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線性規(guī)劃應(yīng)用問題教案1教學(xué)目標(biāo)(1)幫助學(xué)生掌握用線性規(guī)劃的方法解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題的基本思路和主要方法.在應(yīng)用中培養(yǎng)學(xué)生的分析能力,判斷能力,作圖能力,計(jì)算能力.同時(shí)通過對(duì)線性規(guī)劃方法的實(shí)際應(yīng)用,進(jìn)一步加深對(duì)線性規(guī)劃有關(guān)知識(shí)的理解.(2)通過把簡(jiǎn)單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的實(shí)踐,逐步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):用線性規(guī)劃的方法解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.解題的主要步驟和基本思路.難點(diǎn):把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.具體說如何根據(jù)實(shí)際問題的條件,轉(zhuǎn)化為線性約束條件;如何把實(shí)際問題中要的結(jié)果轉(zhuǎn)化為線性目標(biāo)函數(shù).如何根據(jù)實(shí)際問題的要求確定最優(yōu)解.教學(xué)過程設(shè)計(jì)(一)教師提出問題,與學(xué)生邊議邊講邊示范.線性規(guī)劃這種數(shù)學(xué)方法在人們的生產(chǎn)、生活活動(dòng)中有著重要的作用.下面我們通過兩個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)際問題,來看一下,如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,然后用數(shù)學(xué)方法去解決實(shí)際問題.把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是對(duì)同學(xué)的數(shù)學(xué)能力的考驗(yàn),有一定難度,大家在學(xué)習(xí)中要特別重視這種轉(zhuǎn)化.例1某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石10t,B種礦石5t,煤4t;生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1t,需耗A種礦石4t,B種礦石4t,煤9t,每1t甲種產(chǎn)品的利潤(rùn)是600元,每1t乙種產(chǎn)品的利潤(rùn)是1000元.工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中,要求消耗A種礦石不超過300t,B種礦石不超過200t,煤不超過360t,甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少(精確到1t),能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大?分析首先必須反復(fù)認(rèn)真看題,把問題中的條件,結(jié)論,已知量,要求量徹底搞清,這樣才能順利地把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.這個(gè)問題的結(jié)論是:甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少,利潤(rùn)總額最大.這里有三個(gè)未知量,我們用符號(hào)表示出來.設(shè)甲種產(chǎn)品生產(chǎn)xt,乙種產(chǎn)品生產(chǎn)yt,總利潤(rùn)為z元.則z=600x+1000y這個(gè)問題是求z的最大值,而又提出一堆限制條件,即約束條件.因條件比較多,容易混淆,我們把它們列為一張表,可以較明顯地看清楚.顯然問題是在表中列出的限制條件下,求函數(shù)z=600x+1000y的最大值,是一個(gè)線性規(guī)劃問題.解設(shè)甲種產(chǎn)品生產(chǎn)xt,乙種產(chǎn)品生產(chǎn)yt,利潤(rùn)總額為z元.則z=600x+1000y這個(gè)函數(shù)中,對(duì)x、y是有限制的,其約束條件是:作出可行域(如圖)作直線l0:600x+1000y=0即l0:3x+5y=0把直線l0向右上方平移至l1的位置,直線過M點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大,z有最大值.答:應(yīng)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品約12t,乙種產(chǎn)品約34t,能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大.例2要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格,每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示.今需要A、B、C三種規(guī)格的成品各15、18、27塊,問各截這兩種鋼板多少?gòu)埧傻盟枞N規(guī)格成品,且使所用鋼板張數(shù)最少?分析首先認(rèn)真分析問題中的條件,已知量,未知量和結(jié)論.這個(gè)問題的結(jié)論是:兩種鋼板各用多少?gòu)?,既達(dá)到問題的限制條件,且所用鋼板的總數(shù)最少.這里有三個(gè)未知量,我們用符號(hào)表示出來.設(shè)第一種鋼板用x張,第二種鋼板用y張,所用鋼板總數(shù)為z,則z=x+y.在截鋼板時(shí),提出一堆限制條件,即約束條件,已反映在給出的表中.我們可把它用不等式組表示出來.顯然問題是在表中所列的限制條件下,求z=x+y的最小值,是一個(gè)線性規(guī)劃問題.解設(shè)需截第一種鋼板x張,需截第二種鋼板y張,約束條件為:目標(biāo)函數(shù)z=x+y,作直線l0:x+y=0,優(yōu)解.這時(shí)A點(diǎn)所在的直線為x+y=11.找一條與x+y=11平行而且離原點(diǎn)最近的直線x+y=12,在這條直線上的整點(diǎn)有(0,12),(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6),(7,5),(8,4),(9,3),(10,2),(11,1),(12,0)等等.但在可行域內(nèi)的整點(diǎn)只有B(3,9)和C(4,8).這樣B(3,9),C(4,8)是這個(gè)問題的最優(yōu)解.答:符合要求的截法有兩種:第一種截法是截第一種鋼板3張,第二種鋼板9張;第二種截法是截第一種鋼板4張,第二種鋼板8張.(二)教師指導(dǎo)學(xué)生課堂練習(xí)課本練習(xí)題2解設(shè)每天應(yīng)配制甲種飲料x杯,乙種飲料y杯,咖啡館每天獲利z=+(元)x,y滿足約束條件在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域,作直線l:+=0,把直線l向右上方平移至l1的位置時(shí),直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)C,且與原點(diǎn)距離最大,此時(shí),z=+取最大值,得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(200,240),所以,每天應(yīng)配制甲種飲料200杯,乙種飲料240杯,獲利最大.(三)小結(jié)我們這里研究的簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃應(yīng)用題屬于兩類:第一類:給定一定數(shù)量的人力、物力資源,問怎樣安排運(yùn)用這些資源,能使完成的任務(wù)量最大,收到的效益最大.第二類:給定一項(xiàng)任務(wù),問怎樣統(tǒng)籌安排,能使完成這項(xiàng)任務(wù)的人力、物力資源量最小.一般步驟是:(1)仔細(xì)分析問題的條件和結(jié)論.確定變量和目標(biāo)函數(shù).(2)把題中的限制條件,用不等式組表示為線性約束條件.(3)在直角坐標(biāo)平面上作出可行域.(4)用線性規(guī)劃的作圖
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