湖南省湖湘名校2022年高一上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．化簡的結(jié)果是（）A. B.1C. D.22．函數(shù)的圖象如圖所示，則在區(qū)間上的零點(diǎn)之和為（）A. B.C. D.3．如果函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有，且當(dāng)時(shí)，，那么函數(shù)在的最大值為A.1 B.2C.3 D.44．已知集合，若，則（）A.-1 B.0C.2 D.35．若是的一個(gè)內(nèi)角，且，則的值為A. B.C. D.6．已知函數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.7．函數(shù)的定義域?yàn)锳. B.C. D.8．若，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.9．若過兩點(diǎn)的直線的斜率為1，則等于（）A. B.C. D.10．已知某種樹木的高度（單位：米）與生長年限t（單位：年，）滿足如下的邏輯斯諦（Logistic）增長模型：，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)該樹栽下的時(shí)刻為0，則該種樹木生長至3米高時(shí)，大約經(jīng)過的時(shí)間為（）A.2年 B.3年C.4年 D.5年二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若“”是“”的充要條件，則實(shí)數(shù)m的取值是_________12．函數(shù)的反函數(shù)是___________.13．若是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，(為常數(shù))，則當(dāng)時(shí)，_________.14．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為__________15．已知正三棱柱的棱長均為2，則其外接球體積為__________16．某校高中三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生2000人，其中高一年級(jí)有學(xué)生750人，高二年級(jí)有學(xué)生650人.為了了解學(xué)生參加整本書閱讀活動(dòng)的情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查，那么在高三年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，直線.（1）若圓的弦恰好被點(diǎn)平分，求弦所在直線的方程；（2）若過點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦，求四邊形的面積的最大值；（3）若，是上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為.證明：直線過定點(diǎn).18．已知.（1）若，且，求的值.（2）若，且，求的值.19．設(shè)函數(shù).（1）求的最小正周期和最大值；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.20．函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的π倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若在上有兩個(gè)解，求a的取值范圍.21．已知函數(shù)，（1）證明在上是增函數(shù)；（2）求在上的最大值及最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡求解即可.【詳解】原式.故選：B2、D【解析】先求出周期，確定，再由點(diǎn)確定，得函數(shù)解析式，然后可求出上的所有零點(diǎn)【詳解】由題意，∴，又且，∴，∴由得，，，在內(nèi)有：，它們的和為故選：D3、C【解析】由題意可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由條件可得時(shí)，為遞增函數(shù)，時(shí)，為遞減函數(shù)，函數(shù)在遞減，即為最大值，由，代入計(jì)算可得所求最大值【詳解】函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有，可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，且為遞增函數(shù)，可得時(shí)，為遞減函數(shù)，函數(shù)在遞減，可得取得最大值，由，則在的最大值為3故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的最值求法，以及函數(shù)對(duì)稱性和單調(diào)性，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．將對(duì)稱性與單調(diào)性綜合考查一直是命題的熱點(diǎn)，解這種題型往往是根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)對(duì)稱性判斷出函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性(軸對(duì)稱函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，中心對(duì)稱函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相同)，然后再根據(jù)單調(diào)性求解.4、C【解析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以或，而無實(shí)數(shù)解，所以.故選：C5、D【解析】是的一個(gè)內(nèi)角,，又，所以有，故本題的正確選項(xiàng)為D.考點(diǎn)：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的運(yùn)用.6、B【解析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸、開口方向確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意可知，二次函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸，，在上遞減，所以，即.故選：B7、C【解析】要使函數(shù)有意義，需滿足解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)榭键c(diǎn)：求函數(shù)的定義域【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題是求函數(shù)的定義域，注意分母不能為0，同時(shí)本題又將對(duì)數(shù)的運(yùn)算，交集等知識(shí)聯(lián)系在一起，重點(diǎn)考查學(xué)生思維能力的全面性和縝密性，凸顯了知識(shí)之間的聯(lián)系性、綜合性，能較好的考查學(xué)生的計(jì)算能力和思維的全面性．學(xué)生很容易忽略，造成失誤，注意在對(duì)數(shù)函數(shù)中，真數(shù)一定是正數(shù)，負(fù)數(shù)和零無意義考點(diǎn)：求函數(shù)的定義域8、A【解析】根據(jù)題意，以及指數(shù)和對(duì)數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，來確定a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】解：是增函數(shù)，是增函數(shù).，又，【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的求法，考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.根據(jù)題意，構(gòu)造合適的對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判定的范圍是關(guān)鍵.9、C【解析】根據(jù)斜率的計(jì)算公式列出關(guān)于的方程，由此求解出.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：C.10、C【解析】根據(jù)題意，列方程，即可求解.【詳解】由題意可得，令，即，解得：t=4.故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、0【解析】根據(jù)充要條件的定義即可求解.【詳解】，則{x|}＝{x|}，即.故答案為：0.12、；【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)直接求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即的反函?shù)為，故答案為：13、【解析】根據(jù)得到，再取時(shí)，，根據(jù)函數(shù)奇偶性得到表達(dá)式.【詳解】是定義在R上的奇函數(shù)，則，故，時(shí)，，則.故答案為：.14、【解析】幾何體為一個(gè)圓錐與一個(gè)棱柱的組合體,體積為15、【解析】分別是上，下底面的中心，則的中點(diǎn)為幾何體的外接球的球心，16、60【解析】求出高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的方法計(jì)算即可.【詳解】高三年級(jí)有學(xué)生2000-750-650=600人，用分層抽樣的方法從中抽取容量為200的樣本，應(yīng)抽取高三年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為200×600故答案為：60三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)11（3）見解析【解析】（1）由題意知，易知，進(jìn)而得到弦所在直線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)到直線、的距離分別為，則，，利用條件二元變一元，轉(zhuǎn)為二次函數(shù)最值問題；（3）設(shè)．該圓的方程為，利用C、D在圓O：上，求出CD方程，利用直線系求解即可試題解析：（1）由題意知，∴，∵，∴，因此弦所在直線方程為，即.（2）設(shè)點(diǎn)到直線、的距離分別為，則，，.∴，，當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以四邊形面積的最大值為11.（3）由題意可知、兩點(diǎn)均在以為直徑的圓上，設(shè)，則該圓的方程為，即：.又、在圓上，所以直線的方程為，即，由得，所以直線過定點(diǎn).18、（1）或；（2）.【解析】（1）利用誘導(dǎo)公式結(jié)合化簡，再解方程結(jié)合即可求解；（2）結(jié)合（1）中將已知條件化簡可得，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.【小問1詳解】.所以，因?yàn)?，則，或.【小問2詳解】由（1）知：，所以，即，所以，所以，即，可得或.因?yàn)椋瑒t，所以.所以，故.19、（1）最小正周期，最大值為；（2）.【解析】把化簡為，（1）直接寫出最小正周期和最大值；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性直接求出單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1）的最小正周期;最大值為；（2）要求的單調(diào)遞增區(qū)間，只需，解得：，即的單調(diào)遞增區(qū)間為.20、（1），（2）或【解析】（1）根據(jù)圖像可得函數(shù)的周期，從而求得，再根據(jù)可求得，從而可得函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性借口整體思想即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）根據(jù)平移變換和周期變換可得，在上有兩個(gè)解，即為與的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則作出函數(shù)在上的簡圖，結(jié)合圖像即可得出答案.【小問1詳解】解：由題圖得，，，，，，，，又，，，令，，解得，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；【小問2詳解】解：將的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的圖象，再將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的π倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若在上有兩個(gè)解，則與的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則作出函數(shù)在上的簡圖，結(jié)合圖像可得或，所以a的取值范圍為或.21、（1）證明見解析