成立。如果我們讓指數(shù)作一些變化:2→n，即an+bn=cn

，你可以發(fā)現(xiàn)什么?還有其他的問題嗎?11/22/2022例11勾股定理的推廣1勾股定理告訴我們:如果一個(gè)三角形AB46例12勾股定理的推廣2

2003年新、老課程文科試卷的第(15)題：“設(shè)ΔABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”.拓展到空間，模擬平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是“設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩垂直，則_________”

11/22/2022例12勾股定理的推廣2

2003年新、老課程文科試卷的第(47證明：設(shè)A-BCD為滿足題意的直角四面體(如圖6-34)，過A點(diǎn)的三個(gè)面角都是直角。過C引的垂線CE.因?yàn)锳C⊥AB及AD（假設(shè)），所以AC⊥ΔADB（垂直于該平面上兩相交的直線），于是Δ

AEC⊥ΔADB（含垂線的平面），所以，AE⊥BD,設(shè)AB=b，AD=d，AC=c，由三角形面積公式得到：bd=2SΔABD=AE·BD,由此AE=bd/BD,又,BD·CE

=2SΔBCD11/22/2022證明：設(shè)A-BCD為滿足題意的直角四面體(如圖6-34)，過4811/22/202211/22/20224911/22/202211/22/20225011/22/202211/22/202251類比的條件顯然，類比的基礎(chǔ)是事物之間的相似性或某種一致性．只要兩個(gè)對象有某個(gè)方面的相似性，就可以類比，包括形式上的相似，結(jié)構(gòu)上的相似，內(nèi)容上的相似，地位上的相似等．

11/22/2022類比的條件顯然，類比的基礎(chǔ)是事物之間的相似性或某種一致性．只52類比的一般模式為

A具有性質(zhì)a，b，c，d，B具有性質(zhì)a，b，c，B也可能具有性質(zhì)d11/22/2022類比的一般模式為

A具有性質(zhì)a，b，c，d，11/22/253類比的另外模式

A具有性質(zhì)a，b，c，d，B具有性質(zhì)a′，b′，c′分別與a，b，c相似，B可能具有性質(zhì)d′，d′與d相似。11/22/2022類比的另外模式A具有性質(zhì)a，b，c，d，11/22/20254例13（小學(xué)）對于“圖5-24中共有n條線段”這類題，可能學(xué)生通過觀察，并歸納出當(dāng)線段有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，則所得到線段數(shù)為11/22/202211/22/202255而學(xué)生，只要能構(gòu)建出這個(gè)較為清晰的數(shù)學(xué)模型之后，則可利用類比來解決“圖5-25中有n個(gè)三角形”這類問題。原因就在于這兩類題的數(shù)學(xué)模型幾乎是相同的，于是學(xué)生也就能推測出其解法為：從三角形頂點(diǎn)向?qū)呉鰊條線段，則所得三角形的個(gè)數(shù)為：11/22/2022而學(xué)生，只要能構(gòu)建出這個(gè)較為清晰的數(shù)學(xué)模型之后，則可利用類比56《課標(biāo)》第82頁

例14“根據(jù)下面3個(gè)等式，猜測第四個(gè)等式右邊的答數(shù)。1+3=4=22

l+3+5=9=32

l+3+5+7=16=42……1+3+5+7+9+11+13+15+l?+19=?”

11/22/2022《課標(biāo)》第82頁例14“根據(jù)下面3個(gè)等式，猜測第四個(gè)等式右57

分析學(xué)生可先看看下面一個(gè)圖形(圖5-26)，先觀察黑色或白色的

“』”形圖形的面積：如果每個(gè)小正方形為1個(gè)平方單位，則從左上角開始，每個(gè)黑白相間的小正方形面積為：1+3=22l+3+5=32l+3+5+7=42

在這里，等式左邊是正方形中所含小正方形的個(gè)數(shù)，而右邊是正方形邊長平方。利用它可以猜測：l+3+5+7+9=52，并在圖中利用直觀方式可得證明。并進(jìn)一步推測到：

11/22/2022分析學(xué)生可先看看下面一個(gè)圖形(圖5-26)，先觀察黑色或58類比在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用

（1）通過類比聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，通過類比而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的例子很多。例如，羅巴切夫斯基通過歐氏幾何中的第五公設(shè)，類比出羅氏公理：“在平面上，過一條直線外的一點(diǎn)，可以畫兩條不同的平行線?！崩杪餐ㄟ^歐氏幾何中的第五公設(shè)，類比出黎氏公理：“同一平面上的任何兩條直線一定相交；直線可以無限延長，但總長度是有限制的。”他們通過類比，分別發(fā)現(xiàn)了羅氏幾何與黎氏幾何。11/22/2022類比在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用（1）通過類比聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)59（1）通過類比聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過類比可以得到一些新的結(jié)論。例如，由“正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值”，類比聯(lián)想到“正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值”。11/22/2022（1）通過類比聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)11/22/202260(2)類比是學(xué)習(xí)知識(shí)、系統(tǒng)地掌握知識(shí)和鞏固知識(shí)的有效方法

類比的客觀基礎(chǔ)就是事物系統(tǒng)之間的各要素的普遍聯(lián)系以及這些聯(lián)系之間存在的相似性和可比較性，所以，利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，借助類比，可以有效地學(xué)習(xí)新知、掌握新知，對已有知識(shí)進(jìn)一步作恰當(dāng)類比，又可以將這些知識(shí)有機(jī)地系統(tǒng)起來．

11/22/2022(2)類比是學(xué)習(xí)知識(shí)、系統(tǒng)地掌握知識(shí)和鞏固知識(shí)的有效方法

類61一元二次方程與一元二次不等式11/22/2022一元二次方程與一元二次不等式11/22/202262（3）通過類比聯(lián)想可以尋求到數(shù)學(xué)解題的方法與途徑

例如，上述的類比聯(lián)想：由“正三角形中任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值”，而得“正四面體中任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值”。如何證明類比到的結(jié)論是正確的呢?仍可以通過類比而得到證明方法。在對“正三角形中任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值”的證明中，用的是面積割補(bǔ)法。自然地，可以類比到證明“正四面體中任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值”也要用體積割補(bǔ)法。11/22/2022（3）通過類比聯(lián)想可以尋求到數(shù)學(xué)解題的方法與途徑

例如，上述63一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0求根公式

解：可先求出x3+px+q=0的根，令x=u+v11/22/2022一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0求根公式

解：可先642．歸納

所謂歸納，是指通過對特例的觀察和綜合去發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律。波利亞指出，歸納過程的典型步驟為：首先，我們注意到了某些相似性；然后是一個(gè)推廣的步驟，即把所說的相似性推廣為一個(gè)明確表述的一般命題；最后，我們又應(yīng)對所得出的一般命題進(jìn)行檢驗(yàn)，即應(yīng)進(jìn)一步考察其他的特例，如果在所有考察過的例子里，這一猜測都是正確的，我們對它的信心就增強(qiáng)了，而如果出現(xiàn)了不正確的情況，我們就應(yīng)對原來的猜測進(jìn)行改進(jìn)。11/22/20222．歸納

所謂歸納，是指通過對特例的觀察和綜合去發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律65完全歸納與不完全歸納歸納是對同類事物中的各種特殊事物所蘊(yùn)含的同一性或相似性而得出此類事物的一般性結(jié)論的思維過程。歸納有完全歸納與不完全歸納。完全歸納而得到的猜想，一般地說是可靠的；而不完全歸納所得到的猜想，一般地說不一定可靠。歸納猜想與類比聯(lián)想一樣，可以導(dǎo)致數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)。11/22/2022完全歸納與不完全歸納歸納是對同類事物中的各種特殊事物所蘊(yùn)含的66例15（小學(xué)）在下面的橫線上填數(shù)，使這列數(shù)具有某種規(guī)律，并說明有怎樣的規(guī)律。

3，5，7，──────,

──────,──────..(《標(biāo)準(zhǔn)》第65頁)

學(xué)生可能會(huì)猜測歸納出下面一些答案：（1）在橫線上依次填入9，11，13，形成奇數(shù)列。（2）在橫線上依次填入11，17，27，使這列數(shù)從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)的和減1。(3)在橫線上依次填入27，181，4897，使這列數(shù)從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)的積減8。11/22/2022例15（小學(xué)）在下面的橫線上填數(shù)，使這列數(shù)具有某種規(guī)律，并說6711/22/202211/22/202268例17將正整數(shù)排列如表1試探索：正整數(shù)81所在的行和列分別為

。（本題著重考查閱讀、觀察、分析、歸納等能力，是名符其實(shí)的一道能力考查題。）11/22/2022例17將正整數(shù)排列如表111/22/202269解

從各行觀察1、4、5、10、…；4、8、10、12、…難以發(fā)現(xiàn)各數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系。從各列觀察1、4、9、16、…；4、8、12、16、…其規(guī)律則易表達(dá)。第1列為，第2列為，第3列為，第4列為。因此，81只可能在第1列中。因?yàn)?2=81，所以81在第9行第1列。11/22/2022解從各行觀察1、4、5、10、…；4、8、10、12、70進(jìn)一步拓展正整數(shù)20所在的行和列分別為

；正整數(shù)24所在的行和列分別為

；正整數(shù)40所在的行和列分別為

；正整數(shù)100所在的行和列分別為

。11/22/2022進(jìn)一步拓展11/22/202271（20在第5行第2列和第4行第3列；24在第6行第2列和第8行第4列；40在第10行第2列、第8行第3列和第16行第4列；100在第10行第1列、第25行第2列、第20行第3列和第46行第4列。）11/22/202211/22/20227211/22/202211/22/20227311/22/202211/22/202274例19求出數(shù)列1/1.2，1/2.3，1/3.4，……1/n.(n+1)…..的前n項(xiàng)和并證明之.11/22/2022例19求出數(shù)列1/1.2，1/2.3，1/3.4，……75例20試問一般位置的n個(gè)平面把空間分割成幾個(gè)部分？(例5的深化)11/22/2022例20試問一般位置的n個(gè)平面把空間分割成幾個(gè)部分？(例5的76另解因?yàn)閺睦?知f(n)=1+n(n+1)/2.則設(shè)所要求為F（n）=an3+bn2+cn+d而已知F（1）=2，F(xiàn)（2）=4，F(xiàn)（3）=8，F(xiàn)（4）=15解得：F(n)=1+n(n2+5)/6.11/22/2022另解因?yàn)閺睦?知f(n)=1+n(n+1)/2.11/22/77例21移盤游戲

現(xiàn)在有一種很多商店里都在售賣的非常流行的益智游戲，是由一個(gè)木底板上面豎插著三根小棒組成的，其中一根小棒上串疊著大小不一的7個(gè)有孔圓盤，最大的放在最下面，最小的放在最上面。將這7個(gè)圓盤按以下規(guī)則移動(dòng)到另一根柱子上就算成功。

1.每次只能移動(dòng)一個(gè)圓盤，也就是說，每次移動(dòng)只能將某個(gè)柱子最上面的那個(gè)圓盤移到另一根柱子上。2.在任何情況下不允許大盤在小盤之上。那么，問題是

11/22/2022例21移盤游戲現(xiàn)在有一種很多商店里都在售賣的非常流行的78(1)按這樣的規(guī)定，至少需要移動(dòng)幾次才能成功？

(2)如果不是7個(gè)圓盤，而是n個(gè)，那么至少需要移動(dòng)幾次（以含n的函數(shù)表達(dá)）？解答：張?jiān)?GameofMoveRing(移盤游戲).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2008(4)11/22/2022(1)按這樣的規(guī)定，至少需要移動(dòng)幾次才能成功？11/79推薦閱讀[1]張維忠.文化視野中的數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育.北京:人民教育出版社，2005.[2]孔企平，張維忠，黃榮金.數(shù)學(xué)新課程與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).北京:高等教育出版社,2003.11/22/2022推薦閱讀11/22/202280歡迎提出寶貴意見張維忠博客:/zhangweizhong張維忠郵箱:E-mail:lzzwz@謝謝！11/22/2022歡迎提出寶貴意見張維忠博客:11/22/202281介紹張維忠，教育學(xué)博士。浙江師大教師教育學(xué)院教授，浙江省高校中青年學(xué)科帶頭人。兼任全國高師數(shù)學(xué)教育研究會(huì)常務(wù)理事、副秘書長，浙江省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)副會(huì)長，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》編委，教育部中小學(xué)數(shù)學(xué)教材審查委員，浙江省高中新課程改革專家組成員等。主持完成全國教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題2項(xiàng)，出版學(xué)術(shù)專著4部，在《教育研究》等學(xué)術(shù)刊物發(fā)表論文100余篇。主持完成的科研課題曾獲教育部第三屆全國教育科學(xué)優(yōu)秀成果獎(jiǎng)以及浙江省人民政府頒發(fā)的多項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)。11/22/2022介紹張維忠，教育學(xué)博士。浙江師大教師教育學(xué)院教授，浙江省高校82基于數(shù)學(xué)思維方法的學(xué)習(xí)活動(dòng)

張維忠11/22/2022基于數(shù)學(xué)思維方法的學(xué)習(xí)活動(dòng)11/22/202283數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)數(shù)學(xué)是人類的一種活動(dòng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，倒不如說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)。日本數(shù)學(xué)家米山國藏也認(rèn)為，對于學(xué)生們而言，作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常是出校門后不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，那些深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等(若培養(yǎng)了這方面的素質(zhì)的話)都隨時(shí)隨地發(fā)生作用，讓他們受益終生。

11/22/2022數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)數(shù)學(xué)是人類的一種活動(dòng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其說是84基本思維方法由于數(shù)學(xué)是一種思維科學(xué)，其基本思維方法包括觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、分類、分析、綜合、抽象、概括、類比、歸納、演繹、聯(lián)想、猜想、—般化、特殊化等等，所以數(shù)學(xué)思維方法就是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的思維運(yùn)動(dòng)形式的認(rèn)識(shí)。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維，就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維運(yùn)動(dòng)形式。這樣，數(shù)學(xué)的思維方法就成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方面。

11/22/2022基本思維方法由于數(shù)學(xué)是一種思維科學(xué)，其基本思維方法包85全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展數(shù)學(xué)的數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念，以及應(yīng)用意識(shí)與推理能力。推理能力主要表現(xiàn)在：能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例；能清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據(jù)；在與他人交流的過程中，能用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地進(jìn)行討論與質(zhì)疑。11/22/2022全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)86普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》3頁課程的基本理念：4.注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程。這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對客觀事物中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷。11/22/2022普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》3頁課程的基本理念：4.注重提高學(xué)生87一、觀察與實(shí)驗(yàn)

1.觀察觀察是人們對周圍世界客觀事物和現(xiàn)象在其自然條件下，按照客觀事物本身存在的實(shí)際情況，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系，從而獲取經(jīng)驗(yàn)材料的—種方法。數(shù)學(xué)觀察則是對數(shù)學(xué)問題在客觀情境下考察其數(shù)量關(guān)系及圖形性質(zhì)的方法。11/22/2022一、觀察與實(shí)驗(yàn)

1.觀察11/22/2022881.觀察觀察是一種重要的心理活動(dòng)，是感知的特殊形式，是有目的、有計(jì)劃、有組織的主動(dòng)知覺。在觀察過程中，還包含著積極的思維活動(dòng)，知覺和思維密切地聯(lián)系著。這樣才能觀察深刻，從而發(fā)現(xiàn)觀察對象的本質(zhì)和內(nèi)在的聯(lián)系。在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，常常通過觀察來搜集新材料、發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，通過觀察認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、揭示數(shù)學(xué)的規(guī)律、探求數(shù)學(xué)的思想和方法。11/22/20221.觀察觀察是一種重要的心理活動(dòng)，是感知的特殊形式，是有目的89費(fèi)馬與歐拉11/22/2022費(fèi)馬與歐拉11/22/202290《課標(biāo)》第14，23頁例1在下列橫線上填上合適的數(shù)字，并說明理由：1，1，2，1，1，2，——，——，——；例2完成序列，并說明理由。0.5，1.5，4.5，——。11/22/2022《課標(biāo)》第14，23頁例1在下列橫線上填上合適的數(shù)字，并說91例1已知數(shù)列1，-4，9，-16，……試求出這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和。觀察1=11+(-4)=-31+(-4)+9=61+(-4)+9+(-16)=-10……

試總結(jié)出一般規(guī)律。11/22/2022例1已知數(shù)列1，-4，9，-16，……試求出這個(gè)數(shù)列的前n92解：學(xué)生可能會(huì)觀察計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)和看看（特殊化）:S1=1，S2=1+(-4)=-3=-(1+2)，S3=1+(-4)+9=6=1+2+3，S4=1+(-4)+9+(-16)=-10=-(1+2+3+4)，……從而歸納猜想出（一般化）：Sn=(-1)n+1(1+2+3+4+…+n)=(-1)n+1。11/22/2022解：學(xué)生可能會(huì)觀察計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)和看看（特殊化）:11/93例2（小學(xué)）

觀察1=13+5=87+9+11=2713+15+17+19=6421+23+25+27+29=125試總結(jié)出一般規(guī)律。

11/22/2022例2（小學(xué)）觀察1=111/22/202294例3用小學(xué)數(shù)學(xué)方法計(jì)算1+3+5+7+……+99=?解：觀察可見：1+3=221+3+5=321+3+5+7=42……1+3+5+……+99=502=250011/22/2022例3用小學(xué)數(shù)學(xué)方法計(jì)算1+3+5+7+……+99=?11/95觀察在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用(1)有利于數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)在數(shù)學(xué)概念建構(gòu)學(xué)習(xí)中，要依賴于對事物的觀察，并通過觀察得到事物的本質(zhì)特征，進(jìn)而形成概念。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)圓上弦切角概念時(shí)，可通過弦的變化的觀察，形成弦切角概念。11/22/2022觀察在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用(1)有利于數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)1196觀察在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用(2)有利于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是通過學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，親自發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種學(xué)習(xí)形式。在發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中，重要的是從對事物的觀察開始。例如學(xué)生通過對一元二次方程的兩個(gè)根的關(guān)系的觀察而發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系。11/22/2022觀察在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用(2)有利于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)11/2297觀察在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用(3)有利于獲得解題方法、途徑在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很重要的一項(xiàng)內(nèi)容是解題。解題途徑的獲得有賴于對題目條件(結(jié)論)的深入觀察。(4)有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察力學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)能力。觀察能力是數(shù)學(xué)的一種能力。學(xué)生通過觀察不僅得到觀察方法，而且還可提高自己的觀察技巧，從而提高了觀察能力。11/22/2022觀察在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用(3)有利于獲得解題方法、途徑11982.實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)則是人們根據(jù)—定的研究目的，利用儀器或工具對周圍世界的客觀事物與現(xiàn)象，進(jìn)行人為的控制、模擬，排除干擾，突出主要因素，在最有利的條件下考察和研究它們的性質(zhì)和關(guān)系，從而獲取經(jīng)驗(yàn)材料的—種方法。在實(shí)驗(yàn)中，人們要變革和控制被研究的對象，這使得實(shí)驗(yàn)法比觀察能更好地發(fā)揮人的主觀能動(dòng)性，因而實(shí)驗(yàn)是比觀察更有力的認(rèn)識(shí)手段。一般說來，觀察是實(shí)驗(yàn)的前提，實(shí)驗(yàn)則是觀察的證實(shí)和發(fā)展。

11/22/20222.實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)則是人們根據(jù)—定的研究目的，利用儀器或工具對周99在數(shù)學(xué)研究中，通過觀察與實(shí)驗(yàn)不僅可以收集新材料、獲得新知識(shí)，而且常常導(dǎo)致數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和理論的創(chuàng)新。早在200多年前，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫(G．Goldbach)提出了一個(gè)命題：“凡大于4的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)的和?！庇捎谶@個(gè)命題至今還未能被證明，人們稱它為“哥德巴赫猜想”，它的發(fā)現(xiàn)完全來源于觀察。

11/22/2022在數(shù)學(xué)研究中，通過觀察與11/22/2022100實(shí)驗(yàn)的作用

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題活動(dòng)中，觀察和實(shí)驗(yàn)也有著重要的作用。通過觀察和實(shí)驗(yàn)，不僅可以幫助形成數(shù)學(xué)概念、探求數(shù)學(xué)命題，而且可以幫助發(fā)現(xiàn)解題途徑，從而實(shí)現(xiàn)解題思路的突破。11/22/2022實(shí)驗(yàn)的作用11/22/2022101例4(小學(xué)、初中)證明三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°

實(shí)驗(yàn)1以硬紙片為材料，剪出一個(gè)任意三角形，用量角器量它的三個(gè)角，求其和．11/22/2022例4(小學(xué)、初中)證明三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°1102實(shí)驗(yàn)2先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點(diǎn)落在對邊上，折線與對邊平行(圖５-６（１）)，然后把另外兩角相向?qū)φ?，使其頂點(diǎn)與已折角的頂點(diǎn)相嵌合(圖５-６（２）)，最后得（圖５-６（３））所示結(jié)果，觀察、猜想三角形三內(nèi)角的和。

11/22/2022實(shí)驗(yàn)2先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點(diǎn)落在對邊上，折線與103實(shí)驗(yàn)3設(shè)所剪出的紙片三角形為△ABC，剪下∠A與∠B

把它們和∠C拼在一起(圖５-７)，這時(shí)可發(fā)現(xiàn)CD恰為BC的延長線。通過上述實(shí)驗(yàn)我們有理由確信，三角形的三內(nèi)角之和等于180°．從實(shí)驗(yàn)3還可以得到有關(guān)證明方法的啟迪。

11/22/2022實(shí)驗(yàn)3設(shè)所剪出的紙片三角形為△ABC，剪下∠A與∠B把它104例5平面上條彼此相交而無三條直線共點(diǎn)的直線，把平面分割成多少部分?實(shí)驗(yàn)等于找出了下面計(jì)算公式：S1=1+1,S2=1+1+2,S3=1+1+2+3,S4=1+1+2+3+4,…由此可獲得公式：Sn=1+1+2+3+…+n=1+1/2n(n+1).11/22/2022例5平面上條彼此相交而無三條直線共點(diǎn)的直線，把平面分割成多105例6圓柱側(cè)面展開圖

①提出問題：圓柱面上的橢圓在圓柱側(cè)面展開圖中是什么形狀?

②學(xué)生猜想：圓弧、拋物線段等二次曲線的一部分。

11/22/2022例6圓柱側(cè)面展開圖①提出問題：圓柱面上的橢圓在圓柱側(cè)面106③實(shí)驗(yàn)觀察：要學(xué)生自制長方形紙片圍住水杯，按紙片接頭所在母線AB的位置分三種情形(如圖５-8，5-9，5-10)畫出截面的截口(無法精確，近似即可)，其中圖5-10中的A，B是半圓弧的中點(diǎn)。

11/22/2022③實(shí)驗(yàn)觀察：要學(xué)生自制長方形紙片圍住水杯，按紙片接頭所在母線107觀察相應(yīng)展開圖的形狀(如圖5-11，5-12，5-13)。

學(xué)生驚訝：正弦曲線或余弦曲線!④探求論證：建立坐標(biāo)系，證明展開圖中的曲線方程為y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式。11/22/2022觀察相應(yīng)展開圖的形狀(如圖5-11，5-12，5-13)。1108例7在△ABC中，若cn=an+bn(n＞2)，問△ABC為何種三角形？

分析最明顯的是，若c2=a2+b2，則△ABC為直角三角形。但現(xiàn)在題目中的n大于2，所以我們一下難以說出結(jié)論來。可以先取一些特殊情況考察。比如，取n=3，a=1，b=2，作出這個(gè)三角形的草圖，得到一個(gè)銳角三角形。觀察另外一些特例，發(fā)現(xiàn)還是銳角三角形。進(jìn)而猜想:若cn=an+bn(n＞2)，則△ABC為銳角三角形。11/22/2022例7在△ABC中，若cn=an+bn(n＞2)，問△ABC109證明在△ABC中，因?yàn)閏n=an+bn(n＞2)，所以c為△ABC的最大邊，為此只需驗(yàn)證C為銳角即可。問題轉(zhuǎn)化為證明:a2+b2＞c2，而該式等價(jià)于(a2+b2)cn-2＞cn，因此問題又歸為證明(a2+b2)cn-2-cn＞0把已知式cn=an+bn代入上式左邊，得(a2+b2)cn-2-an-bn=a2(cn-2-an-2)+b2(cn-2-bn-2)＞0，從而cosC＞0，C(此題的解決過程是:取特殊情況實(shí)驗(yàn)、觀察，作出合情推理，然后再證明。在證明過程中，又多次將問題轉(zhuǎn)化，以達(dá)目的。)11/22/2022證明在△ABC中，因?yàn)閏n=an+bn(n＞2)，所以c110二、一般化與特殊化1.一般化一般化也稱普遍化，它是一種數(shù)學(xué)思維方法。波利亞在《怎樣解題》中指出：“普遍化就是從考慮一個(gè)對象過渡到考慮包含該對象的一個(gè)集合；或者從考慮一個(gè)較小的集合過渡到考慮一個(gè)包含該較小集合的更大的集合?！币话慊趯W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有以下作用。11/22/2022二、一般化與特殊化1.一般化11/22/2022111

(1)可以通過一般化而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的一般性原理、性質(zhì)、法則、規(guī)律等

如果我們見到下列和數(shù):1+8+27+64=100發(fā)現(xiàn)它可以表示成這樣的奇特形式13+23+33+43=102這時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)一般化的規(guī)律：“前n個(gè)自然數(shù)的立方和是一個(gè)自然數(shù)的平方?！?/p>

當(dāng)然這只是猜想，還不知道此猜想是否正確。這又引導(dǎo)我們?nèi)プ龈M(jìn)一步的一般化工作。

11/22/2022

(1)可以通過一般化而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的一般性原理、性質(zhì)、法則、112讓我們觀察以下一些特殊情況：13+23=3213+23+33=6213+23+33+43=10213+23+33+43+53=152等號右邊的各個(gè)數(shù)的底數(shù)是等號左邊各數(shù)的底數(shù)之和。于是我們又可一般化為13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2，即

11/22/2022讓我們觀察以下一些特殊情況：11/22/2022113

(2)一般化思維方法有助于數(shù)學(xué)解題途徑的獲得

波利亞指出：“雄心大的計(jì)劃，成功的希望也較大”，“更普遍的問題可能更易于求解”。在數(shù)學(xué)解題過程中，我們思考一個(gè)問題，有時(shí)可以跳出它的范圍而去思考比它大的范圍的更一般性的問題。一般性的問題有時(shí)比特殊性問題還易于解決。因此，只要解決一般性的問題，特殊性的問題則就迎刃而解了。例8(初中)n條直線交于一點(diǎn)時(shí)，對頂角有幾組？

11/22/2022(2)一般化思維方法有助于數(shù)學(xué)解題途徑的獲得

波利亞指出114２.

特殊化

與一般化的思維方法相反，特殊化是從原思維對象所在的范圍轉(zhuǎn)化為比它小的，且被它所包含的范圍內(nèi)進(jìn)行思維的方法。波利亞指出：“特殊化是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合中一個(gè)較小集合，或僅僅一個(gè)對象。”11/22/2022２.特殊化與一般化的思維方法相反，特殊化是從原思維對象所115當(dāng)我們見到多邊形的內(nèi)角和公式為時(shí)，可以用它的一個(gè)特殊化情形——三角形來檢驗(yàn)：(3-2)·180°=180°，于是可以初步接受多邊形內(nèi)角和的公式。這就是特殊化的思維方法。它簡便、易行，是學(xué)習(xí)過程的好辦法，是“以退求進(jìn)”的思維方法。11/22/2022當(dāng)我們見到多邊形的內(nèi)角和公式為時(shí)，可以用它的一個(gè)特殊化情形—116特殊化方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到“實(shí)驗(yàn)室”的作用。例如，有一種游戲，一張圓桌上恰好可不重疊地放置若干個(gè)大小相同的硬幣，由甲、乙兩人輪流在桌上放置硬幣，每人每次各放一枚，兩枚硬幣不能重疊。這樣輪流放置下去，誰放置最后一個(gè)硬幣，則為勝者。假設(shè)兩人都是放置游戲的能手，問先放置者勝，還是后放置者勝?這是一個(gè)看起來較難的問題。

11/22/2022特殊化方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到“實(shí)驗(yàn)室”的作用。例如，有一種游戲117特殊化在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中作用(1)有助于解題途徑的發(fā)現(xiàn)

例9（初中）求證：無論k為何值，直線都通過一定點(diǎn)。11/22/2022特殊化在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中作用(1)有助于解題途徑的發(fā)現(xiàn)11118

分析題目沒有給出這個(gè)定點(diǎn)。因此，首先要探索這個(gè)定點(diǎn)。用特殊化方法：任取k=0和1，則得直線y=2，y=x+1.11/22/2022分析題目沒有給出這個(gè)定點(diǎn)。因此，首先要探索這個(gè)定點(diǎn)。用特11911/22/202211/22/2022120(2)推翻某一結(jié)論的反例特殊化作為某一結(jié)論的特殊形式，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中就是特例形式。一個(gè)結(jié)論的推翻，只要一個(gè)反例即可。

例10（初中）在一個(gè)三角形中，令內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，最長的高為H，則11/22/2022(2)推翻某一結(jié)論的反例特殊化作為某一結(jié)論的特殊形式，在學(xué)12111/22/202211/22/2022122三、類比與歸納

1．類比類比是根據(jù)兩個(gè)或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們在其他屬性上也相同或相似的思維方法．從某種意義上講，類比是一種相似，可以說是較明確、較概念化的相似，它把在某些方面彼此一致的相似對象的這些一致之處歸結(jié)為明確的概念，進(jìn)而構(gòu)建其它一致之處．

11/22/2022三、類比與歸納1．類比11/22/2022123例如，由平面上的三角形性質(zhì)，可以類比到空間中四面體的性質(zhì)?？臻g的四面體與平面上的三角形有一致之處：平面之于空間(低一維)恰似直線之于平面(低一維)，四面體是由空間中最少數(shù)目的平面圍成的有限幾何體，而三角形是由平面上最少數(shù)目的直線圍成的有限圖形．故四面體在空間的位置與三角形在平面上的位置是一致的，或者說在這一點(diǎn)上是相似的，它們具有類比關(guān)系．也因此，我們可以根據(jù)三角形的有關(guān)概念、性質(zhì)類比推理出四面體的相應(yīng)概念、性質(zhì)。

11/22/2022例如，由平面上的三角形性質(zhì)，可以類比到空間中四面體的性質(zhì)。空124由平面上直角三角形的射影定理：Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，有AC2=AB·AD(如圖5-23(1))，可類比到空間中的四面體O-ABC，直三面角O-ABC，∠AOB=∠BOC=∠AOC=90°，面OAB在面ABC上的投影為△ABD，可能有(如圖5-23(2))11/22/2022由平面上直角三角形的射影定理：Rt△ABC中，∠C=90°，125進(jìn)一步作出的類比:

直角三角形←—→三直四面體正三角形←—→等面四面體三角形內(nèi)切圓←—→四面體內(nèi)切球(內(nèi)心)(內(nèi)心)三角形外接圓←—→四面體外接球(外心)(外心)頂點(diǎn)到對邊中點(diǎn)連線←—→頂點(diǎn)到對面重心連線(重心)(重心)正三角形三心重合←—→等面四面體三心重合11/22/2022進(jìn)一步作出的類比:

直角三角形←—→三直四126例11勾股定理的推廣1勾股定理告訴我們:如果一個(gè)三角形ABC的三邊之長是a、b、c,那么,當(dāng)滿足等式a2+b2=c2時(shí),該三角形是直角三角形；反過來,如果這個(gè)三角形是直角三角形,則上述等式成立。如果我們讓指數(shù)作一些變化:2→n，即an+bn=cn

，你可以發(fā)現(xiàn)什么?還有其他的問題嗎?11/22/2022例11勾股定理的推廣1勾股定理告訴我們:如果一個(gè)三角形AB127例12勾股定理的推廣2

2003年新、老課程文科試卷的第(15)題：“設(shè)ΔABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”.拓展到空間，模擬平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是“設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩垂直，則_________”

11/22/2022例12勾股定理的推廣2

2003年新、老課程文科試卷的第(128證明：設(shè)A-BCD為滿足題意的直角四面體(如圖6-34)，過A點(diǎn)的三個(gè)面角都是直角。過C引的垂線CE.因?yàn)锳C⊥AB及AD（假設(shè)），所以AC⊥ΔADB（垂直于該平面上兩相交的直線），于是Δ

AEC⊥ΔADB（含垂線的平面），所以，AE⊥BD,設(shè)AB=b，AD=d，AC=c，由三角形面積公式得到：bd=2SΔABD=AE·BD,由此AE=bd/BD,又,BD·CE

=2SΔBCD11/22/2022證明：設(shè)A-BCD為滿足題意的直角四面體(如圖6-34)，過12911/22/202211/22/202213011/22/202211/22/202213111/22/202211/22/2022132類比的條件顯然，類比的基礎(chǔ)是事物之間的相似性或某種一致性．只要兩個(gè)對象有某個(gè)方面的相似性，就可以類比，包括形式上的相似，結(jié)構(gòu)上的相似，內(nèi)容上的相似，地位上的相似等．

11/22/2022類比的條件顯然，類比的基礎(chǔ)是事物之間的相似性或某種一致性．只133類比的一般模式為

A具有性質(zhì)a，b，c，d，B具有性質(zhì)a，b，c，B也可能具有性質(zhì)d11/22/2022類比的一般模式為

A具有性質(zhì)a，b，c，d，11/22/2134類比的另外模式

A具有性質(zhì)a，b，c，d，B具有性質(zhì)a′，b′，c′分別與a，b，c相似，B可能具有性質(zhì)d′，d′與d相似。11/22/2022類比的另外模式A具有性質(zhì)a，b，c，d，11/22/202135例13（小學(xué)）對于“圖5-24中共有n條線段”這類題，可能學(xué)生通過觀察，并歸納出當(dāng)線段有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，則所得到線段數(shù)為11/22/202211/22/2022136而學(xué)生，只要能構(gòu)建出這個(gè)較為清晰的數(shù)學(xué)模型之后，則可利用類比來解決“圖5-25中有n個(gè)三角形”這類問題。原因就在于這兩類題的數(shù)學(xué)模型幾乎是相同的，于是學(xué)生也就能推測出其解法為：從三角形頂點(diǎn)向?qū)呉鰊條線段，則所得三角形的個(gè)數(shù)為：11/22/2022而學(xué)生，只要能構(gòu)建出這個(gè)較為清晰的數(shù)學(xué)模型之后，則可利用類比137《課標(biāo)》第82頁

例14“根據(jù)下面3個(gè)等式，猜測第四個(gè)等式右邊的答數(shù)。1+3=4=22

l+3+5=9=32

l+3+5+7=16=42……1+3+5+7+9+11+13+15+l?+19=?”

11/22/2022《課標(biāo)》第82頁例14“根據(jù)下面3個(gè)等式，猜測第四個(gè)等式右138

分析學(xué)生可先看看下面一個(gè)圖形(圖5-26)，先觀察黑色或白色的

“』”形圖形的面積：如果每個(gè)小正方形為1個(gè)平方單位，則從左上角開始，每個(gè)黑白相間的小正方形面積為：1+3=22l+3+5=32l+3+5+7=42

在這里，等式左邊是正方形中所含小正方形的個(gè)數(shù)，而右邊是正方形邊長平方。利用它可以猜測：l+3+5+7+9=52，并在圖中利用直觀方式可得證明。并進(jìn)一步推測到：

11/22/2022分析學(xué)生可先看看下面一個(gè)圖形(圖5-26)，先觀察黑色或139類比在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用

（1）通過類比聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，通過類比而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的例子很多。例如，羅巴切夫斯基通過歐氏幾何中的第五公設(shè)，類比出羅氏公理：“在平面上，過一條直線外的一點(diǎn)，可以畫兩條不同的平行線?！崩杪餐ㄟ^歐氏幾何中的第五公設(shè)，類比出黎氏公理：“同一平面上的任何兩條直線一定相交；直線可以無限延長，但總長度是有限制的?！彼麄兺ㄟ^類比，分別發(fā)現(xiàn)了羅氏幾何與黎氏幾何。11/22/2022類比在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用（1）通過類比聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)140（1）通過類比聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過類比可以得到一些新的結(jié)論。例如，由“正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值”，類比聯(lián)想到“正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值”。11/22/2022（1）通過類比聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)11/22/2022141(2)類比是學(xué)習(xí)知識(shí)、系統(tǒng)地掌握知識(shí)和鞏固知識(shí)的有效方法

類比的客觀基礎(chǔ)就是事物系統(tǒng)之間的各要素的普遍聯(lián)系以及這些聯(lián)系之間存在的相似性和可比較性，所以，利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，借助類比，可以有效地學(xué)習(xí)新知、掌握新知，對已有知識(shí)進(jìn)一步作恰當(dāng)類比，又可以將這些知識(shí)有機(jī)地系統(tǒng)起來．

11/22/2022(2)類比是學(xué)習(xí)知識(shí)、系統(tǒng)地掌握知識(shí)和鞏固知識(shí)的有效方法

類142一元二次方程與一元二次不等式11/22/2022一元二次方程與一元二次不等式11/22/2022143（3）通過類比聯(lián)想可以尋求到數(shù)學(xué)解題的方法與途徑

例如，上述的類比聯(lián)想：由“正三角形中任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值”，而得“正四面體中任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值”。如何證明類比到的結(jié)論是正確的呢?仍可以通過類比而得到證明方法。