2013佛山二模（理數(shù)）

2013年江門佛山兩市普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理科）2013.4本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)的實部為，且，則復(fù)數(shù)的虛部是A．B．C．D．3．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則數(shù)列的公差等于A．1 B．3C．5 D．64.為了解一片速生林的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm）．根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖（如右），那么在這100株樹木中，底部周長小于110cm的株數(shù)是90110周長(cm)頻率/組距1001201300.010.0290110周長(cm)頻率/組距1001201300.010.020.0480第4題圖C．70D．805．函數(shù)，,則A．為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減；B．為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增；C．為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增；D．為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減.6．下列命題中假命題是A．若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行；B．垂直于同一條直線的兩條直線相互垂直；C．若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；D．若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的相交直線分別平行，那么這兩個平面相互平行．7．直線與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點有A．個B.個C.個D.無數(shù)個8．將邊長為的等邊三角形沿軸滾動，某時刻與坐標(biāo)原點重合（如圖），設(shè)頂點的軌跡方程是，關(guān)于函數(shù)的有下列說法：OyxPBAOyxPBA第8題圖②是周期函數(shù)；③；④.其中正確的說法個數(shù)為:A.0B.C.D.二、填空題：本大共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．(一)必做題(9～13題)9．命題“R，0”的否定是.10.已知向量滿足,,向量與的夾角為.11．若二項式展開式中的系數(shù)等于的系數(shù)的倍，則等于.12．已知圓經(jīng)過點和,且圓心在直線上,則圓的方程為.第13題圖13．將集合{|且}中的元素按上小下大，第13題圖左小右大的順序排成如圖的三角形數(shù)表，將數(shù)表中位于第行第列的數(shù)記為（）,則=.ks5u(二)選做題(14～15題，考生只能從中選做一題)14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中，設(shè)曲線與的交點分別為，則線段的垂直平分線的極坐標(biāo)方程為．第15題圖15．（幾何證明選講）如圖，圓的直徑，直線與圓O第15題圖相切于點，于，若，設(shè)，則______．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以為始邊，角的終邊與單位圓的交點在第一象限，已知.（1）若,求的值；（2）若點橫坐標(biāo)為,求.17．（本題滿分12分）市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就讀的小學(xué)在丙地,三地之間的道路情況如圖所示.假設(shè)工作日不走其它道路,只在圖示的道路中往返,每次在路口選擇道路是隨機的.同一條道路去程與回程是否堵車相互獨立.假設(shè)李生早上需要先開車送小孩去丙地小學(xué)，再返回經(jīng)甲地趕去乙地上班.假設(shè)道路、、上下班時間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是,道路、上下班時間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，只要遇到擁堵上學(xué)和上班的都會遲到.乙甲乙甲丙第17題圖（2）李生是否有七成把握能夠按時上班？（3）設(shè)表示李生下班時從單位乙到達(dá)小學(xué)丙遇到擁堵的次數(shù)，求的均值.18．（本題滿分14分）如圖甲，設(shè)正方形的邊長為,點分別在上,并且滿足,如圖乙,將直角梯形沿折到的位置,使點在平面上的射影恰好在上．（1）證明：平面；圖甲圖乙第18題圖（2）求平面與平面所成二面角的余弦值．圖甲圖乙第18題圖19．（本題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動圓過定點,且與定直線相切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）中心在的橢圓的一個焦點為,直線過點.若坐標(biāo)原點關(guān)于直線的對稱點在曲線上，且直線與橢圓有公共點,求橢圓的長軸長取得最小值時的橢圓方程.20．（本題滿分14分）某水域一艘裝載濃硫酸的貨船發(fā)生側(cè)翻,導(dǎo)致濃硫酸泄漏,對河水造成了污染.為減少對環(huán)境的影響，環(huán)保部門迅速反應(yīng),及時向污染河道投入固體堿，個單位的固體堿在水中逐漸溶化,水中的堿濃度與時間(小時)的關(guān)系可近似地表示為：,只有當(dāng)污染河道水中堿的濃度不低于時,才能對污染產(chǎn)生有效的抑制作用.（1）如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效的抑制作用的時間有多長？（2）第一次投放1單位固體堿后,當(dāng)污染河道水中的堿濃度減少到時,馬上再投放1個單位的固體堿,設(shè)第二次投放后水中堿濃度為,求的函數(shù)式及水中堿濃度的最大值.（此時水中堿濃度為兩次投放的濃度的累加）21．（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，…，的導(dǎo)函數(shù)，.（1）求；（2）用n表示；（3）設(shè)，是否存在使最大？證明你的結(jié)論.2013年江門佛山兩市普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理科）評分參考一、填空題CDBCABBC二、填空題9．R，010．11．12．13．14．（或）15．三、解答題16．⑴解法1、由題可知：，，……1分，……2分，得……3分∴，……4分解法2、由題可知：，……1分，……2分∵，∴……3分，得……4分解法3、設(shè)，（列關(guān)于x、y的方程組2分，解方程組求得x、y的值1分，求正切1分）⑵解法1、由⑴，記，∴，（每式1分）……6分∵，得（列式計算各1分）……8分（列式計算各1分）……10分∴（列式計算各1分）……12分解法2、由題意得：的直線方程為……6分則即（列式計算各1分）……8分則點到直線的距離為（列式計算各1分）……10分又，∴（每式1分）…12分解法3、即（每式1分）ks5u…6分即：，，……7分，，……9分（模長、角的余弦各1分）∴……10分則（列式計算各1分）……12分解法4、根據(jù)坐標(biāo)的幾何意義求面積（求B點的坐標(biāo)2分，求三角形邊長2分，求某個內(nèi)角的余弦與正弦各1分，面積表達(dá)式1分，結(jié)果1分）17．⑴因為道路D、E上班時間往返出現(xiàn)擁堵的概率分別是和，因此從甲到丙遇到擁堵的概率是（列式計算各1分）……2分所以李生小孩能夠按時到校的概率是；……3分⑵甲到丙沒有遇到擁堵的概率是，……4分丙到甲沒有遇到擁堵的概率也是，ks5u…5分甲到乙遇到擁堵的概率是，……6分甲到乙沒有遇到擁堵的概率是，李生上班途中均沒有遇到擁堵的概率是，所以李生沒有八成把握能夠按時上班（計算結(jié)論各1分）……8分⑶依題意可以取.……9分=,=,=,…11分012分布列是：.……12分18．⑴證明：在圖甲中，易知,從而在圖乙中有，……1分因為平面，平面，所以平面（條件2分）……4分⑵解法1、如圖,在圖乙中作，垂足為，連接，由于平面，則，……5分所以平面，則，……6分所以平面與平面所成二面角的平面角，……8分圖甲中有，又，則三點共線，……9分設(shè)的中點為，則，易證，所以，，；……11分（三角形全等1分）又由，得，……12分于是，，……13分圖甲圖乙在中，，即所求二面角的余弦值為．……14分圖甲圖乙圖丙圖丙解法2、如圖,在圖乙中作，垂足為，連接，由于平面，則，……5分所以平面，則，圖甲中有，又，則三點共線，……6分設(shè)的中點為，則，易證，所以，則；又由，得，……7分于是，，在中，……8分作交于點，則，以點為原點，分別以所在直線為軸，建立如圖丙所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，則（坐標(biāo)系、坐標(biāo)、向量各1分）……11分顯然，是平面的一個法向量，……12分設(shè)是平面的一個法向量，則，即，不妨取，則，……13分設(shè)平面與平面所成二面角為，可以看出，為銳角，所以，，所以，平面與平面所成二面角的余弦值為．……14分19．⑴由題可知，圓心到定點的距離與到定直線的距離相等……2分由拋物線定義知,的軌跡是以為焦點,直線為準(zhǔn)線的拋物線……4分（確定“曲線是拋物線”1分，說明拋物線特征1分）所以動圓圓心的軌跡的方程為.……5分⑵解法1、設(shè)，則中點為，因為兩點關(guān)于直線對稱，所以，即，解之得（中點1分，方程組2分，化簡1分）……8分將其代入拋物線方程，得：，所以.……9分聯(lián)立，消去，得：……11分由，得，……12分注意到，即，所以，即，……13分因此，橢圓長軸長的最小值為.此時橢圓的方程為.……14分解法2、設(shè)，因為兩點關(guān)于直線對稱，則，……6分即，解之得……7分即,根據(jù)對稱性,不妨設(shè)點在第四象限，且直線與拋物線交于.則,于是直線方程為（斜率1分，方程1分）……9分聯(lián)立，消去，得：……11分由，得，……12分注意到，即，所以，即，……13分因此，橢圓長軸長的最小值為.此時橢圓的方程為.……14分ks5u20．⑴由題意知或……2分解得或，即……3分能夠維持有效的抑制作用的時間：小時.……4分⑵由⑴知，時第二次投入1單位固體堿，顯然的定義域為……5分當(dāng)時，第一次投放1單位固體堿還有殘留,故=+=;……6分當(dāng)時，第一次投放1單位固體堿已無殘留,故當(dāng)時，=;……7分當(dāng)時，;……8分所以……9分當(dāng)時，==;當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”,即（函數(shù)值與自變量值各1分）……11分當(dāng)時，第一次投放1單位固體堿已無殘留，當(dāng)時，，所以為增函數(shù);當(dāng)時，為減函數(shù);故=，……12分又,所以當(dāng)時，水中堿濃度的最大值為.……13分答：第一次投放1單位固體堿能夠維持有效的抑制作用的時間為3小時；第一次投放小時后