幾何證明舉例（3）-2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)同步課件（青島版）

幾何證明舉例（3）01學(xué)習(xí)目標(biāo)04隨堂練習(xí)05課堂小結(jié)03新知探究02舊知回顧1.掌握并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理與判定定理；2.掌握基本的證明方法，會(huì)通過分析的方法探索證明的思路。1.什么是線段的垂直平分線？2.根據(jù)本冊(cè)第二章的學(xué)習(xí)你知道線段的垂直平分線有什么性質(zhì)？3.這個(gè)性質(zhì)你是怎樣得到的？這個(gè)性質(zhì)是真命題嗎？你能用邏輯推理的方法，證明它的真實(shí)性嗎？已知：直線

是線段AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)

，點(diǎn)P是直線

上的任意一點(diǎn)。求證：

=___.

P

CABM

D線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等?！皩?duì)折”得線段垂直平分線的性質(zhì)：探究與證明分析：要證明邊相等，可構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論：但是當(dāng)P與M重合時(shí)，構(gòu)不成三角形，需分類討論.（1）點(diǎn)P與點(diǎn)M不重合時(shí)；（2）點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí).已知：直線CD是線段AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)M，點(diǎn)P是直線CD上的任意一點(diǎn)。求證：PA

=PB.

P

CABM

D證明：（1）點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)∵M(jìn)A=MB(垂直平分線的性質(zhì))，∴PA=PB(等量代換).（2）點(diǎn)P不與點(diǎn)M重合時(shí)∵PM⊥AB(已知),∴∠PMA=∠PMB(垂直平分線的定義).已知：直線CD是線段AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)M，點(diǎn)P是直線CD上的任意一點(diǎn)。求證：PA

=PB.

P

CABM

D接上∵PM=PM(公共邊)，MA=MB(垂直平分線的定義).由(1)(2)可得，該命題成立?！唷鱌MA≌△PMB(SAS).∴PA=PB(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等).交流與發(fā)現(xiàn)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆命題是什么呢？它是真命題嗎？應(yīng)如何證明它的真實(shí)性?已知：線段AB，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA=PB.求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.

要證明這個(gè)命題成立，只要證明平分線段AB的直線經(jīng)過點(diǎn)P，且是AB的垂線即可。發(fā)現(xiàn)與證明已知：線段AB，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA=PB.求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.

PABC證明：（1）點(diǎn)P在線段AB所在的直線上，∵PA=PB(已知)，∴點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)(中點(diǎn)的定義)∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上(垂直平分線的定義)（2）點(diǎn)P不在線段AB所在的直線上，∵PA=PB(已知)，∴△PAB是等腰三角形.已知：線段AB，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA=PB.求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.

ABCP接上∴PC⊥AB(等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高重合).∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上(垂直平分線的定義)由(1)(2)可得，該命題成立。取AB的中點(diǎn)C，并連接PC.到一條線段兩端的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。證明得：

1.已知：AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上.求證：AB=AC=CE.

2.已知：如圖，AB=AD，BC=DC，E是AC上一點(diǎn).求證：BE=DE.