第1課矩陣的初等變換課件

線性代數(shù)線性代數(shù)線性代數(shù)課程簡(jiǎn)介初等代數(shù)課程中，介紹了二階、三階方程組的求解線性代數(shù)中，主要討論一般方程組的求解問(wèn)題為此，引入了行列式、矩陣、向量等概念這些概念非常重要，成為了其他學(xué)科的基本工具線性代數(shù)課程簡(jiǎn)介初等代數(shù)課程中，介紹了二階、三階方程組的求解線性代數(shù)這門(mén)課程有兩大作用1、掌握幾種重要的數(shù)學(xué)概念、方法2、培養(yǎng)抽象思維能力、邏輯思維能力線性代數(shù)這門(mén)課程有兩大作用1、掌握幾種重要的數(shù)學(xué)概念、方法2參考資料胡建華：線性代數(shù)解題指導(dǎo)考研復(fù)習(xí)資料(華中科技大、清華等）同濟(jì)大學(xué)《線性代數(shù)》及配套輔導(dǎo)書(shū)）參考資料胡建華：線性代數(shù)解題指導(dǎo)考研復(fù)習(xí)資料(華中科為表示它是一個(gè)整體，總是加一個(gè)括號(hào)，并用大寫(xiě)字母記之。定義

實(shí)矩陣:

元素是實(shí)數(shù)復(fù)矩陣：元素是復(fù)數(shù)例如：是一個(gè)實(shí)矩陣,是一個(gè)復(fù)矩陣,實(shí)矩陣:元素是實(shí)數(shù)復(fù)矩陣：元素是復(fù)數(shù)例如：是一個(gè)(1)1×1的矩陣就是一個(gè)數(shù)。

(2)行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A，稱(chēng)為n階方陣或n階矩陣。

(3)只有一行的矩陣稱(chēng)為行矩陣或n

維行向量。ai稱(chēng)為A的第i個(gè)分量。稱(chēng)為列矩陣或m

維列向量。ai稱(chēng)為A的第i個(gè)分量。(4)只有一列的矩陣(1)1×1的矩陣就是一個(gè)數(shù)。(2)行數(shù)(5)元素全為零的矩陣稱(chēng)為零矩陣，記為O

。(6)矩陣(約定未寫(xiě)出元素全為零)稱(chēng)為單位矩陣。(7)矩陣稱(chēng)為對(duì)角矩陣。記作(5)元素全為零的矩陣稱(chēng)為零矩陣，記為O。(6)矩陣(定義設(shè)，如果(此時(shí)稱(chēng)A與B是同型矩陣)且則稱(chēng)A與B相等，記作A=B。問(wèn)：與相等嗎？定義設(shè)稱(chēng)矩陣的下面三種變換為初等行變換(1)交換矩陣的某兩行，記為(2)以不等于０的數(shù)乘矩陣的某一行，記為(3)把矩陣的某一行乘上一個(gè)數(shù)加到另一行上，記為類(lèi)似定義三種初等列變換以上六種變換統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換定義稱(chēng)矩陣的下面三種變換為初等行變換矩陣的初等變換舉例

1

5-1

-1

1

-2

1

3

1

-9

3

7

3

8-1

1

1

-2

1

3

1

-9

3

7r2r4

1

5-1

-1

3

8-1

1矩陣的初等變換舉例15-1-11-21-1

1

3-1

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

1c1c3

5-2-9

8-1

3

7

1

1

1

1

3

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

14r2

1-1

5-1

1

3-9

7

3-1

8

1

4

4-812-113-115-1-11-21

第i行的k倍加到第j行記為rj+kri。

1

5-1-1

1

-2

1

3

1

-9

3

7

3

8-1

1r3-3r1

1

5

-1

-1

1-2

1

3

1-9

3

7

0-7

2

4

1

5-1-1

1

-2

1

3

1

-9

3

7

3

8-1

1

0

2

4

2

1

5

-1

1-2

3

1

-9

7

3

8

1c3+c1三種初等變換都是可逆的。注：矩陣間的初等變換不能用等號(hào)第i行的k倍加到第j行記為rj+kri。初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類(lèi)型相同．初等列變換也有類(lèi)似的結(jié)果…逆變換逆變換逆變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類(lèi)型相同．初等列變換也初等變換的作用？定義行階梯形矩陣及行最簡(jiǎn)(階梯)形矩陣(行最簡(jiǎn)形就是所謂的最簡(jiǎn)單的“代表”)書(shū)P5定義4行階梯形矩陣初等變換的作用？定義行階梯形矩陣及行最簡(jiǎn)(階梯)形矩陣(行最行最簡(jiǎn)階梯形矩陣（1）臺(tái)階左下方元素全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階上只有一行；（3）每個(gè)臺(tái)階上第一個(gè)元素不為零。行階梯形矩陣：行最簡(jiǎn)階梯形(1)(2)(3)+(4)臺(tái)階上的第一個(gè)元素為1,且其所在列其它元素全為零。行最簡(jiǎn)階梯形矩陣（1）臺(tái)階左下方元素全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階上

只用初等行變換必能將矩陣化為行階梯形，從而再化為行最簡(jiǎn)形。行階梯形不唯一，行最簡(jiǎn)形唯一。書(shū)P6定理1.1.1定理例1只用初等行變換必化階梯形：從上到下，從左到右,化最簡(jiǎn)形：從下向上，從右到左?；A梯形：從上到下，從左到右,化最簡(jiǎn)形：從下向上，從右到左。(等價(jià)關(guān)系)定義

如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣B，就稱(chēng)矩陣A與B等價(jià)，記作。等價(jià)滿足：自反性：(2)對(duì)稱(chēng)性：(3)傳遞性：(等價(jià)關(guān)系)定義如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成§3

解線性方程組的消元法討論有n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組⑴是否有解？⑵若有解，解是否唯一？⑶如何求出所有的解？§3解線性方程組的消元法討論有n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方若B=(b1,b2,…,bm)T≠O，則稱(chēng)(1)為非齊次線性方程組若B=(b1,b2,…，bm)T＝O，即：

則稱(chēng)(2)為(1)對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組（或(1)的導(dǎo)出組）若B=(b1,b2,…,bm)T≠O，則稱(chēng)(1)為非齊次系數(shù)矩陣增廣矩陣系數(shù)矩陣增廣矩陣解線性方程組例1解線性方程組例1下列三種變換稱(chēng)為方程組的三種同解變換：（1）兩個(gè)方程互換位置；（2）用一個(gè)非零數(shù)

k乘某個(gè)方程；（3）某個(gè)方程的常數(shù)倍加到另一個(gè)方程上去。下列三種變換稱(chēng)為方程組的三種同解變換：（1）兩個(gè)方程互換位置解線性方程組解互換(1)與(2)的位置得例1解線性方程組解互換(1)與(2)的位置得例1(2)-(1)×2,(3)-(1)×4(3)-(2)(2)-(1)×2,(3)-(1)×4(3)-(2)(3)×(-1/2)消元過(guò)程結(jié)束，以下過(guò)程稱(chēng)為“回代過(guò)程”。(3)×(-1/2)消元過(guò)程結(jié)束，以下過(guò)程稱(chēng)為“回代過(guò)程”(2)×(-1/3)(1)-(3)×2，(2)+(3)×2(2)×(-1/3)(1)-(3)×2，(2)+(3)×2所以，消元法增廣矩陣的初等行變換消元過(guò)程就是增廣矩陣化為行階梯形矩陣，回代過(guò)程就是繼續(xù)化成行最簡(jiǎn)階梯形的過(guò)程。(1)－(2)原方程組的解為：所以，消元法增廣矩陣的初等行變換消元過(guò)程就是增廣矩陣化為行階解線性方程組解：增廣矩陣?yán)?解線性方程組解：增廣矩陣?yán)?即則原方程組的解為有何特點(diǎn)？即則原方程組的解為有何特點(diǎn)？解：同解方程組最后一個(gè)方程0=-2是矛盾方程，所以方程組無(wú)解。例3特點(diǎn)解：同解方程組最后一個(gè)方程0=-2是矛盾方程，所以方程組無(wú)例4求解齊次線性方程組解對(duì)系數(shù)矩陣A施行初等行變換化為最簡(jiǎn)階梯形:例4求解齊次線性方程組解對(duì)系數(shù)矩陣A施行初等行變換化為最簡(jiǎn)寫(xiě)出等價(jià)方程組并移項(xiàng):有何特點(diǎn)？寫(xiě)出等價(jià)方程組并移項(xiàng):有何特點(diǎn)？令寫(xiě)出參數(shù)形式的通解通解其中為任意實(shí)數(shù)。我們已經(jīng)初步掌握了線性方程組的求解過(guò)程，比較上述三個(gè)例題，可得線性方程組解的簡(jiǎn)要判別，書(shū)P12-15，我們將在后面的章節(jié)中學(xué)習(xí)。令寫(xiě)出參數(shù)形式的通解通解其中為任意實(shí)數(shù)。我們已經(jīng)初步掌握了線線性方程組有解的理論總結(jié)線性方程組有解的理論總結(jié)線性方程組進(jìn)行初等行變換同解方程組為：（1.3）其中方程組中方程“0=0”表示恒等式。線性方程組進(jìn)行初等行變換同解方程組為：（1.3）其中方程組中由方程組（1.3）可以看出：（1）當(dāng)時(shí)，方程組（1.3）無(wú)解，從而原方程組（1.1）無(wú)解；由方程組（1.3）可以看出：（1）當(dāng)時(shí)，方程組（1.3）無(wú)解（2）當(dāng)時(shí)，方程組（1.3）有解，故方程組（1.1）也有解，并且此時(shí)1）當(dāng)r=n時(shí)，方程組（1.3）為：由于，由“回代過(guò)程”知此方程組有唯一解，故方程組（1.1）有唯一解。（2）當(dāng)時(shí)，方程組（1.3）有解，故方程組（1.1）也有解，2）當(dāng)r<n時(shí)，方程組（1.1）有無(wú)窮多解，(1.4)稱(chēng)為自由未知量，一組值，給定自由未知量代入（1.4）可唯一得出的一組值，這樣得到的的一組值就是方程組（1.1）的一個(gè)解。2）當(dāng)r<n時(shí)，方程組（1.1）有無(wú)窮多解，(1.4由于自由未知量的取值是任意的，所以方程組（1.1）有無(wú)窮多解。由于自由未知量的取值是任意的，所以方程組（1.1）有無(wú)窮多解作業(yè)p161、（1）（3）2、（2）作業(yè)p161、（1）（3）2、（2）線性代數(shù)線性代數(shù)線性代數(shù)課程簡(jiǎn)介初等代數(shù)課程中，介紹了二階、三階方程組的求解線性代數(shù)中，主要討論一般方程組的求解問(wèn)題為此，引入了行列式、矩陣、向量等概念這些概念非常重要，成為了其他學(xué)科的基本工具線性代數(shù)課程簡(jiǎn)介初等代數(shù)課程中，介紹了二階、三階方程組的求解線性代數(shù)這門(mén)課程有兩大作用1、掌握幾種重要的數(shù)學(xué)概念、方法2、培養(yǎng)抽象思維能力、邏輯思維能力線性代數(shù)這門(mén)課程有兩大作用1、掌握幾種重要的數(shù)學(xué)概念、方法2參考資料胡建華：線性代數(shù)解題指導(dǎo)考研復(fù)習(xí)資料(華中科技大、清華等）同濟(jì)大學(xué)《線性代數(shù)》及配套輔導(dǎo)書(shū)）參考資料胡建華：線性代數(shù)解題指導(dǎo)考研復(fù)習(xí)資料(華中科為表示它是一個(gè)整體，總是加一個(gè)括號(hào)，并用大寫(xiě)字母記之。定義

實(shí)矩陣:

元素是實(shí)數(shù)復(fù)矩陣：元素是復(fù)數(shù)例如：是一個(gè)實(shí)矩陣,是一個(gè)復(fù)矩陣,實(shí)矩陣:元素是實(shí)數(shù)復(fù)矩陣：元素是復(fù)數(shù)例如：是一個(gè)(1)1×1的矩陣就是一個(gè)數(shù)。

(2)行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A，稱(chēng)為n階方陣或n階矩陣。

(3)只有一行的矩陣稱(chēng)為行矩陣或n

維行向量。ai稱(chēng)為A的第i個(gè)分量。稱(chēng)為列矩陣或m

維列向量。ai稱(chēng)為A的第i個(gè)分量。(4)只有一列的矩陣(1)1×1的矩陣就是一個(gè)數(shù)。(2)行數(shù)(5)元素全為零的矩陣稱(chēng)為零矩陣，記為O

。(6)矩陣(約定未寫(xiě)出元素全為零)稱(chēng)為單位矩陣。(7)矩陣稱(chēng)為對(duì)角矩陣。記作(5)元素全為零的矩陣稱(chēng)為零矩陣，記為O。(6)矩陣(定義設(shè)，如果(此時(shí)稱(chēng)A與B是同型矩陣)且則稱(chēng)A與B相等，記作A=B。問(wèn)：與相等嗎？定義設(shè)稱(chēng)矩陣的下面三種變換為初等行變換(1)交換矩陣的某兩行，記為(2)以不等于０的數(shù)乘矩陣的某一行，記為(3)把矩陣的某一行乘上一個(gè)數(shù)加到另一行上，記為類(lèi)似定義三種初等列變換以上六種變換統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換定義稱(chēng)矩陣的下面三種變換為初等行變換矩陣的初等變換舉例

1

5-1

-1

1

-2

1

3

1

-9

3

7

3

8-1

1

1

-2

1

3

1

-9

3

7r2r4

1

5-1

-1

3

8-1

1矩陣的初等變換舉例15-1-11-21-1

1

3-1

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

1c1c3

5-2-9

8-1

3

7

1

1

1

1

3

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

14r2

1-1

5-1

1

3-9

7

3-1

8

1

4

4-812-113-115-1-11-21

第i行的k倍加到第j行記為rj+kri。

1

5-1-1

1

-2

1

3

1

-9

3

7

3

8-1

1r3-3r1

1

5

-1

-1

1-2

1

3

1-9

3

7

0-7

2

4

1

5-1-1

1

-2

1

3

1

-9

3

7

3

8-1

1

0

2

4

2

1

5

-1

1-2

3

1

-9

7

3

8

1c3+c1三種初等變換都是可逆的。注：矩陣間的初等變換不能用等號(hào)第i行的k倍加到第j行記為rj+kri。初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類(lèi)型相同．初等列變換也有類(lèi)似的結(jié)果…逆變換逆變換逆變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類(lèi)型相同．初等列變換也初等變換的作用？定義行階梯形矩陣及行最簡(jiǎn)(階梯)形矩陣(行最簡(jiǎn)形就是所謂的最簡(jiǎn)單的“代表”)書(shū)P5定義4行階梯形矩陣初等變換的作用？定義行階梯形矩陣及行最簡(jiǎn)(階梯)形矩陣(行最行最簡(jiǎn)階梯形矩陣（1）臺(tái)階左下方元素全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階上只有一行；（3）每個(gè)臺(tái)階上第一個(gè)元素不為零。行階梯形矩陣：行最簡(jiǎn)階梯形(1)(2)(3)+(4)臺(tái)階上的第一個(gè)元素為1,且其所在列其它元素全為零。行最簡(jiǎn)階梯形矩陣（1）臺(tái)階左下方元素全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階上

只用初等行變換必能將矩陣化為行階梯形，從而再化為行最簡(jiǎn)形。行階梯形不唯一，行最簡(jiǎn)形唯一。書(shū)P6定理1.1.1定理例1只用初等行變換必化階梯形：從上到下，從左到右,化最簡(jiǎn)形：從下向上，從右到左?；A梯形：從上到下，從左到右,化最簡(jiǎn)形：從下向上，從右到左。(等價(jià)關(guān)系)定義

如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣B，就稱(chēng)矩陣A與B等價(jià)，記作。等價(jià)滿足：自反性：(2)對(duì)稱(chēng)性：(3)傳遞性：(等價(jià)關(guān)系)定義如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成§3

解線性方程組的消元法討論有n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組⑴是否有解？⑵若有解，解是否唯一？⑶如何求出所有的解？§3解線性方程組的消元法討論有n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方若B=(b1,b2,…,bm)T≠O，則稱(chēng)(1)為非齊次線性方程組若B=(b1,b2,…，bm)T＝O，即：

則稱(chēng)(2)為(1)對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組（或(1)的導(dǎo)出組）若B=(b1,b2,…,bm)T≠O，則稱(chēng)(1)為非齊次系數(shù)矩陣增廣矩陣系數(shù)矩陣增廣矩陣解線性方程組例1解線性方程組例1下列三種變換稱(chēng)為方程組的三種同解變換：（1）兩個(gè)方程互換位置；（2）用一個(gè)非零數(shù)

k乘某個(gè)方程；（3）某個(gè)方程的常數(shù)倍加到另一個(gè)方程上去。下列三種變換稱(chēng)為方程組的三種同解變換：（1）兩個(gè)方程互換位置解線性方程組解互換(1)與(2)的位置得例1解線性方程組解互換(1)與(2)的位置得例1(2)-(1)×2,(3)-(1)×4(3)-(2)(2)-(1)×2,(3)-(1)×4(3)-(2)(3)×(-1/2)消元過(guò)程結(jié)束，以下過(guò)程稱(chēng)為“回代過(guò)程”。(3)×(-1/2)消元過(guò)程結(jié)束，以下過(guò)程稱(chēng)為“回代過(guò)程”(2)×(-1/3)(1)-(3)×2，(2)+(3)×2(2)×(-1/3)(1)-(3)×2，(2)+(3)×2所以，消元法增廣矩陣的初等行變換消元過(guò)程就是增廣矩陣化為行階梯形矩陣，回代過(guò)程就是繼續(xù)化成行最簡(jiǎn)階梯形的過(guò)程。(1)－(2)原方程組的解為：所以，消元法增廣矩陣的初等行變換消元過(guò)程就是增廣矩陣化為行階解線性方程組解：增廣矩陣?yán)?解線性方程組解：增廣矩陣?yán)?即則原方程組的解為有何特點(diǎn)？即則原方程組的解為有何特