2019-2020學(xué)年湖北省隨州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第25頁（共25頁）2019-2020學(xué)年湖北省隨州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號(hào)題目要求的）1．（5分）直線的傾斜角是A． B． C． D．2．（5分）數(shù)列2，，的一個(gè)通項(xiàng)公式等于A． B． C． D．3．（5分）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為A．2 B． C． D．44．（5分）設(shè)為平面外的一條直線，的方向向量為，的法向量為，則對(duì)于下列結(jié)論，各選項(xiàng)說法正確的為①若，則；②若，則；③設(shè)與所成的角為，則．A．只有①正確 B．只有②③正確 C．只有①③正確 D．①②③都正確5．（5分）已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A． B． C． D．6．（5分）已知數(shù)列中，，，則等于A． B． C． D．7．（5分）若，則方程所表示的曲線一定不會(huì)是A．直線 B．焦點(diǎn)在軸上的橢圓 C．焦點(diǎn)在軸上的橢圓 D．雙曲線8．（5分）如圖，空間四邊形中，，，，且，，則等于A． B． C． D．9．（5分）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)、間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為A． B． C． D．10．（5分）有兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，，190和2，8，14，，200，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為A．15 B．16 C．17 D．1811．（5分）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們的交點(diǎn)對(duì)兩公共焦點(diǎn)，的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則A． B． C． D．12．（5分）棋盤上標(biāo)有第0、1、2、100站，棋子開始位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站或第100站時(shí)，游戲結(jié)束．設(shè)棋子位于第站的概率為，設(shè)．則下列結(jié)論正確的有①；；②數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共4小題，將答案填在答題卡中的橫線上）13．（5分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的公差為．14．（5分）若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．15．（5分）表中的數(shù)陣為“森德拉姆數(shù)篩”，其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列，記第行第列的數(shù)為，則，表中的數(shù)2021共出現(xiàn)次．2345673579111347101316195913172125611162126317131925313716．（5分）若橢圓與橢圓的焦距相等，給出如下四個(gè)結(jié)論：①和一定有交點(diǎn)；②若，則；③若，則；④設(shè)與在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)，，若，則．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（本大題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)．（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（12分）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．求：（1）頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線的方程．19．（12分）某學(xué)習(xí)軟件以數(shù)學(xué)知識(shí)為題目設(shè)置了一項(xiàng)闖關(guān)游戲，共有15關(guān)，每過一關(guān)可以得到一定的積分，現(xiàn)有三種積分方案供闖關(guān)者選擇．方案一：每闖過一關(guān)均可獲得40積分；方案二：闖過第一關(guān)可獲得5積分，后面每關(guān)的積分都比前一關(guān)多5；方案三：闖過第一關(guān)可獲得0.5積分，后面每關(guān)的積分都是前一關(guān)積分的2倍．若某關(guān)闖關(guān)失敗則停止游戲，最終積分為闖過的各關(guān)的積分之和，設(shè)三種方案闖過且關(guān)后的積分之和分別為，，，要求闖關(guān)者在開始前要選擇積分方案．（1）求出，，的表達(dá)式；（2）為獲得盡量多的積分，如果你是一個(gè)闖關(guān)者，試分析這幾種積分方案該如何選擇？小明通過試驗(yàn)后覺得自己至少能闖過12關(guān)，則他應(yīng)該選擇第幾種積分方案？20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，，且，．（1）在上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，找出的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）求二面角的大?。?1．（12分）在中，兩直角邊，的長分別為，（其中，以的中點(diǎn)為圓心，作半徑為的圓．（1）若圓與的三邊共有4個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；（2）設(shè)圓與邊交于，兩點(diǎn)；當(dāng)變化時(shí)，甲乙兩位同學(xué)均證明出為定值甲同學(xué)的方法為：連接，，，利用兩個(gè)小三角形中的余弦定理來推導(dǎo)；乙同學(xué)的方法為；以為原點(diǎn)建立合適的直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法來計(jì)算．請(qǐng)?jiān)诩滓覂晌煌瑢W(xué)的方法中選擇一種來證明該結(jié)論，定值用含、的式子表示．（若用兩種方法，按第一種方法給分）22．（12分）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1．（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)是橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接，，設(shè)的角平分線交的長軸于點(diǎn)，求的取值范圍；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值．

2019-2020學(xué)年湖北省隨州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號(hào)題目要求的）1．（5分）直線的傾斜角是A． B． C． D．【分析】求出直線的斜率，然后求解直線的傾斜角即可．【解答】解：因?yàn)橹本€的斜率為：，直線的傾斜角為：．所以，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的傾斜角的求法，基本知識(shí)的應(yīng)用．2．（5分）數(shù)列2，，的一個(gè)通項(xiàng)公式等于A． B． C． D．【分析】分別判斷出分子和分母構(gòu)成的數(shù)列特征，再求出此數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解答】解：，4，8，16，32，是以2為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，且1，3，5，7，9，是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為A．2 B． C． D．4【分析】將拋物線轉(zhuǎn)化標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求得焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程，即可求得焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．【解答】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)，考查焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）設(shè)為平面外的一條直線，的方向向量為，的法向量為，則對(duì)于下列結(jié)論，各選項(xiàng)說法正確的為①若，則；②若，則；③設(shè)與所成的角為，則．A．只有①正確 B．只有②③正確 C．只有①③正確 D．①②③都正確【分析】利用直線的方向向量與平面的法向量的位置關(guān)系判斷命題的正誤即可．【解答】解：為平面外的一條直線，的方向向量為，的法向量為，①若，則；正確；（是判斷直線與平面平行的方法之一）．②若，則；正確；（這是判斷直線與平面垂直的方法之一）．③設(shè)與所成的角為，則．正確，（這是利用向量方法求解直線與平面所成角方法之一）．所以①②③都正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假的判斷，空間想象能力的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查，基礎(chǔ)題．5．（5分）已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A． B． C． D．【分析】由離心率和的關(guān)系可得，而漸近線方程為，代入可得答案．【解答】解：由雙曲線，則離心率，即，故漸近線方程為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，涉及的漸近線方程，屬基礎(chǔ)題．6．（5分）已知數(shù)列中，，，則等于A． B． C． D．【分析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：數(shù)列中，，，所以，，，，所以，則：，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）若，則方程所表示的曲線一定不會(huì)是A．直線 B．焦點(diǎn)在軸上的橢圓 C．焦點(diǎn)在軸上的橢圓 D．雙曲線【分析】對(duì)的取值進(jìn)行討論，由曲線方程的特性可判斷方程所表示的曲線．【解答】解：根據(jù)，取，則曲線表示直線；當(dāng)時(shí)，曲線表示雙曲線；當(dāng)且時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓．故選：．【點(diǎn)評(píng)】題考查方程與曲線，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握與理解曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征是關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．8．（5分）如圖，空間四邊形中，，，，且，，則等于A． B． C． D．【分析】，可得．由，可得．可得．【解答】解：，，，．．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的平行四邊形法則、三角形法則，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)、間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為A． B． C． D．【分析】求出點(diǎn)的軌跡方程，利用其幾何意義即可得解．【解答】解：以經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，化簡得，，即，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則有，而表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，易知，故，故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓軌跡方程的求法，考查兩點(diǎn)間的距離，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．10．（5分）有兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，，190和2，8，14，，200，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為A．15 B．16 C．17 D．18【分析】有兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，，190和2，8，14，，200，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列為：2，14，26，．利用通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：有兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，，190和2，8，14，，200，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列為：2，14，26，．首項(xiàng)，公差．．令，解得．這個(gè)新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為16．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們的交點(diǎn)對(duì)兩公共焦點(diǎn)，的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則A． B． C． D．【分析】設(shè)橢圓的長軸長為，雙曲線的實(shí)軸長為，到兩焦點(diǎn)的距離分別為，，焦距為，分別運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義，以及三角形的余弦定理和離心率公式，結(jié)合二倍角公式，即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)橢圓的長軸長為，雙曲線的實(shí)軸長為，到兩焦點(diǎn)的距離分別為，，焦距為，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，解得，，由余弦定理可得，則，化為，可得，由，，可得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率，考查三角形的余弦定理和二倍角公式的運(yùn)用，考查化簡變形能力，屬于中檔題．12．（5分）棋盤上標(biāo)有第0、1、2、100站，棋子開始位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站或第100站時(shí)，游戲結(jié)束．設(shè)棋子位于第站的概率為，設(shè)．則下列結(jié)論正確的有①；；②數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①結(jié)合分類和分步計(jì)數(shù)原理，即可逐一算出相應(yīng)的概率；②棋子到第站分兩種情形：先到第站，再擲出反面，其概率為；先到第站，再擲出正面，其概率為，所以，進(jìn)而得證；③由②可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，可求得，，，進(jìn)而得證；④由③可知．【解答】解：①棋子從第0站到第1站，只能向前走一步，所以；棋子到第2站，有兩種方式：直接從第0站到第2站，分兩步到第2站，所以；棋子到第3站，有三種方式：先到第1站再到第3站，先到第2站再到第3站，分三步到第3站，所以，所以①正確；②棋子到第站分兩種情形：先到第站，再擲出反面，其概率為；先到第站，再擲出正面，其概率為，所以，即，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，即②正確；③由②知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，又，則，因?yàn)槿籼降?9站時(shí)，游戲自動(dòng)停止，故．所以，即③錯(cuò)誤；④，即④正確．所以正確的有①②④，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與概率的綜合，弄清楚，，之間的關(guān)系是題解的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于難題．二、填空題（本大題共4小題，將答案填在答題卡中的橫線上）13．（5分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的公差為3．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，，聯(lián)立解得：．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【分析】確定曲線的幾何意義，利用圖形求出兩個(gè)極端位置的值，即可求得實(shí)數(shù)的范圍．【解答】解：曲線表示以為圓心，2為半徑的圓在直線右側(cè)的部分如圖所示，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)．實(shí)數(shù)的范圍是故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查直線與圓的位置關(guān)系，正確利用曲線的幾何意義是關(guān)鍵．15．（5分）表中的數(shù)陣為“森德拉姆數(shù)篩”，其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列，記第行第列的數(shù)為，則57，表中的數(shù)2021共出現(xiàn)次．23456735791113471013161959131721256111621263171319253137【分析】根據(jù)表中的規(guī)律可得第行等差數(shù)列的公差為，由此算出第一行數(shù)組成的數(shù)列通項(xiàng)為，再根據(jù)第列等差數(shù)列的公差等于，算出．由此代入數(shù)據(jù)即可算出的值；求出的通項(xiàng)公式，可得即，算出、的情況有12種，由此可得表中數(shù)2021共出現(xiàn)12次．【解答】解：根據(jù)題意，第行的等差數(shù)列的公差為，第列的等差數(shù)列的公差等于，、，第一行數(shù)組成的數(shù)列，2，是以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，可得，又第列數(shù)組成的數(shù)列，2，是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，．；由，得，因此表中20121總共出現(xiàn)12次．故答案為：57，12．【點(diǎn)評(píng)】本題給出“森德拉姆素?cái)?shù)篩”的例子，求表格中的指定項(xiàng)，并求2021在表中出現(xiàn)了幾次．著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用的知識(shí)，屬于中檔題．16．（5分）若橢圓與橢圓的焦距相等，給出如下四個(gè)結(jié)論：①和一定有交點(diǎn)；②若，則；③若，則；④設(shè)與在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)，，若，則．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是②④．【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和基本幾何性質(zhì)逐一判斷每個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：①橢圓和橢圓的焦距均為2，但兩個(gè)橢圓沒有交點(diǎn)，即①錯(cuò)誤；②由題意可知，，化簡得，因?yàn)椋?，即②正確；③在橢圓中，；在橢圓中，，滿足，但，即③錯(cuò)誤；④因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓有交點(diǎn)，，且，所以，因?yàn)?，所以，所以，即④正確．故答案為：②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和基本幾何性質(zhì)，考查學(xué)生分析問題的能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（本大題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)．（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】（1）根據(jù)得出遞推式，確定是等比數(shù)列，再計(jì)算，從而得出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和．【解答】解：（1），，兩式相減得：，即，又，，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，．（2），，，兩式相減得：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的判斷，通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．18．（12分）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．求：（1）頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線的方程．【分析】（1）設(shè)，利用點(diǎn)與直線的位置關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出；（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)斜式即可得出．【解答】解：（1）設(shè)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．，解得．．（2）設(shè)，則，解得．．直線的方程為，化為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與直線的位置關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)斜式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（12分）某學(xué)習(xí)軟件以數(shù)學(xué)知識(shí)為題目設(shè)置了一項(xiàng)闖關(guān)游戲，共有15關(guān)，每過一關(guān)可以得到一定的積分，現(xiàn)有三種積分方案供闖關(guān)者選擇．方案一：每闖過一關(guān)均可獲得40積分；方案二：闖過第一關(guān)可獲得5積分，后面每關(guān)的積分都比前一關(guān)多5；方案三：闖過第一關(guān)可獲得0.5積分，后面每關(guān)的積分都是前一關(guān)積分的2倍．若某關(guān)闖關(guān)失敗則停止游戲，最終積分為闖過的各關(guān)的積分之和，設(shè)三種方案闖過且關(guān)后的積分之和分別為，，，要求闖關(guān)者在開始前要選擇積分方案．（1）求出，，的表達(dá)式；（2）為獲得盡量多的積分，如果你是一個(gè)闖關(guān)者，試分析這幾種積分方案該如何選擇？小明通過試驗(yàn)后覺得自己至少能闖過12關(guān)，則他應(yīng)該選擇第幾種積分方案？【分析】（1）利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列求和公式求解即可．（2）通過數(shù)列的和的大小，判斷小明通過試驗(yàn)后覺得自己至少能闖過12關(guān)，則他應(yīng)該選擇第幾種積分方案即可．【解答】解：（1）按方案一闖過各關(guān)所得積分構(gòu)成常數(shù)數(shù)列，故；按方案二闖過各關(guān)所得積分構(gòu)成首項(xiàng)為5，公差為5的等差數(shù)列，故；按方案三闖過各關(guān)所得積分構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，故．（2）令，即，解得，而當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)榍?，故恒成立，故方案二不予考慮．令，即，解得，故有，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，故當(dāng)能闖過的關(guān)數(shù)小于10時(shí)，應(yīng)選擇方案一；當(dāng)能闖過的關(guān)數(shù)大于等于10時(shí)，應(yīng)選擇方案三．小明應(yīng)該選擇方案三．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列求和，以及數(shù)列和的大小的比較，是基本知識(shí)的考查，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題．20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，，且，．（1）在上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，找出的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）求二面角的大小．【分析】（1）方法①：證明，結(jié)合，推出，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在上存在一點(diǎn)，使得平面，設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量為，通過平面，解得，得到結(jié)果．方法②：存在，在線段上，且，證明，過點(diǎn)作交于，連接，說明四邊形為平行四邊形，推出，然后證明平面．（2）求出平面的法向量，平面的法向量，通過空間向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解二面角的大小即可．【解答】解：（1）方法①：平面，平面，，又，，，則可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在上存在一點(diǎn)，使得平面，設(shè)，由，0，，，3，，得，由可得，，，又，0，，故．易知：平面，故可取平面的一個(gè)法向量為，若平面，則，解得，故在上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有平面．方法②：存在，在線段上，且，證明如下過點(diǎn)作交于，連接，當(dāng)時(shí)，，又且，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．（2）由（1）可知，0，，，0，，，3，，，3，，，設(shè)平面的法向量，則即，令，則，，此時(shí)，1，，設(shè)平面的法向量，則，即令，則，，此時(shí)，，，二面角為銳二面角，二面角的大小為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，存在性問題的解決方法，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力邏輯推理能力以及計(jì)算能力；是中檔題．21．（12分）在中，兩直角邊，的長分別為，（其中，以的中點(diǎn)為圓心，作半徑為的圓．（1）若圓與的三邊共有4個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；（2）設(shè)圓與邊交于，兩點(diǎn)；當(dāng)變化時(shí)，甲乙兩位同學(xué)均證明出為定值甲同學(xué)的方法為：連接，，，利用兩個(gè)小三角形中的余弦定理來推導(dǎo)；乙同學(xué)的方法為；以為原點(diǎn)建立合適的直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法來計(jì)算．請(qǐng)?jiān)诩滓覂晌煌瑢W(xué)的方法中選擇一種來證明該結(jié)論，定值用含、的