生物統(tǒng)計(jì)學(xué)兩向分組資料的方差分析

若有兩因素試驗(yàn)：A因素有a水平，B因素有b水平，則有處理組合ab個(gè)，即有觀察值ab個(gè)。試驗(yàn)數(shù)據(jù)整理如下：兩向分組資料的數(shù)據(jù)ABA1A2???

AaTBB1B2??Bbab個(gè)數(shù)據(jù)TB1TB2??

TBbTATA1TA2???

TAaT若有兩因素試驗(yàn)：A因素有a水平，B因素有b水平，且試驗(yàn)重復(fù)n次，則有處理組合ab個(gè)，有觀察值abn個(gè)。試驗(yàn)數(shù)據(jù)整理如下：如何進(jìn)行方差分析？第三節(jié)兩向分組資料的方差分析（用于單因素試驗(yàn)和兩因素試驗(yàn)）一、模型的類型及交互作用的概念（一）、模型的類型1、固定模型2、隨機(jī)模型3、混合模型（二）交互作用由于因素水平的改變而造成的因素效應(yīng)值的改變，稱因素的主效應(yīng)。例：有1個(gè)兩因素試驗(yàn)，A因素有2水平，B因素有2水平，水平組合為A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，若4個(gè)處理組合的表現(xiàn)值如下表，則有A、B兩因素的主效應(yīng)為：A的主效應(yīng)：即當(dāng)A因素從第一個(gè)水平變化到第二個(gè)水平時(shí)，A2水平的平均效應(yīng)值-A1水平的平均效應(yīng)值。B因素的主效應(yīng)：B的主效應(yīng)：即當(dāng)B因素從第一個(gè)水平變化到第二個(gè)水平時(shí)，B2水平的平均效應(yīng)值-B1水平的平均效應(yīng)值。若A、B間不存在交互作用，則有：有時(shí)，會發(fā)現(xiàn)某一因素在另一因素的不同水平上，所產(chǎn)生的效應(yīng)值不同，例如：A在B1水平上的主效應(yīng)：=A2B1-A1B2=28-18=10A在B2水平上的效應(yīng)：=A2B2-A1B2=22-30=-8可以看出，A的效應(yīng)在B的不同水平上不同，這時(shí)我們就說A與B存在交互作用交互作用的大?。海ˋ1B1+A2B2）-（A1B2+A2B1）

=（18+22）-（28+30）=18A的主效應(yīng)：在有交互作用的試驗(yàn)中，分析因素的交互作用比分析因素的主效應(yīng)更重要。交互作用簡稱互作。二、固定模型的方差分析（一）有重復(fù)試驗(yàn)時(shí)（A、B間可能存在互作，事先不能確定）1、數(shù)據(jù)整理（列兩向表），并進(jìn)行平方和與自由度的分解a、處理（組合）與重復(fù)兩向分組表b、列A、B兩向分組表ABA1A2???

AaTB.B1B2??BbTA1B1TAaB1TA1B2TA1BbTAaBbTB1TB2??

TBbTA.TA1TA2???

TAa2、列方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)。當(dāng)處理效應(yīng)顯著時(shí)，做多重比較。兩因素固定模型數(shù)據(jù)的方差分析表變異來源平方和SS自由度DF均方MSF值均方期望A因素SSAdfAS2AS2A/S2eσ2+bnη2α

B因素SSBdfBS2BS2B/S2eσ2+anη2βAB互作SSABdfABS2ABS2AB/S2eσ2+nη2αβ誤差SSedfeS2eσ2總變異SSTdfTH01：η2α=0

H02：

η

2

β

=0H03：

η2

αβ=0方差分析的隨機(jī)模型的F測驗(yàn)公式變異來源平方和SS自由度DF均方MSF值均方期望A因素SSAdfAS2AS2A/S2ABσ2+nσ2αβ+bnσ2α

B因素SSBdfBS2BS2B/S2ABσ2+nσ2αβ+anσ

2βAB互作SSABdfABS2ABS2AB/S2eσ2+nσ

2αβ誤差SSedfeS2eσ2總變異SSTdfTH01：σ2α=0

H02：σ

2

β

=0H03：σ

2

αβ=0方差分析混合模型的F測驗(yàn)公式（A固定，B隨機(jī)）變異來源平方和SS自由度DF均方MSF值均方期望A因素SSAdfAS2AS2A/S2ABσ2+nσ2αβ+bnη2α

B因素SSBdfBS2BS2B/S2ABσ2+anσ2βAB互作SSABdfABS2ABS2AB/S2eσ2+nσ2αβ誤差SSedfeS2eσ2總變異SSTdfTH01：αi=0

或η2α=0H02：σ

2β

=0H03：σ

2αβ=03、例題為了從三種不同的原料（A）和三種不同的發(fā)酵溫度（B）中，選出最適宜的條件，設(shè)計(jì)了一個(gè)兩因素試驗(yàn)，并得到了如表的結(jié)果。（每處理4次重復(fù)，A、B因素為固定因素）a、試驗(yàn)數(shù)據(jù)的記錄及整理（列兩個(gè)兩向分組表）按處理（組合）與重復(fù)列表：b：平方和的分解列A、B因素兩向分組表b：平方和的分解b：自由度的分解C：列方差分析表，并進(jìn)行F檢驗(yàn)A、B兩因素互作明顯d：多重比較（LSR法）在互作明顯時(shí)，僅比較處理組合間的平均數(shù)的差異顯著性即可多重比較的結(jié)果（字母標(biāo)記法）aaaabbbbcccddddAAAAABBBCCCC結(jié)論：凡含相同字母的平均數(shù)差異不顯著；凡含不同字母的平均數(shù)，差異顯著。最好的處理組合：A2B1或A3B1。如果互作效應(yīng)不顯著，則要對試驗(yàn)因素主效應(yīng)顯著的因素的各個(gè)水平下的平均數(shù)進(jìn)行多重比較。對A因素各水平的平均數(shù)進(jìn)行多重比較的均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算：對B因素各水平的平均數(shù)進(jìn)行多重比較的均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算：ABA1A2???

AaTBXBB1B2??BbTB1TB2??

TBbTATA1TA2???

TAaXA（二）無重復(fù)試驗(yàn)時(shí)應(yīng)用前提：A、B間無交互作用1、試驗(yàn)數(shù)據(jù)的整理2、平方和與自由度的分解互作混雜在誤差平方和里，無法分解ABA1A2???

AaTBXBB1B2??BbTB1TB2??

TBbTATA1TA2???

TAaXA列方差分析表多重比較：例：下表記載了四種種植密度（A）在四年期間（B）的小麥大區(qū)產(chǎn)量，現(xiàn)在需要判斷不同年份，不同種植密度對產(chǎn)量是否有顯著的影響。

年度密度1986198719881989TAXA一5465788138152752688.0二6007038618543018754.5三5486828158522897724.25四5516908318532925731.25TB224526533320337411592XB561.25663.25830.0843.5724.5兩向分組資料，無重復(fù)。年度與密度一般不會產(chǎn)生互作。解：（1）平方和與自由度的分解

年度密度1986198719881989TAXA一5465788138152752688.0二6007038618543018754.5三5486828158522897724.25四5516908318532925731.25TB224526533320337411592XB561.25663.25830.0843.5724.5（2）列方差分析表，并進(jìn)行F檢驗(yàn)變異來源平方和自由度均方F值密度A9111.533037.175.08*年度B222773.5374257.83124.25**誤差53799597.67總變異23726415(3)多重比較：a：對A因素各個(gè)水平的平均數(shù)進(jìn)行多重比較密度A平均數(shù)顯著性測驗(yàn)0.050.01二754.5四731.25三724.25一688.0k234SSR0.053.203.343.40SSR0.014.604.864.99LSR0.0539.1040.8141.55LSR0.0156.2159.3960.98aaabbAAABBBb：對B因素各個(gè)水平的平均數(shù)進(jìn)行多重比較年度B平均數(shù)顯著性測驗(yàn)0.050.011989843.51988830.01987663.251986561.25aabcAABCk234SSR0.053.203.343.40SSR0.014.604.864.99LSR0.0539.1040.8141.55LSR0.0156.2159.3960.98密度（A）因素多重比較的梯形表表示法：處理：二四三一平均數(shù)：754.5731.25724.25688.0編號：1234432166.530.2523.25243.257336.25k234LSR0.0539.1040.8141.55LSR0.0156.2159.3960.98***年度（B）因素多重比較的梯形表表示法：處理：1989198819871986平均數(shù)：843.5830.0663.25561.25編號：12344321282.25180.2513.52286.75166.753102k234LSR0.0539.1040.8141.55LSR0.0156.215