微積分上期末復習題

一,填空(每小題3分)

cos

2

xcos

3

xx2

x

0A x

0在x

0處連續(xù),則常數(shù)A

1,設f

(x)

,52x0(由f

(

x)在x

0處連續(xù))A

f

(0)

lim

f

(

x)

微積分復習題

cos

2

x

cos

3

xx2

x

0A x

0解:

f

(

x)

2

xx2x0

x0

x0lim

f

(x)

lim

cos

2

xcos

3

x

由法則lim

2sin

2

x3sin

3

x2

2x0

5

由法則lim

4cos

2

x

9cos

3

x0

00hf

(

x

h)

f

(

x

3hh02,若f

'(x

)

3,則lim解:h

hh0

h0lim

f

(

x0h)

f

(

x0

3h)

lim

[

f

(

x0

h)

f

(

x0

)]

f

(

x0

)

f

(

x0

3h)hh0

h

h0

h

h0

lim

[

f

(

x0

h)

f(

x0

)]

f(

x0

)

f

(

x0

3h)

lim

f

(

x0

h)

f

(

x0

)

lim

f

(

x0

)

f

(

x0

3h)0 h3hh0

h0

f

'(

x

)

lim

f

(

x0

3h)

f

(

x0

)

3

3lim

f

(

x0

3h)

f

(

x0

)

12

3

3

3

12解:

y

ln(3t

1),

t

sin2

x,3t

13sin2

x1

3sin2

x1

3sin2

x1dy

f

'(t)dt

3

dt

3

f'(

x)dx

3

2sin

x

cos

xdx

3sin2

x

dxdy

3sin2

x

dx3sin2

x13sin2

x13,

設y

ln(3t

1),

t

sin2

x,則dy

dy

3sin2

x

dx解

:

y

x

arctan

x的定義域為R

沒有鉛直漸近線lim

(

x

a

lim

(

x

arctanx)

x

x沒有水平漸近線limx(

xarctan

x

)x

1xlim

x

arctan

x

x

π

22

在右邊的斜漸近線為y=x+lim(

xarctan

x

)xx

12xlim

x

arctan

x

x

π

2在左邊的斜漸近線為y=x-4,y

x

arctan

x的漸近線為

y

x

2

y

x

221cos

x

2tan

x5,

解:令u

2

tan

x

21cos

xdxdu

211ucos

x

2tan

xdu

2

u

c

2 2

tan

x

cdx

dx

2

2

tan

x

c

2

sinxx06,

lim(1

3

x)sin

x

1

3

x

2

sin

x

6

x

sin

x3

x

2

x0x0lim

elim

(1

3x)x0

e6解:lim(1

3x)

e67,

y

x

ln

x,則

dy

1

1dx

x解:

y

x

ln

x,

dy

1

1dx

x502sin

xdx

10,

2542000sin

x

d

cos

x222sin

xdx

sin

x

sin

xdx

解:

222

40022

1

cos

x

d

cos

x

1

2cos

x

cos

x

d

cos

x3

5150

cos

x

2

cos3

x

1

cos5

x

2

8

5

15

3

15另解:

I

4

2

I

8

8152x

5

2sin

x

3x

2

x12,

limx22x

5x

5sin

2sin

2x2

5sin

2

lim

x

lim

xx

3

x

22x

x

3

x

2x

3

x

2

x

x

lim

x

2

x23解:lim1x

1(x

1),則n階導數(shù)y(n)13,設y

1

y(

n)

(1)n

n!x

11

x

1n1解:

y

y

ln

x

ln

x,

0

x

1

ln

x,

x

1解:x

x

1

,

0

x

1

1

,x

1y

'

不存在,x

1

x2x2

10,

0

x

1x

1

1

0,

x

1y

''

不存在,14,函數(shù)y

ln

x

的上凸區(qū)間是(1,

)

下凸區(qū)間是

(0,1)

,拐點是

(1,

0)

,11x

(

x2

sin5

x)dx

15,定積分x x

dx111252111x

(

x

sin

x)dx

x

sin5

xdx

解:x

dx

1123002

x

x

dx

21414偶函數(shù)奇函數(shù)二,選擇題(3分/題)1

xx33x

133x

1f

(x)與g(x)f

(x)與g(x)為同f

(x)是g(x)f

(x)是g(x)1

x1

x1

xlim

f

(

x)

lim

limg(

x)x

11

x

1

1

x

(1

x)(1

x)(1

x

x2

)

3

lim1

x

(1

x)21,設f

(x)

1

x

,g(x)

1

3

x

,則當x

0時B

)x2

xx

(

x2

1),則下列結論錯誤的是(2,設f

(x)x

1,x

0,x

1為間斷點x

1是x

0是可去間斷點,x

1是可去間斷點,xx

x

xx2x

0x

0x

0x

0

x

0lim

f

(

x)

limx

0

x

0

limx

(

x2

1)x

x

1x

x

1

(1

x)lim

x

1

lim

x

lim

1

lim

xx

x

0

(1

x)

x

lim

1Cx

x00h0f

(

x0

)

f

(

x0

2h)6h,且lim3,設f

(x)在x

x

處可導(

A)

9dx(B)

18dx(C

)

3dx(D)

2dxh0h00lim

f

(

x0

)

f

(

x0

2h)

lim

f

(

x0

2h)

f

(

x0

)6h

6h

1

lim

f

(

x0

2h)

f

(

x0

)

1

f

'(

x

)

3

3

h02h

3

3,則dy

A)f

'(

x0

)

9

dy

9dx

x

x0xx0(

A)

x

0是f

(

x)的極小值;

(B)

x

0是f

(

x)的極大值;(C)

(0,

f

(0))為曲線y

f

(

x)的拐點;(D)以上都不是.4,

設f

(

x)在x

0處二階可導,且lim

f

'(

x)

1,則(

Ax

xx0lim

f

'(

x)

1

,

f

'(

x)

1

o(

x)

f

'(

x)

x

x

o(

x)在距離x

0充分近的范圍內(nèi)f

'(x)的符號與x的符號一致存在在x

0的左鄰域使f

'(x)

0

f

(x)在此鄰域內(nèi)單降存在在x

0的右鄰域使f

'(x)

0

f

(x)在此鄰域內(nèi)單增故x

0是f

(x)的一個極小值.001

f

'(

x

)x

xx

x0=-

,則25,設f

(x)在x

x

處二階可導,且limB(

A)

x

x0是f

(

x)的極小值;

(B)

x

x0是f

(

x)的極大值;(C)

(

x0

,

f

(

x0

))為曲線y

f

(

x)的拐點;

(D)以上都不是.00f

'(

x)

1

(

x

x

)

(

x

x2

0)

o((

x

x

))02

200f

'(

x)

1

,

f

'(

x)

1lim

o(

x

x

)

x

x0x

xx

x0在距離x

x0充分近的范圍內(nèi)f存在在x

x0的左鄰域使f

'(

x)

0

f

(

x)在此鄰域內(nèi)單增存在在x

x0的右鄰域使f

'(

x)

0

f

(

x)在此鄰域內(nèi)單降故x

0是f

(x)的一個極大值.(0x(

A)F

(

x)

f

(t

)dt;0f

(t)dt;xT(B)

F

(

x)

0x(C

)

F

(

x)

f

(T

t

)dt;f

(t

)dt;xT(D)

F

(

x)

x6,設f

(x)為周期為T的連續(xù)函數(shù),則下列函數(shù)為周期函數(shù)的是D0TxTf

(t

)dt

u

t

xf

(u

x)du

F

(

x)

x00TTF

(

x

T

)

f

(u

x

T

)du

f

(u

x)du

F

(

x)F

(

x)

xxTf

(t)dt是周期函數(shù).

1x

1x1

2e1

e,則x

0是f

(x)的7,設f

(x)(A)可去間斷點;(B)跳躍間斷點;(C)

無窮間斷點;

(D)振蕩間斷點.B

1x1x

x

t

x0

x01

2e1

2etlim

f

(

x)

lim

21

et1

e令t

1

lim

1x1x

x

t

x0

x01

2e1

2etlim

f

(

x)

lim

11

et1

e令t

1

limx

0為f

(x)的跳躍間斷點.(

A)

f

'(

x)dx

f

(

x)(B)

df

(

x)

f

(

x)(C

)d

f

(

x)dx

f

(

x)(D)

f

(

x)dx

'

f

(

x)8,下列等式正確的是D

)

f

'(

x)dx

df

(

x)

f

(

x)

Cd

f

(

x)dx

f

(

x)dx

f

(

x)dx

'

f

(

x)xeln

x

dx(

A)x

ln

xe

1

dx(B)dxx(ln

x

)2e(C

)

dx

x

ln

xe(D)9,下列廣義積分收斂的是(C)1

dx

x(ln

x

)2

du

u2e令ln

x

u

收斂三,求極限(6分/題)x

1

)x1x

1 ln

x1,lim(xtx1t

0x

1 ln

x解:lim(

)

令tt

2t0t0t0

t

2(t

1)

ln(1

t)

t(t

1)t

t

lim

lim

1t

ln(1

t)t

t等價代換lim

tan

x

1xx02,lim

ln

x

cot

xtan

x

1x

tan

x

ln

xx0

x0x0

lim

e解:lim對數(shù)恒等式limelim

sin2

xcot

xlim

ln

x1lim

x

=ex0x22e

t

dtx013,lim

cos

x

1cos

x2

x2e

t

dtx0

x0

cos2

x法則

lim

e

(

sin

x)解:lim2x

x

2ex2

cos2

xx02

x0x0sin

x

1

lim

e

cos2

x

lim

sin

x

1=

lim

ex03,lim(sin

x)xln

sin

x

1x解:lim(sin

x)x

對數(shù)恒等式

limex

lnsin

x

lim

ex0

x0

x0limcos

xlim

sin

xx2

cos

xsin

xln

sin

x

1xx2x0

1

ex0

e0

1lim=ex0法則esin3

xx05,lim

x

sin

xsin3

xx0x0

3sin2

x

cos

x1

cos

x法則lim解:lim

x

sin

xlim161

x23sin2

xx03sin2

x

x0

cos

xx0x0

3x21

cos

x

11

cos

xlim

lim等價代換

lim

2

xarctan

x

2x6,

limarctan

x

2xx對解:lim

2

2

arctan

xln

2

arctan

x1xx2lim

x

ln arctan

xlim

1

1

x2

1

xlimx

e

xe法則e

211222lim1xx22e

arctan

xx

1

xx

1

xx

arctan

x

lim

limeen4

n

2n7,lim

tan

(

)

22tann

n n

nnn

2n

24

n1tan

2

2tan

22tan

1tannnn2

n

2n1

tan

lim

1

1

tan

21

tan

2n

n

解:lim

tan(

)=

lim2tan

22tan

22tan

22

tan

2nnn

n

nn

n2n1tan1tan1tan

2n

lim

1

1

tan

2n

2n重要極限

lim

e

n2

tan

22

tan

24

tan

21limlim4

n

nn

n1n

n2nlim

1tan

2lim

1tan

2n

n

en

en

en

ex2x2

sin

tdtt

)dtx0(1

cos

t

)

ln(1

cos008,limx2x2

sin

tdtx0x0

2x(1

cosx)

ln(1

cos

x)

(1

cos

t

)

ln(1

cos

t

)dt00解:lim法則lim

2x

sin

x

limx0

(1

cos

x)

ln(1

cos

x)x0

(1

cos

x)

1

lim2

x0

ln(1

cos

x2tan

xx19,

lim

2

x

122tan

xtan

xx1

x(1

x

)x1x1x

lim

1

1

解:

lim 2

1221

x(1

x

)tan

x(1

x

)tan

xx1x1

lim

1

1

x

lim

e

lim

(1

x

)lim

1

ex1

cot

2

x

ex1

2

csc

2

x

e

2

2dy

=

asint

dx

=

a(1

-

cost)

x

=

a(t

-

sint)

y

=

a(1

-

cost)

dt

dt解:dydxdt由參數(shù)方程求導規(guī)則得:

dydxa

sin

tsin

ta(1

cos

t

)

dt1

cos

t2d

2

yy

=

a(1

-

cost)

dx

x

=

a(t

-

sint),求1,設xt

dxd

2

y

d

dy

d

dy

dt

d

1

cos

t

1dx2

dx

dx

dt

dx

dx

dt

sin

t

sin2

t

(1

cos

t

)cos

t

1

1

cos

tsin2

t

sin

t

sin3

t四,求導數(shù)或微分(6分/題)x2x解:

方程arctan

y

ln

y2

兩邊對x求導:

1yx2

x2x2

y1

x2xdx

y2

確定了y

y(x),求dy2,方程arctan

y

ln化簡得:

y

'

x

y

x

yy

'

y

'

x

y

x

yy

'

x2

y2

x2

y2dy

x

ydx

x

y2a

ax

b

b

x

a

b1

a

a

b

b

b

x

解:y

'

lna

a

b

b

xa

x

ab

a

b

x

b

x

x

化簡得:解:y

'

lnax

b

x

x

a

a

b

b

(a

0,b

0),求dy.

x

a

1

13,設y

dxa

axbxx

b

b

xa

x

ab

a

b

dy

ln

解:

sin5

xdx

sin4

x

sin

xdx

1

cos2

x

2

d

cos

x

2

435

2

315

1

2cos

x

cos

x

d(cos

x)

cos

x

cos

x

cos

x

c1,

sin5

xdx五,求定積分或不定積分(6分/題)2解:

x

ln(1

x)dx

1

ln(1

x)d

(x2

)分部積分1

x2

ln(1

x)

1

x2d[ln(

x

1)]2

22(

x2

1)1

dxx2x1x1

1

x2

ln(1

x)

12

2dx

1

x2

ln(1

x)

12

2)dx1x1

1

x2

ln(1

x)

1

(

x

1

2

1

x2

ln(1

x)

1

x2

x

1

ln(

x

1)

c2

4

22,

x

ln(1

x)dx

另考慮,

xk

ln(1

x)dxsin3

xsin2

x(d

cos

x)cos

x1

cos2

x解:

cos

x

dx

cos

x

(sin

xdx)

3cos

x3,

sin

x

dx1cos

xcos2

x

(d

cos

x)cos

x換元積分

5225

2

cos

x

cos

x

cx

xx解:

arctan

1

dx

分部積分

x

arctan

1

xd

arctan(

1

)xarctan

1

dx4,2xxx

x

arctan

1

dx

x

arctan

1

1

ln(1

x2

)

c

1

x213

00dx6sec2

udusec

u

1

5

tan2

u1

x2

1

5x2

令x

tan

u解:

301

x2

1

5,

000666 sec

udu

1

5

tan2

u sec

udu

sec2

u

4

tan2

u

cos

udu

1

4sin2

u1210128dtarctan(2t

)

0

1

4t

2

令t

sin

u

2

2

11dxu2ux

ln

x

du

1

1e令u

ln

x解:x

ln6,

e400242sin

x

cos

x

dx

sin

x

cos

x

dx

sin

x

cos

x

dx解:02sin

x

cos

x

dx7,4042(cos

x

sin

x)dx

(sin

x

cos

x)dx

4024

sin

x

cos

x

(

2

1)

(1

(

cos

x

sin

x)2)

2(

2

1)00

221

sin

2xdx

cos2

x

2sin

x

cos

x

sin2

xdx解:07'21

sin

2

xdx02cos

x

sin

x

dx4212cos

t2

x24

sin

t221

x2dt

(csc

t

1)dt

2

2dx

令x

sin

t解:2212dxx1

x28,2

4

424

(

cot

t

t)

1

1

322100tan

tdtxsec

t

tan

t3x2

1sec

t

tan

tdt

dx

令x

sec

t解:21x2x

1

dx9,20033(sec

t

1)dt

(tan

t

t)

3

310e110

1u

eudu

ueudu

ueudu1

解:eln

x

dx

令u

ln

xeeln

x

dx110,010100uuuuud(e

)11(ue

)du

ue

du

ud(e

)

0111000u

uu1e01011

(ueu

)e

du

e

eu

eu

e

du

(ue

)

e

1

1

1

e

1

2(1

1)e

e

e12

2214000sin

2tdt22sin2

t

cos2

tdt

x

sin

t

x

1

x

dx

令解:120x

1

x2

dx11,140021

cos

4t

1

12

2

dt

t

sin

4t

8

32

16000uf

'(u)du422u

f

'(u)d(

u)

12

2

4xf

'(2x)dx

令u

2x20xf

'(2x)dx4六,設1

sin解:x是f

(x)的一個原函數(shù).求2000141414f

(u)du22uf

(u)

ud(f

(u))分部積分222

20118

4

8

4

f

(

)

(1

sin

x)

1

f

(

)

1x六',設sin

x

是f

(x)的一個原函數(shù).求x3

f

'(x)dx210xt

2t

2dt

解:

F(

x)

210xt

2t

2F(

x)

七,求函數(shù)dt在閉區(qū)間[0,1]上的最大值與最小值.F

'(

x)

1

1

0x2

2

x2

(

x1)2

1F(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)上升F(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為F(0)=0,且2

2400t

2t

2(t

1)

1

0

1

1

1最大值為F(1)=

1

dt

1

dt

arctan(x

1)

arctan

2

九,設f

(x)在[0,1]上二階可求證:

(0,1)使f"(ξ

)=2證明:

f

(

x)在[0,1]上二階可導.將f

(

x)在x

1點按Taylor展開:2f

"(

)

2f

(

x)

f

(1)

f

'(1)(

x

1)

(

x

1)

f

(0)

f

(1)

f

'(1)(0

1)

f

"(

)

(0

1)2

其中

0,12f

(0)

2f

'(1)

f

"(

)

f'(

)

2(

f

(1)

1)十,試確定a,b,c使三次曲線y

ax3

bx2

cx有一拐點(1,2),且在該拐點處切線斜率為-1.解:

y

ax3

bx2

cx

y

'

3ax2

2bx

c,

y"

6ax

2b

y

ax3

bx2

cx有一拐點(1,2)且在(-,+)二階可導y"(1)

0,

y(1)

2

a

b

c

2

6a

2b

0在拐點(1,2)處切線斜率為-1

y

'(1)

2a

2b

c

1

a

b

c

26a

2b

0

2a

2b

c

1

a

3b

9

c

8解:

f

(

x)

3

(

x2

2x)2

十一,求函數(shù)f

(x)

3

(x2

2x)2

在[0,3]上的最大值與最小值.13223y

'

(

x

2x)

(2x

2)

導函數(shù)在x=0和x=2處無意義,在x=1處導函數(shù)為零.f

(0)

0,

f

(1)

1,

f

(2)

0,

f

(3)

3

3

[0,

3]上的最大值為f(3)

=

3

3,最小值f(0)

=

f(2)

=

0f

(

x)sin

xdx

解:

0

[

f

(

x)

f

"(

x)]sin

xdx

0

f

"(

x)sin

xdx

0十二,設函數(shù)f

(x)的二階導數(shù)f

"(x)

0

sin

xd[

f

'(

x)]

0

f

(

x)sin

xdx

0

cos

xd[

f

(

x)]

0

f

(x)sin

xdx求:0

[f

(x)

f

"(x)]sin

xdx000f

(

x)

sin

xdx

[sin

xf

'(

x)]

f

'(

x)

cos

xdx

00f

(

x)sin

xdx0

[

f

(

x)cos

x]f

(

x)d[cosx]

00

0

[

f

(

x)cos

x]

f

(

x)d[cos

x]

f

(

x)sin

xdx

f

(

)

f

(0)

0

f

(

x)sin

xdx

0

f

(

x)sin

xdx

1

2

3解:將f

(x)在x

2201

1十三,

設在[0,1]上二階導數(shù)f

"(

x)

0,求

f

(

x)dx

f

(

)f

(

x)

f

(

1

)

f

'(

1

)(

x

1

)

1

f

"(

)(

x

1

)22

2

2

2

2f

"(

x)112

101212121212121200f

'(f

(

x)dx

[

f

(

)

f

'()(

x

)]dx

[

f

()x

)(

x

)

]其中

0,1f

(

x)

f

(

1

)

f

'(

1

)(

x

1

)

2

2

22

f

(

1

)13',設f

(x)在[a,b]內(nèi)二階可導,且f

"(x)

0,試證baab2f

(

x)dx

(b

a)

f

(

)ax2

bx

c,

x

0ln(1

x),

x

014,設函數(shù)f

(x)

,求a,b,c使f

'(0),f

"(0)存在.ax2

bx

c,

x

0

1

2ax

b,

x

0解:

f

(

x)

,

f

'(

x)

ln(1

x),

x

0,

x

0

,

1

xx0f

'(0)存在

f

(

x)在點x

0

f

(0)

f

(0)

lim(ax2

bx

c)

cf

''(0)存在

f

'(x)在點x

x01

f

'(0)

f

(0)

lim(2ax

b)

b

f

'(0)

1h

h

h11h

h

1h1

f

'(h)

f

'(0)h0

h0

h0f

"(0)

lim

lim

lim

1h

h

hh0

h0

h0f

"(0)

lim

f

'(h)

f

'(0)

lim

(2ah1)1

lim

2ah

2af

''(0)存在

f

"(0)

2a

12

xet

t

cos

x

y

sin

t

cos

t所確定,試求曲線解:

xet

t

cos

x

兩端對t求導:dx

etdt

dt

cos

x

xet

cos

x

t(

sin

x)

dx

0

dx

xetdt t

sin

x

et由y

sin

t

cos2

t得:dy

cos

t

2cos

t(

sin

t)dt由參數(shù)方程求導規(guī)則得:dydx

dt

dydxcos

t

2cos

t(

sin

t

) (t

sin

x

et

)(cos

t

sin

2t

)

dtxet

cos

x xet

cos

xt

sin

x

et15,設曲線y

y(x)由方程組在x

0處的切線方程.由xet

t

cos

x

及x

0得t

x0t

x0

edy

(t

sin

x

et

)(cos

t

sin

2t

)dx xet

cos

x由y

sin

t

cos2

t及x

0時t

得:y(0)

1所求切線方程為:y

1

e

(x

0)0(16,計算廣義積x

x(1

x)3

0解:111

11u2

u2

10f

(tx)dt

f

(

x)

x

sin

x.17,求連續(xù)函數(shù)f

(x),使它滿足1000xxf

(u)duf

(u)

1x

xdu

f

(tx)dt

令u

tx解:1已知0f

(tx)dt

f

(

x)

x

sin

x

0x1xf

(u)du

f

(

x)

x

sin

x

20xxf

(

x)

x

sin

x

f

(u)du

(兩端對x求導)f

(

x)

xf

'(

x)

2x

sin

x

x2

cos

x

f

(

x)f

'(

x)

2sin

x

x

cos

x

f

'(

x)

2sin

x

x

cos

x

f

(

x)

(2sin

x

x

cos

x)dx

2

sin

xdx

x

cos

xdx

2cos

x

xd(sin

x)

2cos

x

x

sin

x

sin

xdx

2cos

x

x

sin

x

cos

x

c18,已知半徑為R,高為H的園錐體,內(nèi)接一個小園錐體,這個小解:

r

H

h

R

H園錐體的頂點恰在大園錐體底面的中心,試求當內(nèi)拉園錐體的高h為何值時其體積最大,并求其最大體積.hHRrHr

H

h

R

2222133H3H

R2

R2V

hr

(H

h)

h

(H

2h

2Hh2

h3

)

小錐dV3H

2

R2

(H

2

4Hh

3h2

)

小錐

dh3dVH令

小錐

dh

0,得h

,h

H(不合題意)33dVdVdhdhHH

小錐

小錐

當h

時0,當h

時381小錐

0

當h

H

時V最大,其值為4

R2h20,證明方程x3

3x

c

0在[0,1]內(nèi)不含有兩個不同的根證明:反證:

設x3

3x

c

0在[0,1]內(nèi)有兩個不同的根:0

d

d

11

2由Roll

's

Theorem得:

(d1

,d2

)

(0,1)such

that3

2

3

0這顯然不可能,故方程x3

3x

c

0在[0,1]內(nèi)不含有兩個不同的根.21,(10分)求微分方程xy'

(x

1

)y

x2滿足初始條件y(1

)

0的特解.x解:由xy'(

x

1)

y

x2

y'

(

x1)

y

x

y

e

p(

x

)dx

p(

x

)dxdx][c

Q(

x)e

[c

xe

dx]

exx

1

dxxx

1

dx

e(

xln

x

)[c

xe(

xln

x

)dx]dx]

xe

[c

xe

1x

xx

cxex

x初始條件y(1)

0

ec

1y

xe

xx121

1(

x2)(

x1)x

3

x2

1

1

(

x2) (

x1)解:

y