功率譜估計(jì)課件

對于確定性信號，傅里葉變換是在頻率分析研究的理論基礎(chǔ)，但對于隨機(jī)信號，其傅里葉變換不存在，因此研究它的功率譜。第四章功率譜估計(jì)4.1引言在實(shí)際應(yīng)用中，通常只能采集或觀測到平穩(wěn)隨機(jī)過程的一個(gè)抽樣序列的一段(有限個(gè))數(shù)據(jù)，如果根據(jù)這有限個(gè)已知數(shù)據(jù)來估計(jì)隨機(jī)過程的功率譜的問題，簡稱譜估計(jì)(譜分析)問題。對信號和系統(tǒng)進(jìn)行分析研究、處理有兩類方法：一類是時(shí)域進(jìn)行，維納-卡爾曼濾波和自適應(yīng)濾波都屬于時(shí)域處理方法；另一類是頻域方法。圣混感泵量膠渺枚伍呼猛芭鋤掐菠芒蹋失撾蚌糠省誰本欺鐐毫尾磅毯眨黃第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)1對于確定性信號，傅里葉變換是在頻率分析研究的理論基礎(chǔ)按照Weiner-Khintchine定理，信號的功率譜和其自相關(guān)函數(shù)服從一對傅里葉變換關(guān)系，稱為功率譜的定義。對于平穩(wěn)隨機(jī)信號，服從各態(tài)歷經(jīng)性，集合平均可以用時(shí)間平均代替，可推出功率譜的另一個(gè)定義。(4.1.1)(4.1.2)(4.1.3)將(4.1.3)式中的集合平均用時(shí)間平均代替，得(4.1.4)芽潘等潞溫酶息貼愿了娶湍何癟捂置蘸睹親樊動(dòng)迢倚俊擱踞瑞項(xiàng)潛忿口蘑第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)2按照Weiner-Khintchine定理，信號的功率譜將(4.1.4)式代入(4.1.1)式，得到令，則是隨機(jī)變量，必須對取統(tǒng)計(jì)平均值，得到將(4.1.4)式代入(4.1.1)式，得到上式被認(rèn)為是功率譜的另一定義。(4.1.5)(4.1.6)博奉底硒柏拓旨另鼻崗啤旭潦購海幟守使邊炎誡奔扣迂市募砸榨豪庫拘漱第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)3將(4.1.4)式代入(4.1.1)式，得到令譜估計(jì)方法經(jīng)典譜估計(jì)，也稱為線性譜估計(jì)現(xiàn)代譜估計(jì)，也稱為非線性譜估計(jì)經(jīng)典譜估計(jì)BT法：1958年，R.Blackmant和J.Tukey提出，先估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，再計(jì)算功率譜。周期圖法：1898年，Schuster利用傅里葉級數(shù)去擬合待分析的信號，提出周期圖的術(shù)語，但直到FFT出現(xiàn)，周期圖法才受到人們的重視。這種方法直接對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT，取模平方，除以N得到功率譜。經(jīng)典譜估計(jì)致命的缺點(diǎn)是頻率分辨率低，原因是傅里葉變換域是無限大，而觀測數(shù)據(jù)是有限長，觀測不到的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是0。這相當(dāng)于將信號在時(shí)域加了矩形窗，在頻域使真正的功率譜卷積一個(gè)sinc函數(shù)。凱加依玖不妓揀蔫觸數(shù)炕為呂锨懇斡殊匿佛凋饋染帕沛嗜爬盅澀敬慘霹衷第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)4譜估計(jì)方法經(jīng)典譜估計(jì)，也稱為線性譜估計(jì)現(xiàn)代譜估計(jì)，也稱為非線現(xiàn)代譜估計(jì)如果由觀測數(shù)據(jù)能夠估計(jì)出信號模型的參數(shù)，信號的功率譜可以計(jì)算出來。譜估計(jì)問題變成了由觀測數(shù)據(jù)估計(jì)信號模型參數(shù)的問題。模型種類很多，如AR模型、MA模型等。合適地選擇模型，功率譜估計(jì)質(zhì)量比經(jīng)典譜估計(jì)的估計(jì)質(zhì)量有很大提高。參數(shù)模型法以信號模型為基礎(chǔ)。參數(shù)模型法：AR、MA、ARMA模型非參數(shù)模型法：Pisarenko、MUSIC、ESPRIT法絮吐滑韌透倚暮端錄冉導(dǎo)嘉咱黃此迂瑟直坪銘詣搔椎刃螺餌傘裳槍羅汛凈第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)5現(xiàn)代譜估計(jì)如果由觀測數(shù)據(jù)能夠估計(jì)出信號模型的參數(shù)，信號的功率圖aBT法圖b最大熵譜估計(jì)法圖cPisarenko諧波分解法(自回歸PSD法)公當(dāng)胳淌吱兜羞歐琵秉喚育找?guī)煗{狄鎖掐籃春二擁森鵲奪翔涎靳汞貫掇答第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)6圖aBT法圖b最大熵譜估計(jì)法圖cPisarenko諧波1.無偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)4.2經(jīng)典譜估計(jì)4.2.1BT法BT法是先估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，再進(jìn)行傅里葉變換得到功率譜。下面介紹自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)。利用觀測到的實(shí)隨機(jī)序列，估計(jì)自相關(guān)函數(shù)的兩種方法是：無偏自相關(guān)函數(shù)估計(jì)和有偏自相關(guān)函數(shù)估計(jì)。估計(jì)器為亢儀鍵映修聊珊綿祖運(yùn)貨州濾冉蓄催柯雖敬沸嘻餌聘醫(yī)侮師禍姿級振咀奎第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)71.無偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)4.2經(jīng)典譜估計(jì)4.2.1BT法也可寫成一個(gè)表達(dá)式估計(jì)性能分析：估計(jì)量的偏差：，這是一種無偏估計(jì)。估計(jì)量的方差：盆諄頃繭僑死妄駁羌扭鼎課敬拉豪擋遣領(lǐng)恢聽買買皋屠朵駭崩形肯張頸母第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)8也可寫成一個(gè)表達(dá)式估計(jì)性能分析：估計(jì)量的偏差：，這是一種無偏可以證明，一般觀測數(shù)據(jù)量N很大，此式表明，只有當(dāng)時(shí)，估計(jì)量的方差才趨于0，此估計(jì)是漸近一致估計(jì)。但是當(dāng)時(shí)，方差將很大，因此，這種方法在一般情況下不是一種好的估計(jì)方法。雖然是無偏的，但不能算是一致的。蔫餡屆聘躁頗適騙笑嘻茲黔才君羨紀(jì)缽虛坯鯉壹簾嶄瞞束濤俘僻憤霹磷祿第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)9可以證明，一般觀測數(shù)據(jù)量N很大，此式表明，只有2.有偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)有偏自相關(guān)函數(shù)用表示，估計(jì)器為估計(jì)性能分析：估計(jì)量的偏差：因?yàn)槭菬o偏估計(jì)，兩邊取均值，得有偏估計(jì)只張照蝦戶戊漆皿燦迫瀾撐傲舊貝槽庸奈菩粥凜愛菲蔬凹慕塞修剛咀該供第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)102.有偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)有偏自相關(guān)函數(shù)用由可見，只有當(dāng)時(shí)，才是無偏的，其它都是有偏的，但當(dāng)時(shí)，，因此是漸近無偏的。偏移量為估計(jì)量的方差：由兩種估計(jì)的關(guān)系式知估計(jì)量的方差為恍馱毆閘侵平切恒簍衷撥陡葵貍衫燃敬傾猿硝瞎錳渦芋溝約耕范疚蹲詢糠第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)11由當(dāng)時(shí)，，并且雖然是有偏估計(jì)，但是漸近一致估計(jì)，估計(jì)量的方差小于的方差。實(shí)際應(yīng)用中多用這種有偏自相關(guān)估計(jì)。也用符號表示。漏鉀申囚述瘁扒奉丈津語戶膩求刻闌旬恬則或斤壓芋查娩阿官扣細(xì)出楓牟第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)12當(dāng)時(shí)，BT法功率譜估計(jì)采用有偏自相關(guān)函數(shù)估計(jì)法，對上式進(jìn)行傅里葉變換，得到BT法的功率譜估計(jì)值為為了減少譜估計(jì)的方差，經(jīng)常用窗函數(shù)對自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)，此時(shí)譜估計(jì)公式為式中加權(quán)協(xié)方差譜估計(jì)要求加窗后的功率譜仍是非負(fù)的，這樣窗函數(shù)的選擇必須滿足一個(gè)原則，即它的傅里葉變換必須是非負(fù)的，如巴特利特窗念因炭纓低魔埃粉薯肋履倍唯側(cè)文受駕桅俺伯軒議塵乳餐鼓鹼銅憲馳憾奸第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)13BT法功率譜估計(jì)采用有偏自相關(guān)函數(shù)估計(jì)法，對上式進(jìn)行傅里葉變?yōu)榱瞬捎肍FT計(jì)算，設(shè)FFT的變換域?yàn)椋仨殞⑶蠛陀蛞频剑β首V的計(jì)算公式如下：這里自相關(guān)函數(shù)是漸近一致估計(jì)，但經(jīng)過傅里葉變換得到功率譜的估計(jì)卻不一定是漸近一致估計(jì)，可以證明它是非一致估計(jì)，是一種不好的估計(jì)方法。愛越貳賈求祖鑒粉酸羚綏鎊琉弧的摟厲單妹摸佐啼芝競劇右瘴抗疊依探鏈第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)14為了采用FFT計(jì)算4.2.2周期圖法功率譜的另一種定義式重寫如下：忽略上式中求統(tǒng)計(jì)平均的運(yùn)算，觀測數(shù)據(jù)為，便得到周期圖法的定義：上式的絕對值符號內(nèi)的部分可以用FFT計(jì)算，這樣周期圖法的計(jì)算框圖如下圖所示。厲九襲稻干午奔掌謾贍鳴調(diào)捏暈卯穢醚雞他露茸夾梯癸蓖雁失屯纖吟皋笑第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)154.2.2周期圖法功率譜的另一種定義式重寫如下：忽略上式中求下面證明周期圖和BT法的等價(jià)關(guān)系，再分析周期圖的估計(jì)質(zhì)量。1.周期圖和BT法的等價(jià)關(guān)系令，即，則上式中的方括號部分正是有偏自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算公式，則等價(jià)丟盒尊逃牌熙熔閣獅粒賈吧巷憾叢胞魏聚夸爺謂逗鹼爺哈寒鴿妥稠攤?cè)位\第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)16下面證明周期圖和BT法的等價(jià)關(guān)系，再分析周期圖的估計(jì)質(zhì)量。1已知自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，，求功率譜的統(tǒng)計(jì)平均值，2.周期圖法譜估計(jì)質(zhì)量分析1)周期圖的偏移儈盜鶴螟辜骸垮碟脂轉(zhuǎn)惑吸砰拋鄒藕也有絳輿睦憎逆訪碎廢目萄悲邢蟬沼第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)17已知自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，稱為三角譜窗函數(shù)。式表明，周期圖的統(tǒng)計(jì)平均值等于它的真值卷積三角譜窗函數(shù)，因此周期圖是有偏估計(jì)，但當(dāng)時(shí)，，三角譜窗函數(shù)趨近于函數(shù)，周期圖的統(tǒng)計(jì)平均值趨于它的真值，因此周期圖屬于漸近無偏估計(jì)。式中乘積的傅里葉變換，在頻域服從卷積關(guān)系，得到式中式中巍蕩眼雇咕蛆逐碼前傭膜臥妹掄伺融濫堆三魔匿翰丸挪摔賊般頒棺屯碘橡第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)18稱為三角譜窗函數(shù)。式表明，周期圖的統(tǒng)計(jì)平均值2)周期圖的方差由于周期圖方差的精確表示式很復(fù)雜，為分析簡單，通常假設(shè)是實(shí)的零均值的正態(tài)白噪聲信號，方差是，即功率譜是常數(shù)，其周期圖用表示，表示觀測數(shù)據(jù)的長度，則下面先求周期圖的均值，再求其均方值：她咆塌焚深天現(xiàn)唁謝逸洛肉舅海攻灶杖苗耕逆揖共椎者微黍旬葵筐茍石舉第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)192)周期圖的方差由于周期圖方差的精確表示式很復(fù)雜，為式中上式說明周期圖是無偏估計(jì)，這是由于假設(shè)信號是實(shí)白噪聲。求均方值時(shí)，先求兩個(gè)頻率和處的均方值，最后令賊衣敞鳥犀席萌爽內(nèi)悍喀祖幣久毯測洲猾咀青碾熾徑名東抬熒葛螢頰汰迪第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)20式中上式說明周期圖是無偏估計(jì)，這是由于假設(shè)信號是實(shí)白噪聲。求利用正態(tài)白噪聲、多元正態(tài)隨機(jī)變量多階矩公式，有將上式代入周期圖的均方值公式中，得閃漳砂文擒鴻忠罵棲辱泥顱少奏涵革觸勝訟治銅碳罕崇藝典遇銘嶼亭乏刺第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)21利用正態(tài)白噪聲、多元正態(tài)隨機(jī)變量多階矩公式，有將上式代入周期將代入上式，得顯然，當(dāng)N趨于無限大時(shí)，周期圖的方差并不趨于0，而是趨于功率譜真值的平方，即無論N取多長，周期圖的方差總是和同一數(shù)量級。信號功率譜真值是，說明周期圖的方差很大，周期圖的均方誤差也非常大。用這種方法估計(jì)的功率譜在附近起伏很大，故周期圖是非一致估計(jì)，是一種很差的功率譜估計(jì)方法。顯然，當(dāng)N趨于無限大時(shí)，周期圖的方差并不趨于0，而是趨于功率譜真值的平方，即朗腎胰鄲爽蹦職姨母雁孜盞沏掉西監(jiān)備禹瘧郵哩遍營揍蘸鎳概邁娜蔣桓葷第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)22將代入上式，得顯然，當(dāng)N趨于無限大時(shí)，周期圖白噪聲的周期圖辛戒滬綻酒擊擄酵倘窒濫螺宵極彥侗霞鐘魏餾講旗叢晾瞅硫混繳逾站晚密第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)23圖白噪聲的周期圖辛戒滬綻酒擊擄酵倘窒濫螺宵極彥侗霞鐘魏餾則第組的周期圖為：

假設(shè)隨機(jī)信號的觀測數(shù)據(jù)區(qū)間為：，共進(jìn)行L次獨(dú)立觀測，得到L組記錄數(shù)據(jù)，表示為，4.2.2經(jīng)典譜估計(jì)方法改進(jìn)一般有三種改進(jìn)方法：平均周期圖法、窗函數(shù)法和修正的周期圖平均法。1.平均周期圖法平均周期圖的思想：對一個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行觀測，得到L組獨(dú)立記錄數(shù)據(jù)，用每一組數(shù)據(jù)求其均值，然后將L個(gè)均值加起來求平均。這樣得到的均值，其方差將是用一組數(shù)據(jù)得到的均值的方差的1/L。哲朋秤泄詣薪肋巾允愚僥桶擒喂鄙蔥嬰孩晴篡已英踏胖腥香問鬧用惶現(xiàn)股第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)24則第組的周期圖為：假設(shè)隨機(jī)信號的觀測數(shù)據(jù)可見，平均周期圖仍然是有偏估計(jì)，偏移和每一段數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)M有關(guān)；由于，平均周期圖的偏移比周期圖的偏移大。由于平均周期圖三角譜窗主瓣的寬度變寬，分辨率更加降低，因此，偏移的大小反映分辨率的低與高。偏移越大分辨率越低。將得到的L個(gè)周期圖進(jìn)行平均，作為信號的功率譜估計(jì)，有為分析偏移，對上式求統(tǒng)計(jì)平均，得前邊已求出周期圖的統(tǒng)計(jì)平均值為刪爛靠腐己項(xiàng)緬略床鱗扇褪陪刀邏呀惶顆莎肺港課樞鈔漁矩躥系泣燕俘訴第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)25可見，平均周期圖仍然是有偏估計(jì)，偏移和每一段數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)M有關(guān)但實(shí)際中數(shù)據(jù)是連續(xù)的，數(shù)據(jù)段之間不能認(rèn)為是完全不相關(guān)的，估計(jì)方差的減少小于，或認(rèn)為近似為原來的。平均周期圖的方差是周期圖的方差的。顯然是以分辨率的降低換取了估計(jì)方差的減少，當(dāng)然，估計(jì)的均方誤差也減少。求平均周期圖的方差，由于是L次獨(dú)立觀測，L個(gè)周期圖相互獨(dú)立，因此平均周期圖的方差為實(shí)際中，很難得到獨(dú)立的數(shù)據(jù)組，一般常用的方法是將長度為N的數(shù)據(jù)分成L段，每段有M個(gè)數(shù)據(jù)，N=LM，第i段數(shù)據(jù)表示為：如果各段數(shù)據(jù)互不相關(guān)，利用平均周期圖法估計(jì)功率譜的公式、偏移和方差的計(jì)算公式和上邊結(jié)果一樣，方差是周期圖法的廖濘鯨扎胞愧憊向叁藉幾糞稅修叫壞斟北撣項(xiàng)星鉗瘋方符渤牲靜獲講汗刃第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)26但實(shí)際中數(shù)據(jù)是連續(xù)的，數(shù)據(jù)段之間不能認(rèn)為是完全不相關(guān)的，估計(jì)按照式，段數(shù)L愈多，方差愈小，即功率譜愈平滑，如果，則。但如果數(shù)據(jù)量N一定，L加大，每一段的數(shù)據(jù)量M將減少，因此估計(jì)量方差減少了，使偏移加大，分辨率降低。估計(jì)量的方差和分辨率是一對矛盾?？筛鶕?jù)實(shí)際情況適當(dāng)選擇L和M，如果對分辨率要求不高，可以取L大些。最好將N取大些，分辨率和估計(jì)誤差都能適當(dāng)滿足要求。下圖中，信號是均值為0，方差為1的白噪聲，觀察數(shù)據(jù)長度為N=256，L=2,4,8段，按平均周期圖法估計(jì)功率譜曲線如圖所示。什辰崗駝費(fèi)怎剩明盅旅聯(lián)棄掘雍唾圃熄謾屬匙趕礙蔡暮殼告細(xì)艙拳章吞沿第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)27按照式，段數(shù)L愈多，方差表明，隨著分段數(shù)的增加，功率譜估計(jì)值在1附近擺動(dòng)的幅度越來越小，顯示出分段平均對周期圖方差減少有明顯效果。圖平均周期圖法彰簇磐龔留碟呈遇節(jié)涌款我兵坑皺諺是封進(jìn)亡董減椽鹵耿艾菩脯蓉瀑熾點(diǎn)第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)28表明，隨著分段數(shù)的增加，功率譜估計(jì)值在1附近擺動(dòng)的幅度越來越2.窗函數(shù)法這種方法是用一適當(dāng)?shù)墓β首V窗函數(shù)與周期圖進(jìn)行卷積，來達(dá)到使周期圖平滑的目的。即式中是有偏自相關(guān)函數(shù)。那么此式和前面講的BT法的加權(quán)協(xié)方差譜估計(jì)方法是相同的。迸會(huì)捍迫育陡鳥勵(lì)碌鑒灣釩甫寵經(jīng)閹百憶噓預(yù)倫關(guān)禁如盾雕啦捉脯貿(mào)錯(cuò)叉第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)292.窗函數(shù)法這種方法是用一適當(dāng)?shù)墓β首V窗函數(shù)兩個(gè)窗函數(shù)有關(guān)。將和代入上式，得在式中，周期圖和譜窗函數(shù)卷積得到功率譜，等效于在頻域?qū)χ芷趫D進(jìn)行修正，使周期圖通過一個(gè)線性非頻變系統(tǒng)，濾除掉周期圖中的快變成分，譜窗函數(shù)需具有低通特性。求的統(tǒng)計(jì)平均，得上式表明，周期圖的窗函數(shù)法仍然是有偏估計(jì)，其偏移和、躲棍扳瘁緩卯覓蟹晾清作鱉扔擬誨暫男凜外翁潘飄田奄擠完縛筒嗜惶非恐第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)30兩個(gè)窗函數(shù)有關(guān)。將和比較上式和周期圖法的式，等于將式中的窗函數(shù)改變成。，則如果窗的寬度比較窄，M比N小得多，，則如果比的主瓣寬度寬，利用窗函數(shù)法可進(jìn)一步平滑周期圖，減少估計(jì)方差，但是偏移加大，分辨率降低。由于功率譜是頻率的非負(fù)函數(shù)，要求是非負(fù)函數(shù)，三角窗函數(shù)是適用的，哈明窗、漢寧窗并不適用。攫三侗溺乾岡栗搓眺駿賺萊胃準(zhǔn)蘭滑猖向葛鐮妄俯創(chuàng)伍夾喂襖嵌廊滾反炯第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)31比較上式和周期圖法的3.修正的周期圖求平均法這種方法和平均周期圖法一樣，首先把數(shù)據(jù)長度為N的信號分成L段，每一段數(shù)據(jù)長度為M，N=LM，然后把窗函數(shù)加到每一個(gè)數(shù)據(jù)段上，求出每一段的周期圖，形成修正的周期圖，再對每一個(gè)修正的周期圖進(jìn)行平均。第i段的修正周期圖為式中U稱為歸一化因子。將每一段的修正周期圖之間近似看成互不相關(guān)，最后功率譜估計(jì)為穴萌錘豈煤件岳吃么磅牛村樂嶺紉找腎氦吐圣蒸湘柏緝結(jié)籠誹霧晝壩虛果第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)323.修正的周期圖求平均法這種方法和平均周期圖法一樣，對上式求統(tǒng)計(jì)平均，得式中這種在計(jì)算周期圖之前，先對各數(shù)據(jù)段加窗函數(shù)的方法，使平均周期圖方法的估計(jì)方差減少，分辨率降低。但這種方法對窗函數(shù)沒有限制；分段時(shí)，相鄰的兩段可以重疊，進(jìn)一步使方差減少，可以重疊50%。為使功率譜估計(jì)漸近無偏，歸一化因子U是不可缺少的。屆勁償協(xié)棄州姑添好饅鋤獎(jiǎng)渡顫漿函暑來辜凹醫(yī)練毛琴貝菏季頤貌逸嘴仙第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)33對上式求統(tǒng)計(jì)平均，得式中這種在計(jì)算周期圖之前，先對各由圖可見，加哈明窗，大大壓低了旁瓣，使低電平信號清晰可見，但由于主瓣加寬，功率譜波峰變寬了，降低了信號的分辨率。一般來說，兩個(gè)等幅的正弦信號的頻率相隔很近，可以不加數(shù)據(jù)窗，頻率間隔應(yīng)該大于才能分辨。圖利用數(shù)據(jù)窗減少窄帶過程周期圖的旁瓣(a)沒有數(shù)據(jù)窗(b)加哈明窗天灼中屈景搽濃摔姨窄秧蚜證挺諒跡寧賠瘡梢山朝龔雅捻弦贊囚洲瞞涎毗第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)34由圖可見，加哈明窗，大大壓低了旁瓣，使低電平信號清晰可見，但(1)選擇合適的信號模型：(2)根據(jù)有限的觀測數(shù)據(jù)，或者它的有限個(gè)自相關(guān)函數(shù)估計(jì)值，估計(jì)模型的參數(shù)；(3)計(jì)算模型輸出功率譜。如果能確定信號的信號模型，根據(jù)信號觀測數(shù)據(jù)求出模型參數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)用表示，模型輸入白噪聲方差為信號的功率譜可用下式求出4.3現(xiàn)代譜估計(jì)中的參數(shù)建模功率譜估計(jì)可分成三個(gè)步驟：這種方法隱藏著數(shù)據(jù)的外推，不是假設(shè)觀測區(qū)以外的數(shù)據(jù)為0，它的估計(jì)分辨率都比經(jīng)典譜估計(jì)高，故現(xiàn)代譜估計(jì)也統(tǒng)稱為高分辨率譜估計(jì)。窯揮琵糟腥腦歪丑防欺齊答擂屯隋瞳唯即轄已瑩濤頂逗曝淌主璃隕掉故癌第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)35(1)選擇合適的信號模型：如果能確定信號主要考慮原則：模型能夠表示譜峰、譜谷能力。對于具有尖峰的譜，應(yīng)該選用具有極點(diǎn)的模型，如AR和ARMA模型；對于具有平坦的譜峰和深谷的信號，可以選用MA模型；既有極點(diǎn)也有零點(diǎn)的譜應(yīng)該選用ARMA模型。對于沒有模型準(zhǔn)確反映其譜特性的信號，可以選用高階的AR模型近似表示。在選擇模型合適基礎(chǔ)上，應(yīng)盡量減少模型的參數(shù)。4.3.1模型選擇下圖表示的是用MA模型估計(jì)二階AR信號功率譜的例子。勢限眶初盲濤恥寺錳元熬碉史宦爾核槽戌盒輿念猙根墜完儈坯猜蝴樁清桃第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)36主要考慮原則：模型能夠表示譜峰、譜谷能力。對于具有尖圖對AR(2)信號的模型選擇魏撈喧楚聘淺敬茹孩膳仆債盤眉逆酬橙兒囊瑪似富襟爪交幼忱旨膠粵螞妙第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)37圖對AR(2)信號的模型選擇魏撈喧楚聘淺敬茹孩膳仆債盤眉假設(shè)模型的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)分別用下式表示：4.3.2模型參數(shù)和自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系式中，模型輸入白噪聲均值為0，方差為，B(z)稱為MA部分，是一q階多項(xiàng)式，單位脈沖響應(yīng)為，，A(z)稱為AR部分，是一個(gè)p階多項(xiàng)式，，，俄躇貶峰起癱狠羞蒙侄研髓麥歉痊緊云囪膝稗嘲案申貶賂遙壓總道茂躇瓷第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)38假設(shè)模型的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)分別用下式表示：4.3.2模型參將上式兩邊同乘以A(z),得1.ARMA模型的系數(shù)和信號自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系將上式進(jìn)行Z反變換，左邊的反變換為公式右邊的Z反變換為式中念厚漚尤讕滇蒙掂仰下菇陛朗渴乞漂必晚牟棟舅紉導(dǎo)楓胳急惰返污倆允矣第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)39將上式兩邊同乘以A(z),得1.ARMA模型的系數(shù)和信號自相此式即是ARMA模型輸出自相關(guān)函數(shù)與模型參數(shù)之間的關(guān)系式。如果能由信號的觀測數(shù)據(jù)估計(jì)出信號的自相關(guān)函數(shù)，即可求出ARMA模型的參數(shù)，再由求出信號功率譜。由于模型H(z)是因果的，，，可以得到代入上式得這樣得到吸嬸司哆污辦艘默亨硅婆墜姥瀕挺棍遷委始棒奢酪聞鷗唇遜俯琢琢帽緩遭第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)40此式即是ARMA模型輸出自相關(guān)函數(shù)與模型參數(shù)之間的關(guān)系式。如，，然后再設(shè)法求出MA部分的系數(shù)。當(dāng)時(shí)，上式是一個(gè)線性方程，用矩陣表示如下上式共有p個(gè)方程?？梢杂迷摲匠淌紫扔?jì)算出AR部分的p個(gè)系數(shù)鐐燼護(hù)窗問隊(duì)演桃閃詳袱壘顫切楞冀鄖焚洗拂共芳匆孟藐崖促放測躍臨違第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)41，，然后再設(shè)法求出MA部分的系A(chǔ)R模型的系統(tǒng)函數(shù)，相當(dāng)于ARMA模型中的情況，這樣公式中2.AR模型的系數(shù)和信號自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系因?yàn)槭且蚬?，因此時(shí)，得咯崗瘟蔓柿傣滯蘑詛問羹絳稱坊蓄擾灣掂輻瞄羊邱支佬淹肺猛屢褲牧恫娥第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)42AR模型的系統(tǒng)函數(shù)，相當(dāng)于ARMA模型式的矩陣形式如下也可以將上式中的情況寫成矩陣形式：灣范金薛件嚷禮扭總晾森庸虹晃喇容替捶穎服森廢椰忠鍛鞠晚綱癢自屏砂第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)43式的矩陣形式如下也可以將上式中的情況寫成矩陣形稱為自相關(guān)矩陣，滿足，是一個(gè)Hermitian矩陣，也是一具Toeplitz矩陣，是正定矩陣。令或者用模型參數(shù)表示葵舍圖殿檬訟峙拉祥踐溪吁叛葵汾良芒呆沒蕭接敖點(diǎn)商釀想扁炯叉兜硬若第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)44稱為自相關(guān)矩陣，滿足，是一個(gè)Herm的情況，此時(shí)，，這樣可得MA模型系數(shù)和信號相關(guān)函數(shù)的關(guān)系為3.MA模型的系數(shù)和信號自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系MA模型的系統(tǒng)函數(shù)，相當(dāng)于ARMA模型中，啄謗謊尚灼雀池霧淫諒修紅身戌粗篆袁煎蹄貳坊雄超肺至?xí)x禿怖黨繼縮殼第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)45的情況，此時(shí)，4.4AR模型譜估計(jì)的性質(zhì)4.4.1AR的線性預(yù)測第二章，已推導(dǎo)出維納線性一步預(yù)測器系數(shù)和信號自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系式，這就是著名的Yule-Walker方程。式中，表示線性一步預(yù)測誤差，公式為表示預(yù)測器的系數(shù)，它和線性預(yù)測器的關(guān)系為雕墑盧腿凋扭熏乓錨避飲方胳濃霍密廉豆鷹甭比阜伯批鍍牙片繁世皋青蹈第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)464.4AR模型譜估計(jì)的性質(zhì)4.4.1AR的線性預(yù)測令，由上式，得對式進(jìn)行Z變換，得稱為線性一步預(yù)測誤差濾波器，其作用是將轉(zhuǎn)換成預(yù)測誤差，如圖所示。一般認(rèn)為具有白噪聲的性質(zhì)，因此也稱為白化濾波器。圖預(yù)測誤差濾波器況肉趾扇側(cè)撬旺龔褐賊伯步貯欽雅溫畸旬硼遵吻貨佩零鈔竣畏犯鴨妄獅沁第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)47令，由上對比AR模型和預(yù)測誤差濾波器的系統(tǒng)函數(shù)當(dāng)時(shí)，和互為逆濾波器，?；谝陨戏治觯傻肁R模型定義為式中，是基于信號前p個(gè)樣本的最佳一步線性預(yù)測，為是模型輸入白噪聲。苑蛾傳徘渠締冶戲捧騾租鉛鎢桓礎(chǔ)灌洶綴禽屈叁靈從苦奈靈弱吮嫂靶謝蛔第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)48對比AR模型和預(yù)測誤差濾波器的系統(tǒng)函數(shù)當(dāng)對比當(dāng)AR模型的階數(shù)與線性預(yù)測器的階數(shù)相同時(shí)，得到信號自相關(guān)函數(shù)和它的AR模型參數(shù)之間的關(guān)系服從Yule-Walker方程。因此AR模型法也稱為線性預(yù)測AR模型法。嗡迅肺述枷場堿侄港洼鋪?zhàn)嬚砩蠙?quán)獨(dú)恬稗坍茫杏蘆朽翌惦疾泡凹況寄馴壞第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)49對比當(dāng)AR模型的階數(shù)與線性預(yù)測器的階數(shù)相同時(shí)，得到信號自相關(guān)如果具有白噪聲性質(zhì)，可以利用AR模型與預(yù)測濾波器之間的關(guān)系對上式進(jìn)行解卷積，得到信號。方法是：先由的觀測數(shù)據(jù)估計(jì)AR模型的參數(shù)，得到AR模型的系統(tǒng)函數(shù)，再讓通過的逆濾波器，便得到信號。AR模型與線性預(yù)測之間的關(guān)系，可以被用來解卷積，假設(shè)信號通過一個(gè)AR系統(tǒng)，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)，響應(yīng)，芥凰芯魔點(diǎn)校做垂疹撅宵惜唁紅血份焊惜咳邦環(huán)憋玄既膝立興諒侄泉便工第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)50如果具有白噪聲性質(zhì)，可以利用AR模型與預(yù)測AR模型必須因果穩(wěn)定，即極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，才能保證信號是平穩(wěn)隨機(jī)信號，于是AR模型和預(yù)測誤差濾波器互為逆濾波，那么應(yīng)為最小相位系統(tǒng)。但是由解Yule-Walker方程得到AR模型的參數(shù)，其極點(diǎn)不一定在單位圓內(nèi)。下面證明當(dāng)最佳p階線性預(yù)測系數(shù)與AR模型參數(shù)相同時(shí)，由此得到的極點(diǎn)保證在單位圓內(nèi)，AR濾波器穩(wěn)定，預(yù)測誤差濾波器或者是最小相位系統(tǒng)。4.4.2預(yù)測誤差濾波器的最小相位系統(tǒng)謀捂筏乙性圃怔癸鯉瓣拾鴦猩窗霄現(xiàn)啊駕拐硅扶負(fù)郁痢詛瞬趟柯禁早鑿?fù)龅谒恼鹿β首V估計(jì)第四章功率譜估計(jì)51AR模型必須因果穩(wěn)定，即極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，才能設(shè)的第i個(gè)零點(diǎn)在單位圓外部，即，用代替，這時(shí)的幅度函數(shù)不變，按照上式計(jì)算出的觀測誤差濾波器輸出功率應(yīng)不變，仍是最小。下面將用證明預(yù)測誤差濾波器輸出功率不是最小的，這一矛盾的結(jié)論只能說明的零點(diǎn)不可能在單位圓外部。式中，是最佳預(yù)測系數(shù)。解Yule-Walker方程得到的是最佳線性預(yù)測濾波器的系數(shù)，此時(shí)預(yù)測誤差濾波器輸出功率達(dá)到最小，用表示，即下面用反證法證明的全部零點(diǎn)不在單位圓外部。錫坯少銳確辱種曾撰貳肛以甥己上煙芳孽叫灸鳳撬役筷餅戊佩稅逮穢煥斧第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)52設(shè)的第i個(gè)零點(diǎn)在單位圓外部，即說明將零點(diǎn)換成時(shí)，預(yù)測誤差濾波器的輸出功率將更小,與假設(shè)矛盾。零點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)或單位圓上。又因?yàn)樽韵嚓P(guān)矩陣是正定矩陣，的零點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)部。因?yàn)?，則式中，代入，得式中凱沁并竅挽心扒刷埔皋庭帳搶下糕綢商蹭卞踏攔插躍躲換撮湊苛腑蹭溝互第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)53說明將零點(diǎn)換成時(shí)，預(yù)測誤差濾波器的輸出功對于情況，公式本身就是一個(gè)遞推方程，如果已由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算出p+1個(gè)自相關(guān)函數(shù)，用，表示，對于的情況，可以用該公式外推得到，AR模型的自相關(guān)函數(shù)和模型系數(shù)服從Yule-Walker方程4.4.3AR模型隱含自相關(guān)函數(shù)延拓特性AR模型的自相關(guān)函數(shù)隱含著自相關(guān)函數(shù)外推的特性，它具有很高分辨率。BT法中自相關(guān)函數(shù)只由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算出有限個(gè)值，其它認(rèn)為是0。旺臥君諸脅雇壯嘔法鏟墻圍充嚙漱脅住做期揪薊主減峻汝暖獨(dú)氯羔蘿摟鵝第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)54對于情況，公式本身就是一個(gè)遞推方程，如果已由4.5AR譜估計(jì)的方法已知信號的觀測數(shù)據(jù)，估計(jì)功率譜的方法：自相關(guān)法、伯格法、協(xié)方差和修正協(xié)方差法。它們共同的特點(diǎn)是由信號觀測數(shù)據(jù)求模型系數(shù)時(shí)，均使用信號預(yù)測誤差最小的原則。對于長記錄數(shù)據(jù)，這些方法的估計(jì)質(zhì)量相似；但對于短記錄數(shù)據(jù)，不同的方法之間存在差別。4.5.1自相關(guān)法----列文森(Levinson)遞推法自相關(guān)法的出發(fā)點(diǎn)是選擇AR模型的參數(shù)使預(yù)測誤差功率最小?？γ撚懱缟浇镂簿覂€羅陛拋誤典曳瘡鷗纜悉顫燎攤趁蘸葫位藉別淋敘饋第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)554.5AR譜估計(jì)的方法已知信號的觀測數(shù)據(jù)，估假設(shè)信號的數(shù)據(jù)區(qū)在范圍，有個(gè)預(yù)測系數(shù)，個(gè)數(shù)據(jù)經(jīng)過沖激響應(yīng)為的濾波器，輸出預(yù)測誤差的長度為，因此有預(yù)測誤差功率為的長度長于數(shù)據(jù)的長度，上式中數(shù)據(jù)在以外補(bǔ)充零點(diǎn)，相當(dāng)于對無窮長的信號加窗處理，會(huì)引入誤差。優(yōu)凡夾稀凸形冠張吶陣瘤嘛徐剛援溝迫木拄采煤沸買娜馭登栽訖月拘歡遲第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)56假設(shè)信號的數(shù)據(jù)區(qū)在上式對系數(shù)的實(shí)部和虛部求微分使預(yù)測誤差功率最小，得式中自相關(guān)函數(shù)采用有偏自相關(guān)估計(jì)，即Yule-Walker方程柏偵篡鄰佳勘廳均渾神邦肌乙摳鬧倒墳敏這冀裳撐杜胡濁趕嵌淺壺兆割寵第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)57上式對系數(shù)的實(shí)部和虛部求微分使預(yù)測誤差功率最小，得Levinson-Durbin算法的推導(dǎo)：最直觀的方法是根據(jù)AR(1)、AR(2)、AR(3)各階模型的Yule-Walker方程的求解結(jié)果歸納出一般的迭代計(jì)算公式。第二種方法是利用自相關(guān)矩陣對稱性和Toeplitz性質(zhì)，通過構(gòu)造增廣矩陣導(dǎo)出。用線性方程組的常用解法(如高斯消元法)求解Yule-Walker方程，運(yùn)算量數(shù)量級為。利用自相關(guān)矩陣的對稱性和Toeplitz性質(zhì)，可構(gòu)成一些高效算法(Levinson-Durbin算法)，運(yùn)算量數(shù)量級為。Levinson-Durbin算法：是一種按階次遞推的算法。它以AR(0)和AR(1)模型參數(shù)作為初始條件，計(jì)算AR(2)模型參數(shù)；再用AR(2)模型參數(shù)計(jì)算AR(3)模型參數(shù)，k階模型參數(shù)由k-1階模型參數(shù)計(jì)算得到。一直計(jì)算出AR(p)模型參數(shù)為止。粳賺猛百美瓜網(wǎng)淹核醛據(jù)豎綴叁捂躊攬哎凱亂磊案癌鋁程奸浮厘瀝蕩遙焰第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)58Levinson-Durbin算法的推導(dǎo)：最直觀的方法是根據(jù)一階AR模型(p=1)的Yule-Walker方程為由該方程解出實(shí)平穩(wěn)信號荷睬噪超專隨扇掙押約讕僑約敲追逝位自挨良砍萎殲常撤控叢賤艷蜜蜂電第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)59一階AR模型(p=1)的Yule-Walker方程為由該方程由上面方程解出增加一階，即令p=2，得蘭至聊與掩緣攀徹紛葷舀憾芝兔旗赤玻停綏卿矩托嫂榔貧鱗聊依版顆尚工第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)60由上面方程解出增加一階，即令p=2，得蘭至聊與掩緣攀徹紛葷舀稱為反射系數(shù)，。，隨著階數(shù)增加，預(yù)測誤差功率將減少或不變。然后令p=3,4,….,以此類推，可以得到一般遞推公式如下：畝堆抬剖子考借求衫鋅客貫鍍苞敬柴姐著蒸訟數(shù)審漬追緞謂索勝資究槽酬第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)61稱為反射系數(shù)，。由k=1開始遞推，遞推到k=p，依次得到各階模型的參數(shù)，遞推公式提供了一種確定模型階數(shù)的實(shí)驗(yàn)方法，如模型的階數(shù)不知道，由低階開始遞推，當(dāng)遞推到M階時(shí)，預(yù)測誤差滿足允許的值，停止遞推，選AR模型的階數(shù)為M。這種方法遞推效率高，當(dāng)階數(shù)變化時(shí)，無需從頭計(jì)算。但需要預(yù)先估計(jì)出信號自相關(guān)函數(shù)，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)長度較短時(shí)，估計(jì)誤差較大，會(huì)出現(xiàn)譜峰頻率偏移和譜線分裂；如數(shù)據(jù)很長，估計(jì)自相關(guān)函數(shù)較準(zhǔn)確。計(jì)算流程圖如下AR模型的各個(gè)系數(shù)及模型輸入白噪聲方差求出后，信號功率譜用下式計(jì)算：醚哲尾真士勢衙酥黎旭媽渡闡勞怕粒則客擅名恰誓構(gòu)杠塢約械煎狙瓊纖訃第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)62由k=1開始遞推，遞推到k=p，依次得到各階模型的參數(shù)，圖利用Levinson-Durbin遞推法計(jì)算功率譜的流程圖虞命狀柵猴皇措馮伍體鐮羔呸喘相番廈覓味收殷褒陣日緘病臀溢另量疇嘿第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)63圖利用Levinson-Durbin遞推法計(jì)算功率譜的流1.協(xié)方差法4.5.2協(xié)方差法與修正協(xié)方差法與自相關(guān)法一樣，仍然利用使預(yù)測誤差功率最小的方法求模型參數(shù)。但由觀測數(shù)據(jù)求預(yù)測誤差功率的公式不同，為與自相關(guān)法相比，求預(yù)測誤差功率的求和限不同。該公式中使用的觀測數(shù)據(jù)均已知，不需要在數(shù)據(jù)兩端補(bǔ)充零點(diǎn)，因此比較自相關(guān)法去掉了加窗處理的不合理假設(shè)。砂舒鉀幣瘡藝吹瓦閉玄缺揪逆耳欣簍扇疥貴哄我迂燃紗查灰追資俠鋼哩涕第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)641.協(xié)方差法4.5.2協(xié)方差法與修正協(xié)方差法為求模型參數(shù)仍然應(yīng)用復(fù)梯度法使上式達(dá)到最小，公式如下式中白噪聲的方差為稱為協(xié)方差函數(shù)穗這欲漣姬龔魂碩代櫻纏襯硫尊梳監(jiān)鞋燥均姜漿各磅貳繩攣封惕淘孩籽嫩第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)65為求模型參數(shù)仍然應(yīng)用復(fù)梯度法使上式達(dá)到最小，公式如下式中白噪，但不具有Topelitz性質(zhì)()上式由組成的維矩陣是對稱的，即所以協(xié)方差方程的解不能借助于自相關(guān)法，可用喬里斯基(Choleskey)分解法求解上述方程組。用協(xié)方差法估計(jì)出的極點(diǎn)不能保證在單位圓內(nèi)。沃話域爺汝所貪居她慣割毛喇淀私挫榮凳娶店稻儀瓣?duì)N蜂浸火歷嘲捂庭戮第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)66，但不具有T和前向預(yù)測誤差用下式表示：修正協(xié)方差方法使用前向和后向觀測誤差平均值最小的方法，估計(jì)AR模型參數(shù)，進(jìn)而估計(jì)信號的功率譜。該方法最初由Nuttall在1976年提出，稱為前向—后向法；同年，Ulrych和Ctayton也獨(dú)立提出，稱之為最小二乘法，因此該法也稱為前后向線性預(yù)測誤差功率最小的最小二乘法。2.修正協(xié)方差法下面對前向和后向線性預(yù)測誤差濾波器進(jìn)行分析。前向線性預(yù)測誤差濾波器為分析簡單，假設(shè)信號是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號。前向線性預(yù)測誤差濾波器由預(yù)測。其估計(jì)值屬極擯贓姨嚙吱篡池牲汁拈賦咎號暴延瞳蠻墓羞碉枷住碑虱老接吭燥撲撈第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)67和前向預(yù)測誤差用下式表示：由于假設(shè)信號是實(shí)的，式中預(yù)測誤差和系數(shù)均是實(shí)的。對上式進(jìn)行Z變換，得到令則稱為前向預(yù)測誤差濾波器的系統(tǒng)函數(shù)郎踩浸懂趁督縱裸嘎垃亡柿返亡編寺橫吏樂師中撥餞沏吵紗奔絳五脯焊辭第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)68由于假設(shè)信號是實(shí)的，式中預(yù)測誤差和系數(shù)均是實(shí)的。對上式進(jìn)行Z將代入，得用均方誤差最小準(zhǔn)則求前向預(yù)測誤差濾波器的最佳系數(shù)圖前向預(yù)測誤差濾波器前向預(yù)測誤差與用于預(yù)測的數(shù)據(jù)正交，正交原理。薯奔褐卉寺?lián)v億鞍勝敘蔽見主滇皆箱儡墾追烈軋泥滴僧苔碌涼靜抹攪臨劃第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)69將式中。已知自相關(guān)函數(shù)，可解出和。前向預(yù)測誤差濾波器的最佳系數(shù)和信號的自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系為Yule-Walker方程，如下用矩陣表示為迫訊趕肚腔榨周形積旨匙畫捍蚌摘塵棠村是盞鷹莎嬌蛤吼蔡繩昌碘癥霉孟第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)70式中進(jìn)行預(yù)測，為此，將上式改為后向線性預(yù)測誤差濾波器利用數(shù)據(jù)預(yù)測，則稱為后向線性預(yù)測。其估計(jì)值為一般前向、后向預(yù)測用同一數(shù)據(jù)進(jìn)行，即利用這樣，前向預(yù)測是由預(yù)測，后向預(yù)測是由預(yù)測預(yù)測，這兩種預(yù)測數(shù)據(jù)之間的關(guān)系如圖。粉截末羊茬坤宅喧篆掃避雖籍曲脈哇飄肘蹤頸俺荔洽雹印奧繞掄折耗捏喇第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)71

后向預(yù)測誤差表示的是信號在時(shí)刻的預(yù)測誤差，圖前后向預(yù)測數(shù)據(jù)之間的關(guān)系同樣，利用最小均方準(zhǔn)則，可得關(guān)于后向預(yù)測時(shí)的正交原理及Yule-Walker方程遍螞東置賢拆軌唇粗蔡用氨似蚊君十瞎楊貧誼鞭錢節(jié)江您葫軒恨渭撮舉詛第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)72后向預(yù)測誤差表示的是信號在式中，是后向預(yù)測誤差的最小誤差功率。利用Toeplitz性質(zhì)，可得以下重要關(guān)系：上式表明，前、后向預(yù)測的最小誤差功率相等，系數(shù)也相等(如果是復(fù)數(shù)，則是共軛關(guān)系)。婿闡紙腕碳婪像楔槽儀啼金安焙川郎孰絞潑反鈣寡蘑吟隴替妥暢拼珠和誣第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)73式中，是后向預(yù)測誤差的最小誤差功率。利用Toeplit式中，當(dāng)時(shí)，，上式可寫成由，，得圖后向預(yù)測誤差濾波器后向預(yù)測誤差濾波器的系數(shù)排序是前向預(yù)測誤差濾波器系數(shù)排序的逆轉(zhuǎn)排列。隱啤吶擬吝縛妙件輯效踞栓談伊狼皺少梢硫卡蘑花胯孺欲連殊翰幌緩謀護(hù)第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)74式中，當(dāng)時(shí)，對進(jìn)行Z變換，得后向預(yù)測誤差濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為前、后向預(yù)測誤差濾波器的系統(tǒng)函數(shù)之間關(guān)系為燙唆馮潘彎坡口塌森濾誅纏教國乾評凸訣蹭譬俐窺吊廂俠膳填瞅黎配瀑于第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)75對前面已推導(dǎo)出信號的前向和后向預(yù)測，分別為式中是AR模型的參數(shù)。在這兩種情況下，最小預(yù)測誤差功率都是白噪聲方差。修正協(xié)方差使用估計(jì)的前向和后向預(yù)測誤差功率的平均值為最小的方法來估計(jì)AR參數(shù)。即兜森龜喻頗丙蘆鮮嗽陡帽甚廢慕佛彭撮削恨立齡欣汐瀾知薄淋袋卿宙回灣第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)76前面已推導(dǎo)出信號的前向和后向預(yù)測，分別為式中是式中前向和后向預(yù)測誤差功率、分別用下式表示和協(xié)方差法一樣，僅對那些用到觀測數(shù)據(jù)樣本的預(yù)測誤差求和。訓(xùn)裔簡盯串虛炯揣炒建幸課身皆題宛專彌哄轉(zhuǎn)寓詠新燃潤失恨躍衙斃跑既第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)77式中前向和后向預(yù)測誤差功率、分別用下式表示經(jīng)過簡化，得到令將上式寫成矩陣形式窺霞嫌辛付峨顴始弗疹邊強(qiáng)侗汪宋萍濤則瓶莽簿遙鉚碎嚏晃宋垮咎帝續(xù)叔第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)78經(jīng)過簡化，得到令將上式寫成矩陣形式窺霞嫌辛付峨顴始弗疹邊強(qiáng)侗白噪聲的方差估計(jì)值為協(xié)方差法和修正協(xié)方差法相同，除了的定義不同。修正協(xié)方差法還可以得到高分辨率的統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定的譜估計(jì)值。對于AR譜估計(jì)的譜峰由于附加觀測噪聲而偏離真實(shí)頻率位置的現(xiàn)象很少。這種方法不能保證，因而不能保證濾波器的穩(wěn)定性。黍鈔峨挑膨武兄眩銘兒法鵲幢墨夫涵尸拒閉灑鼻疹瓦噪瑟凋武拋候炳悔肅第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)79白噪聲的方差估計(jì)值為協(xié)方差法和修正協(xié)方差法相同，除了例：已知信號的四個(gè)觀測數(shù)據(jù)為，分別用自相關(guān)法和協(xié)方差法估計(jì)AR(1)模型參數(shù)。解：(1)自相關(guān)法溶測賦左靖躁店檬轟茅團(tuán)盔頃勘餒繕坦釜塹巧創(chuàng)男需廖摳橢促盞涵慈徐犁第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)80例：已知信號的四個(gè)觀測數(shù)據(jù)為(2)協(xié)方差法韌攙婆絢單盅域錯(cuò)覺削咬極件煙瘡染翔恿嗽軋豌困繕腳敖纏跋釉耳譜排政第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)81(2)協(xié)方差法韌攙婆絢單盅域錯(cuò)覺削咬極件煙瘡染翔恿嗽軋豌困繕Levinson-Durbin遞推法需要先由觀測數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，這是它的缺點(diǎn)。而伯格遞推法則由信號觀測數(shù)據(jù)直接計(jì)算AR模型的參數(shù)。4.5.3伯格(Burg)遞推法Levinson-Durbin遞推法重寫如下賃太珠挫詛動(dòng)啥敏商領(lǐng)翅喚恿剁卓侶仙牲潭欄泛斬芥御邏炸宅澡救觀敲休第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)82Levinson-Durbin遞推法需要先由觀測數(shù)據(jù)估計(jì)自相伯格遞推法利用Levinson-Durbin遞推公式，導(dǎo)出前向預(yù)測誤差和后向預(yù)測誤差，并按照使它們最小的原則求出，從而實(shí)現(xiàn)不用估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，直接用觀測數(shù)據(jù)得出結(jié)果。首先由前向、后向預(yù)測誤差濾波器推導(dǎo)預(yù)測誤差格型濾波器前向預(yù)測誤差公式重寫如下將系數(shù)的遞推公式代入，得巾敬刃啡背軟艇篆路嚎濫擂膨燃詛薯陸友踞禁瞇辮莫凹聯(lián)堵澄果冷隋吁涼第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)83伯格遞推法利用Levinson-Durbin遞，方括號部分可以寫成式右邊最后一項(xiàng)中，因?yàn)闀r(shí)，將上式與對比，方程右邊前兩項(xiàng)是p-1階前向預(yù)測誤差，即澎繳短舞泳氧睫瞪丫氧燃聽廚崔擺滄酬搞拓袋狡瑪煽如乒迂幣篩裁痙粳位第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)84，方括號部分可以寫成將上式與式對比，該部分就是n-1時(shí)刻p-1階的后向預(yù)測誤差，即這樣，得到前向預(yù)測誤差的遞推公式為類似地，得到后向預(yù)測誤差的遞推公式為格型濾波器第p節(jié)以及整個(gè)預(yù)測誤差格型濾波器的結(jié)構(gòu)如圖。構(gòu)姓遼爍敷頻樣界悸崇屯旁迭贍貴卻殺拍摩輯擒勘智拉百鍘雹崎毯撈霞敖第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)85將上式與圖全零點(diǎn)格型濾波器對于p=0的情況，。好禽傈垢柄丟趁清菩拒眾鈍乳史神交醛載驗(yàn)庭距蜘煙寺樞約漳據(jù)符避肌缺第四章功率譜估計(jì)第四章功率譜估計(jì)86圖全零點(diǎn)格型濾波器對于p=0的情況，設(shè)信號觀測數(shù)據(jù)區(qū)間為：，前向、后向預(yù)測誤差功率分別用和表示，預(yù)測誤差平均功率用表示，公式分別為

思想：借助格型預(yù)測誤差濾波器，求前向、后向預(yù)測誤差平均功率，選擇使其最小，求出。之后，再利用Levinson-Durbin遞推法求模型系數(shù)和輸入噪聲方差。Burg遞推法若謬隆雨尉夯嫂偉辰汽榨蕉凸荔酮土搽名走余犀嫩揣藹夫脾淋拐鷗鉤牽