應用地電學B課件：第2章-傳導(直流)電場的理論基礎

傳導（直流）

地電場的理論基礎應用地電學B傳導（直流）

地電場的理論基礎應用地電學B本節(jié)主要內(nèi)容2.1.地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律 2.1.1穩(wěn)定電流場的基本性質(zhì) 2.1.2穩(wěn)定電流場的微分方程的求解 2.1.3均勻大地中的穩(wěn)定電流場及電阻率

的測定 2.1.4簡單地電結構中的穩(wěn)定電流場2.2地下激電場的傳播規(guī)律 2.2.1等效電阻率法及均勻大地極化率的

測定 2.2.2激電場的邊界條件 2.2.3簡單地電結構中的激電場本節(jié)主要內(nèi)容2.1.地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律本節(jié)主要內(nèi)容2.3.傳導地電場正演問題的模擬方法2.3.1穩(wěn)定電流場的邊值問題2.3.2數(shù)值模擬方法2.3.3物理模擬方法本節(jié)主要內(nèi)容2.3.傳導地電場正演問題的模擬方法地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律，是傳導類（直流）電法勘探的理論基礎。傳導類電法勘探中，要探測地下地質(zhì)對象的存在與分布，首先要分析地下半空間建立的人工或天然電流場，然后研究由地質(zhì)對象所產(chǎn)生的電場的變化，從而達到探測地下構造的目的

地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律，是傳導類（2.1.1穩(wěn)定電流場的基本性質(zhì)復習：（宏觀）歐姆定律2.1.1穩(wěn)定電流場的基本性質(zhì)復習：（宏觀）歐姆定律穩(wěn)定電流場滿足歐姆定律，在微觀情況下，其微分形式是上式說明：穩(wěn)定電流場中任一點的電流密度與該點場強成正比，與介質(zhì)的電阻率成反比。上式既適用于均勻介質(zhì)的情況，也適用于非均勻介質(zhì)的情況。復習：（微觀）歐姆定律穩(wěn)定電流場滿足歐姆定律，在微觀情況上式說明：復習：（微觀）電流疊加定律

穩(wěn)定電流場滿足疊加原理，即多個電流源產(chǎn)生的電流場可以表示為各個獨立源單獨作用下產(chǎn)生的電流場的矢量和，即：電流的疊加復習：（微觀）電流疊加定律 穩(wěn)定電流場滿足疊加原理，即多個電在穩(wěn)定電流場J中，任取一個不含源的閉合曲面，流過任何一個閉合曲面的電流密度通量均等于零，即在某一個封閉曲面中，流入的電流總量與流出的電流總量是相等的（電流是連續(xù)的）上式為穩(wěn)定電流場的連續(xù)性方程式，由于矢量J滿足散度定理復習：基爾霍夫(Kirchoff)定律在穩(wěn)定電流場J中，任取一個不含源的閉合曲面，流過任何一個式中v為封閉面所包含的體積。由上兩式和可得：

即為基爾霍夫定律的微分形式矢量的散度表示場量的場源的性質(zhì)，基爾霍夫定律說明（在場源之外）電流不會憑空出現(xiàn)，也不會憑空消失，電流是處處連續(xù)的式中v為封閉面所包含的體積。由上兩式和即為基爾霍夫定律的微在穩(wěn)定電流場中，電荷的分布不隨時間而改變，它和靜電場一樣具有勢場特征，即場中任一點的電位只與該點到場源的相對位置有關，而與路徑無關，是保守場。

對場中某點，單位距離上電位u的變化（即電位的負梯度）就等于該點的電場強度，電位的下降方向表示了場強的正方向復習：電流場的勢在穩(wěn)定電流場中，電荷的分布不隨時間而改變，它和

即為數(shù)理方程中的拉普拉斯方程，上式反映了穩(wěn)定電流場的內(nèi)在規(guī)律。u為該方程的解。2.1.2穩(wěn)定電流場的微分方程的求解對于穩(wěn)定電流場而言，有若考慮求解的范圍內(nèi)無電流源則有：即為數(shù)理方程中的拉普拉斯方程，上式反映了穩(wěn)定電流場的內(nèi)直角坐標系中：圓柱坐標系中：球坐標系中：數(shù)學物理方程的解=通解+定解條件直角坐標系中：圓柱坐標系中：球坐標系中：數(shù)學物理方程的解=通對所研究的某一具體問題來說，它的解應該是唯一的。使場函數(shù)獲得唯一解所須附加的限定條件稱為定解條件。可以分為三類邊界條件，即：1）狄利克萊邊界條件（邊界上的值）2）紐曼邊界條件（邊界上的法向?qū)?shù)）3）混合邊界條件（一部分邊界給出狄利克萊邊界條件，另一部分給出紐曼邊界條件）在直流地電學模擬中，一般采用混合邊界條件進行定解對所研究的某一具體問題來說，它的解應該是唯一的。使場函數(shù)獲得中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作1)極限情況的邊界條件：當邊界點離供電點無窮遠時：當邊界點靠近供電點時：2)地面（空氣-地面界面）邊界條件：

地面上電流密度法向分量等于零（場源點除外）單極場源供電中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作當邊界點靠近供電點時：3)電性界面邊界條件：界面兩側的電位連續(xù)界面兩側的電流沿法向連續(xù)界面兩側的電場強度沿法向連續(xù)界面兩側的電流滿足類似于光學中的斯奈爾定律3)電性界面邊界條件：界面兩側的電流滿足類似于光學中的斯奈上式表明，在穩(wěn)定電流場中，電位處處有限且連續(xù)；在界面兩側，電流密度在法線方向連續(xù)。在傳導類電法中我們將要討論的各種理論曲線，就是針對不同地電模型，在不同的坐標系中求解偏微分方程得到的。電流場的微分方程上式表明，在穩(wěn)定電流場中，電位處處有限且連續(xù)；在界面兩側，電

假設地下半空間是均勻、各向同性的介質(zhì)。使用兩個供電電極將電流供入地下，然后在離供電電極一定距離的地方來觀測場的分布。由于電極大小相對于電極之間的距離（數(shù)百米-數(shù)公里）來說一般很小，因此我們可以把電極看作是一個點電源。2.1.3均勻大地中的穩(wěn)定電流場

及電阻率的測定假設地下半空間是均勻、各向同性的介質(zhì)。使用兩個1）單點電源的電場

點源在地表的情況

設在電阻率為ρ的無限半空間的地表，有一點電源A，其電流強度為+I。顯然，在距點源A為rAM點的電流密度矢量為：1）單點電源的電場上式代入，得到M點的電場強度兩邊積分，得到M點的電位為：上式中，由于當點電源一定時，I為常數(shù)。對于均勻、各向同性無限半空間地表，點電源場的電位分布與r成反比，其等位面是以點源為中心的一系列同心圓。上式代入，得到M點的電場強度兩邊積分，得到M點的計算地下電阻率…計算地下電阻率…點源在地下的情況電源不在地表時，地下的電流將不再是均勻分布，也無法用之前的公式進行計算鏡象法用位于場域邊界外虛設的較簡單的鏡像電荷/電流分布來等效替代該邊界上未知的較為復雜的電荷/電流分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。點源在地下的情況鏡象法中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作如果可以假設在地面上方存在一個極性相同，大小也相同的電流源，可以利用疊加原理，用鏡像法求解（虛電流源法）：當觀測點位于地面時，R=R’中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作當觀測點位于地面時，R而x方向的電場和電流即可表示為：在X=0處，電場強度與電流密度均為零，而在的位置，有兩個拐點，電場強度和電流密度最大而x方向的電場和電流即可表示為：在X=0處，電場強度與電流密2）兩個點電源的電場

當?shù)乇碛袃蓚€異性點電源供電時，根據(jù)電場的疊加原理，得到M點的電位表達式同理，便可求出兩個異性點電源在M點的場強2）兩個點電源的電場同理，便可求出兩個異性點電

(a)平面圖

(b)剖面圖

(c)地表電位剖面兩個點電源的電位及電場分布如下圖所示。兩個點電源的電位及電場分布如下圖所示。

由圖可見，越靠近電極，電位變化越大。在A極附近，電位迅速增高；在B極附近，電位迅速下降。在AB中部電位變化較慢，在AB中點電位為零。由圖可見，越靠近電極，電位變化越大。在討論均勻半空間電流密度隨深度的變化電流密度沿垂直方向的變化討論均勻半空間電流密度隨深度的變化電流密度沿垂直方向的變化

在地表AB連線的中點o處，由A、B兩個電極所形成的電流密度j0可以疊加為（5.3.3）同樣，在AB的中垂線上深度為h的M點處的電流密度（5.3.6）在地表AB連線的中點o處，由A、B兩個電（5.3.兩者的比值就可以寫為：兩者的比值就可以寫為：可見，對于一定的供電極距，電流的分布隨深度衰減。而對于比較小的極距，電流密度隨深度衰減快，比較大的深度處的電流密度已很微弱，從而難以探測到較深的異常體。對于比較大的極距，電流密度隨深度衰減慢，即比較大的深度處仍具有較大的電流密度，從而可能探測到較深處的異常體?？梢姡瑢τ谝欢ǖ墓╇姌O距，電流的分布隨深度衰減。

由圖可見，電流密度主要分布在靠近地表附近的范圍內(nèi)，隨著深度的加大，電流密度急劇減小。原則上說，要想加大勘探深度，只有相應地增大供電極距，從而使分配到一定深度范圍的電流密度的百分數(shù)相對增大。由圖可見，電流密度主要分布在靠近地表附近的范圍內(nèi)，隨著3）地表偶極電流源的地下電流場當正負兩個電流源相距很近，而兩者的距離a與測量的位置M相比可以忽略時，我們稱這兩個電極源為電偶極子源，或簡稱偶極源電偶極子3）地表偶極電流源的地下電流場電偶極子M點的電場強度可以分解為沿向徑OM的電場強度：和垂直向徑方向的電場強度：其中m為偶極子的電偶矩，a為ab的距離：當偶極源在地面時，地中任一點電位為：M點的電場強度可以分解為沿向徑OM的電場強度：其中m為偶極子中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作因此，E的總大小可以表示為：因此，電流密度可寫為：中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作因此，E的總大小可以表中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作而當觀測點位于地面時，θ=0或π，因此“變向角”的概念：地下電場在地下分布的方向α，與θ和β有關，當θ=θ0時：α=π/2,當θ>θ0時，α>π/2，當θ<θ0時，α<π/2，因此稱之為“變向角”中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作而當觀測點位于地面時，地下傾斜偶極源的情況設偶極源位于地下深度為h處，其傾斜角度為α，類似的可以得到偶極源的電勢、電場與電流分布地下傾斜偶極源的情況均勻場點源場偶極場地下不同位置電流場的分布規(guī)律均勻場點源場偶極場地下不同位置電流場的分布規(guī)律3）均勻大地電阻率的測定測量均勻大地的電阻率，原則上可以采用任意形式的電極排列來進行，即在地表任意兩點（A、B）供電，然后在任意兩點（M、N）來測量其間的電位差，根據(jù)式便可求出M、N兩點的電位。

一般在勘探上，為布設和計算方便，采用A/B/M/N同線的形式進行供電/采集3）均勻大地電阻率的測定以四極裝置為例，不難求出M、N兩點的電位：以四極裝置為例，不難求出M、N兩點的電位：從而大地電阻率的計算公式為

AB在MN間產(chǎn)生的電位差（5.2.13）（5.2.12）上式即為在均勻大地的地表采用任意電極裝置（或電極排列）測量電阻率的基本公式。其中K為電極裝置系數(shù)，其中：從而大地電阻率的計算公式為AB在MN間產(chǎn)生的電位差（5.2k是一個只與電極的空間位置有關的物理量。考慮到實際操作的便利性，在電法勘探中，一般總是把供電電極和測量電極置于一條直線上。k是一個只與電極的空間位置有關的物理量?？紤]到實際操作的便利在野外施工之前，如何測定巖礦石的電阻率?在野外施工之前，如何測定巖礦石的電阻率?①露頭測定法（in-situmeasurement）在原位測定最能代表巖礦石在自然地下環(huán)境中的電性特征。要求：a、露頭表面平坦，有一定面積（長：＞2AB，寬＞1.5AB）；b、觀測相互正交的兩個方向的電阻率；c、供電極可近似為“點源”；d、保證與露頭的接觸，使接地電阻盡量小。b、觀測相互正交的兩個方向的電阻率；②標本測定法標本的采集，一般要求均勻地分布于所研究地質(zhì)體的露頭上，標本應具有代表性。對不同巖性、結構、礦化、蝕變等各類巖（礦）石均應系統(tǒng)測定。采集時應作記錄，對標本的巖性進行必要的描述、編號，并將采集點點位標在地質(zhì)圖上②標本測定法要求：a、標本形狀要規(guī)整；b、在水中浸泡至飽和；c、測量時把標本擦干；d、注意滿足近似條件。標本電阻率的測量一般采用蠟封法或標本架法，利用歐姆定律進行計算要求：標本電阻率的測量樣本偏離度統(tǒng)計用基本觀測結果統(tǒng)計出來的常見值，與檢查觀測結果統(tǒng)計出來的常見值其相對誤差不得超過20%。檢查標本數(shù)量，應達到測定標本總數(shù)的10%；μ—平均相對誤差；

n—檢查標本的樣品數(shù)；Ai——第i件樣品一次測量結果；Bi——第i件樣品另一次測量結果。樣本偏離度統(tǒng)計

當?shù)孛嫠?、地下充滿均勻各項同性的導電巖石時，用上述公式的計算結果為均勻大地電阻率。若進行測量的地段地下巖石電性分布不均勻時，計算結果稱之為視電阻率，并用ρs表示。視電阻率及其定性分析方法當?shù)孛嫠?、地下充滿均勻各項同性的導電巖石時，（5.3.1）

這是電阻率法中最基本的計算公式。在電阻率法的實際工作中，一般測得的都是視電阻率，只當電極排列位于某種單一巖性的地層中時，才會測到該地層的真電阻率。視電阻率的微分公式：（5.3.3）（5.3.1）這是電阻率法中最基本的計算公

上式就是視電阻率和電流密度的關系式，或稱為視電阻率的微分公式。它表明某點的視電阻率和測量電極所在介質(zhì)的真電阻率成正比，其比例系數(shù)就是測量電極間實際電流密度與假設地下為均勻介質(zhì)時正常場電流密度之比。

顯然，jMN包含了在電場分布范圍內(nèi)各種電性地質(zhì)體的綜合影響。上式就是視電阻率和電流密度的關系式，或稱為視電

當?shù)叵掳肟臻g有低阻不均勻體存在時，由于正常電流線被低阻體所“吸引”，使地表MN處的實際電流密度減少，所以jMN<j0，s<MN

當?shù)叵掳肟臻g有低阻不均勻體存在時，由于正常電流線被低阻體所

相反，當?shù)叵掳肟臻g有高阻體存在時，由于正常電流線被高阻體所“排斥”，使地表MN處的實際電流密度增加，所以s

>MN。

因此，雖然視電阻率并非地下真實的電阻率，我們?nèi)钥梢酝ㄟ^地表觀測視電阻率的變化，揭示地下電性不均勻地質(zhì)體的存在和分布。相反，當?shù)叵掳肟臻g有高阻體存在時，由于正常電流線被高視電阻率與地電斷面性質(zhì)的關系（a）均勻巖石；（b）圍巖中賦存良導礦體；（c）圍巖中賦存高阻巖體視電阻率的定性分析視電阻率與地電斷面性質(zhì)的關系視電阻率的定性分析地下穩(wěn)定電流分布的定性規(guī)律總結①從正流到負；②電流守衡：電流總量不變；③能量最小原理： a、地面上j0達到最大值； b、隨深度增加,電流減??； c、高阻體-“排斥”電流，

低阻體-“吸引”電流④同種電荷相互排斥： a、分散流動，充滿整個地下半空間； b、高阻體上，地表電流j0

和電場E均大于均勻情況

低阻體上，地表電流j0

和電場E均小于均勻情況地下穩(wěn)定電流分布的定性規(guī)律總結1)均勻電流場中球體的電場全空間條件下設圍巖電阻率為ρ1，球體電阻率為ρ2，電流密度為j0,球體半徑為r0,可以將球內(nèi)外電位分解為所謂正常電位（背景場）和異常電位（異常場）2.1.4簡單地電結構中的穩(wěn)定電流場其中：U0為均勻電流場（背景場）的電位；U1a和U1a分別為球內(nèi)和球外的異常電位2.1.4簡單地電結構中的穩(wěn)定電流場其中：U0為均勻電流場問題轉化為如何求解異常場：由于背景場U0為均勻電流場，在球坐標下，容易求得：xyaj0電流線等位面由于球內(nèi)外電位具有軸對稱性質(zhì)，位函數(shù)應與θ無關，因此；問題轉化為如何求解異常場：由于背景場U0為均勻電流場，在球坐中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作從拉普拉斯方程出發(fā)，利用極限條件與邊界條件求解解出

的一般表達式，即可寫出球內(nèi)、外電位解得表達式然后根據(jù)極限條件與邊界條件確定系數(shù)，得到最終表達式

中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作從拉普拉斯方程出發(fā)，利半空間條件下由于地面電法的供電和測量均在地面分布，特別是討論球外的電場分布更有實際意義。地面的影響仍可以用鏡像法進行計算。當球體埋深比較深時，可忽略球體與地面以上鏡像的相互作用；這時，可以將球外表達式的異常部分簡單加倍得到地面一次電位的一階近似：在均勻電流場中，球外的異常分布與一個位于球心的水平電偶極子的電流場等效，此時的電偶矩為：半空間條件下2)點源電流場中的垂直電阻率接觸面設有點源A(I)位于垂直分界面左邊巖石的地面上，A與分界面的距離為d，左右兩側的電阻率分別為ρ1，ρ2，欲求地下空間內(nèi)的電場分布，同樣可以利用“鏡像法”進行求解。在界面左側某一點M處的電位即可用原始電源與鏡像源的疊加來表示：2)點源電流場中的垂直電阻率接觸面在界面左側某一點M處的電位在界面右側某一點M2處的電位可以類似的表示為：而根據(jù)電位分布的連續(xù)性定理，在中央界面處的電位應可表示為：在界面右側某一點M2處的電位可以類似的表示為：而根據(jù)電位分布除此以外，穩(wěn)定電流場中界面上電流密度的法向分量也應是連續(xù)的：由于在分界面上，r=r1=r2，因此：結合之前的結論，有：其中：除此以外，穩(wěn)定電流場中界面上電流密度的法向分量也應是連續(xù)的：我們設：則兩側電位可分別表示為：我們發(fā)現(xiàn)，在界面左側，系數(shù)K12好像決定了被分界面反射到左側的電流的作用，故稱K12為反射系數(shù)。在界面右側，系數(shù)1-K12好像決定了經(jīng)過分界面透射到左側的電流的作用，故稱1-K12為透射系數(shù)。我們設：則兩側電位可分別表示為：我們發(fā)現(xiàn)，在界面左側，系數(shù)K進而，我們可以寫出在電源距離分界面為d時，橫跨分界面方向(x)上的地表電場強度表達式：分析上述二式我們可以發(fā)現(xiàn)，在分界面右側（無實電源存在）的電場與點電源位于電阻率等于的均勻介質(zhì)中的電場等效。測點通過分界面時，電位曲線發(fā)生折曲，而電場發(fā)生躍變，電場兩側強度躍變的比值為進而，我們可以寫出在電源距離分界面為d時，橫跨分界面方向(x小結：地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律傳播基本規(guī)律歐姆定律/克?；舴蚨?電場的勢

求解勢場微分方程：拉普拉斯方程+定解條件點電源產(chǎn)生的電場單點電源/雙點電源(偶極源)電阻率法的測深原理

電流隨深度的增加而衰減，極距越大，衰減越慢均勻大地電阻率的測定視電阻率的概念

高阻“排斥”電流，低阻“吸引”電流小結：地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律傳播基本規(guī)律

在上一節(jié)中，我們討論了穩(wěn)定電流場在地下的傳播規(guī)律，在這一節(jié)中，我們將通過主要討論幾種規(guī)則幾何形體在直流長脈沖激發(fā)下通過理論計算方法取得的激電場，研究地下激電場的傳播規(guī)律滿足條件：1、極化電場達到穩(wěn)定（T->∞）2、場源以外的電位分布滿足拉普拉斯方程2.2地下激電場的傳播規(guī)律穩(wěn)定電流場激電場 在上一節(jié)中，我們討論了穩(wěn)定電流場在地下的傳播規(guī)律，在這一節(jié)1．等效電阻率的概念

在之前極化效應的測量裝置和測量結果中可以看到，由于存在激發(fā)極化效應，在流過標本的電流保持不變的條件下，標本兩端的極化總場電位差隨充電時間而增大。

2.2.1等效電阻率法及均勻大地極化率的測定1．等效電阻率的概念 2.2.1等效電阻率法及均勻大地極化

我們在上一章中了解到，這一隨時間的增大應是與巖礦石極化性質(zhì)有關。但另一方面，我們也可將上述現(xiàn)象理解為，體極化效應等效于體極化介質(zhì)電阻率的隨時間的增大。

顯然，真實的電阻率不可能隨時間增大，而為與介質(zhì)在無激電效應時的真電阻率相區(qū)別，我們將發(fā)生體極化效應時，極化體對極化總場的電阻率稱為“等效電阻率”。

顯然，等效電阻率隨頻率或充電時間而變。

真電阻率等效電阻率 我們在上一章中了解到，這一隨時間的增大應是與巖礦石極化性質(zhì)中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作設大地為均勻無限半空間，電阻率為ρ，（極限）極化率為η。則由地面點電源A（＋I)和B（一I）在地面M和N點產(chǎn)生的一次場電位差為在T0或f∞的極限情況下，總場電位U(T)|T0或U(f)|f∞趨于無激電效應的一次場電位

U1，等效電阻率ρ(T)|T0或ρ(iω)|ω∞就等于介質(zhì)真電阻率ρ。中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作設大地為均勻無限半空間在T∞或f0的另一極限情況下，總場電位趨于飽和值U(T)|T∞或U(f)|f0，此時的等效電阻率ρ(T)|T∞或ρ(iω)|ω0為“極限等效電阻率”，記為ρ*。此時總場電位差為即為時間趨于無窮時的等效電阻率（極化電阻率），我們知道時間域內(nèi)極化率的定義：兩邊除以I--》在T∞或f0的另一極限情況下，總場電位趨于飽和值U(T)中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作等效電阻率與真電阻率的關系：根據(jù)上述極化率的計算式和等效電阻率的計算式，可以寫出真電阻率（極限）等效電阻率中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作等效電阻率與真電阻率的均勻大地極化率的測定

為了確定大地的極化率，可以利用上述的“等效電阻率”法中的計算極化總場的電位差：

與上述的一次場的電位差公式相減：

即可得到二次場的電位差：從而得到均勻大地的極化率公式（與裝置系數(shù)無關）：均勻大地極化率的測定 為了確定大地的極化率，可以利用上述的“

所謂“等效電阻率”是從歐姆定律的角度，將激電附加二次電流場等效為極化體電阻率的改變對電流場的影響。既：將具有激電效應的地質(zhì)體利用純電阻體代替，將激電效應并入地質(zhì)體的電阻率看待。我們可以定義與分別為頻率域和時間域中的等效電阻率，分別為ω和T的函數(shù)。并有：——真電阻率——極限等效電阻率由極限極化率式，可推出所謂“等效電阻率”是從歐姆定律的角度，將激電附面極化

巖、礦石的激發(fā)極化一般可以近似分為面極化與體極化，因此討論激電場的邊界條件也可以類似的進行分類討論。

體極化2.2.2激電場的邊界條件面極化 巖、礦石的激發(fā)極化一般可以近似分為面極化與體極化，因(1)面極化的邊界條件

面極化中的雙電層都出現(xiàn)在在極化體與圍巖溶液的界面上，我們設極化體和圍巖的電阻率分別為ρ1和ρ2，兩側的電位分別為U1

和U2，我們回想起雙電層表面產(chǎn)生的過電位ΔΦ：其中k為面極化系數(shù)，顯然，界面兩側的電位差應為ΔΦ，于是我們就可以得到界面兩側電位的連續(xù)性表達式：ΔΦjn(1)面極化的邊界條件其中k為面極化系數(shù)，顯然，界面兩側的另一方面，界面兩側的電流應為連續(xù)的，我們就可以得到界面兩側電流的連續(xù)性表達式：此外，在圍巖內(nèi)部，以及礦物內(nèi)部應有：根據(jù)上述邊界條件即可解拉普拉斯方程求解面極化礦物的電勢場U分布jn另一方面，界面兩側的電流應為連續(xù)的，我們就可以得到界面兩側電（2）體極化的邊界條件

體極化可以認為是許多單個面極化體組成的礦體的整體效應，其雙電層出現(xiàn)在礦化顆粒與圍巖的界面上，而單個極化體可以近似的等效于電偶極子。單個礦化顆粒的極化強度可以用電偶極子的極矩pi來表示，那么總體的極化強度就可以用單位體積內(nèi)的等效電偶極矩來表示：在實際工作中所用的小充電電流的情況下，體極化可以近似認為是線性的，極化強度應與電流密度成正比：（2）體極化的邊界條件單個礦化顆粒的極化強度可以用電偶極子

說明體極化情況下，極化強度P在數(shù)值上等于截面上的等效電流面密度。

我們設極化體和圍巖的電阻率分別為ρ1和ρ2，兩側的電位分別為U1

和U2。我們?nèi)艨紤]一個很小的柱狀極化單元，如右圖所示，按定義，其等效電偶極矩為：若我們設柱狀體兩端通過電流為i,那么其極化強度可表示：說明體極化情況下，極化強度P在數(shù)值上等于截面上的等效電圍巖礦體U1U2ρ1，η1ρ2，η2體極化條件下，微小的極化單元成體分布于極化體內(nèi)，故在極化體與圍巖的界面上沒有電位躍變，即極化總場電位是連續(xù)的，即有：

除此以外，我們知道：由于界面兩側極化強度P一般不相等，所以截面上會出現(xiàn)剩余的等效極化電流源：而根據(jù)定義：，我們有：圍巖礦體U1U2ρ1，η1ρ2，η2體極化條件下，微小的極化除此以外，在界面上總場電流密度的法向分量也應滿足連續(xù)性方程：聯(lián)合上述兩個方程，不難得到：或者將電流密度轉換為電勢沿法向的導數(shù)形式：我們回想起之前的“等效電阻率”的定義：就可以將電阻率轉換為等效電阻率除此以外，在界面上總場電流密度的法向分量也應滿足連續(xù)性方程：總結一下體極化情況下的邊界條件：此外，在圍巖內(nèi)部，以及礦物內(nèi)部還應有：根據(jù)上述邊界條件即可解拉普拉斯方程求解面極化礦物的電勢場U分布總結一下體極化情況下的邊界條件：場的類型一次場總場面極化體極化邊界條件歸納出一次場和總場的邊界條件

從而，體極化總場定解問題與一次場（無極化效應）的定解問題形式相同，僅是將一次場的電位表達式中將ρi替換成，即可為相應的體極化總場——等效電阻率法。

分界面上的電勢連續(xù)

分界面上的電流密度連續(xù)總場面極化體極化歸納出一次場和總場的邊界條件從而

對比無激電效應時的穩(wěn)定電流場和包括體激電效應的極化總場的邊界條件,可以看到，體極化總場的邊界條件，在形式上完全和穩(wěn)定電流場的相同。

此外，兩種場都滿足同一微分方程，故它們的解在形式上也應完全相同。由此得出結論：只要將無激發(fā)極化的一次場電位表達式中各介質(zhì)的電阻率ρ換成相應的等效電阻率ρ*，便可得到體極化總場電位的表達式。這便是求解體極化總場“等效電阻率法”。應用地電學B課件：第2章-傳導(直流)電場的理論基礎（1）均勻電流場中的球面極化電場設球體處于均勻電流場中，坐標原點在球心，考慮到電流場的軸對稱性，取球坐標系，在球體外部有：

，仍然可以將場分解為正常/異常場

對Ua采用分離變量法求解，利用邊界條件

確定通解的待定系數(shù)后，有總場電位：2.2.3簡單地電結構中的激電場（1）均勻電流場中的球面極化電場對Ua采用分離變量法求分析：①面極化系數(shù)k=0時，球體無極化效應，則得到球內(nèi)外的總場場電位式與穩(wěn)定電流場時完全相同…分析：②二次場電位式式中：

（a）均勻電流場中的面極化球體的二次電場可以等效為一個與外電場方向相反，偶極矩為Ps的偶極子場分布。

(b)Ps與外場電流密度、球半徑平方、面極化系數(shù)成正比，與μ2成反比。②二次場電位式式中：（a）均勻電流場中的面(2)均勻電流場中的體極化球體設：圍巖：電阻率為ρ1，η1=0

；球體：半徑為r0，電阻率為ρ２，極化率為η２;

均勻外場：E0=ρ1j0；球坐標原點取在球心。仍然可以將場分解為正常/異常場的形式進行求解：

體極化情況下，可以利用等效電阻率法求解極化場的總電場(2)均勻電流場中的體極化球體體極化情況下，可以利用等效電阻①在均勻水平外電流場中一次場電位（無極化）②求解均勻水平外電流場中總場電位（有極化）時，可以利用“等效電阻率法”將在球體外部仍然有背景場為：代入U1的表達式：①在均勻水平外電流場中一次場電位（無極化）②求解均勻水平外電（c）在均勻水平外電流場中極化二次場電位有：利用又有其中（c）在均勻水平外電流場中極化二次場電位利用又有其中應用地電學B課件：第2章-傳導(直流)電場的理論基礎

分析：體極化球體激電二次場在球外的分布也與一個位干球心的電流偶極子電場等效。其強弱由等效電流偶極子的電流偶極矩Pv表示。從Pv表達式可看出：①Pv與j0成正比。

即二次場隨外電流密度增大而增強。這與面極化的情況相同。②Pv與r03成正比。

即體極化球體的體積越大，二次場就越強。這充分體現(xiàn)了體極化的特點，顯然不同于面極化的情況。③Pv近似與η2成正比。

即球體極化率值越大（體極化效應越強），二次場就越強。分析：體極化球體激電二次場在球外的分布也與一個位干球④Pv隨相對電阻率μ2=ρ2/ρ1的變化較復雜：在良導電(ρ2/ρ10)和高阻(ρ2/ρ1∞)體極化體上，Pv（因而二次場）都趨于零；μ2→0，和μ2→

∞時，PV→0；而在某個中等大小的相對電阻率值時，二次場最強。這是體極化不同于面極化的又一個顯著特點。它可借助于等效電阻率法，由一次場隨相對電阻率變化的“飽和效應”

來解釋。PV→PmaxPV→Pmax*2.3傳導地電場正演問題的模擬方法什么是地球物理方法的正演問題？

物理學模型地球物理場響應

對于地電學而言，已知地下電性模型（電阻率/極化率/介電常數(shù)等），求解地下電磁場的分布規(guī)律，被稱為地電學中的正演問題。對于傳導類地電場，物理學模型對應著地下電阻率（等效電阻率）的分布，地球物理場就對應著地下的電勢和電流場。

正演問題歸根結底就是求解數(shù)學物理方程的邊值和初值問題*2.3傳導地電場正演問題的模擬方法什么是地球物理方法的正演2.3.1穩(wěn)定電流場的邊值問題

電阻率法的正演計算問題，可歸結為求解穩(wěn)定電流場的邊值問題。以點源場中三維地電體的邊值問題為例。

地下介質(zhì)的電導率和電場均為三維空間的函數(shù)，即

和

U=U(x,y,z)（1）位函數(shù)U(x,y,z)所滿足的微分方程設地表有一電流為I的點電流源，位于

地下介質(zhì)電導率為地下建立的穩(wěn)定電流場位函數(shù)U所滿足的微分方程為（電源位于地表）：2.3.1穩(wěn)定電流場的邊值問題（2）位函數(shù)U(x,y,z)所滿足的邊值和銜接條件邊值條件

由于電法所研究的穩(wěn)定電流場分布于地下整個半空間，為了減少計算工作量，在求解邊值問題時，通常把計算范圍限定在一個有限的區(qū)域Ω內(nèi)。這樣，便需要在求解區(qū)域的邊界Γ上，對電位函數(shù)U(x,y,z)賦予已知值。

可見，為了求解位場問題，還必須考慮所研究區(qū)域上的位場分布狀況，即邊值條件。我們知道，在數(shù)學物理方程中，一般定義三種類型的邊值條件：（2）位函數(shù)U(x,y,z)所滿足的邊值和銜接條件可見，為（a）第一類邊值條件其中Γ表示所研究區(qū)域Ω的邊界，g(x,y,z)是定義在Γ上的已知函數(shù)。（b）第二類邊值條件其中n是Γ的外法線。（c）第三類邊值條件式中A為已知正數(shù)。（a）第一類邊值條件其中Γ表示所研究區(qū)域Ω的邊界，g(x,y銜接條件在所研究的區(qū)域Ω內(nèi)，兩種具有電導率為σ1和σ2的巖石交界面Γ處，電位和電流密度法向分量滿足以下銜接條件：（a）由于電位的連續(xù)性，在交界面處（b）由于電流密度法向分量的連續(xù)性，在交界面處有其中n為交界面的法線方向。綜上所述，計算傳導類電法勘探的正演問題，或求解穩(wěn)定電流場的邊值問題，就是要根據(jù)情況確定未知的電位函數(shù)U，使其在已知電導率分布的求解區(qū)域內(nèi)滿足相應的微分方程和邊值條件。銜接條件（b）由于電流密度法向分量的連續(xù)性，在交界面處有其中傳導地電場正演問題的模擬方法如何求解數(shù)學物理方程？

解析法準確，但應用較窄數(shù)值模擬法精確，可以求解復雜形體物理模擬法精確，需要模型和條件近似傳導地電場正演問題的模擬方法如何求解數(shù)學物理方程？一、解析法在簡單地電條件下求解位場分布時，常用如下的解析法：分離變量法

：

假定待求的位函數(shù)由二個或三個僅含一個坐標變量的函數(shù)乘積所組成，然后將該乘積關系代入所求解的偏微分方程，經(jīng)過整理，通過分離常數(shù)的聯(lián)系，將原來的偏微分方程可轉換為幾個常微分方程的乘積，其數(shù)目等于獨立坐標變量數(shù)。解這些常微分方程并以給定的邊值（包括邊界上的銜接條件）確定待定常數(shù)和函數(shù)（進行定解）后，即可得待求的位函數(shù)。一、解析法類比法

：在邊值問題的分析計算中，根據(jù)位場解答的唯一性定理，各種物理場，不論其對應物理量的意義是否相同，只要它們具有相似的微分方程和邊值，則所得解答在形式上必完全相似?；痉匠天o電場（區(qū)域）本構關系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）

類比法：在邊值問題的分析計算中，根據(jù)位場解答的唯一性定理，因而，我們就能把某一位場的分析計算結果，推廣到一切相似的位場中去，比如，靜電場和穩(wěn)定電流場之間就可以利用比擬法進行相互推廣求解。另外，在特定條件下，求解數(shù)學物理方程問題常用的解析方法還有“鏡象法”“保角變換法”等等。應用地電學B課件：第2章-傳導(直流)電場的理論基礎2.3.2數(shù)值計算方法解析法只能求解少數(shù)規(guī)則形體的邊值問題，對于復雜條件下電場分布，常需借助于數(shù)值計算方法。隨著電子計算機的普及，數(shù)值計算方法獲得迅速發(fā)展。目前，用于電法勘探的數(shù)值計算方法主要有：有限差分法、有限單元法，積分方程法和邊界單元法等總體而言，這些數(shù)值計算方法的基本思想或流程為：1.把地下空間或異常體邊界離散化；2.場所滿足的微分方程離散化；3.形成線性代數(shù)方程組；4.解線性代數(shù)方程組得到離散點的函數(shù)值，得到邊值問題的數(shù)值解。2.3.2數(shù)值計算方法總體而言，這些數(shù)值計算方法的基本思想有限差分法(FDM)有限差分法是目前電磁數(shù)值模擬方法的主流方法，是通過有限差分來近似導數(shù)（差分代替微分）的形式，尋求微分方程的近似解的一種數(shù)值方法。最大優(yōu)點在于能夠非常好的處理內(nèi)部介質(zhì)中電性間斷引出的電磁場不連續(xù)現(xiàn)象。有限差分的不足之處為,它要求模型能夠被剖分成規(guī)則的單元如四邊形,六面體等,嚴重制約了其在復雜地球物理模型，特別是起伏地形情況下的應用。有限差分法(FDM)有限單元法（FEM）有限單元法基于變分法，利用節(jié)點值與節(jié)點基函數(shù)來形成整個電磁場的分布，不同于FDM,FEM是由電磁場的積分形式（通過Green定理將微分形式變換為電磁場的積分形式），通常也稱有限法的解為微分形式的弱解。FEM的特點是并不要求模型能夠被剖分成規(guī)則單元,如三角形與六面體單元(可以無限度精確地模擬地球物理模型),因此,FEM能夠求解FDM難以求解的復雜地球物理模型。有限單元法（FEM）積分方程法(IE)積分方程法是從場參數(shù)所滿足的微分方程邊值問題出發(fā)，通過積分變換到相關參數(shù)所滿足的積分方程并進行求解。IE的主要優(yōu)點為，只需計算異常體（異常場）部分，無需剖分整個地下半空間，因而線性方程的維數(shù)相對FDM、FEM要小的多,可以快速求解模型;不足之處為,解的精度嚴重依賴于線性方程系數(shù)矩陣的精確度,由于其計算速度快的優(yōu)點,在3D電磁法模型正演中,被廣泛地應用積分方程法(IE)邊界元法(BEM)邊界元法是以邊值問題的控制微分方程的基本解為基礎，首先建立邊界積分方程，之后在區(qū)域的邊界上劃分單元，并進行求解。BEM的主要優(yōu)點為，對復雜邊界的刻畫和模擬較為完善，無需像FEM或FDM一樣對邊界進行精細剖分，因而線性方程的維數(shù)相對FDM、FEM也要小的多,可以快速求解模型;不足之處為難以刻畫電性連續(xù)變化的復雜地下介質(zhì)的構造邊界元法(BEM)2.3.3物理模擬方法1物理模擬的基本原理根據(jù)物理實驗中的相似理論，在進行物理模擬時，保持野外與室內(nèi)地電模型的幾何尺度按一定的比例縮小，并保持各地電體的電阻率比值不變，便可用實驗方法獲得與野外相似的觀測結果。目前電法勘探常用的物理模擬方法有水槽、土槽、導電紙、電阻網(wǎng)絡和薄水層等方法。2.3.3物理模擬方法設在野外實際條件下，地下有n個形狀、大小和導電性不同的地質(zhì)體，其電阻率分別為這時，地面任意兩點MN間的電位差可表示為:則視電阻率可寫成式中為地表水平、地下均勻各向同性介質(zhì)情況下的電位差；G為與各地質(zhì)體幾何形狀、大小、埋深、電極位置及地形起伏等因素有關的幾何參數(shù)。設在野外實際條件下，地下有n個形狀、大小和導電性不同的地質(zhì)體若各電性不均勻體的電阻率比值參數(shù)與各長度因素的相對比值或幾何參數(shù)G保持不變，則比值和因而，便可用利用相似原理的辦法，將野外實際中各長度因素按一定比例縮小，并按實際的電阻率比值，在實驗室中建造物理模型并進行觀測，這樣所獲得的電場與視電阻率異常和野外相同，即這便是電阻率法物理模擬的基本原理。保持恒定若各電性不均勻體的電阻率比值參數(shù)與各長度因素的相對比值或幾何水槽模擬法水槽模擬法是將模型、場源和工作裝置布置在盛水槽內(nèi)進行觀測的一種物理模擬方法。它是用水作為均勻介質(zhì)，以模擬圍巖，用有機玻璃和膠本板等模擬理想高阻絕緣體，用銅板、鋼球等模擬理想導體，用石墨粉摻水壓緊或接合水泥制作的模型模擬有限電阻率的地質(zhì)體。該法是電法勘探常用的物理模擬方法。水槽模擬可以分為二分之一空間與四分之一空間兩種模擬方法。水槽模擬法應用地電學B課件：第2章-傳導(直流)電場的理論基礎2、體極化激發(fā)電場的模擬方法

“等效電阻率法”不僅可以用于體極化電場的解析計算，而且也可用于體極化電場的數(shù)值模擬和物理模擬。

在體極化條件下，總場電位所滿足的微分方程和邊界條件都是線性的，故模擬準則和無激電效應的一次場相同。

即要求：①保持模型和實地的幾何尺寸成線性比例；②保持模型與實地的等效電參數(shù)相同（實際上，對導電性只要求相對電阻率相同）。這些條件是能夠?qū)崿F(xiàn)的，因而體極化的定量物理模擬是可能的。

2、體極化激發(fā)電場的模擬方法謝謝大家111謝謝大家111傳導（直流）

地電場的理論基礎應用地電學B傳導（直流）

地電場的理論基礎應用地電學B本節(jié)主要內(nèi)容2.1.地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律 2.1.1穩(wěn)定電流場的基本性質(zhì) 2.1.2穩(wěn)定電流場的微分方程的求解 2.1.3均勻大地中的穩(wěn)定電流場及電阻率

的測定 2.1.4簡單地電結構中的穩(wěn)定電流場2.2地下激電場的傳播規(guī)律 2.2.1等效電阻率法及均勻大地極化率的

測定 2.2.2激電場的邊界條件 2.2.3簡單地電結構中的激電場本節(jié)主要內(nèi)容2.1.地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律本節(jié)主要內(nèi)容2.3.傳導地電場正演問題的模擬方法2.3.1穩(wěn)定電流場的邊值問題2.3.2數(shù)值模擬方法2.3.3物理模擬方法本節(jié)主要內(nèi)容2.3.傳導地電場正演問題的模擬方法地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律，是傳導類（直流）電法勘探的理論基礎。傳導類電法勘探中，要探測地下地質(zhì)對象的存在與分布，首先要分析地下半空間建立的人工或天然電流場，然后研究由地質(zhì)對象所產(chǎn)生的電場的變化，從而達到探測地下構造的目的

地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律，是傳導類（2.1.1穩(wěn)定電流場的基本性質(zhì)復習：（宏觀）歐姆定律2.1.1穩(wěn)定電流場的基本性質(zhì)復習：（宏觀）歐姆定律穩(wěn)定電流場滿足歐姆定律，在微觀情況下，其微分形式是上式說明：穩(wěn)定電流場中任一點的電流密度與該點場強成正比，與介質(zhì)的電阻率成反比。上式既適用于均勻介質(zhì)的情況，也適用于非均勻介質(zhì)的情況。復習：（微觀）歐姆定律穩(wěn)定電流場滿足歐姆定律，在微觀情況上式說明：復習：（微觀）電流疊加定律

穩(wěn)定電流場滿足疊加原理，即多個電流源產(chǎn)生的電流場可以表示為各個獨立源單獨作用下產(chǎn)生的電流場的矢量和，即：電流的疊加復習：（微觀）電流疊加定律 穩(wěn)定電流場滿足疊加原理，即多個電在穩(wěn)定電流場J中，任取一個不含源的閉合曲面，流過任何一個閉合曲面的電流密度通量均等于零，即在某一個封閉曲面中，流入的電流總量與流出的電流總量是相等的（電流是連續(xù)的）上式為穩(wěn)定電流場的連續(xù)性方程式，由于矢量J滿足散度定理復習：基爾霍夫(Kirchoff)定律在穩(wěn)定電流場J中，任取一個不含源的閉合曲面，流過任何一個式中v為封閉面所包含的體積。由上兩式和可得：

即為基爾霍夫定律的微分形式矢量的散度表示場量的場源的性質(zhì)，基爾霍夫定律說明（在場源之外）電流不會憑空出現(xiàn)，也不會憑空消失，電流是處處連續(xù)的式中v為封閉面所包含的體積。由上兩式和即為基爾霍夫定律的微在穩(wěn)定電流場中，電荷的分布不隨時間而改變，它和靜電場一樣具有勢場特征，即場中任一點的電位只與該點到場源的相對位置有關，而與路徑無關，是保守場。

對場中某點，單位距離上電位u的變化（即電位的負梯度）就等于該點的電場強度，電位的下降方向表示了場強的正方向復習：電流場的勢在穩(wěn)定電流場中，電荷的分布不隨時間而改變，它和

即為數(shù)理方程中的拉普拉斯方程，上式反映了穩(wěn)定電流場的內(nèi)在規(guī)律。u為該方程的解。2.1.2穩(wěn)定電流場的微分方程的求解對于穩(wěn)定電流場而言，有若考慮求解的范圍內(nèi)無電流源則有：即為數(shù)理方程中的拉普拉斯方程，上式反映了穩(wěn)定電流場的內(nèi)直角坐標系中：圓柱坐標系中：球坐標系中：數(shù)學物理方程的解=通解+定解條件直角坐標系中：圓柱坐標系中：球坐標系中：數(shù)學物理方程的解=通對所研究的某一具體問題來說，它的解應該是唯一的。使場函數(shù)獲得唯一解所須附加的限定條件稱為定解條件?？梢苑譃槿愡吔鐥l件，即：1）狄利克萊邊界條件（邊界上的值）2）紐曼邊界條件（邊界上的法向?qū)?shù)）3）混合邊界條件（一部分邊界給出狄利克萊邊界條件，另一部分給出紐曼邊界條件）在直流地電學模擬中，一般采用混合邊界條件進行定解對所研究的某一具體問題來說，它的解應該是唯一的。使場函數(shù)獲得中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作1)極限情況的邊界條件：當邊界點離供電點無窮遠時：當邊界點靠近供電點時：2)地面（空氣-地面界面）邊界條件：

地面上電流密度法向分量等于零（場源點除外）單極場源供電中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作當邊界點靠近供電點時：3)電性界面邊界條件：界面兩側的電位連續(xù)界面兩側的電流沿法向連續(xù)界面兩側的電場強度沿法向連續(xù)界面兩側的電流滿足類似于光學中的斯奈爾定律3)電性界面邊界條件：界面兩側的電流滿足類似于光學中的斯奈上式表明，在穩(wěn)定電流場中，電位處處有限且連續(xù)；在界面兩側，電流密度在法線方向連續(xù)。在傳導類電法中我們將要討論的各種理論曲線，就是針對不同地電模型，在不同的坐標系中求解偏微分方程得到的。電流場的微分方程上式表明，在穩(wěn)定電流場中，電位處處有限且連續(xù)；在界面兩側，電

假設地下半空間是均勻、各向同性的介質(zhì)。使用兩個供電電極將電流供入地下，然后在離供電電極一定距離的地方來觀測場的分布。由于電極大小相對于電極之間的距離（數(shù)百米-數(shù)公里）來說一般很小，因此我們可以把電極看作是一個點電源。2.1.3均勻大地中的穩(wěn)定電流場

及電阻率的測定假設地下半空間是均勻、各向同性的介質(zhì)。使用兩個1）單點電源的電場

點源在地表的情況

設在電阻率為ρ的無限半空間的地表，有一點電源A，其電流強度為+I。顯然，在距點源A為rAM點的電流密度矢量為：1）單點電源的電場上式代入，得到M點的電場強度兩邊積分，得到M點的電位為：上式中，由于當點電源一定時，I為常數(shù)。對于均勻、各向同性無限半空間地表，點電源場的電位分布與r成反比，其等位面是以點源為中心的一系列同心圓。上式代入，得到M點的電場強度兩邊積分，得到M點的計算地下電阻率…計算地下電阻率…點源在地下的情況電源不在地表時，地下的電流將不再是均勻分布，也無法用之前的公式進行計算鏡象法用位于場域邊界外虛設的較簡單的鏡像電荷/電流分布來等效替代該邊界上未知的較為復雜的電荷/電流分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。點源在地下的情況鏡象法中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作如果可以假設在地面上方存在一個極性相同，大小也相同的電流源，可以利用疊加原理，用鏡像法求解（虛電流源法）：當觀測點位于地面時，R=R’中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作當觀測點位于地面時，R而x方向的電場和電流即可表示為：在X=0處，電場強度與電流密度均為零，而在的位置，有兩個拐點，電場強度和電流密度最大而x方向的電場和電流即可表示為：在X=0處，電場強度與電流密2）兩個點電源的電場

當?shù)乇碛袃蓚€異性點電源供電時，根據(jù)電場的疊加原理，得到M點的電位表達式同理，便可求出兩個異性點電源在M點的場強2）兩個點電源的電場同理，便可求出兩個異性點電

(a)平面圖

(b)剖面圖

(c)地表電位剖面兩個點電源的電位及電場分布如下圖所示。兩個點電源的電位及電場分布如下圖所示。

由圖可見，越靠近電極，電位變化越大。在A極附近，電位迅速增高；在B極附近，電位迅速下降。在AB中部電位變化較慢，在AB中點電位為零。由圖可見，越靠近電極，電位變化越大。在討論均勻半空間電流密度隨深度的變化電流密度沿垂直方向的變化討論均勻半空間電流密度隨深度的變化電流密度沿垂直方向的變化

在地表AB連線的中點o處，由A、B兩個電極所形成的電流密度j0可以疊加為（5.3.3）同樣，在AB的中垂線上深度為h的M點處的電流密度（5.3.6）在地表AB連線的中點o處，由A、B兩個電（5.3.兩者的比值就可以寫為：兩者的比值就可以寫為：可見，對于一定的供電極距，電流的分布隨深度衰減。而對于比較小的極距，電流密度隨深度衰減快，比較大的深度處的電流密度已很微弱，從而難以探測到較深的異常體。對于比較大的極距，電流密度隨深度衰減慢，即比較大的深度處仍具有較大的電流密度，從而可能探測到較深處的異常體?？梢?，對于一定的供電極距，電流的分布隨深度衰減。

由圖可見，電流密度主要分布在靠近地表附近的范圍內(nèi)，隨著深度的加大，電流密度急劇減小。原則上說，要想加大勘探深度，只有相應地增大供電極距，從而使分配到一定深度范圍的電流密度的百分數(shù)相對增大。由圖可見，電流密度主要分布在靠近地表附近的范圍內(nèi)，隨著3）地表偶極電流源的地下電流場當正負兩個電流源相距很近，而兩者的距離a與測量的位置M相比可以忽略時，我們稱這兩個電極源為電偶極子源，或簡稱偶極源電偶極子3）地表偶極電流源的地下電流場電偶極子M點的電場強度可以分解為沿向徑OM的電場強度：和垂直向徑方向的電場強度：其中m為偶極子的電偶矩，a為ab的距離：當偶極源在地面時，地中任一點電位為：M點的電場強度可以分解為沿向徑OM的電場強度：其中m為偶極子中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作因此，E的總大小可以表示為：因此，電流密度可寫為：中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作因此，E的總大小可以表中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作而當觀測點位于地面時，θ=0或π，因此“變向角”的概念：地下電場在地下分布的方向α，與θ和β有關，當θ=θ0時：α=π/2,當θ>θ0時，α>π/2，當θ<θ0時，α<π/2，因此稱之為“變向角”中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作而當觀測點位于地面時，地下傾斜偶極源的情況設偶極源位于地下深度為h處，其傾斜角度為α，類似的可以得到偶極源的電勢、電場與電流分布地下傾斜偶極源的情況均勻場點源場偶極場地下不同位置電流場的分布規(guī)律均勻場點源場偶極場地下不同位置電流場的分布規(guī)律3）均勻大地電阻率的測定測量均勻大地的電阻率，原則上可以采用任意形式的電極排列來進行，即在地表任意兩點（A、B）供電，然后在任意兩點（M、N）來測量其間的電位差，根據(jù)式便可求出M、N兩點的電位。

一般在勘探上，為布設和計算方便，采用A/B/M/N同線的形式進行供電/采集3）均勻大地電阻率的測定以四極裝置為例，不難求出M、N兩點的電位：以四極裝置為例，不難求出M、N兩點的電位：從而大地電阻率的計算公式為

AB在MN間產(chǎn)生的電位差（5.2.13）（5.2.12）上式即為在均勻大地的地表采用任意電極裝置（或電極排列）測量電阻率的基本公式。其中K為電極裝置系數(shù)，其中：從而大地電阻率的計算公式為AB在MN間產(chǎn)生的電位差（5.2k是一個只與電極的空間位置有關的物理量?？紤]到實際操作的便利性，在電法勘探中，一般總是把供電電極和測量電極置于一條直線上。k是一個只與電極的空間位置有關的物理量?？紤]到實際操作的便利在野外施工之前，如何測定巖礦石的電阻率?在野外施工之前，如何測定巖礦石的電阻率?①露頭測定法（in-situmeasurement）在原位測定最能代表巖礦石在自然地下環(huán)境中的電性特征。要求：a、露頭表面平坦，有一定面積（長：＞2AB，寬＞1.5AB）；b、觀測相互正交的兩個方向的電阻率；c、供電極可近似為“點源”；d、保證與露頭的接觸，使接地電阻盡量小。b、觀測相互正交的兩個方向的電阻率；②標本測定法標本的采集，一般要求均勻地分布于所研究地質(zhì)體的露頭上，標本應具有代表性。對不同巖性、結構、礦化、蝕變等各類巖（礦）石均應系統(tǒng)測定。采集時應作記錄，對標本的巖性進行必要的描述、編號，并將采集點點位標在地質(zhì)圖上②標本測定法要求：a、標本形狀要規(guī)整；b、在水中浸泡至飽和；c、測量時把標本擦干；d、注意滿足近似條件。標本電阻率的測量一般采用蠟封法或標本架法，利用歐姆定律進行計算要求：標本電阻率的測量樣本偏離度統(tǒng)計用基本觀測結果統(tǒng)計出來的常見值，與檢查觀測結果統(tǒng)計出來的常見值其相對誤差不得超過20%。檢查標本數(shù)量，應達到測定標本總數(shù)的10%；μ—平均相對誤差；

n—檢查標本的樣品數(shù)；Ai——第i件樣品一次測量結果；Bi——第i件樣品另一次測量結果。樣本偏離度統(tǒng)計

當?shù)孛嫠健⒌叵鲁錆M均勻各項同性的導電巖石時，用上述公式的計算結果為均勻大地電阻率。若進行測量的地段地下巖石電性分布不均勻時，計算結果稱之為視電阻率，并用ρs表示。視電阻率及其定性分析方法當?shù)孛嫠?、地下充滿均勻各項同性的導電巖石時，（5.3.1）

這是電阻率法中最基本的計算公式。在電阻率法的實際工作中，一般測得的都是視電阻率，只當電極排列位于某種單一巖性的地層中時，才會測到該地層的真電阻率。視電阻率的微分公式：（5.3.3）（5.3.1）這是電阻率法中最基本的計算公

上式就是視電阻率和電流密度的關系式，或稱為視電阻率的微分公式。它表明某點的視電阻率和測量電極所在介質(zhì)的真電阻率成正比，其比例系數(shù)就是測量電極間實際電流密度與假設地下為均勻介質(zhì)時正常場電流密度之比。

顯然，jMN包含了在電場分布范圍內(nèi)各種電性地質(zhì)體的綜合影響。上式就是視電阻率和電流密度的關系式，或稱為視電

當?shù)叵掳肟臻g有低阻不均勻體存在時，由于正常電流線被低阻體所“吸引”，使地表MN處的實際電流密度減少，所以jMN<j0，s<MN

當?shù)叵掳肟臻g有低阻不均勻體存在時，由于正常電流線被低阻體所

相反，當?shù)叵掳肟臻g有高阻體存在時，由于正常電流線被高阻體所“排斥”，使地表MN處的實際電流密度增加，所以s

>MN。

因此，雖然視電阻率并非地下真實的電阻率，我們?nèi)钥梢酝ㄟ^地表觀測視電阻率的變化，揭示地下電性不均勻地質(zhì)體的存在和分布。相反，當?shù)叵掳肟臻g有高阻體存在時，由于正常電流線被高視電阻率與地電斷面性質(zhì)的關系（a）均勻巖石；（b）圍巖中賦存良導礦體；（c）圍巖中賦存高阻巖體視電阻率的定性分析視電阻率與地電斷面性質(zhì)的關系視電阻率的定性分析地下穩(wěn)定電流分布的定性規(guī)律總結①從正流到負；②電流守衡：電流總量不變；③能量最小原理： a、地面上j0達到最大值； b、隨深度增加,電流減小； c、高阻體-“排斥”電流，

低阻體-“吸引”電流④同種電荷相互排斥： a、分散流動，充滿整個地下半空間； b、高阻體上，地表電流j0

和電場E均大于均勻情況

低阻體上，地表電流j0

和電場E均小于均勻情況地下穩(wěn)定電流分布的定性規(guī)律總結1)均勻電流場中球體的電場全空間條件下設圍巖電阻率為ρ1，球體電阻率為ρ2，電流密度為j0,球體半徑為r0,可以將球內(nèi)外電位分解為所謂正常電位（背景場）和異常電位（異常場）2.1.4簡單地電結構中的穩(wěn)定電流場其中：U0為均勻電流場（背景場）的電位；U1a和U1a分別為球內(nèi)和球外的異常電位2.1.4簡單地電結構中的穩(wěn)定電流場其中：U0為均勻電流場問題轉化為如何求解異常場：由于背景場U0為均勻電流場，在球坐標下，容易求得：xyaj0電流線等位面由于球內(nèi)外電位具有軸對稱性質(zhì)，位函數(shù)應與θ無關，因此；問題轉化為如何求解異常場：由于背景場U0為均勻電流場，在球坐中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作從拉普拉斯方程出發(fā)，利用極限條件與邊界條件求解解出

的一般表達式，即可寫出球內(nèi)、外電位解得表達式然后根據(jù)極限條件與邊界條件確定系數(shù)，得到最終表達式

中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作從拉普拉斯方程出發(fā)，利半空間條件下由于地面電法的供電和測量均在地面分布，特別是討論球外的電場分布更有實際意義。地面的影響仍可以用鏡像法進行計算。當球體埋深比較深時，可忽略球體與地面以上鏡像的相互作用；這時，可以將球外表達式的異常部分簡單加倍得到地面一次電位的一階近似：在均勻電流場中，球外的異常分布與一個位于球心的水平電偶極子的電流場等效，此時的電偶矩為：半空間條件下2)點源電流場中的垂直電阻率接觸面設有點源A(I)位于垂直分界面左邊巖石的地面上，A與分界面的距離為d，左右兩側的電阻率分別為ρ1，ρ2，欲求地下空間內(nèi)的電場分布，同樣可以利用“鏡像法”進行求解。在界面左側某一點M處的電位即可用原始電源與鏡像源的疊加來表示：2)點源電流場中的垂直電阻率接觸面在界面左側某一點M處的電位在界面右側某一點M2處的電位可以類似的表示為：而根據(jù)電位分布的連續(xù)性定理，在中央界面處的電位應可表示為：在界面右側某一點M2處的電位可以類似的表示為：而根據(jù)電位分布除此以外，穩(wěn)定電流場中界面上電流密度的法向分量也應是連續(xù)的：由于在分界面上，r=r1=r2，因此：結合之前的結論，有：其中：除此以外，穩(wěn)定電流場中界面上電流密度的法向分量也應是連續(xù)的：我們設：則兩側電位可分別表示為：我們發(fā)現(xiàn)，在界面左側，系數(shù)K12好像決定了被分界面反射到左側的電流的作用，故稱K12為反射系數(shù)。在界面右側，系數(shù)1-K12好像決定了經(jīng)過分界面透射到左側的電流的作用，故稱1-K12為透射系數(shù)。我們設：則兩側電位可分別表示為：我們發(fā)現(xiàn)，在界面左側，系數(shù)K進而，我們可以寫出在電源距離分界面為d時，橫跨分界面方向(x)上的地表電場強度表達式：分析上述二式我們可以發(fā)現(xiàn)，在分界面右側（無實電源存在）的電場與點電源位于電阻率等于的均勻介質(zhì)中的電場等效。測點通過分界面時，電位曲線發(fā)生折曲，而電場發(fā)生躍變，電場兩側強度躍變的比值為進而，我們可以寫出在電源距離分界面為d時，橫跨分界面方向(x小結：地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律傳播基本規(guī)律歐姆定律/克?；舴蚨?電場的勢

求解勢場微分方程：拉普拉斯方程+定解條件點電源產(chǎn)生的電場單點電源/雙點電源(偶極源)電阻率法的測深原理

電流隨深度的增加而衰減，極距越大，衰減越慢均勻大地電阻率的測定視電阻率的概念

高阻“排斥”電流，低阻“吸引”電流小結：地下穩(wěn)定電流場的傳播規(guī)律傳播基本規(guī)律

在上一節(jié)中，我們討論了穩(wěn)定電流場在地下的傳播規(guī)律，在這一節(jié)中，我們將通過主要討論幾種規(guī)則幾何形體在直流長脈沖激發(fā)下通過理論計算方法取得的激電場，研究地下激電場的傳播規(guī)律滿足條件：1、極化電場達到穩(wěn)定（T->∞）2、場源以外的電位分布滿足拉普拉斯方程2.2地下激電場的傳播規(guī)律穩(wěn)定電流場激電場 在上一節(jié)中，我們討論了穩(wěn)定電流場在地下的傳播規(guī)律，在這一節(jié)1．等效電阻率的概念

在之前極化效應的測量裝置和測量結果中可以看到，由于存在激發(fā)極化效應，在流過標本的電流保持不變的條件下，標本兩端的極化總場電位差隨充電時間而增大。

2.2.1等效電阻率法及均勻大地極化率的測定1．等效電阻率的概念 2.2.1等效電阻率法及均勻大地極化

我們在上一章中了解到，這一隨時間的增大應是與巖礦石極化性質(zhì)有關。但另一方面，我們也可將上述現(xiàn)象理解為，體極化效應等效于體極化介質(zhì)電阻率的隨時間的增大。

顯然，真實的電阻率不可能隨時間增大，而為與介質(zhì)在無激電效應時的真電阻率相區(qū)別，我們將發(fā)生體極化效應時，極化體對極化總場的電阻率稱為“等效電阻率”。

顯然，等效電阻率隨頻率或充電時間而變。

真電阻率等效電阻率 我們在上一章中了解到，這一隨時間的增大應是與巖礦石極化性質(zhì)中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作設大地為均勻無限半空間，電阻率為ρ，（極限）極化率為η。則由地面點電源A（＋I)和B（一I）在地面M和N點產(chǎn)生的一次場電位差為在T0或f∞的極限情況下，總場電位U(T)|T0或U(f)|f∞趨于無激電效應的一次場電位

U1，等效電阻率ρ(T)|T0或ρ(iω)|ω∞就等于介質(zhì)真電阻率ρ。中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作設大地為均勻無限半空間在T∞或f0的另一極限情況下，總場電位趨于飽和值U(T)|T∞或U(f)|f0，此時的等效電阻率ρ(T)|T∞或ρ(iω)|ω0為“極限等效電阻率”，記為ρ*。此時總場電位差為即為時間趨于無窮時的等效電阻率（極化電阻率），我們知道時間域內(nèi)極化率的定義：兩邊除以I--》在T∞或f0的另一極限情況下，總場電位趨于飽和值U(T)中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作等效電阻率與真電阻率的關系：根據(jù)上述極化率的計算式和等效電阻率的計算式，可以寫出真電阻率（極限）等效電阻率中國地質(zhì)大學（北京）地信學院電法組制作等效電阻率與真電阻率的均勻大地極化率的測定

為了確定大地的極化率，可以利用上述的“等效電阻率”法中的計算極化總場的電位差：

與上述的一次場的電位差公式相減：

即可得到二次場的電位差：從而得到均勻大地的極化率公式（與裝置系數(shù)無關）：均勻大地極化率的測定 為了確定大地的極化率，可以利用上述的“

所謂“等效電阻率”是從歐姆定律的角度，將激電附加二次電流場等效為極化體電阻率的改變對電流場的影響。既：將具有激電效應的地質(zhì)體利用純電阻體代替，將激電效應并入地質(zhì)體的電阻率看待。我們可以定義與分別為頻率域和時間域中的等效電阻率，分別為ω和T的函數(shù)。并有：——真電阻率——極限等效電阻率由極限極化率式，可推出所謂“等效電阻率”是從歐姆定律的角度，將激電附面極化

巖、礦石的激發(fā)極化一般可以近似分為面極化與體極化，因此討論激電場的邊界條件也可以類似的進行分類討論。

體極化2.2.2激電場的邊界條件面極化 巖、礦石的激發(fā)極化一般可以近似分為面極化與體極化，因(1)面極化的邊界條件

面極化中的雙電層都出現(xiàn)在在極化體與圍巖溶液的界面上，我們設極化體和圍巖的電阻率分別為ρ