現(xiàn)代信號處理第5章非平穩(wěn)信號處理方法課件

現(xiàn)代信號處理技術(shù)及應(yīng)用

ModernSignalProcessingTechnologyandItsApplication

何正嘉訾艷陽張西寧

西

安

交

通

大

學(xué)

西安交通大學(xué)研究生創(chuàng)新教育系列教材

11/25/20221機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室現(xiàn)代信號處理技術(shù)及應(yīng)用

ModernSignalProc第五章非平穩(wěn)信號處理方法經(jīng)典的傅里葉分析能夠完美地描繪平穩(wěn)的正弦信號及其組合，但不能恰當(dāng)?shù)胤从撤瞧椒€(wěn)信號的特征。

許多隨機(jī)過程從本質(zhì)上來講是非平穩(wěn)的，例如語音信號、沖擊響應(yīng)信號、機(jī)組啟、停機(jī)信號等。必須尋找既能夠反映時域特征又能夠反映頻域特征的新方法。本章介紹短時傅里葉變換、小波變換和小波包分析等非平穩(wěn)信號分析方法的原理、特點(diǎn)及其在工程中的應(yīng)用。11/25/20222機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號處理方法經(jīng)典的傅里葉分析能夠完美地描繪第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測

5.4工程應(yīng)用

11/25/20223機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換11第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測

5.4工程應(yīng)用

11/25/20224機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換115.1短時傅里葉變換傅里葉變換用平穩(wěn)的正弦波作為基函數(shù)，通過內(nèi)積運(yùn)算去變換信號，得到其頻譜。(5.1.1)這一變換建立了一個從時域到頻域的譜分析通道。頻譜X(f)顯示了用正弦基函數(shù)分解出x(t)中任一正弦頻率f的總強(qiáng)度。傅里葉譜分析提供了平均的頻譜系數(shù)，只與頻率f有關(guān)，而與時間t無關(guān)。傅里葉分析還要求所分析的隨機(jī)過程是平穩(wěn)的.

1946年Gabor提出了窗口傅里葉變換，稱為短時傅里葉變換（ShortTimeFourierTransform,STFT）。

11/25/20225機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.1短時傅里葉變換傅里葉變換用平穩(wěn)的正弦波作為基函數(shù)5.1短時傅里葉變換由加窗信號的傅里葉變換產(chǎn)生短時傅里葉變換。(5.1.2)是中心位于，高度為

1、寬度有限的時窗函數(shù)，通過所觀察到的信號的部分是。是

STFT的基函數(shù)。

tx(t)h(t)h(t-τ)x(t)h(t)τ0111/25/20226機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.1短時傅里葉變換由加窗信號的傅里葉5.1短時傅里葉變換

窗函數(shù)的選取是關(guān)鍵。最優(yōu)窗函數(shù)是高斯函數(shù)。

(5.1.3)高斯窗函數(shù)的形狀是：

1，1/4，1/16

11/25/20227機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.1短時傅里葉變換窗函數(shù)的選取是關(guān)鍵。最優(yōu)窗5.1短時傅里葉變換給定窗函數(shù)和它的傅里葉變換，則帶寬為(5.1.4)STFT的頻率分辨率是。兩個正弦波之間的頻率間隔大于，則可區(qū)分這兩個正弦波。STFT的時間分辨率是，有(5.1.5)兩個脈沖的時間間隔大于，則可區(qū)分這兩個脈沖。

11/25/20228機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.1短時傅里葉變換給定窗函數(shù)和它的傅里葉變換5.1短時傅里葉變換時間分辨率和頻率分辨率不可能同時任意小，根據(jù)Heisenberg不確定性原理，有以下限制(5.1.6)上式中，當(dāng)且僅當(dāng)采用了高斯窗函數(shù)，等式成立。時間分辨率和頻率分辨率一旦確定，則STFT在整個時頻平面上的時頻分辨率保持不變。短時傅里葉變換能夠分析非平穩(wěn)動態(tài)信號，其基礎(chǔ)是傅里葉變換，更適合分析準(zhǔn)平穩(wěn)(quasi-stationary)信號。反映信號高頻成份需要用窄時窗，而反映信號低頻成份需要用寬時窗。短時傅里葉變換不能同時滿足這些要求。11/25/20229機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.1短時傅里葉變換時間分辨率和頻率分辨率第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換

5.2小波變換

5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測

5.4工程應(yīng)用

11/25/202210機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換115.2小波變換近年來在工具和方法上有重大突破的小波變換，為非平穩(wěn)信號分析展示了美好的前景?！靶〔ā本褪切〉牟ㄐ巍Ｋ^“小”是指局部非零，波形具有衰減性；“波”則是指它具有波動性，包含有頻率的特性。小波分析的思想來源于伸縮和平移方法。1910年A.Haar提出的規(guī)范正交系1984年，J.Morlet在分析地震數(shù)據(jù)的局部性時引進(jìn)了小波概念。1986年，Y.Meyer構(gòu)造出二進(jìn)伸縮、平移小波基函數(shù)，掀起小波研究熱潮。1987年，S.G.Mallat將多分辨思想引入小波分析，提出快速塔形算法。1988年，I.Daubechies構(gòu)造了緊支集正交小波基，完善小波理論體系。1989到1991年，R.R.Coifman、M.V.Wickerhauser等提出小波包及算法。1997年，W.Sweldens提出第二代小波變換的概念和算法。近一個世紀(jì)，特別是近二十年來，小波理論和算法發(fā)展突飛猛進(jìn)。為信號處理領(lǐng)域里各自獨(dú)立開發(fā)的方法建立了一個統(tǒng)一的框架11/25/202211機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換近年來在工具和方法上有重大突破的小波變換，5.2小波變換由基本小波或母小波通過伸縮a和平移b產(chǎn)生一個函數(shù)族稱為小波。有(5.2.1)

式中是尺度因子，，是時移因子。，波形收縮；，波形伸展。保證在不同的值下，即在小波函數(shù)的伸縮過程中能量保持相等。信號的小波變換為(5.2.2)小波變換是用小波基函數(shù)代替傅里葉變換中的基函數(shù)以及短時傅里葉變換中的基函數(shù)而進(jìn)行的內(nèi)積運(yùn)算。小波變換的實(shí)質(zhì)就是以基函數(shù)的形式將信號分解為不同頻帶的子信號。11/25/202212機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換由基本小波或母小波通過伸縮5.2小波變換對信號進(jìn)行小波變換相當(dāng)于通過小波的尺度因子和時移因子變化去觀察信號。小波變換的局部化是變化的，在高頻處時間分辨率高，頻率分辨率低；在低頻處時間分辨率低，頻率分辨率高，即具有“變焦”的性質(zhì)，也就是具有自適應(yīng)窗的性質(zhì)。

尺度時寬減?。l寬增大）時寬增大（頻寬減?。﹖平移bcc′d′da11/25/202213機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換對信號進(jìn)行小波變換相當(dāng)于通過小5.2小波變換式(5.2.2)通過變量置換可改寫為(5.2.3)隨著尺度因子的改變，通過一個恒定的濾波器觀察到被伸展或壓縮了的信號波形。尺度因子解釋了信號在變換過程中尺度的變化，用大尺度可觀察信號的總體，用小尺度可觀察信號的細(xì)節(jié)。式(5.2.3)解釋了為什么在S.G.Mallat的小波信號分解塔形快速算法中，始終使用同樣的低通與高通濾波器的道理。11/25/202214機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換式(5.2.2)通過變量置換可改寫為115.2小波變換小波函數(shù)族還可采用如下定義：(5.2.4)優(yōu)點(diǎn)是在不同尺度下可以保持各的頻譜中幅頻特性大小一致。因?yàn)?/p>

設(shè)的傅里葉變換是，則的傅里葉變換是與相比，只有頻率坐標(biāo)比例變化，幅度沒有變化。

參見p48性質(zhì)(4)

11/25/202215機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換小波函數(shù)族還可采用如下定義：11/22/5.2小波變換式(5.2.2)的內(nèi)積運(yùn)算可以用卷積運(yùn)算來表示。這是因?yàn)閮?nèi)積：5.2.4)卷積：

或記作

兩式相比較，只是將改成，即首尾對調(diào)。如果是關(guān)于的對稱函數(shù)，則計(jì)算結(jié)果無區(qū)別；如果是非對稱，在計(jì)算方法上也無本質(zhì)區(qū)別。11/25/202216機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換式(5.2.2)的內(nèi)積運(yùn)算可以用卷積運(yùn)算來5.2小波變換當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時，信號所包含機(jī)器不同零部件的故障特征頻率分布在不同的頻帶里。如何提取這些被淹沒的微弱信息而實(shí)現(xiàn)故障的早期診斷問題，往往使傳統(tǒng)的信號分析技術(shù)無能為力。小波變換能夠?qū)崿F(xiàn)信號在不同頻帶、不同時刻的合理分離。這種分離相當(dāng)于同時使用一個低通濾波器和若干個帶通濾波器而不丟失任何原始信息。為機(jī)器零部件故障特征頻率的分離、微弱信息的提取以實(shí)現(xiàn)早期故障診斷提供了高效、有力的工具。特別要強(qiáng)調(diào)，這些優(yōu)點(diǎn)來自小波變換的多分辨分析和小波基函數(shù)的正交性。11/25/202217機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時，信號所包含機(jī)器不同零部件5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義在平方可積實(shí)數(shù)空間的多分辨分析是指存在一系列的閉子空間，（代表分辨率為的多分辨分析子空間）是在中的正交補(bǔ)空間。這些子空間具有以下性質(zhì)：1)一致單調(diào)性：

(5.2.7)性質(zhì)1)表明分辨率為的子空間中的逼近信號包含了分辨率為的子空間的信息以及分辨率低于的所有信息。這也稱為因果性質(zhì)。2)漸近完全性：(5.2.8)性質(zhì)2)表明所有子空間組成函數(shù)空間。隨著分辨率的提高，逼近信號就更接近原始信號；反之，隨著分辨率的降低，逼近信號所包含的信息就越來越少。因此，在以分辨率為時得到的逼近信號與原始信號相比較，將會丟失部分信息。11/25/202218機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義3)伸縮規(guī)則性：

(5.2.9)性質(zhì)3)表明所有的子空間可以由一個基本空間通過尺度的伸縮變化得到，在不同的分辨率時，逼近運(yùn)算相同。4)平移不變性：(5.2.10)性質(zhì)4)表明子空間信號在時間上平移，信號仍在該子空間，分辨率不變。5)正交補(bǔ)全性：(5.2.11)

符號表示“正交和”。是尺度函數(shù)空間，是小波函數(shù)空間，它們相互正交，即⊥。，尺度函數(shù)與小波函數(shù)正交,內(nèi)積(5.2.13)反復(fù)使用式(5.2.11)和關(guān)系⊥，得到小波逼近空間表達(dá)式(5.2.13)11/25/202219機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義6)Riesz基存在性:存在,使是的Riesz基。

同樣使構(gòu)成的Riesz基(5.2.12)性質(zhì)6)指存在正常數(shù),有,對于任意序列（表示所有雙無限平方可求和序列空間）滿足(5.2.15)上式是的有界性條件，

A和B分別稱為Riesz基下界和上界。根據(jù)式(5.2.9)的伸縮規(guī)則性，如果是空間的Riesz基，則是空間的Riesz基。Riesz基的特點(diǎn)是它的元素線性獨(dú)立，沒有冗余的元素。就能保證小波的冗余度盡可能小，這對信號的特征提取十分有利。

11/25/202220機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義基于多分辨分析逼近空間和細(xì)節(jié)空間的頻帶范圍。設(shè)空間中信號屬于子空間，的頻譜區(qū)間為,則…

…

…

…

…

…

小波變換的多分辨分析將信號分解到互相銜接的頻帶和中。選定或子空間中的分解信號，相當(dāng)于獲得了濃縮的故障診斷信息，具有理想的工程實(shí)用價值。

11/25/202221機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取在機(jī)械動態(tài)分析與監(jiān)測診斷過程中，希望盡可能減少小波基的冗余性，期望小波函數(shù)線性獨(dú)立，即希望小波函數(shù)是一個Riesz基。由于正交性能夠保證獨(dú)立性，正交基是完備的內(nèi)積空間(Hilbert空間)最理想的基函數(shù)，所以我們最感興趣于尋找小波函數(shù)是正交基。定義5.2.1（正交小波）定理5.2.1（標(biāo)準(zhǔn)正交基和尺度函數(shù)）定理5.2.2

（由正交尺度基函數(shù)構(gòu)造出正交小波基函數(shù)）

11/25/202222機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取從包容關(guān)系，有，所以可以利用子空間的尺度基函數(shù)展開，展開系數(shù)為。由于，小波基函數(shù)，這一包容關(guān)系表明可以用中的尺度基函數(shù)展開，展開系數(shù)為，有雙尺度關(guān)系(5.2.19)11/25/202223機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取根據(jù)式(5.2.19)表示的雙尺度關(guān)系，中的尺度函數(shù)和中的小波函數(shù)均可由中的尺度函數(shù)給出。設(shè)，尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別為(5.2.20)(5.2.21)(5.2.20)(d)t10φ(2t)1/21t10φ(2t-1)1/21t10ψ(t)1/21-1t10φ(t)1(a)(b)(c)11/25/202224機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取序列,稱為正交鏡像濾波器(Quadrature

Mirror

Filters，QMF)，有,。和是QMF的頻域形式。由尺度函數(shù)和小波函數(shù)的正交性及雙尺度方程得(5.2.27)(5.2.28)(5.2.29)構(gòu)造正交小波時濾波器和必須滿足以上三個條件，它們分別來自尺度函數(shù)的正交性、小波函數(shù)的正交性以及尺度函數(shù)與小波函數(shù)之間的正交性。11/25/202225機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取小波系數(shù)與尺度系數(shù)之間的關(guān)系由式(5.2.28)和(5.2.29)，可得到

(5.2.30)由上式及(5.2.26)可得到兩個濾波器系數(shù)之間的關(guān)系

(5.2.31)比較最后兩個等式兩邊的系數(shù)，可以得到(5.2.32)若是實(shí)序列，共軛符號省略。

11/25/202226機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取構(gòu)造滿足正交三條件的濾波器和方法1、設(shè)計(jì)滿足式(5.2.27)的濾波器,再根據(jù)式(5.2.30)設(shè)計(jì)濾波器。2、由得到，再由式(5.2.32)直接得到。S.G.Mallat基于2p+1階多項(xiàng)式樣條函數(shù)構(gòu)造出(5.2.33)由式(5.2.23)，有關(guān)系，可得到根據(jù)式(5.2.24)和(5.2.30)，得到。(5.2.34)11/25/202227機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取當(dāng)，則，尺度函數(shù)及其傅里葉變換、小波函數(shù)及其傅里葉變換如圖所示。允許正頻率通過的區(qū)間是，而允許正頻率通過的區(qū)間是，二者在0到區(qū)間恰好正交互補(bǔ)。獨(dú)立化提取信息。系數(shù)見表5.2.1。11/25/202228機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取有了低通、帶通濾波序列和，就能方便地通過小波變換進(jìn)行信息獨(dú)立化提取。設(shè)是多分辨向量空間中的線性投影算子，以分辨率逼近能量有限可測信號。與最相似。由于，得到唯一的表達(dá)式(5.2.36)稱為逼近信號，是分辨率為的細(xì)節(jié)信號，它包含和之間的信息差。重復(fù)式(5.2.36)過程，可得(5.2.37)11/25/202229機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取設(shè)離散采樣信號為，，數(shù)據(jù)長度為，其分辨率是，將信號表示為。得到相應(yīng)的分解表達(dá)式(5.2.43)Mallat在文獻(xiàn)[13]里給出的實(shí)系數(shù)值，式(5.2.43)可寫成

(5.2.44)和是隔二抽取結(jié)果，數(shù)據(jù)長度分別是信號的數(shù)據(jù)之半。信號重構(gòu)表達(dá)式為(5.2.45)11/25/202230機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化1.1內(nèi)積變換原理

函數(shù)，的內(nèi)積定義

信號的傅里葉變換信號的小波變換1信號處理的內(nèi)積與基函數(shù)

11/25/202231機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室1.1內(nèi)積變換原理函數(shù)，的內(nèi)積定義1信小波變換的逼近信號和細(xì)節(jié)信號為

為尺度函數(shù)；為小波函數(shù)。雙尺度關(guān)系:

和分別是低通和高通濾波器系數(shù)。1.2小波變換的內(nèi)積運(yùn)算

11/25/202232機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室小波變換的逼近信號和細(xì)節(jié)信號為1.2小波變小波變換的分解表達(dá)式

基函數(shù)分解關(guān)系小波變換的重構(gòu)表達(dá)式11/25/202233機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室小波變換的分解表達(dá)式11/22/202233機(jī)械工程學(xué)院5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取Mallat塔形算法,不涉及尺度函數(shù)和小波函數(shù),直接運(yùn)用和參與運(yùn)算，運(yùn)算量正比于。每次分解所得到的逼近信號和細(xì)節(jié)信號的數(shù)據(jù)長度是上一次逼近信號數(shù)據(jù)長度的一半。當(dāng)次分解后，逼近信號和細(xì)節(jié)信號的數(shù)據(jù)長度縮減為原始信號數(shù)據(jù)長度的。在重構(gòu)計(jì)算的每一步中，先在數(shù)據(jù)之間插補(bǔ)零后再參與同低通、帶通濾波器系數(shù)的運(yùn)算，結(jié)果重構(gòu)數(shù)據(jù)長度加倍。Mallat的塔形算法在小波分析中的地位就相當(dāng)于快速傅里葉算法在傅里葉變換中的地位。正交小波變換將原始信號分解到各自獨(dú)立的頻帶中，正交性保證了這些狀態(tài)信息無冗余、無疏漏，排除了干擾，濃縮了監(jiān)測診斷信息。11/25/202234機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測

5.4工程應(yīng)用

11/25/202235機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換115.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波變換對信號的分解都是對低頻逼近信號進(jìn)行再分解，不再對高頻細(xì)節(jié)信號進(jìn)行分解。小波變換分解方式，高頻頻帶信號的時間分辨率高而頻率分辨率低，低頻頻帶信號的時間分辨率低而頻率分辨率高。小波包(waveletpacket)提高高頻頻帶信號的頻率分辨率。信號的小波分解信號的小波包分解

11/25/202236機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波變換對信號的分解都5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測設(shè)序列滿足(5.3.1)

現(xiàn)定義一組遞歸函數(shù),n=1,，它們由尺度函數(shù)和小波函數(shù)產(chǎn)生，有關(guān)系

和(5.3.2)式中，兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當(dāng)時，上式的和分別對應(yīng)于和。定義5.3.1

由式(5.3.2)產(chǎn)生的序列稱為由基函數(shù)確定的小波包。11/25/202237機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測設(shè)序列5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測根據(jù)多分辨分析關(guān)系，用代替，得到小波包子空間中的分解關(guān)系(5.3.13)小波包對小波子空間進(jìn)行逐步分解，令n=1,2,…；j=1,2,…，得到如下的分解表示

………(5.3.14)………的分解可用來表示，分解信號為

，

m=0,1,2,11/25/202238機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測根據(jù)多分辨分析關(guān)系5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波包信號分解是正交分解，能量守衡，有如下關(guān)系(5.3.18)這里表示信號的能量。數(shù)據(jù)為，能量為(5.3.19)歸一化相對能量表示。第

m頻帶分解信號相對能量為(5.3.20)根據(jù)能量守衡原理，顯然有(5.3.21)11/25/202239機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波包信號分解是正交分第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測

5.4工程應(yīng)用

11/25/202240機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換115.4工程應(yīng)用5.4.1軋鋼機(jī)振動分析

鋼廠熱軋機(jī)電機(jī)功率1MW，轉(zhuǎn)速591r/min。用加速度傳感器測試電機(jī)滑動軸承座的垂直振動。

圖5.4.1軋制過程電機(jī)測點(diǎn)的振動波形

圖5.4.2軋制過程振動信號的小波分解

鋼坯進(jìn)入軋機(jī)的沖擊引起的寬帶響應(yīng)。具有明顯的幅值調(diào)制現(xiàn)象。高頻細(xì)節(jié)信號波形雜亂、密集隨機(jī)脈沖。電機(jī)軸瓦中因潤滑不良造成的干摩擦及碰摩現(xiàn)象。11/25/202241機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.4工程應(yīng)用5.4.1軋鋼機(jī)振動分析鋼坯進(jìn)入軋機(jī)的5.4工程應(yīng)用5.4.2大型礦山電鏟提升系統(tǒng)振動分析

WK3B-4電鏟提升系統(tǒng)工況分析。

圖5.4.3電鏟提升系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和測點(diǎn)

圖5.4.4測點(diǎn)5在下降-停止-再啟動過程的振動波形

圖5.4.5測點(diǎn)5在下降-停止-再啟動過程的STFT圖5.4.7提升增速過程測點(diǎn)4振動波形和STFT11/25/202242機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.4工程應(yīng)用5.4.2大型礦山電鏟提升系統(tǒng)振動分析115.4.3壓縮機(jī)齒輪箱軸瓦監(jiān)測診斷3#軸瓦修前振動波形和小波包分解3#軸瓦修后振動波形和小波包分解11/25/202243機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.4.3壓縮機(jī)齒輪箱軸瓦監(jiān)測診斷3#軸瓦修前振動波形和小5.4.4汽輪發(fā)電機(jī)組軸瓦松動故障診斷

檢修前4#軸瓦垂直振動時域波形檢修前4#軸瓦垂直振動的FFT頻譜

檢修前4#軸瓦垂直振動的小波包能量監(jiān)測

11/25/202244機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.4.4汽輪發(fā)電機(jī)組軸瓦松動故障診斷檢修前4#軸瓦垂直5.4.4汽輪發(fā)電機(jī)組軸瓦松動故障診斷檢修后4#軸瓦垂直振動時域波形檢修后4#軸瓦垂直振動的FFT頻譜

檢修后4#軸瓦垂直振動的小波包能量監(jiān)測

11/25/202245機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.4.4汽輪發(fā)電機(jī)組軸瓦松動故障診斷檢修后4#軸瓦垂直振5.4.5高壓透平蒸汽激振分析高壓缸1#軸瓦振動波形高壓缸2#軸瓦振動波形

1#軸瓦振動小波包分解頻帶能量監(jiān)測2#軸瓦振動的小波包分解頻帶能量監(jiān)測

11/25/202246機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.4.5高壓透平蒸汽激振分析高壓缸1#軸瓦振動波形5.4.5高壓透平蒸汽激振分析1#軸瓦振動的倒頻譜2#軸瓦振動的倒頻譜

1#軸瓦振動的倒頻譜2#軸瓦振動的倒頻譜

11/25/202247機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.4.5高壓透平蒸汽激振分析1#軸瓦振動的倒頻譜5.4.5高壓透平蒸汽激振分析蒸汽激振的特點(diǎn)是：

1）振動對氣流壓力、流量很敏感；2）振動隨負(fù)荷的改變發(fā)生明顯變化；3）振蕩頻率等于或高于轉(zhuǎn)子的一階臨界頻率；4）一般情況下都發(fā)生在高、中壓轉(zhuǎn)子上。蒸汽激振的診斷和故障排除：高壓缸四根主進(jìn)汽管的大修方式不合理，造成高壓缸熱態(tài)膨脹不暢和缸體扭曲。

重新調(diào)整高壓缸各主進(jìn)汽管道在常溫下的長度，檢修損壞的噴嘴，調(diào)整噴嘴與葉片的間隙。圖5.4.28蒸汽激振力分析

11/25/202248機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.4.5高壓透平蒸汽激振分析蒸汽激振的特點(diǎn)是：11/2現(xiàn)代信號處理技術(shù)及應(yīng)用

ModernSignalProcessingTechnologyandItsApplication

何正嘉訾艷陽張西寧

西

安

交

通

大

學(xué)

西安交通大學(xué)研究生創(chuàng)新教育系列教材

11/25/202249機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室現(xiàn)代信號處理技術(shù)及應(yīng)用

ModernSignalProc第五章非平穩(wěn)信號處理方法經(jīng)典的傅里葉分析能夠完美地描繪平穩(wěn)的正弦信號及其組合，但不能恰當(dāng)?shù)胤从撤瞧椒€(wěn)信號的特征。

許多隨機(jī)過程從本質(zhì)上來講是非平穩(wěn)的，例如語音信號、沖擊響應(yīng)信號、機(jī)組啟、停機(jī)信號等。必須尋找既能夠反映時域特征又能夠反映頻域特征的新方法。本章介紹短時傅里葉變換、小波變換和小波包分析等非平穩(wěn)信號分析方法的原理、特點(diǎn)及其在工程中的應(yīng)用。11/25/202250機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號處理方法經(jīng)典的傅里葉分析能夠完美地描繪第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測

5.4工程應(yīng)用

11/25/202251機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換11第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測

5.4工程應(yīng)用

11/25/202252機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換115.1短時傅里葉變換傅里葉變換用平穩(wěn)的正弦波作為基函數(shù)，通過內(nèi)積運(yùn)算去變換信號，得到其頻譜。(5.1.1)這一變換建立了一個從時域到頻域的譜分析通道。頻譜X(f)顯示了用正弦基函數(shù)分解出x(t)中任一正弦頻率f的總強(qiáng)度。傅里葉譜分析提供了平均的頻譜系數(shù)，只與頻率f有關(guān)，而與時間t無關(guān)。傅里葉分析還要求所分析的隨機(jī)過程是平穩(wěn)的.

1946年Gabor提出了窗口傅里葉變換，稱為短時傅里葉變換（ShortTimeFourierTransform,STFT）。

11/25/202253機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.1短時傅里葉變換傅里葉變換用平穩(wěn)的正弦波作為基函數(shù)5.1短時傅里葉變換由加窗信號的傅里葉變換產(chǎn)生短時傅里葉變換。(5.1.2)是中心位于，高度為

1、寬度有限的時窗函數(shù)，通過所觀察到的信號的部分是。是

STFT的基函數(shù)。

tx(t)h(t)h(t-τ)x(t)h(t)τ0111/25/202254機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.1短時傅里葉變換由加窗信號的傅里葉5.1短時傅里葉變換

窗函數(shù)的選取是關(guān)鍵。最優(yōu)窗函數(shù)是高斯函數(shù)。

(5.1.3)高斯窗函數(shù)的形狀是：

1，1/4，1/16

11/25/202255機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.1短時傅里葉變換窗函數(shù)的選取是關(guān)鍵。最優(yōu)窗5.1短時傅里葉變換給定窗函數(shù)和它的傅里葉變換，則帶寬為(5.1.4)STFT的頻率分辨率是。兩個正弦波之間的頻率間隔大于，則可區(qū)分這兩個正弦波。STFT的時間分辨率是，有(5.1.5)兩個脈沖的時間間隔大于，則可區(qū)分這兩個脈沖。

11/25/202256機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.1短時傅里葉變換給定窗函數(shù)和它的傅里葉變換5.1短時傅里葉變換時間分辨率和頻率分辨率不可能同時任意小，根據(jù)Heisenberg不確定性原理，有以下限制(5.1.6)上式中，當(dāng)且僅當(dāng)采用了高斯窗函數(shù)，等式成立。時間分辨率和頻率分辨率一旦確定，則STFT在整個時頻平面上的時頻分辨率保持不變。短時傅里葉變換能夠分析非平穩(wěn)動態(tài)信號，其基礎(chǔ)是傅里葉變換，更適合分析準(zhǔn)平穩(wěn)(quasi-stationary)信號。反映信號高頻成份需要用窄時窗，而反映信號低頻成份需要用寬時窗。短時傅里葉變換不能同時滿足這些要求。11/25/202257機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.1短時傅里葉變換時間分辨率和頻率分辨率第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換

5.2小波變換

5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測

5.4工程應(yīng)用

11/25/202258機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換115.2小波變換近年來在工具和方法上有重大突破的小波變換，為非平穩(wěn)信號分析展示了美好的前景?！靶〔ā本褪切〉牟ㄐ巍Ｋ^“小”是指局部非零，波形具有衰減性；“波”則是指它具有波動性，包含有頻率的特性。小波分析的思想來源于伸縮和平移方法。1910年A.Haar提出的規(guī)范正交系1984年，J.Morlet在分析地震數(shù)據(jù)的局部性時引進(jìn)了小波概念。1986年，Y.Meyer構(gòu)造出二進(jìn)伸縮、平移小波基函數(shù)，掀起小波研究熱潮。1987年，S.G.Mallat將多分辨思想引入小波分析，提出快速塔形算法。1988年，I.Daubechies構(gòu)造了緊支集正交小波基，完善小波理論體系。1989到1991年，R.R.Coifman、M.V.Wickerhauser等提出小波包及算法。1997年，W.Sweldens提出第二代小波變換的概念和算法。近一個世紀(jì)，特別是近二十年來，小波理論和算法發(fā)展突飛猛進(jìn)。為信號處理領(lǐng)域里各自獨(dú)立開發(fā)的方法建立了一個統(tǒng)一的框架11/25/202259機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換近年來在工具和方法上有重大突破的小波變換，5.2小波變換由基本小波或母小波通過伸縮a和平移b產(chǎn)生一個函數(shù)族稱為小波。有(5.2.1)

式中是尺度因子，，是時移因子。，波形收縮；，波形伸展。保證在不同的值下，即在小波函數(shù)的伸縮過程中能量保持相等。信號的小波變換為(5.2.2)小波變換是用小波基函數(shù)代替傅里葉變換中的基函數(shù)以及短時傅里葉變換中的基函數(shù)而進(jìn)行的內(nèi)積運(yùn)算。小波變換的實(shí)質(zhì)就是以基函數(shù)的形式將信號分解為不同頻帶的子信號。11/25/202260機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換由基本小波或母小波通過伸縮5.2小波變換對信號進(jìn)行小波變換相當(dāng)于通過小波的尺度因子和時移因子變化去觀察信號。小波變換的局部化是變化的，在高頻處時間分辨率高，頻率分辨率低；在低頻處時間分辨率低，頻率分辨率高，即具有“變焦”的性質(zhì)，也就是具有自適應(yīng)窗的性質(zhì)。

尺度時寬減?。l寬增大）時寬增大（頻寬減?。﹖平移bcc′d′da11/25/202261機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換對信號進(jìn)行小波變換相當(dāng)于通過小5.2小波變換式(5.2.2)通過變量置換可改寫為(5.2.3)隨著尺度因子的改變，通過一個恒定的濾波器觀察到被伸展或壓縮了的信號波形。尺度因子解釋了信號在變換過程中尺度的變化，用大尺度可觀察信號的總體，用小尺度可觀察信號的細(xì)節(jié)。式(5.2.3)解釋了為什么在S.G.Mallat的小波信號分解塔形快速算法中，始終使用同樣的低通與高通濾波器的道理。11/25/202262機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換式(5.2.2)通過變量置換可改寫為115.2小波變換小波函數(shù)族還可采用如下定義：(5.2.4)優(yōu)點(diǎn)是在不同尺度下可以保持各的頻譜中幅頻特性大小一致。因?yàn)?/p>

設(shè)的傅里葉變換是，則的傅里葉變換是與相比，只有頻率坐標(biāo)比例變化，幅度沒有變化。

參見p48性質(zhì)(4)

11/25/202263機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換小波函數(shù)族還可采用如下定義：11/22/5.2小波變換式(5.2.2)的內(nèi)積運(yùn)算可以用卷積運(yùn)算來表示。這是因?yàn)閮?nèi)積：5.2.4)卷積：

或記作

兩式相比較，只是將改成，即首尾對調(diào)。如果是關(guān)于的對稱函數(shù)，則計(jì)算結(jié)果無區(qū)別；如果是非對稱，在計(jì)算方法上也無本質(zhì)區(qū)別。11/25/202264機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換式(5.2.2)的內(nèi)積運(yùn)算可以用卷積運(yùn)算來5.2小波變換當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時，信號所包含機(jī)器不同零部件的故障特征頻率分布在不同的頻帶里。如何提取這些被淹沒的微弱信息而實(shí)現(xiàn)故障的早期診斷問題，往往使傳統(tǒng)的信號分析技術(shù)無能為力。小波變換能夠?qū)崿F(xiàn)信號在不同頻帶、不同時刻的合理分離。這種分離相當(dāng)于同時使用一個低通濾波器和若干個帶通濾波器而不丟失任何原始信息。為機(jī)器零部件故障特征頻率的分離、微弱信息的提取以實(shí)現(xiàn)早期故障診斷提供了高效、有力的工具。特別要強(qiáng)調(diào)，這些優(yōu)點(diǎn)來自小波變換的多分辨分析和小波基函數(shù)的正交性。11/25/202265機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時，信號所包含機(jī)器不同零部件5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義在平方可積實(shí)數(shù)空間的多分辨分析是指存在一系列的閉子空間，（代表分辨率為的多分辨分析子空間）是在中的正交補(bǔ)空間。這些子空間具有以下性質(zhì)：1)一致單調(diào)性：

(5.2.7)性質(zhì)1)表明分辨率為的子空間中的逼近信號包含了分辨率為的子空間的信息以及分辨率低于的所有信息。這也稱為因果性質(zhì)。2)漸近完全性：(5.2.8)性質(zhì)2)表明所有子空間組成函數(shù)空間。隨著分辨率的提高，逼近信號就更接近原始信號；反之，隨著分辨率的降低，逼近信號所包含的信息就越來越少。因此，在以分辨率為時得到的逼近信號與原始信號相比較，將會丟失部分信息。11/25/202266機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義3)伸縮規(guī)則性：

(5.2.9)性質(zhì)3)表明所有的子空間可以由一個基本空間通過尺度的伸縮變化得到，在不同的分辨率時，逼近運(yùn)算相同。4)平移不變性：(5.2.10)性質(zhì)4)表明子空間信號在時間上平移，信號仍在該子空間，分辨率不變。5)正交補(bǔ)全性：(5.2.11)

符號表示“正交和”。是尺度函數(shù)空間，是小波函數(shù)空間，它們相互正交，即⊥。，尺度函數(shù)與小波函數(shù)正交,內(nèi)積(5.2.13)反復(fù)使用式(5.2.11)和關(guān)系⊥，得到小波逼近空間表達(dá)式(5.2.13)11/25/202267機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義6)Riesz基存在性:存在,使是的Riesz基。

同樣使構(gòu)成的Riesz基(5.2.12)性質(zhì)6)指存在正常數(shù),有,對于任意序列（表示所有雙無限平方可求和序列空間）滿足(5.2.15)上式是的有界性條件，

A和B分別稱為Riesz基下界和上界。根據(jù)式(5.2.9)的伸縮規(guī)則性，如果是空間的Riesz基，則是空間的Riesz基。Riesz基的特點(diǎn)是它的元素線性獨(dú)立，沒有冗余的元素。就能保證小波的冗余度盡可能小，這對信號的特征提取十分有利。

11/25/202268機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義基于多分辨分析逼近空間和細(xì)節(jié)空間的頻帶范圍。設(shè)空間中信號屬于子空間，的頻譜區(qū)間為,則…

…

…

…

…

…

小波變換的多分辨分析將信號分解到互相銜接的頻帶和中。選定或子空間中的分解信號，相當(dāng)于獲得了濃縮的故障診斷信息，具有理想的工程實(shí)用價值。

11/25/202269機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義11/25.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取在機(jī)械動態(tài)分析與監(jiān)測診斷過程中，希望盡可能減少小波基的冗余性，期望小波函數(shù)線性獨(dú)立，即希望小波函數(shù)是一個Riesz基。由于正交性能夠保證獨(dú)立性，正交基是完備的內(nèi)積空間(Hilbert空間)最理想的基函數(shù)，所以我們最感興趣于尋找小波函數(shù)是正交基。定義5.2.1（正交小波）定理5.2.1（標(biāo)準(zhǔn)正交基和尺度函數(shù)）定理5.2.2

（由正交尺度基函數(shù)構(gòu)造出正交小波基函數(shù)）

11/25/202270機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取從包容關(guān)系，有，所以可以利用子空間的尺度基函數(shù)展開，展開系數(shù)為。由于，小波基函數(shù)，這一包容關(guān)系表明可以用中的尺度基函數(shù)展開，展開系數(shù)為，有雙尺度關(guān)系(5.2.19)11/25/202271機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取根據(jù)式(5.2.19)表示的雙尺度關(guān)系，中的尺度函數(shù)和中的小波函數(shù)均可由中的尺度函數(shù)給出。設(shè)，尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別為(5.2.20)(5.2.21)(5.2.20)(d)t10φ(2t)1/21t10φ(2t-1)1/21t10ψ(t)1/21-1t10φ(t)1(a)(b)(c)11/25/202272機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取序列,稱為正交鏡像濾波器(Quadrature

Mirror

Filters，QMF)，有,。和是QMF的頻域形式。由尺度函數(shù)和小波函數(shù)的正交性及雙尺度方程得(5.2.27)(5.2.28)(5.2.29)構(gòu)造正交小波時濾波器和必須滿足以上三個條件，它們分別來自尺度函數(shù)的正交性、小波函數(shù)的正交性以及尺度函數(shù)與小波函數(shù)之間的正交性。11/25/202273機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取小波系數(shù)與尺度系數(shù)之間的關(guān)系由式(5.2.28)和(5.2.29)，可得到

(5.2.30)由上式及(5.2.26)可得到兩個濾波器系數(shù)之間的關(guān)系

(5.2.31)比較最后兩個等式兩邊的系數(shù)，可以得到(5.2.32)若是實(shí)序列，共軛符號省略。

11/25/202274機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取構(gòu)造滿足正交三條件的濾波器和方法1、設(shè)計(jì)滿足式(5.2.27)的濾波器,再根據(jù)式(5.2.30)設(shè)計(jì)濾波器。2、由得到，再由式(5.2.32)直接得到。S.G.Mallat基于2p+1階多項(xiàng)式樣條函數(shù)構(gòu)造出(5.2.33)由式(5.2.23)，有關(guān)系，可得到根據(jù)式(5.2.24)和(5.2.30)，得到。(5.2.34)11/25/202275機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取當(dāng)，則，尺度函數(shù)及其傅里葉變換、小波函數(shù)及其傅里葉變換如圖所示。允許正頻率通過的區(qū)間是，而允許正頻率通過的區(qū)間是，二者在0到區(qū)間恰好正交互補(bǔ)。獨(dú)立化提取信息。系數(shù)見表5.2.1。11/25/202276機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取有了低通、帶通濾波序列和，就能方便地通過小波變換進(jìn)行信息獨(dú)立化提取。設(shè)是多分辨向量空間中的線性投影算子，以分辨率逼近能量有限可測信號。與最相似。由于，得到唯一的表達(dá)式(5.2.36)稱為逼近信號，是分辨率為的細(xì)節(jié)信號，它包含和之間的信息差。重復(fù)式(5.2.36)過程，可得(5.2.37)11/25/202277機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取設(shè)離散采樣信號為，，數(shù)據(jù)長度為，其分辨率是，將信號表示為。得到相應(yīng)的分解表達(dá)式(5.2.43)Mallat在文獻(xiàn)[13]里給出的實(shí)系數(shù)值，式(5.2.43)可寫成

(5.2.44)和是隔二抽取結(jié)果，數(shù)據(jù)長度分別是信號的數(shù)據(jù)之半。信號重構(gòu)表達(dá)式為(5.2.45)11/25/202278機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化1.1內(nèi)積變換原理

函數(shù)，的內(nèi)積定義

信號的傅里葉變換信號的小波變換1信號處理的內(nèi)積與基函數(shù)

11/25/202279機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室1.1內(nèi)積變換原理函數(shù)，的內(nèi)積定義1信小波變換的逼近信號和細(xì)節(jié)信號為

為尺度函數(shù)；為小波函數(shù)。雙尺度關(guān)系:

和分別是低通和高通濾波器系數(shù)。1.2小波變換的內(nèi)積運(yùn)算

11/25/202280機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室小波變換的逼近信號和細(xì)節(jié)信號為1.2小波變小波變換的分解表達(dá)式

基函數(shù)分解關(guān)系小波變換的重構(gòu)表達(dá)式11/25/202281機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室小波變換的分解表達(dá)式11/22/202233機(jī)械工程學(xué)院5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取Mallat塔形算法,不涉及尺度函數(shù)和小波函數(shù),直接運(yùn)用和參與運(yùn)算，運(yùn)算量正比于。每次分解所得到的逼近信號和細(xì)節(jié)信號的數(shù)據(jù)長度是上一次逼近信號數(shù)據(jù)長度的一半。當(dāng)次分解后，逼近信號和細(xì)節(jié)信號的數(shù)據(jù)長度縮減為原始信號數(shù)據(jù)長度的。在重構(gòu)計(jì)算的每一步中，先在數(shù)據(jù)之間插補(bǔ)零后再參與同低通、帶通濾波器系數(shù)的運(yùn)算，結(jié)果重構(gòu)數(shù)據(jù)長度加倍。Mallat的塔形算法在小波分析中的地位就相當(dāng)于快速傅里葉算法在傅里葉變換中的地位。正交小波變換將原始信號分解到各自獨(dú)立的頻帶中，正交性保證了這些狀態(tài)信息無冗余、無疏漏，排除了干擾，濃縮了監(jiān)測診斷信息。11/25/202282機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測

5.4工程應(yīng)用

11/25/202283機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號處理方法5.1短時傅里葉變換115.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波變換對信號的分解都是對低頻逼近信號進(jìn)行再分解，不再對高頻細(xì)節(jié)信號進(jìn)行分解。小波變換分解方式，高頻頻帶信號的時間分辨率高而頻率分辨率低，低頻頻帶信號的時間分辨率低而頻率分辨率高。小波包(waveletpacket)提高高頻頻帶信號的頻率分辨率。信號的小波分解信號的小波包分解

11/25/202284機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動態(tài)室5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波變換對信號的分解都5.3小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測設(shè)序列滿足(5.3.1)

現(xiàn)定義一組遞