zw-高一數(shù)學(xué)人教版必修2課件2.3.1直線與平面垂直判定

大學(xué)XXX

老師人教A版·高中數(shù)學(xué)·必修二智維私教

985/211重點(diǎn)高校大學(xué)生實(shí)時(shí)一對(duì)一數(shù)

學(xué)必修②·

人教A版新課標(biāo)導(dǎo)學(xué)第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線與平面垂直的判定1自主預(yù)習(xí)學(xué)案2互動(dòng)探究學(xué)案3作業(yè)學(xué)案1．直線與平面垂直定義如果直線l與平面α內(nèi)的

任意一條

直線都垂直，直線l與平面α互相垂直就說記⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的

垂線

，平面α叫做直線l的

垂面．它們唯一的公共點(diǎn)P叫做

垂足．圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直[歸納總結(jié)]

(1)定義中的“任意一條直線”這一詞語與“所有直線”是同義語，與“無數(shù)條直線”不是同義語．(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊形式．(3)由直線與平面垂直的定義，得如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線．2．判定定理文字語言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條

相交

直線都垂直，則該直線與此平面垂直圖形語言符號(hào)語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，

a∩b＝P

?l⊥α作用判斷直線與平面垂直[歸納總結(jié)]

直線與平面垂直的判定定理告訴

：可以通過直線間的垂直來證明直線與平面垂直．通常

其記為“線線垂直，則線面垂直”．因此，處理線面垂直轉(zhuǎn)化為處理線線垂直來解決．也就是說，以后證明一條直線和一個(gè)平面垂直，只要在這個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線和已知直線垂直即可．條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的

叫做斜足．過斜線3．直線和平面所成的角(1)定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平垂面直

，這因此，直線與平面所成的角的范圍是

．(2)規(guī)定：一條直線垂直于平面，

說它們所成的角等于

；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，

說它們所成的角9等0°于

.交點(diǎn)上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過

和

的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射垂影足．平面斜的足一條斜線和它在平面上的射影所成的

，叫做這條直線和這個(gè)平面所銳成角的角．0°[0°，90°][解析]

∵直線l⊥平面α，∴l(xiāng)與α相交，又∵m?α，∴l(xiāng)與m相交或異面，由直線與平面垂直的定義，可知l⊥m.故l與m不可能平行．導(dǎo)學(xué)號(hào)090244681．直線l⊥平面α，直線m?α，則l

與m不可能A．平行

B．相交

C．異面

D．垂直(

A)2．直線

l

與平面

α

內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線

l

與平面

α

的關(guān)系是導(dǎo)學(xué)號(hào)09024469(

D)A．l

和平面α相互平行C．l在平面α

內(nèi)B．l

和平面α相互垂直D．不能確定[解析]

如下圖所示，直線

l

和平面

α

相互平行，或直線

l

和平面

α

相互垂直或直線

l

在平面

α

內(nèi)都有可能．故選

D．3．(2016～2017·福州高二檢測(cè))在△ABC

中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則P

到BC

的距離是導(dǎo)學(xué)號(hào)09024471(

D

)A．

5

B．2

5

C．3

5[解析]

取

BC

的中點(diǎn)

D，∵AB＝AC，∴AD⊥BC.D．4

5又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又PA∩AD＝D，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥PD.∵在△ABC

中，AB＝AC＝5，BC＝6，∴AD＝4，∴PD＝

PA2＋AD2＝4

5.故選D．互動(dòng)探究學(xué)案命題方向1

?線面垂直的判定如圖，P

為△ABC

所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°AE⊥PB

于E，AF⊥PC

于F.求證：BC⊥平面PAB；AE⊥平面PBC；PC⊥平面AEF.導(dǎo)學(xué)號(hào)09024472[思路分析]

本題是證線面垂直問題，要多觀察題目中的一些“垂直”關(guān)系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，這些垂直關(guān)系

需要哪個(gè)呢？

需要的是PA⊥BC，聯(lián)系已知，問題得證．[解析]

(1)∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.(2)∵BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.(3)∵AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.『規(guī)律方法』

線面垂直的判定方法：(1)證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②線面垂直的判定定理．③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．④如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面．(2)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的步驟：①在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直；②確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；③根據(jù)判定定理得出結(jié)論．(3)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧：證明線面垂直時(shí)要注意分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系，進(jìn)而證明線面垂直．三角形全等、等腰三角形底邊的中線、高；菱形、正方形的對(duì)角線、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找線線垂直的方法．〔

練

〕如圖，在△ABC

中，∠ABC＝90°，D

是

AC

的中點(diǎn)，S

是△ABC

所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；導(dǎo)學(xué)號(hào)09024473(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.[解析]

(1)因?yàn)?/p>

SA＝SC，D

是

AC

的中點(diǎn)，所以

SD⊥AC.在

Rt△ABC

中，AD＝BD，由已知

SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因?yàn)锳B＝BC，D

為AC

的中點(diǎn)，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因?yàn)镾D∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.命題方向2

?直線與平面所成的角在正方體ABCD－A1B1C1D1

中，導(dǎo)學(xué)號(hào)09024474求直線A1C

與平面ABCD

所成的角的正切值；求直線A1B

與平面BDD1B1

所成的角．[思路分析](1)求線面角的關(guān)鍵是找出直線在平面內(nèi)的射影，為此須找出過直線上一點(diǎn)的平面的垂線．(2)中過A1作平面BDD1B1的垂線，該垂線必與B1D1、BB1垂直，由正方體的特性知，直線A1C1滿足要求．[解析]

(1)∵直線

A1A⊥平面

ABCD，∴∠A1CA

為直線

A1C

與平面

ABCD

所1

12成的角，設(shè)A

A＝1，則AC＝

2，∴tan∠A

CA＝

2

.(2)連接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1

中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O.∴∠A1BO

為直線A1B

與平面BDD1B1

所成的角，1

12

21

1

1

1在

Rt△A

BO

中，A

O＝1

C

＝A

B，∴∠A

BO＝30°.A

1即A1B

與平面BDD1B1

所成的角為30°.『規(guī)律方法』求線面角的方法：(1)求直線和平面所成角的步驟：①尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；③把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過解三角形，求出該角．(2)求線面角的技巧：在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，射影一般都是一些特殊的點(diǎn)，比如中心、垂心、重心等．〔 練習(xí)

2〕如圖，在三棱柱

ΑΒC－A1B1C1

中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1

在底面ABC

的射影為BC

的中點(diǎn)，D

是B1C1

的中點(diǎn)．導(dǎo)學(xué)號(hào)09024475證明：A1D⊥平面A1BC；求直線A1B

和平面BB1C1C

所成的角的正弦值．[解析]

(1)取BC的中點(diǎn)E，連接A1E、DE、AE，由題意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，因?yàn)锳B＝AC，所以AE⊥BC，故AE⊥平面A1BC，由D、E分別是B1C1、BC的中點(diǎn)，得DE∥B1B且DE＝B1B，所以DE∥A1A，所以四邊形A1AED是平行四邊形，故A1D∥AE，又因?yàn)锳E⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足為F，連接

BF.因?yàn)?/p>

A1E⊥平面

ABC，所以

BC⊥A1E.因?yàn)?/p>

BC⊥AE，所以

BC⊥平面

AA1DE.所以

BC⊥A1F，A1F⊥平面

BB1C1C.所以∠A1BF

為直線

A1B

與平面

BB1C1C

所成的角．由

AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得

EA＝EB＝

2.由∠A1EA＝∠A1EB＝90°，得

A1A＝A1B＝4，A1E＝

14.由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝

2，1

17∠DA

E＝90°，得

A

F＝

2

.17所以

sin∠A

BF＝

8

.邏輯推理不嚴(yán)密致誤如圖，在三棱柱

ABC－A1B1C1

中，AA1⊥平面

ABC，AC＝BC，D是AB

的中點(diǎn)，連接

CD.求證：CD⊥平面

ABB1A1.導(dǎo)學(xué)號(hào)

09024476[錯(cuò)解]

∵AA1⊥平面

ABC，CD?平面

ABC，∴CD⊥AA1.又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，又AA1?平面ABB1A1，BB1?平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1.[錯(cuò)因分析]

錯(cuò)解中AA1和BB1是平面ABB1A1內(nèi)的兩條平行直線，不是相交直線，故不滿足直線與平面垂直的判定定理的條件．[正解]

∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴CD⊥AA1.又AC＝BC，D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB.∵AB?平面ABB1A1，AA1?平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1.[警示]

用判定定理證明線面垂直時(shí)，必須要找全條件，這些條件必須是已知的、或明顯成立的、或已經(jīng)證明的.〔

練習(xí)

3〕如圖，在三棱柱

ABC－A1B1C1

中，側(cè)棱

AA1⊥底面

ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A2C1＝90°，D

為BB1

的中點(diǎn)．求證：AD⊥平面

A1DC1.導(dǎo)學(xué)號(hào)

09024477[錯(cuò)解]

在三棱柱中，∵AA1⊥平面ABC，∠B1A1C1＝90°，∴AD⊥A1C1；又從圖可知AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥C1D，∴AD⊥平面A1DC1.[辨析]

前半部分，雖然由羅列條件能夠推證出AD⊥A1C1，但推理過程不嚴(yán)密；后半部分AD⊥平面BCC1B1純屬臆想，無任何推理依據(jù)．[分析]

先推證C1A1⊥平面ABB1A1得出AD⊥C1A1；再在矩形ABB1A1中，通過計(jì)算證明AD⊥A1D.[證明]

∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1.∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A，∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD?平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知計(jì)算得AD＝

2，A1D＝

2，AA1＝2.1∴AD2＋A1D2＝AA2，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.1．線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化(2016～2017·湖南張家界高一期末)如圖，在棱長(zhǎng)均為1

的直三棱柱ABC－A1B1C1

中，D

是BC

的中點(diǎn).導(dǎo)學(xué)號(hào)09024478求證：AD⊥平面BCC1B1；求直線AC1

與平面BCC1B1

所成角的正弦值．[解析]

(1)證明：直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC.又BC∩BB1＝B，∴AD⊥平面BCC1B1.(2)解：連接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1，則∠AC1D

即為直線AC1

與平面BCC1B1

所成角．121在

Rt△AC

D

中，AD＝

3

AC

＝

2，，16sin∠AC

D＝

AD

＝

，AC1

41

1

1即直線

AC

與平面

BCC

B

所成角的正弦值為

64

.〔點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.求證：AE⊥BE.導(dǎo)學(xué)號(hào)09024479[證明]

∵AD⊥平面

ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF.∵BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE，∴AE⊥BE.2．關(guān)于垂直的存在型探索性問題在矩形

ABCD

中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面

ABCD，且

PA＝1，邊

BC

上是否存在點(diǎn)

Q，使得

P

D？為什么？

導(dǎo)學(xué)號(hào)

09024480[思路分析]

關(guān)鍵是將P

D轉(zhuǎn)化為DQ⊥AQ，再使DQ⊥AP即可，但AD＝BC＝a是變化的，故需對(duì)a進(jìn)行

．[解析]

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD.若邊BC上存在一點(diǎn)Q，使得QD⊥AQ，則有QD⊥平面PAQ，從而QD⊥PQ.在矩形ABCD中，當(dāng)AD＝a<2時(shí)，直線BC與以AD為直徑的圓相離，故不存在點(diǎn)Q，使AQ⊥DQ.∴當(dāng)a≥2時(shí)，才存在點(diǎn)Q，使得P

D.[點(diǎn)評(píng)]

本題運(yùn)用平面幾何知識(shí)，借助以AD為直徑的圓與BC交點(diǎn)的個(gè)數(shù)推斷點(diǎn)Q是否存在．①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．則能保證該直線與平面垂直(

A

)A．①③

B．①②

C．②④

D．①④[解析]

三角形的兩邊，圓的兩條直徑一定是相交直線，而梯形的兩邊，正六邊形的兩條邊不一定相交，所以保證直線與平面垂直的是①③.1．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：導(dǎo)學(xué)號(hào)090244812．如圖，在長(zhǎng)