小升初數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)匯總-奧數(shù)的方法講義40講之2

小升初數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)匯總-奧數(shù)的方法講義40講之第十一講 份數(shù)法把應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為份數(shù)關(guān)系，并確定某一個(gè)已知數(shù)或未知數(shù)為1份數(shù)，然后先求出這個(gè)1份數(shù)，再以1份數(shù)為基礎(chǔ)，求出所要求的未知數(shù)的解題方法，叫做份數(shù)法。（一）以份數(shù)法解和倍應(yīng)用題已知兩個(gè)數(shù)的和及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題叫做和倍應(yīng)用題。1某林廠有楊樹(shù)和槐樹(shù)共320棵，其中楊樹(shù)的棵數(shù)是槐樹(shù)棵數(shù)的3倍。求楊樹(shù)、槐樹(shù)各有多少棵？（適于四年級(jí)程度）解：把槐樹(shù)的棵數(shù)看作1份數(shù)，則楊樹(shù)的棵數(shù)就是3份數(shù)，320棵樹(shù)就是（3+1）份數(shù)。因此，得：320÷（3+1）=80（棵）…槐樹(shù)80×3=240（棵）…楊樹(shù)答略。2甲、乙兩個(gè)煤場(chǎng)共存煤490噸，已知甲煤場(chǎng)存煤數(shù)量比乙煤場(chǎng)存煤數(shù)量的4倍少10噸。甲、乙兩個(gè)煤場(chǎng)各存煤多少噸？（適于四年級(jí)程度）解：題中已經(jīng)給出兩個(gè)未知數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系：甲煤場(chǎng)存煤數(shù)量比乙煤場(chǎng)存煤數(shù)量的4倍少10噸。因此可將乙煤場(chǎng)的存煤數(shù)量看作1份數(shù)，甲煤場(chǎng)的存煤數(shù)量就相當(dāng)于乙煤場(chǎng)存煤數(shù)量的4倍（份）數(shù)少10噸，兩個(gè)煤場(chǎng)所存的煤490噸就是（1+4）份數(shù)少10噸，（490+10）噸就正好是（1+4）份數(shù)。所以乙場(chǎng)存煤：（490+10）÷（1+4）=500÷5=100（噸）甲場(chǎng)存煤：490-100=390（噸）答略。3媽媽給了李平10.80元錢，正好可買4瓶啤酒，3瓶香檳酒。李平錯(cuò)買成3瓶啤酒，4瓶香檳酒，剩下0.60元。求每瓶啤酒、香檳酒各是多少錢？（適于五年級(jí)程度）解：因?yàn)槔钇接觅I一瓶啤酒的錢買了一瓶香檳酒，結(jié)果剩下0.60元，這說(shuō)明每瓶啤酒比每瓶香檳酒貴0.60元。把每瓶香檳酒的價(jià)錢看作1份數(shù)，則4瓶啤酒、3瓶香檳酒的10.80元錢就是（4+3）份數(shù)多（0.60×4）元，（10.80-0.60×4）元就正好是（4+3）份數(shù)。每瓶香檳酒的價(jià)錢是：（10.80-0.60×4）÷（4+3）=8.4÷7=1.2（元）每瓶啤酒的價(jià)錢是：1.2+0.60=1.80（元）答略。（二）以份數(shù)法解差倍應(yīng)用題已知兩個(gè)數(shù)的差及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題叫做差倍應(yīng)用題。1三灣村原有的水田比旱田多230畝，今年把35畝旱田改為水田，這樣今年水田的畝數(shù)正好是旱田的3倍。該村原有旱田多少畝？（適于五年級(jí)程度）解：該村原有的水田比旱田多230畝（圖11-1），今年把35畝旱田改為水田，則今年水田比旱田多出230+35×2=300（畝）。根據(jù)今年水田的畝數(shù)正好是旱田的3倍，以今年旱田的畝數(shù)為1份數(shù)，則水田比旱田多出的300畝就正好是2份數(shù)（圖11-2）。今年旱田的畝數(shù)是：（230+35×2）÷2=300÷2=150（畝）原來(lái)旱田的畝數(shù)是：150+35=185（畝）綜合算式：（230+35×2）÷2+35=300÷2+35=150+35=185（畝）答略。*例2和平小學(xué)師生步行去春游。隊(duì)伍走出10.5千米后，王東騎自行車去追趕，經(jīng)過(guò)1.5小時(shí)追上。已知王東騎自行車的速度是師生步行速度的2.4倍。王東和師生每小時(shí)各行多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：根據(jù)“追及距離÷追及時(shí)間=速度差”，可求出王東騎自行車和師生步行的速度差是10.5÷1.5=7（千米/小時(shí)）。已知騎自行車的速度是步行速度的2.4倍，可把步行速度看作是1份數(shù)，騎自行車的速度就是2.4份數(shù)，比步行速度多2.4-1=1.4（份）。以速度差除以份數(shù)差，便可求出1份數(shù)。10.5÷1.5÷（2.4-1）=7÷1.4=5（千米/小時(shí)）…………步行的速度5×2.4=12（千米/小時(shí)）………………騎自行車的速度答略。（三）以份數(shù)法解變倍應(yīng)用題已知兩個(gè)數(shù)量原來(lái)的倍數(shù)關(guān)系和兩個(gè)數(shù)量變化后的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)量的應(yīng)用題叫做變倍應(yīng)用題。變倍應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的難點(diǎn)。解答這類題的關(guān)鍵是要找出倍數(shù)的變化及相應(yīng)數(shù)量的變化，從而計(jì)算出“1”份（倍）數(shù)是多少。*例1大、小兩輛卡車同時(shí)載貨從甲站出發(fā)，大卡車載貨的重量是小卡車的3倍。兩車行至乙站時(shí)，大卡車增加了1400千克貨物，小卡車增加了1300千克貨物，這時(shí)，大卡車的載貨量變成小卡車的2倍。求兩車出發(fā)時(shí)各載貨物多少千克？（適于五年級(jí)程度）解：出發(fā)時(shí)，大卡車載貨量是小卡車的3倍；到乙站時(shí)，小卡車增加了1300千克貨物，要保持大卡車的載貨重量仍然是小卡車的3倍，大卡車就應(yīng)增加1300×3千克。把小卡車增加1300千克貨物后的重量看作1份數(shù)，大卡車增加1300×3千克貨物后的重量就是3份數(shù)。而大卡車增加了1400千克貨物后的載貨量是2份數(shù)，這說(shuō)明3份數(shù)與2份數(shù)之間相差（1300×3-1400）千克，這是1份數(shù)，即小卡車增加1300千克貨物后的載貨量。1300×3-1400=3900-1400=2500（千克）出發(fā)時(shí)，小卡車的載貨量是：2500-1300=1200（千克）出發(fā)時(shí)，大卡車的載貨量是：1200×3=3600（千克）答略。*例2甲、乙兩個(gè)班組織體育活動(dòng)，選出15名女生參加跳繩比賽，男生人數(shù)是剩下女生人數(shù)的2倍；又選出45名男生參加長(zhǎng)跑比賽，最后剩下的女生人數(shù)是剩下男生人數(shù)的5倍。這兩個(gè)班原有女生多少人？（適于五年級(jí)程度）解：把最后剩下的男生人數(shù)看作1份數(shù)，根據(jù)“最后剩下的女生人數(shù)是男生人數(shù)的5倍”可知，剩下的女生人數(shù)為5份數(shù)。根據(jù)45名男生未參加長(zhǎng)跑比賽前“男生人數(shù)是剩下女生人數(shù)的2倍”，而最后剩下的女生人數(shù)是5份數(shù)，可以算出參加長(zhǎng)跑前男生人數(shù)的份數(shù)：5×2=10（份）因?yàn)樽詈笫Ｏ碌哪猩藬?shù)是1份數(shù)，所以參加長(zhǎng)跑的45名男生是：10-1=9（份）每1份的人數(shù)是：45÷9=5（人）因?yàn)樽詈笫Ｏ碌呐藬?shù)是5份數(shù)，所以最后剩下的女生人數(shù)是：5×5=25（人）原有女生的人數(shù)是：25+15=40（人）綜合算式：45÷（5×2-1）×5+15=45÷9×5+15=25+15=40（人）答略。（四）以份數(shù)法解按比例分配的應(yīng)用題把一個(gè)數(shù)量按一定的比例分成幾個(gè)部分?jǐn)?shù)量的應(yīng)用題，叫做按比例分配的應(yīng)用題。1一個(gè)工程隊(duì)分為甲、乙、丙三個(gè)組，三個(gè)組的人數(shù)分別是24人、21人、18人?，F(xiàn)在要挖2331米長(zhǎng)的水渠，若按人數(shù)的比例把任務(wù)分配給三個(gè)組，每一組應(yīng)挖多少米？（適于六年級(jí)程度）解：甲、乙、丙三個(gè)組應(yīng)挖的任務(wù)分別是24份數(shù)、21份數(shù)、18份數(shù)，求1份數(shù)后，用乘法便可求出各組應(yīng)挖的任務(wù)。2331÷（24+21+18）=37（米）37×24=888（米）…甲組任務(wù)37×21=777（米）…乙組任務(wù)37×18=666（米）…丙組任務(wù)答略。2生產(chǎn)同一種零件，甲要8分鐘，乙要6分鐘。甲乙兩人在相同的時(shí)間內(nèi)共同生產(chǎn)539個(gè)零件。每人各生產(chǎn)多少個(gè)零件？（適于六年級(jí)程度）解：由題意可知，在相同的時(shí)間內(nèi)，甲、乙生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)與他們生產(chǎn)一個(gè)零件所需時(shí)間成反比例。把甲生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)看作1份數(shù)，那么，乙生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)就是：生產(chǎn)零件的總數(shù)539個(gè)就是：甲生產(chǎn)的個(gè)數(shù)：乙生產(chǎn)的個(gè)數(shù)：答略。（五）以份數(shù)法解正比例應(yīng)用題成正比例的量有這樣的性質(zhì)：如果兩種量成正比例，那么一種量的任意兩個(gè)數(shù)值的比等于另一種量的兩個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)值的比。含有成正比例關(guān)系的量，并根據(jù)正比例關(guān)系的性質(zhì)列出比例式來(lái)解的應(yīng)用題，叫做正比例應(yīng)用題。這里是指以份數(shù)法解正比例應(yīng)用題。1某化肥廠4天生產(chǎn)化肥32噸。照這樣計(jì)算，生產(chǎn)256噸化肥要用多少天？（適于六年級(jí)程度）解：此題是工作效率一定的問(wèn)題，工作量與工作時(shí)間成正比例。以4天生產(chǎn)的32噸為1份數(shù)，256噸里含有多少個(gè)32噸，就有多少個(gè)4天。4×（256÷32）=4×8=32（天）答略。2每400粒大豆重80克，24000粒大豆重多少克？（適于六年級(jí)程度）解：每400粒大豆重80克，這一數(shù)量是一定的，因此大豆的粒數(shù)與重量成正比例。如把400粒大豆重80克看作1份數(shù)，則24000粒大豆中包含多少個(gè)400粒，24000粒大豆中就有多少個(gè)80克。24000÷400=60（個(gè)）24000粒大豆的重量是：80×60=4800（克）綜合算式：80×（24000÷400）=4800（克）答略。（六）以份數(shù)法解反比例應(yīng)用題成反比例的量有這樣的性質(zhì)：如果兩種量成反比例，那么一種量的任意兩個(gè)數(shù)值的比，等于另一種量的兩個(gè)對(duì)應(yīng)數(shù)值的比的反比。含有成反比例關(guān)系的量，并根據(jù)反比例關(guān)系的性質(zhì)列出比例式來(lái)解的應(yīng)用題，叫做反比例應(yīng)用題。這里是指以份數(shù)法解反比例應(yīng)用題。1有一批水果，每箱裝36千克，可裝40箱。如果每箱多裝4千克，需要裝多少箱？（適于六年級(jí)程度）解：題中水果的總重量不變，每箱裝的多，則裝的箱數(shù)就少，即每箱裝的重量與裝的箱數(shù)成反比例。如果把原來(lái)要裝的40箱看做1份數(shù)，那么現(xiàn)在需要裝的箱數(shù)就是原來(lái)要裝箱數(shù)的：現(xiàn)在需要裝的箱數(shù)是：答略。天的用煤量看做1份數(shù)，那么改進(jìn)爐灶后每天的用煤量是原來(lái)每天用煤量的：用煤天數(shù)與每天用煤量成反比例，原來(lái)要用24天的煤，現(xiàn)在可以用的天數(shù)是：答略。（七）以份數(shù)法解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題分?jǐn)?shù)應(yīng)用題就是指分?jǐn)?shù)的三類應(yīng)用題，即求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少；求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾；已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。1長(zhǎng)征毛巾廠男職工人數(shù)比女職工人數(shù)少1/3，求女職工人數(shù)比男職工人數(shù)多百分之幾？（適于六年級(jí)程度）解：從題中條件可知，男職工人數(shù)相當(dāng)于女職工人數(shù)的：如果把女職工人數(shù)看作3份，那么男職工人數(shù)就相當(dāng)于其中的2份。所以，女職工人數(shù)比男職工人數(shù)多：（3-2）÷2=50％答略。那么黃旗占：如果把21面黃旗看作1份數(shù)，總數(shù)量“1”中包含有多少個(gè)7/45，旗的總面數(shù)就是21的多少倍。答略。棉花谷多少包？（適于六年級(jí)程度）解：由題意可知，甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)各運(yùn)走了一些棉花之后，甲倉(cāng)庫(kù)剩下8份時(shí)，甲倉(cāng)庫(kù)剩下的是2份；把乙倉(cāng)庫(kù)的棉花分成5份時(shí)，乙倉(cāng)庫(kù)剩下的也是2份。但是，乙倉(cāng)庫(kù)剩下的2份比甲倉(cāng)庫(kù)剩下的2份多130包。可以看出，乙倉(cāng)庫(kù)的1份比甲倉(cāng)庫(kù)的1份多出：130÷2=65（包）如果把乙倉(cāng)庫(kù)原有的棉花減少5個(gè)65包，再把剩下的棉花平均分成5份，這時(shí)乙倉(cāng)庫(kù)的每一份棉花就與甲倉(cāng)庫(kù)的每一份同樣多了。這樣，從兩倉(cāng)庫(kù)棉花的總數(shù)2600包中減去5個(gè)65包，再把剩下的棉花平均分成13份（其中甲倉(cāng)庫(kù)8份，乙倉(cāng)庫(kù)5份），其中的8份就是甲倉(cāng)庫(kù)原有的包數(shù)。（2600-65×5）÷（8+5）×8=2275÷13×8=1400（包）……………甲倉(cāng)庫(kù)原有的包數(shù)2600-1400=1200（包）……………乙倉(cāng)庫(kù)原有的包數(shù)答略。（八）以份數(shù)法解工程問(wèn)題工程問(wèn)題就是研究工作量、工作時(shí)間及工作效率之間相互關(guān)系的問(wèn)題，這種問(wèn)題的工作量常用整體“1”表示。1一輛快車和一輛慢車同時(shí)從甲、乙兩站相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)12小時(shí)相遇。相遇后，快車又行8小時(shí)到達(dá)乙站。相遇后慢車還要行幾小時(shí)才能到達(dá)甲站？（適于六年級(jí)程度）解：由“相遇后快車又行8小時(shí)到達(dá)乙站”可知，慢車行12小時(shí)的路程快車只需行8小時(shí)。把快車行這段路程所需的8小時(shí)看作1份數(shù)，則慢車所需的份數(shù)是：答略。*例2加工一批零件，甲單獨(dú)完成需要30天，乙單獨(dú)完成的時(shí)間比甲少解：由題意可知，甲單獨(dú)完成需要30天，乙單獨(dú)完成所需天數(shù)是：如果把乙工作的6天看作1份數(shù)，那么甲完成相同的工作量所需時(shí)間就答略。（九）以份數(shù)法解幾何題*例1一個(gè)正方形被分成了大小、形狀完全一樣的三個(gè)長(zhǎng)方形（如圖11-3）。每個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)都是16厘米。這個(gè)正方形的周長(zhǎng)是多少？（適于五年級(jí)程度）解：在每個(gè)長(zhǎng)方形中，長(zhǎng)都是寬的3倍。換句話說(shuō)，如果寬是1份，則長(zhǎng)為3份，每個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一共可分為：3×2+1×2=8（份）因?yàn)槊總€(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16厘米，所以每份的長(zhǎng)是：16÷8=2（厘米）長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，也就是正方形的邊長(zhǎng)是：2×3=6（厘米）正方形的周長(zhǎng)是：6×4=24（厘米）答略。*例2長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬的比是7∶3。如果把長(zhǎng)減少12厘米，把寬增加16厘米，那么這個(gè)長(zhǎng)方形就變成了一個(gè)正方形。求原來(lái)這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。（適于六年級(jí)程度）解：根據(jù)題意，假設(shè)原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為7份，則寬就是3分，長(zhǎng)與寬之間相差：7-3=4（份）由于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)要減少12厘米，寬增加16厘米，長(zhǎng)方形才能變成正方形，因此原長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬之差為：12+16=28（厘米）看得出，4份與28厘米是相對(duì)應(yīng)的，每一份的長(zhǎng)度是：28÷4=7（厘米）原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是：7×7=49（厘米）原來(lái)長(zhǎng)方形的寬是：7×3=21（厘米）原來(lái)長(zhǎng)方形的面積是：49×21=1029（平方厘米）答略。第十二講 消元法在數(shù)學(xué)中，“元”就是方程中的未知數(shù)?！跋ā笔侵附柚ノ粗獢?shù)去解應(yīng)用題的方法。當(dāng)題中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知數(shù)時(shí)，要同時(shí)求出它們是做不到的。這時(shí)要先消去一些未知數(shù)，使未知數(shù)減少到一個(gè)，才便于找到解題的途徑。這種通過(guò)消去未知數(shù)的個(gè)數(shù)，使題中的數(shù)量關(guān)系達(dá)到單一化，從而先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再將所求結(jié)果代入原題，逐步求出其他未知數(shù)的解題方法叫做消元法。（一）以同類數(shù)量相減的方法消元例買1張辦公桌和2把椅子共用336元；買1張辦公桌和5把椅子共用540元。求買1張辦公桌和1把椅子各用多少錢？（適于四年級(jí)程度）解：這道題有兩類數(shù)量：一類是辦公桌的張數(shù)、椅子的把數(shù)，另一類是錢數(shù)。先把題中的數(shù)量按“同事橫對(duì)、同名豎對(duì)”的原則排列成表12-1。這就是說(shuō)，同一件事中的數(shù)量橫向?qū)R，單位名稱相同的數(shù)量上下對(duì)齊。12-1從表12-1第②組的數(shù)量減去第①組對(duì)應(yīng)的數(shù)量，有關(guān)辦公桌的數(shù)量便消去，只剩下有關(guān)椅子的數(shù)量：5-2=3（把）3把椅子的錢數(shù)是：540-336=204（元）買1把椅子用錢：204÷3=68（元）把買1把椅子用68元這個(gè)數(shù)量代入原題，就可以求出買1張辦公桌用的錢數(shù)是：336-68×2=336-136=200（元）答略。（二）以和、積、商、差代換某數(shù)的方法消元解題時(shí)，可用題中某兩個(gè)數(shù)的和，或某兩個(gè)數(shù)的積、商、差代換題中的某個(gè)數(shù)，以達(dá)到消元的目的。1.以兩個(gè)數(shù)的和代換某數(shù)*例甲、乙兩個(gè)書架上共有584本書，甲書架上的書比乙書架上的書少88本。兩個(gè)書架上各有多少本書？（適于四年級(jí)程度）解：題中的數(shù)量關(guān)系可用下面等式表示：甲+乙=584①甲+88=乙 ②把②式代入①式（以甲與88的和代換乙），得：甲+甲+88=584甲×2+88=5842甲=584-88=496甲=496÷2=248（本）乙=248+88=336（本）答略。2.以兩個(gè)數(shù)的積代換某數(shù)*例3雙皮鞋和7雙布鞋共值242元，一雙皮鞋的錢數(shù)與5雙布鞋的錢數(shù)相同。求每雙皮鞋、布鞋各值多少錢？（適于四年級(jí)程度）解：因?yàn)?雙皮鞋與5雙布鞋的錢數(shù)相同，所以3雙皮鞋的錢數(shù)與5×3=15（雙）布鞋的錢數(shù)一樣多。這樣可以認(rèn)為242元可以買布鞋：15+7=22（雙）每雙布鞋的錢數(shù)是：242÷22=11（元）每雙皮鞋的錢數(shù)是：11×5=55（元）答略。3.以兩個(gè)數(shù)的商代換某數(shù)*例5支鋼筆和12支圓珠筆共值48元，一支鋼筆的錢數(shù)與4支圓珠筆的錢數(shù)一樣多。每支鋼筆、圓珠筆各值多少錢？（適于五年級(jí)程度）解：根據(jù)“一支鋼筆的錢數(shù)與4支圓珠筆的錢數(shù)一樣多”，可用12÷4=3（支）的商把12支圓珠筆換為3支鋼筆?，F(xiàn)在可以認(rèn)為，用48元可以買鋼筆：5+3=8（支）每支鋼筆值錢：48÷8=6（元）每支圓珠筆值錢：6÷4=1.5（元）答略。4.以兩個(gè)數(shù)的差代換某數(shù)*例甲、乙、丙三個(gè)人共有235元錢，甲比乙多80元，比丙多90元。三個(gè)人各有多少錢？（適于五年級(jí)程度）解：題中三個(gè)人的錢數(shù)有下面關(guān)系：甲+乙+丙=235 ①甲-乙=80 ②甲-丙=90 ③由②、③得：乙=甲-80 ④丙=甲-90 ⑤用④、⑤分別代替①中的乙、丙，得：甲+（甲-80）+（甲-90）=235甲×3-170=235甲×3=235+170=405甲=405÷3=135（元）乙=135-80=55（元）丙=135-90=45（元）答略。（三）以較小數(shù)代換較大數(shù)的方法消元在用較小數(shù)量代換較大數(shù)量時(shí)，要把較小數(shù)量比較大數(shù)量少的數(shù)量加上，做到等量代換。*例18名男學(xué)生和14名女學(xué)生共采集松樹(shù)籽78千克，每一名男學(xué)生比每一名女學(xué)生少采集1千克。每一名男、女學(xué)生各采集松樹(shù)籽多少千克？（適于五年級(jí)程度）解：題中說(shuō)“每一名男學(xué)生比每一名女學(xué)生少采集1千克”，則18名男生比女生少采集1×18=18（千克）。假設(shè)這18名男生也是女生（以小代大），就應(yīng)78千克上加上18名男生少采集的18千克松樹(shù)籽。這樣他們共采集松樹(shù)籽：78+18=96（千克）因?yàn)橐寻?8名男學(xué)生代換為女學(xué)生，所以可認(rèn)為共有女學(xué)生：14+18=32（名）每一名女學(xué)生采集松樹(shù)籽：96÷32=3（千克）每一名男學(xué)生采集松樹(shù)籽：3-1=2（千克）答略。（四）以較大數(shù)代換較小數(shù)的方法消元在用較大數(shù)量代換較小數(shù)量時(shí)，要把較大數(shù)量比較小數(shù)量多的數(shù)量減去，做到等量代換。*例勝利小學(xué)買來(lái)9個(gè)同樣的籃球和5個(gè)同樣的足球，共付款432元。已知每個(gè)足球比每個(gè)籃球貴8元，籃球、足球的單價(jià)各是多少元？（適于五年級(jí)程度）解：假設(shè)把5個(gè)足球換為5個(gè)籃球，就可少用錢：8×5=40（元）這時(shí)可認(rèn)為一共買來(lái)籃球：9+5=14（個(gè)）買14個(gè)籃球共用錢：432-40=392（元）籃球的單價(jià)是：392÷14=28（元）足球的單價(jià)是：28+8=36（元）答略。（五）通過(guò)把某一組數(shù)乘以一個(gè)數(shù)消元當(dāng)應(yīng)用題的兩組數(shù)量中沒(méi)有數(shù)值相等的兩個(gè)同類數(shù)量時(shí)，應(yīng)通過(guò)把某一組數(shù)量乘以一個(gè)數(shù)，而使同一類數(shù)量中有兩個(gè)數(shù)值相等的數(shù)量，然后再消元。*例2匹馬、3只羊每天共吃草38千克；8匹馬、9只羊每天共吃草134千克。求一匹馬和一只羊每天各吃草多少千克？（適于五年級(jí)程度）解：把題中條件摘錄下來(lái)，排列成表12-2。12-2把第①組中的數(shù)量乘以3得表12-3。12-3第③組的數(shù)量中，羊的只數(shù)是9只；第②組的數(shù)量中，羊的只數(shù)也是9只。這樣便可以從第②組的數(shù)量減去第③組的數(shù)量，從而消去羊的只數(shù)，得到2匹馬吃草20千克。一匹馬吃草：20÷2=10（千克）一只羊吃草：（38-10×2）÷3=18÷3=6（千克）答略。（六）通過(guò)把兩組數(shù)乘以兩個(gè)不同的數(shù)消元當(dāng)應(yīng)用題的兩組數(shù)量中沒(méi)有數(shù)值相等的兩個(gè)同類的數(shù)量，并且不能通過(guò)把某一組數(shù)量乘以一個(gè)數(shù)，而使同一類的數(shù)量中有兩個(gè)數(shù)值相等的數(shù)，而達(dá)到消元的目的時(shí)，應(yīng)當(dāng)通過(guò)把兩組數(shù)量分別乘以兩個(gè)不同的數(shù)，而使同一類的數(shù)量中有兩個(gè)數(shù)值相等的數(shù)，然后再消元。*例1買3塊橡皮和6支鉛筆用1.68元錢，買4塊橡皮和7支鉛筆用2元錢。求一塊橡皮和一支鉛筆的價(jià)格各是多少錢？（適于五年級(jí)程度）解：把題中條件摘錄下來(lái)排列成表12-4。12-4要消去一個(gè)未知數(shù)，只把某一組數(shù)乘以一個(gè)數(shù)不行，要把兩組數(shù)分別乘以兩個(gè)不同的數(shù)，從而使兩組數(shù)中有對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)同一類的數(shù)。因此，把第①組中的各數(shù)都乘以4，把第②組中的各數(shù)都乘以3，得表12-5。12-5③-④得：3支鉛筆用錢0.72元，一支鉛筆的價(jià)格是：0.72÷3=0.24（元）一塊橡皮的價(jià)格是：（1.68-0.24×6）÷3=（1.68-1.44）÷3=0.24÷3=0.08（元）答略。*例2有大杯和小杯若干個(gè)，它們的容量相同。現(xiàn)在往5個(gè)大杯和3個(gè)小杯里面放滿砂糖，共420克；又往3個(gè)大杯和5個(gè)小杯里面放滿砂糖，共380克。求一個(gè)大杯和一個(gè)小杯分別可以放入砂糖多少克？（適于五年級(jí)程度）解：摘錄題中條件排列成表12-6。12-6把表12-6中①組各數(shù)都乘以5，②組各數(shù)都乘以3，得表12-7。12-7③-④得：16大杯放砂糖960克，所以，一個(gè)大杯里面可以放入砂糖：960÷16=60（克）一個(gè)小杯里面可以放入砂糖：（420-60×5）÷3=（420-300）÷3=40（克）答略。第十三講比較法通過(guò)對(duì)應(yīng)用題條件之間的比較，或難解題與易解題的比較，找出它們的聯(lián)系與區(qū)別，研究產(chǎn)生聯(lián)系與區(qū)別的原因，從而發(fā)現(xiàn)解題思路的解題方法叫做比較法。在用比較法解應(yīng)用題時(shí)，有些條件可直接比較，有些條件不能直接比較。在條件不能直接比較時(shí)，可借助畫圖、列表等方法比較，也可適當(dāng)變換題目的陳述方式及數(shù)量的大小，創(chuàng)造條件比較。（一）在同一道題內(nèi)比較在同一道題內(nèi)比較，就是在同一道題的條件與條件、數(shù)量與數(shù)量之間的比較，不涉及其他題目。1.直接比較1五年級(jí)甲班要種一些樹(shù)。如果每人種5棵，則剩下75棵；如果每人種7棵，則缺15棵。問(wèn)這個(gè)班有多少人？這批樹(shù)苗有多少棵？（適于四年級(jí)程度）解：將兩種分配方案進(jìn)行比較，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，第二次比第一次每人多種：7-5=2（棵）第二次比第一次多種：75+15=90（棵）90棵中含有多少個(gè)2棵就是全班的人數(shù)：90÷2=45（人）這批樹(shù)苗的棵數(shù)是：5×45+75=300（棵）7×45-15=300（棵）答略。*例2四季茶莊購(gòu)進(jìn)兩批茶葉，第一批有35箱綠茶和15箱紅茶，共重2925千克。第二批有35箱綠茶和28箱紅茶，共重3640千克。兩種茶葉每箱各重多少千克？（適于五年級(jí)程度）解：將前后兩批茶葉的箱數(shù)與箱數(shù)、重量與重量分別比較，可發(fā)現(xiàn)，第二批紅茶箱數(shù)比第一批紅茶箱數(shù)多：28-15=13（箱）第二批紅茶比第一批紅茶多：3640-2925=715（千克）因此，可得每一箱紅茶重量：715÷13=55（千克）每一箱綠茶重量：（2925-55×15）÷35=（2925-825）÷35=2100÷35=60（千克）答略。2.畫圖比較有些應(yīng)用題由于數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、抽象，不便于通過(guò)直接推理、比較看出數(shù)量關(guān)系，可借助畫圖作比較，就容易看出數(shù)量關(guān)系。解：作圖13-1，比較已修過(guò)米數(shù)與未修過(guò)米數(shù)的關(guān)系?？煽闯?，這段公路一共分為（7+2）份。答略。3.列表比較有些應(yīng)用題適于借助列表的方法比較條件。在用列表的方法比較條件時(shí)，要把題中的條件摘錄下來(lái)，盡量按“同事橫對(duì)，同名豎對(duì)”的格式排列成表。這就是說(shuō)，要盡量使同一件事情的數(shù)量橫著對(duì)齊，使單位名稱相同的數(shù)量豎著對(duì)齊。例趙明準(zhǔn)備買2千克蘋果和3千克梨，共帶6.8元錢。到水果店后，他買3千克蘋果和2千克梨，結(jié)果缺了0.4元錢。求每千克蘋果、梨各多少元錢？（適于五年級(jí)程度）解：摘錄已知條件排列成表13-1。13-1比較①、②兩組數(shù)量會(huì)看出：由于多買了1千克蘋果，少買了1千克梨，才缺了0.4元。可見(jiàn)1千克蘋果比1千克梨貴0.4元。從買2千克蘋果、3千克梨的6.8元中去掉買2千克蘋果多用的錢，便可以把買2千克蘋果當(dāng)成買2千克梨，則一共買梨（2+3）千克，用錢：6.8-0.4×2=6（元）每千克梨的價(jià)錢是：6÷（2+3）=1.2（元）每千克蘋果的價(jià)錢是：1.2+0.4=1.6（元）答略。（二）和容易解的題比較當(dāng)一道應(yīng)用題比較復(fù)雜時(shí)，可先回憶過(guò)去是不是學(xué)過(guò)類似的、較容易解的題，回憶起來(lái)后，可進(jìn)行比較，找出聯(lián)系，從而找到解題途徑。1.與常見(jiàn)題比較4名騎兵輪流騎3匹馬，行8千米遠(yuǎn)的路程，每人騎馬行的路程相等。求每人騎馬行的路程是多少？（適于四年級(jí)程度）小學(xué)生對(duì)這類題不易理解，如與下面的常見(jiàn)題作比較就容易理解了。3籃蘋果，每籃8個(gè)，平均分給4人，每人得幾個(gè)？把這兩道題中的條件都摘錄下來(lái)，一一對(duì)應(yīng)地排列起來(lái)：3匹馬………3籃蘋果每匹馬都行8千米…………每籃都裝8個(gè)蘋果4人騎馬行的路程相等……4人得到的蘋果一樣多解答“蘋果”這道題的方法是：8×3÷4通過(guò)這樣的比較，自然會(huì)想出解題的方法。解：8×3÷4=6（千米）答：每人騎馬行的路程是6千米。2.與基本題比較例甲、乙兩地相距10.5千米，某人從甲地到乙地每小時(shí)走5千米，從乙地到甲地每小時(shí)走3千米。求他往返于甲、乙兩地的平均速度。（適于五年級(jí)程度）在解答此題時(shí)，有的同學(xué)可能這樣解：（5+3）÷2=4（千米）。這是錯(cuò)誤的。把上題與下面的題作比較，就會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。甲、乙兩地相距12千米，某人從甲地到乙地走了4小時(shí)，他每小時(shí)平均走多少千米？解此題的方法是：12÷4=3（千米）。這是總路程÷總的時(shí)間=平均速度。前面的解法不符合“總路程÷總時(shí)間=平均速度”這個(gè)公式，所以是錯(cuò)誤的。解：本題的總路程是：10.5×2總時(shí)間是：10.5÷5+10.5÷3所以他往返的平均速度是：10.5×2÷（10.5÷5+10.5÷3）=3.75（千米/小時(shí)）答略。3.把逆向題與順向題比較例王明與李平共有糖若干塊。王明的糖比李平的糖多題，不易找出解題方法。把這道題與類似的一道順向思維的題比較一下，就可得出解題方法。答略。（三）創(chuàng)造條件比較對(duì)那些不能以題中現(xiàn)有條件與相關(guān)條件進(jìn)行比較的應(yīng)用題，應(yīng)適當(dāng)變換條件，創(chuàng)造可以比較的條件，再進(jìn)行比較。*例1學(xué)校食堂第一次買來(lái)2袋大米和3袋面粉，共275千克；第二次買來(lái)5袋大米和4袋面粉，共600千克。求1袋大米和1袋面粉各重多少千克？（適于五年級(jí)程度）解：摘錄題中條件，列成表13-2。13-2從表13-2中的條件看，題中條件不能直接比較。此時(shí)要?jiǎng)?chuàng)造條件比較。因?yàn)榇竺状鼣?shù)2和5的最小公倍數(shù)是10，所以把第一次買來(lái)的袋數(shù)2乘以5（把面粉的袋數(shù)3，重量275也要乘以5），把第二次買來(lái)的袋數(shù)乘以2（把面粉的袋數(shù)4，重量600也要乘以2），得表13-3。此時(shí)題中條件便可以比較了。13-3看表13-3，把兩次買來(lái)糧食的數(shù)量比較一下，大米的袋數(shù)相同，面粉第一次比第二次多買：15-8=7（袋）因此，第一次買的糧食比第二次多：1375-1200=175（千克）每袋面粉重：175÷7=25（千克）每袋大米重：（275-25×3）÷2=（275-75）÷2=100（千克）答略。*例21支鉛筆、2塊橡皮、3把卷筆刀共值2.35元；2支鉛筆、3塊橡皮、4把卷筆刀共值3.30元；3支鉛筆、3塊橡皮、5把卷筆刀共值4.05元。求1支鉛筆、1塊橡皮、1把卷筆刀各值多少錢？（適于五年級(jí)程度）解：摘錄題中條件排列成表13-4。13-4從表13-4看，題中條件不能直接比較。因此，要?jiǎng)?chuàng)造條件比較。因?yàn)橄鹌さ膲K數(shù)2、3、3的最小公倍數(shù)是6，所以①3，②2，③2，得13-5。此時(shí)題中條件便可以比較了。13-5⑥-⑤，得：2支鉛筆價(jià)錢+2把卷筆刀價(jià)錢=1.5（元），即，1支鉛筆價(jià)錢+1把卷筆刀價(jià)錢=0.75（元）…………⑦⑥-④，得：3支鉛筆價(jià)錢+1把卷筆刀價(jià)錢=1.05（元）…………⑧⑧-⑦，得：2支鉛筆價(jià)錢=0.30（元）1支鉛筆價(jià)錢=0.15（元）把1支鉛筆價(jià)錢0.15元代入⑦，得出1把卷筆刀的價(jià)錢是：0.75-0.15=0.60（元）根據(jù)①可求出一塊橡皮的價(jià)錢數(shù)：（2.35-0.15-0.6×3）÷2=0.4÷2=0.2（元）答略。*例3甲、乙兩人共需做140個(gè)零件，甲做了自己任務(wù)的80％，乙做了自己任務(wù)的75％，這時(shí)甲、乙共剩下32個(gè)零件未完成。求甲、乙兩人各需做多少個(gè)零件？（適于六年級(jí)程度）解：已知“甲做了自己任務(wù)的80％，乙做了自己任務(wù)的75％”后共剩下32個(gè)零件，甲、乙兩人所做零件個(gè)數(shù)不相等，因此，甲所做零件的80％與乙所做零件的75％不可直接比較。此時(shí)就要?jiǎng)?chuàng)造條件比較了。已知甲做自己任務(wù)的80％，假設(shè)乙也做自己任務(wù)的80％，那么甲乙就共剩下零件：140×（1-80％）=28（個(gè)）這比原來(lái)已知的“甲、乙共剩下32個(gè)零件”少：32-28=4（個(gè)）這4個(gè)所對(duì)應(yīng)的分率是：80％-75％=5％所以，乙需做的零件是：4÷5％=80（個(gè)）甲需做的零件是：140-80=60（個(gè)）答略。第十四講演示法對(duì)于那些不容易理解和分析數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，利用身邊現(xiàn)成的東西，如鉛筆、橡皮、小刀、文具盒等，進(jìn)行演示，使應(yīng)用題的內(nèi)容形象化，數(shù)量關(guān)系具體化，這種解題的方法叫做演示法。1一根繩子正好圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為5分米的正方形。如果用它圍成長(zhǎng)是8分米的長(zhǎng)方形，問(wèn)其寬應(yīng)當(dāng)是多少分米？（適于三年級(jí)程度）解：對(duì)這道題一般同學(xué)都會(huì)用這樣的方法解答：5×4÷2-8=2（分米）然而這并不是最簡(jiǎn)捷的解法，要用更簡(jiǎn)捷的解法，我們可以做下面的試驗(yàn)：（1）用一根細(xì)鐵絲圍成一個(gè)邊長(zhǎng)是5分米的正方形（圖14-1）。（2）把正方形的細(xì)鐵絲從C點(diǎn)斷開(kāi)。這時(shí)ABC部分、CDA部分都是正方形邊長(zhǎng)的2倍。（3）把ABC那部分（或CDA部分）拉直，折出8分米長(zhǎng)的一段與另一段90°的角（圖14-2）。此時(shí)會(huì)看到8分米長(zhǎng)的這一段是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，與8分米長(zhǎng)的邊成直角的那一段是長(zhǎng)方形的寬。到此，很容易得出，求長(zhǎng)方形的寬也可以用下面的方法：5×2-8=2（分米）答略。抖音:一起去學(xué)習(xí)85_85_12_16*例2有一列火車，長(zhǎng)120米，以每小時(shí)18千米的速度通過(guò)一座長(zhǎng)150米的隧道。求從火車頭進(jìn)隧道到火車尾部離開(kāi)隧道共需要多長(zhǎng)時(shí)間？（適于五年級(jí)程度）解：求火車過(guò)隧道的時(shí)間，必須知道過(guò)隧道的速度和所行的路程。速度已知，因此，解此題的關(guān)鍵是求出火車頭從進(jìn)隧道到火車尾部離開(kāi)隧道所行的路程。為弄清這個(gè)問(wèn)題，我們做下面的演示。用文具盒當(dāng)隧道，用鉛筆當(dāng)火車。用圖14-3表示火車剛剛要進(jìn)隧道時(shí)的情景，用圖14-4表示火車車尾正好離開(kāi)隧道時(shí)的情景。從圖14-4可看出：火車從車頭進(jìn)隧道，到車尾離開(kāi)隧道，所行的路程等于隧道長(zhǎng)與車身長(zhǎng)之和。到此，便可求出火車頭從進(jìn)隧道到車尾離開(kāi)隧道所用的時(shí)間。分步列式計(jì)算：（1）火車每秒行：1000×18÷3600=5（米）（2）火車通過(guò)隧道共行的米數(shù)：150+120=270（米）（3）火車通過(guò)隧道需時(shí)間是：270÷5=54（秒）綜合算式：（150+120）÷（1000×18÷3600）=270÷5=54（秒）答略。*例3兄弟二人早晨五點(diǎn)鐘各推一車菜，同時(shí)從家里出發(fā)去集市。哥哥每分鐘走100米，弟弟每分鐘走60米。哥哥到達(dá)集市后5分鐘卸完菜，立即返回，途中遇到弟弟，這時(shí)是5點(diǎn)55分。問(wèn)集市離他們家有多遠(yuǎn)？（適于五年級(jí)程度）解：本題可用橡皮、瓶蓋分別代表“家”與“集市”，放在桌面的兩端，用兩支鉛筆代表兄弟二人實(shí)際走一走。如（圖14-5）。14-5實(shí)線表示弟弟走的路程，虛線表示哥哥走的路程。從演示中可以看出兄弟二人共走的路程是從家到集市路程的2倍。因此，只要求出兄弟二人共走了多少路，就可求出家到集市的路程。[60×55+100×（55-5）]÷2=[3300+5000]÷2=4150（米）答略。*例4一個(gè)5分米高的圓柱體，它的側(cè)面積是62.8平方分米，求圓柱體的體積。（適于六年級(jí)程度）解：要求圓柱體的體積就要知道圓柱底面圓的半徑是多少。從表面看，題中沒(méi)有告訴圓柱底面圓的半徑是多少，這可怎么辦呢？做了下面的演示，問(wèn)題就得到解決了。用一張長(zhǎng)方形的紙卷成一個(gè)圓柱形，再把圓柱形展開(kāi)，展開(kāi)后看到圓柱形的側(cè)面是個(gè)長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的寬就是圓柱的高，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是圓柱底面圓的周長(zhǎng)。知道了圓柱底面圓的周長(zhǎng)，就能算出圓柱體底面圓的半徑。（1）圓柱體底面圓的周長(zhǎng)是：62.8÷5=12.56（分米）（2）圓柱體底面圓的半徑是：12.56÷3.14÷2=2（分米）（3）圓柱體的體積是：3.14×2×2×5=62.8（立方分米）答略。*例5從三點(diǎn)鐘到四點(diǎn)鐘之間，鐘面上時(shí)針和分針什么時(shí)刻會(huì)重合？什么時(shí)刻成一直線？（適于高年級(jí)程度）解：此題很抽象，可用有活動(dòng)指針的時(shí)鐘教具做演示來(lái)理解題中的數(shù)量關(guān)系。看圖14-6，因?yàn)殓姷闹羔樖琼槙r(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的，所以在3點(diǎn)鐘時(shí)，時(shí)針在分針前面。要使兩針重合，分針就要追上時(shí)針。我們把分針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，即分針走60小格，時(shí)針才走5個(gè)小格，因此，在分針要與時(shí)針成一條直線，分針不僅要追上時(shí)針15格的距離，還要超過(guò)30格的距離，總計(jì)要“追”（15+30）格的距離?！白贰保?5+30）格的路程要用多長(zhǎng)時(shí)間呢？時(shí)針成一條直線。答略。*例6一列快車全長(zhǎng)151米，每秒鐘行15米，一列慢車全長(zhǎng)254米，每秒鐘行12米。兩車相對(duì)而行，從相遇到離開(kāi)要用幾秒鐘？（適于五年級(jí)程度）解：要求兩車從相遇到離開(kāi)要用幾秒鐘，必須知道兩車從相遇到離開(kāi)走多長(zhǎng)的路程。為弄清這個(gè)問(wèn)題，我們做下面的演示：用一支鉛筆作慢車，用另一支鉛筆作快車。先讓它們相遇（圖14-7），再讓它們從相對(duì)運(yùn)行到正好離開(kāi)（圖14-8）?？磮D14-8會(huì)想到：兩車共行的路程是兩個(gè)車身長(zhǎng)的和。到此，可算出：（151+254）÷（15+12）=405÷27=15（秒）答：兩車從相遇到離開(kāi)需要15秒鐘。第十五講 列表法把應(yīng)用題中的條件簡(jiǎn)要地摘錄下來(lái)，列表分類整理、排列，并借助這個(gè)表格分析、解答應(yīng)用題的方法叫做列表法。在用列表法解題時(shí)，要仔細(xì)判斷題中哪些數(shù)量是同一件事中直接相關(guān)聯(lián)的，哪些數(shù)量是同一類的。排列數(shù)量時(shí)，要盡量做到“同事橫對(duì)”，“同名豎對(duì)”。這就是說(shuō)，要使同一件事中直接相關(guān)聯(lián)的數(shù)量橫向排列，使同一類的、單位名稱相同的數(shù)量豎著排列，還要使它們的數(shù)位上、下對(duì)齊。這樣就可以在讀題、列表的過(guò)程中正確識(shí)別數(shù)量，選擇數(shù)量，理解數(shù)量之間的聯(lián)系、區(qū)別，理清思路，為下一步的分析、推理作好準(zhǔn)備。（一）通過(guò)列表突出題目的解法特點(diǎn)有些應(yīng)用題的解法具有一定的特點(diǎn)，如果把題中的條件按一定的格式排列，整理成表，則表格會(huì)起到突出題目解法特點(diǎn)的作用。1桌子上放著黃、紅、綠三種顏色的塑料碗。3只黃碗里放著51個(gè)玻璃球，5只紅碗里放著75個(gè)玻璃球，2只綠碗里放著24個(gè)玻璃球。要使每只碗里玻璃球的個(gè)數(shù)相同，每只碗里應(yīng)放多少個(gè)玻璃球？（適于四年級(jí)程度）解：摘錄題中條件，排列成表15-1。15-1求每只碗里應(yīng)放多少個(gè)球，要先求出一共有多少個(gè)碗，和在這些碗中一共放了多少個(gè)球。由于表15-1中把碗的只數(shù)排列在前一豎行，把球的個(gè)數(shù)排列在另一豎行，所以只要看著表15-1中豎著排列的碗的只數(shù)和球的個(gè)數(shù)，便可算出碗的總數(shù)和玻璃球的總數(shù)，從而使問(wèn)題得以解決。（51+75+24）÷（3+5+2）=150÷10=15（只）答：平均每只碗里應(yīng)放15個(gè)玻璃球。2荒地村砂場(chǎng)用3輛汽車往火車站運(yùn)送砂子，5天運(yùn)了180噸。照這樣計(jì)算，用4輛同樣的汽車15天可以運(yùn)送多少噸砂子？（適于四年級(jí)程度）解：摘錄題中條件，排列成表15-2。15-2解此題的要點(diǎn)是先求出單位數(shù)量。表15-2中，由于汽車的輛數(shù)、運(yùn)送的天數(shù)和噸數(shù)這三個(gè)直接相關(guān)聯(lián)的數(shù)量排在同一橫行，因此便于想到，180÷5得到3輛車1天運(yùn)多少噸，180÷5÷3就得到一輛車一天運(yùn)多少噸；接著便可想到求出4輛車1天運(yùn)多少噸，15天運(yùn)多少噸。求4輛車15天運(yùn)送多少噸砂子的方法是：180÷5÷3×4×15=12×4×15=720（噸）答略。3甲校買8個(gè)排球，5個(gè)籃球，共用415元，乙校買同樣的4個(gè)排球、5個(gè)籃球，共用295元。求買一個(gè)排球需要多少錢？（適于四年級(jí)程度）解：摘錄題中條件，排列成表15-3。15-3從表15-3可以看出，甲、乙二校所買籃球的個(gè)數(shù)一樣多，甲校比乙校多用錢：415-295=120（元）甲校比乙校多買排球數(shù)是：8-4=4（個(gè)）所以，每個(gè)排球的賣價(jià)是：120÷4=30（元）答略。4要把賣5角錢500克的紅辣椒和賣3角5分錢500克的青辣椒混合起來(lái)，賣4角1分錢500克，應(yīng)按怎樣的比例混合，賣主和顧客才都不吃虧？（適于六年級(jí)程度）解：摘錄題中條件，排列成表15-4（為便于計(jì)算，表中錢數(shù)都以“分”為單位）。15-4要使賣主與買主都不吃虧，就要使紅辣椒損失的錢數(shù)與青辣椒多收入的錢數(shù)一樣多。由表15-4可看出，當(dāng)紅辣椒損失18分，青辣椒多收入18分時(shí)，恰好達(dá)到要求。因?yàn)槊?00克紅辣椒與青辣椒混合時(shí)，紅辣椒要少賣9分錢，當(dāng)損失18分時(shí)，則有500×2克紅辣椒；同理，青辣椒與紅辣椒混合時(shí)，每500克青辣椒要多賣6分錢，要多賣18分時(shí)，就要有3個(gè)500克才行，即500×3克青辣椒。所以，紅辣椒與青辣椒混合的比應(yīng)是：500×2∶500×3=2∶3答略。*例5甲種酒每500克賣1元4角4分，乙種酒每500克賣1元2角，丙種酒每500克賣9角6分?，F(xiàn)在要把三種酒混合成每500克賣1元1角4分的酒，其中乙種酒與丙種酒的比是3∶2。求混合酒中三種酒的重量比。（適于六年級(jí)程度）解：設(shè)混合酒中甲種酒占的份數(shù)是x，為便于計(jì)算題中錢數(shù)都以“分”為單位。摘錄題中條件，排列成表15-5。15-5從表15-5可以看出，當(dāng)三種酒的混合比是x∶3∶2，混合酒的價(jià)錢是114分時(shí)，混合酒中每500克甲種酒要損失（少賣）30分錢，每500克乙種酒要損失6分錢，而每500克丙種酒要收益（多賣）18分錢。當(dāng)乙、丙兩種酒的混合比是3∶2時(shí)，假設(shè)乙、丙兩種酒分別是1.5千克、1千克，則這兩種酒的混合液可以多賣錢：18×2-6×3=18（分）當(dāng)三種酒按x∶3∶2的比例混合時(shí)，收益的18分錢應(yīng)與甲種酒的損失抵消。因?yàn)槿N酒混合時(shí)，每500克甲種酒損失30分，所以18分是30分的幾分之幾，甲種酒在三種酒的混合液中就占500克的幾分之幾：答：混合酒中三種酒的重量比是3∶15∶10。（二）通過(guò)列表暴露題目的中間問(wèn)題解答復(fù)合應(yīng)用題的關(guān)鍵，是找出解答最后問(wèn)題所需要的中間問(wèn)題（隱藏量），應(yīng)用題的步驟越多，需要找出的中間問(wèn)題就越多，解答的過(guò)程就越復(fù)雜。在用列表法解應(yīng)用題時(shí)，由于題中數(shù)量是按“同事橫對(duì)，同名豎對(duì)”的規(guī)律排列在表中，所以便于思考求最后的問(wèn)題需要哪些數(shù)量，這些數(shù)量中哪些是已知的、哪些是未知的中間問(wèn)題。同時(shí)也便于思考怎樣求出中間問(wèn)題，并在必要時(shí)把求中間問(wèn)題的算式寫在表中。這樣，中間問(wèn)題便暴露于表格中，和已知數(shù)處于平等的地位，從而排除了思維道路上的障礙，減輕了解題的難度。*例1張老師買了2千克蘋果，3千克梨，共用5元錢。王老師買的蘋果是張老師的2倍，買的梨是張老師的3倍，比張老師多用6.8元。問(wèn)每一千克蘋果、每一千克梨的價(jià)錢各是多少元？（適于五年級(jí)程度）解：摘錄題中條件，排列成表15-6。15-6中，由于張老師買的蘋果是2千克、梨是3千克，共用5元錢，都已寫在表中，因此很容易在表中寫出王老師買的蘋果是2×2千克，王老師買的蘋果恰好是張老師的2倍，也很容易寫出王老師買的梨是3×3千克，王老師買的梨比張老師的2倍多3×（3-2）千克，即多3千克。15-6王老師共用錢（5+6.8）元，王老師買水果用的錢比張老師買水果用的錢的2倍多：（5+6.8）-5×2=1.8（元）這1.8元就是買3千克梨用的錢，所以1千克梨的價(jià)錢是：1.8÷3=0.6（元）1千克蘋果的價(jià)錢是：（5-0.6×3）÷2=（5-1.8）÷2=1.6（元）答略。*例2有甲、乙、丙三桶油，先取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙兩桶中；再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙兩桶中；最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙兩桶中。這時(shí)3桶油正好都是16千克。問(wèn)原來(lái)每桶中各有油多少千克？（適于高年級(jí)程度）解：此題的中間量比較多，需要從題中最后的結(jié)果逐步往前推理，把推出的結(jié)果寫在表中，就能求出原來(lái)每桶各有多少千克油。看表15-7。15-7（1）由于最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙兩桶中，3桶油正好都16千克，因此在表15-7中，橫向?qū)懮霞?、乙、丙三桶油都?6千克。而在丙桶未向甲、乙兩桶倒油之前，丙桶中有油：16×2=32（千克）丙桶油的一半是16千克，把這16千克平均倒在甲乙兩桶中時(shí)，倒入每一桶的油是：16÷2=8（千克）所以，在丙桶未向甲、乙兩桶倒油時(shí)，即“再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙兩桶中”后，甲、乙兩桶中分別有油8千克。在表15-7中，乙倒完后一欄的后面橫向?qū)懮霞?、乙、丙三桶分別有油8千克、8千克、32千克。（2）根據(jù)取出乙桶油的一半平均倒在甲、丙兩桶中后，乙桶中還剩8千克油，甲桶中有油8千克，丙桶中有油32千克，可以推出原來(lái)乙桶中有油16千克，乙桶油的一半是：16÷2=8（千克）8千克的一半是4千克。所以，在乙桶未向甲、丙兩桶倒油之前，即“取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙兩桶中”后，甲桶中有油：8-4=4（千克）丙桶中有油：32-4=28（千克）在表15-7中，甲倒完后一欄的后面橫向?qū)懮霞住⒁?、丙三桶分別有油：4千克、16千克、28千克。（3）由“取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙兩桶中”之后，甲桶中還剩下4千克油，可以推出甲桶原來(lái)有油：4×2=8（千克）8千克的一半是4千克，4千克的一半是2千克。由甲桶向乙、丙兩桶倒完油后，乙、丙兩桶分別有油16千克，28千克，由此可推出乙、丙兩桶原來(lái)分別有油：16-2=14（千克）28-2=26（千克）答略。第十六講 倍比法解應(yīng)用題時(shí)，先求出題中兩個(gè)對(duì)應(yīng)的同類數(shù)量的倍數(shù)，再通過(guò)“倍數(shù)”去求未知數(shù)，這種解題的方法稱為倍比法。（一）用倍比法解歸一問(wèn)題可以用倍比法解答的應(yīng)用題一般都可以用歸一法來(lái)解（除不盡時(shí)，可以用分?jǐn)?shù)、小數(shù)來(lái)表示），但用倍比法解答要比用歸一法簡(jiǎn)便。實(shí)際上，倍比法是歸一法的特殊形式。為計(jì)算方便，在整數(shù)范圍內(nèi)，如果用歸一法除不盡時(shí)，可以考慮用倍比法來(lái)解。反之，運(yùn)用倍比法除不盡時(shí)，也可以考慮改用歸一法來(lái)解。要根據(jù)題目中的具體條件，選擇最佳解法。1一臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地175畝。照這樣計(jì)算，這臺(tái)拖拉機(jī)15天可以耕地多少畝？（適于三年級(jí)程度）解：這道題實(shí)質(zhì)上是歸一問(wèn)題。要求15天耕地多少畝，只要先求出每天耕地多少畝就行了。但175不能被3整除，所以在整數(shù)范圍內(nèi)此題不便用歸一法來(lái)解。因題目中的同一類數(shù)量（兩個(gè)天數(shù)）之間成倍數(shù)關(guān)系（15天是3天的5倍），并且拖拉機(jī)的工作效率又相同，所以另一類量（兩個(gè)耕地畝數(shù)）之間也必然有相同的倍數(shù)關(guān)系（15天耕地畝數(shù)也應(yīng)是3天耕地畝數(shù)的5倍）。先求15天是3天的幾倍：15÷3=5（倍）再求175畝的5倍是多少畝：175×5=875（畝）綜合算式：175×（15÷3）＝175×5＝875（畝）答：15天可以耕地875畝。23臺(tái)拖拉機(jī)一天耕地40畝。要把160畝地在一天內(nèi)耕完，需要多少臺(tái)同樣的拖拉機(jī)？（適于三年級(jí)程度）解：先求出160畝是40畝的幾倍：160÷40=4（倍）再求耕160畝地需要多少臺(tái)同樣的拖拉機(jī)：3×4=12（臺(tái)）綜合算式：3×（160÷40）=3×4=12（臺(tái)）例3工廠運(yùn)來(lái)52噸煤，先用其中的13噸煉出9750千克焦炭。照這樣計(jì)算，剩下的煤可以煉出多少千克焦炭？（適于四年級(jí)程度）用歸一法解：先求出每噸煤可煉出多少千克焦炭，再求出剩下的煤可以煉多少千克焦炭：9750÷13×（52-13）=750×39=29250（千克）用倍比法解：先求出52噸里有幾個(gè)13噸，然后去掉已煉的一個(gè)13噸，得：9750×（52÷13-1）=29250（千克）答略。4某糧食加工廠，3臺(tái)磨粉機(jī)6小時(shí)磨小麥1620千克。照這樣計(jì)算，5臺(tái)磨粉機(jī)8小時(shí)可以磨小麥多少千克？（適于五年級(jí)程度）用歸一法解：1620÷3÷6×5×8=540÷6×5×8=90×5×8=3600（千克）用倍比法解：把一臺(tái)磨粉機(jī)工作1小時(shí)看作一個(gè)新的量-1臺(tái)小時(shí)，3臺(tái)磨粉機(jī)工作6小時(shí)，就是3×6臺(tái)小時(shí)，5臺(tái)磨粉機(jī)工作8小時(shí)，就是5×8臺(tái)小時(shí)。只要求出5×8臺(tái)小時(shí)是3×6臺(tái)小時(shí)的幾倍，那么5臺(tái)磨粉機(jī)8小時(shí)磨的小麥就是1620千克小麥的幾倍。答略。5甲、乙兩輛車分別從東、西兩城同時(shí)相對(duì)開(kāi)出，4小時(shí)后相遇，相遇后甲車再經(jīng)過(guò)2小時(shí)到達(dá)西城。求乙車再經(jīng)過(guò)幾小時(shí)可以到達(dá)東城？（適于五年級(jí)程度）解：用圖16-1表示題中的數(shù)量關(guān)系。看圖16-1中兩車相遇點(diǎn)右側(cè)的路程，甲、乙所走的路程一樣長(zhǎng)。但走這段路，甲用了2小時(shí)，乙卻用了4小時(shí)。就是說(shuō)，走同樣的路程時(shí)，乙用的時(shí)間是甲的4÷2=2倍。再看相遇點(diǎn)左側(cè)的路程，甲走這段路程用了4小時(shí)，因?yàn)樽咄瑯娱L(zhǎng)的路程時(shí)乙用的時(shí)間是甲的2倍，所以，乙由相遇點(diǎn)到達(dá)東城的時(shí)間是4小時(shí)的2倍。4×（4÷2）=8（小時(shí)）答：乙車再過(guò)8小時(shí)可以到達(dá)東城。（二）用倍比法解工程問(wèn)題用倍比法解工程問(wèn)題，不用設(shè)總工作量為“1”，學(xué)生較易理解，尤其是解某些較復(fù)雜的工程問(wèn)題，用倍比法解比較簡(jiǎn)捷。1一項(xiàng)工程，由甲工程隊(duì)修建，需要20天完成；由乙工程隊(duì)修建，需要30天完成。兩隊(duì)合修需要多少天完成？（適于六年級(jí)程度）解：因?yàn)榧坠こ剃?duì)修建20天的工作量相當(dāng)于乙工程隊(duì)修建30天的工作在把乙隊(duì)30天的工作量看作總工作量時(shí)，乙隊(duì)一天修的工作量是1，則=12（天）答略。2一件工作單獨(dú)由一個(gè)人完成，甲要用8小時(shí)，乙要用12小時(shí)。若甲先單獨(dú)做5小時(shí)，剩下的由乙單獨(dú)做完，則乙需要做多少小時(shí)？（適于六年級(jí)程度）解：因?yàn)榧?小時(shí)的工作量相當(dāng)于乙12小時(shí)的工作量，所以，甲1小時(shí)作量，剩下的便是乙單獨(dú)做完這項(xiàng)工作所需要的時(shí)間：在把甲8小時(shí)的工作量看作工作總量時(shí)，甲1小時(shí)的工作量是1，則乙答略。3某工程由甲、乙兩隊(duì)合做12天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合做4天后，余下的再由甲隊(duì)單獨(dú)做10天可以完成。問(wèn)甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？（適于六年級(jí)程度）解：甲、乙兩隊(duì)合做4天后，再共同完成剩下的工作量，需要的天數(shù)是12-4=8（天）。這8天的工作量是甲、乙需合做8天才能完成的工作量。這8天的工作量，甲單獨(dú)做10天完成，就是說(shuō)，甲、乙合做1天的工作（天），再加上后來(lái)甲單獨(dú)工作的10天，便可得到甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要的天數(shù)：答略。4一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做10天完成，乙單獨(dú)做15天完成?，F(xiàn)在先由乙隊(duì)做若干天后，甲再參加，4天就做完了。那么乙先單獨(dú)做了多少天？（適于六年級(jí)程度）解：因?yàn)檫@項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做10天完成，而甲只做了4天，所以10-4=6（天），這6天的工作量是由乙做的。而乙1天的工作量是甲1天工作量的去掉乙后來(lái)與甲合做的4天，便得到乙先頭單獨(dú)做的天數(shù)：答略。*例5甲、乙兩人同做一件工作，甲做4天的工作量，等于乙做3天的工作量，若由甲單獨(dú)做這項(xiàng)工作需要12天完成?，F(xiàn)在甲、乙兩人合做4天后，剩下的工作由乙單獨(dú)做需要幾天完成？（適于六年級(jí)程度）把甲單獨(dú)做12天完成的工作量看作工作總量，從工作總量中減去甲、乙合做的工作量，剩下的就是乙單獨(dú)做的工作量。再把剩下的工作量除以乙1天的工作量，即得到剩下的工作由乙單獨(dú)做需要幾天完成。答略。答略。第十七講逆推法小朋友在玩“迷宮”游戲時(shí)，在縱橫交錯(cuò)的道路中常常找不到出口。有些聰明的小朋友，反其道而行之，從出口倒回去找入口，然后再沿著自己走過(guò)的路返回來(lái)。由于從出口返回時(shí)，途徑單一，很快就會(huì)找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宮”自然就不難了。解應(yīng)用題也是這樣，有些應(yīng)用題用順向推理的方法很難解答，如果從問(wèn)題的結(jié)果出發(fā)，從后往前逐步推理，問(wèn)題就很容易得到解決了。這種從條件或問(wèn)題反過(guò)去想而尋求解題途徑的方法，叫做逆推法。用逆推法解應(yīng)用題列算式時(shí)，經(jīng)常要根據(jù)加減互逆，乘除互逆的關(guān)系，把原題中的加用減算，減用加算；把原題中的乘用除算，除用乘算。（一）從結(jié)果出發(fā)逐步逆推1一個(gè)數(shù)除以4，再乘以2，得16，求這個(gè)數(shù)。（適于四年級(jí)程度）解：由最后再乘以2得16，可看出，在沒(méi)乘以2之前的數(shù)是：16÷2=8在沒(méi)除以4之前的數(shù)是：8×4=32答：這個(gè)數(shù)是32。*例2糧庫(kù)存有一批大米，第一天運(yùn)走450千克，第二天運(yùn)進(jìn)720千克，第三天又運(yùn)走610千克，糧庫(kù)現(xiàn)有大米1500千克。問(wèn)糧庫(kù)原來(lái)有大米多少千克？（適于四年級(jí)程度）解：由現(xiàn)有大米1500千克，第三天運(yùn)走610千克，可以看出，在沒(méi)運(yùn)走610千克之前，糧庫(kù)中有大米：1500+610=2110（千克）在沒(méi)運(yùn)進(jìn)720千克之前，糧庫(kù)里有大米：2110-720=1390（千克）在沒(méi)運(yùn)走450千克之前，糧庫(kù)里有大米：1390+450=1840（千克）答：糧庫(kù)里原來(lái)有大米1840千克。*例3某數(shù)加上9后，再乘以9，然后減去9，最后再除以9，得9。問(wèn)這個(gè)數(shù)原來(lái)是多少？（適于四年級(jí)程度）解：由最后除以9，得9，看得出在除以9之前的數(shù)是：9×9=81在減去9之前的數(shù)是：81+9=90在乘以9之前的數(shù)是：90÷9=10在加上9之前，原來(lái)的數(shù)是：10-9=1答：這個(gè)數(shù)原來(lái)是1。*例4人民子弟兵某部進(jìn)行軍事訓(xùn)練，計(jì)劃行軍498千米，頭4天每天行30千米，以后每天多行12千米。求還要行幾天？（適于五年級(jí)程度）解：從最后一個(gè)條件“以后每天多行12千米”可求出，以后每天行的路程是：30+12=42（千米）從頭4天每天行30千米，可求出已行的路程是：30×4=120（千米）行完4天后剩下的路程是：498-120=378（千米）還要行的天數(shù)是：378÷42=9（天）綜合算式：（498-30×4）÷（30+12）=378÷42=9（天）答略。*例5倉(cāng)庫(kù)里原有化肥若干噸。第一次取出全部化肥的一半多30噸，第二次取出余下的一半少100噸，第三次取出150噸，最后剩下70噸。這批化肥原來(lái)是多少噸？（適于五年級(jí)程度）解：從“第三次取出150噸，最后剩下70噸”可看出，在第三次取出之前倉(cāng)庫(kù)里有化肥：70+150=220（噸）假定第二次取出余下的一半，而不是少100噸，則第二次取出后，倉(cāng)庫(kù)剩下化肥：220-100=120（噸）第二次取出之前，倉(cāng)庫(kù)中有化肥：120×2=240（噸）假定第一次正好取出一半，而不是多30噸，則第一次取出一半后，倉(cāng)庫(kù)里剩下化肥：240+30=270（噸）倉(cāng)庫(kù)中原有化肥的噸數(shù)是：270×2=540（噸）綜合算式：[（150+70-100）×2+30]×2=[120×2+30]×2=270×2=540（噸）答略。共有多少本圖書？有科普讀物多少本？（適于六年級(jí)程度）解：最后一個(gè)條件是“少兒讀物是630本”，由于科普讀物和文藝讀物所以，這個(gè)書架上共有書：有科普讀物：答略。（二）借助線段圖逆推*例1有一堆煤，第一次運(yùn)走一半多10噸，第二次運(yùn)走余下的一半少3噸，還剩下25噸。問(wèn)這堆煤原來(lái)是多少噸（適于五年級(jí)程度）解：作圖17-1（見(jiàn)下頁(yè)）。從圖17-1可看出，余下的一半是：25-3=22所以，余下的煤是：22×2=44（噸）全堆煤的一半是：44+10=54（噸）原來(lái)這堆煤是：54×2=108（噸）答略。*例2服裝廠第一車間的人數(shù)占全廠人數(shù)的25％，第二車間的人數(shù)比第個(gè)服裝廠共有多少人？（適于六年級(jí)程度）解：作圖17-2（見(jiàn)下頁(yè)），用三條線段表示三個(gè)車間的人數(shù)。第二車間人數(shù)是：第一車間人數(shù)是：全廠人數(shù)是：150÷25％=600（人）綜合算式：（三）借助思路圖逆推1某工程隊(duì)原計(jì)劃12天修公路2880米，由于改進(jìn)了工作方法，8天就完成了任務(wù)。問(wèn)實(shí)際比原計(jì)劃每天多修多少米？（適于四年級(jí)程度）解：作思路圖（圖17-3）。求實(shí)際比原計(jì)劃每天多修多少米，必須知道實(shí)際每天修多少米和原計(jì)劃每天修多少米。求實(shí)際每天修多少米，就要知道公路的長(zhǎng)和實(shí)際修完的天數(shù)。實(shí)際每天修的米數(shù)是：2880÷8=360（米）求原計(jì)劃每天修多少米，就要知道公路的長(zhǎng)和原計(jì)劃要修的天數(shù)。原計(jì)劃每天修的米數(shù)是：2880÷12=240（米）實(shí)際比原計(jì)劃每天多修的米數(shù)是：360-240=120（米）答略。*例2某機(jī)床廠去年每月生產(chǎn)機(jī)床5臺(tái)，每月用去鋼材4000千克；今年每月生產(chǎn)的機(jī)床臺(tái)數(shù)是去年的4倍，平均每臺(tái)機(jī)床比去年少用鋼材200千克。今年每月用的鋼材是去年每月所用鋼材的幾倍？（適于五年級(jí)程度）解：作思路圖（圖17-4）。從圖17-4的下邊開(kāi)始看，逐步往上推理。（1）去年每臺(tái)用鋼材多少？4000÷5=800（千克）（2）今年每臺(tái)用多少鋼材？800-200=600（千克）（3）今年每月生產(chǎn)多少臺(tái)？5×4=20（臺(tái)）（4）今年每月用多少鋼材？600×20=12000（千克）（5）今年每月用的鋼材是去年每月所用鋼材的幾倍？12000÷4000=3（倍）綜合算式：（4000÷5-200）×（5×4）÷4000=600×20÷4000=3（倍）答略。（四）借助公式逆推1一個(gè)三角形的面積是780平方厘米，底是52厘米。問(wèn)高是多少？（適于五年級(jí)程度）解：計(jì)算三角形面積的公式是：面積=底×高÷2，逆推這個(gè)公式得：高=面積×2÷底所以，這個(gè)三角形的高是：780×2÷52=30（厘米）答略。2求圖17-5平行四邊形中CD邊的長(zhǎng)。（單位：厘米）（適于五年級(jí)程度）解：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e是：BC×AE=6×3=18平行四邊形的面積也是：CD×AF=5CD所以，5CD=18CD=18÷5=3.6（厘米）答略。3一個(gè)圓錐體的體積是84.78立方厘米，底面的直徑是6厘米。求它的高是多少。（適于六年級(jí)程度）解：底面圓的直徑是6厘米，則半徑就是3厘米。V=1/3πRh逆推得：h=V×3÷π÷R因此，它的高是：84.78×3÷3.14÷3=254.34÷3.14÷3=9（厘米）答略。（五）借助假設(shè)法逆推解：假設(shè)取出存款后沒(méi)有買書櫥，則150元是取出的錢的：取出的錢是：150×3=450（元）老張?jiān)械拇婵钍牵?50×4=1800（元）答略。2供銷社分配給甲、乙、丙三個(gè)鄉(xiāng)若干噸化肥。甲鄉(xiāng)分得總數(shù)的一半少2噸，乙鄉(xiāng)分得剩下的一半又多半噸，最后剩下的8噸分給丙鄉(xiāng)。問(wèn)原來(lái)共有化肥多少噸？（適于六年級(jí)程度）解：假設(shè)乙鄉(xiāng)分得剩下一半，而不是又多半噸，則乙鄉(xiāng)分走后剩下的化肥是：乙鄉(xiāng)分走前的化肥是：假設(shè)甲鄉(xiāng)分得總數(shù)的一半，而不是少2噸，則甲鄉(xiāng)分走化肥：17-2=15（噸）這15噸正好是原有化肥噸數(shù)的一半，所以原來(lái)共有化肥：15×2=30（噸）綜合算式：答略。（六）借助對(duì)應(yīng)法逆推所以，食堂原來(lái)有大米：綜合算式：答略。所以，第一天耕地后余下的畝數(shù)是：25+3=28（畝）28畝所對(duì)應(yīng)的分率是：綜合算式：答略。第十八講圖解法圖形是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，也是數(shù)學(xué)思維和表達(dá)的工具。在解答應(yīng)用題時(shí)，如果用圖形把題意表達(dá)出來(lái)，題中的數(shù)量關(guān)系就會(huì)具體而形象。圖形可起到啟發(fā)思維、支持思維、喚起記憶的作用，有利于盡快找到解題思路。有時(shí)，作出了圖形，答案便在圖形中。（一）示意圖示意圖是為了說(shuō)明事物的原理或具體輪廓而繪成的略圖。小學(xué)數(shù)學(xué)中的示意圖簡(jiǎn)單、直觀、形象，使人容易理解圖中的數(shù)量關(guān)系。1媽媽給兄弟二人每人10個(gè)蘋果，哥哥吃了8個(gè)，弟弟吃了5個(gè)。誰(shuí)剩下的蘋果多？多幾個(gè)？（適于四年級(jí)程度）解：作圖18-1。哥哥吃了8個(gè)后，剩下蘋果：10-8=2（個(gè)）弟弟吃了5個(gè)后，剩下蘋果：10-5=5（個(gè)）弟弟剩下的蘋果比哥哥的多：5-2=3（個(gè)）答：弟弟剩下的蘋果多，比哥哥的多3個(gè)。2一桶煤油，倒出40％，還剩18升。這桶煤油原來(lái)是多少升？（適于六年級(jí)程度）解：作圖18-2。從圖中可看出，倒出40％后，還剩：1-40％=60％60％是18升所對(duì)應(yīng)的百分率，所以這桶油原來(lái)的升數(shù)是：18÷60％=30（升）答略。3把2米長(zhǎng)的竹竿直立在地面上，量得它的影長(zhǎng)是1.8米，同時(shí)量得電線桿的影長(zhǎng)是5.4米。這根電線桿地面以上部分高多少米？（適于六年級(jí)程度）解：根據(jù)題意畫出如圖18-3（見(jiàn)下頁(yè)）的示意圖。同一時(shí)間，桿長(zhǎng)和影長(zhǎng)成正比例。設(shè)電線桿地面以上部分的高是x米，得：1.8∶5.4=2∶x答略。（二）線段圖線段圖是以線段的長(zhǎng)短表示數(shù)量的大小，以線段間的關(guān)系反映數(shù)量間關(guān)系的一種圖形。在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中線段圖是使用最多、最方便的一種圖形。1王明有15塊糖，李平的糖是王明的3倍。問(wèn)李平的糖比王明的糖多多少塊？（適于三年級(jí)程度）解：作圖18-4（見(jiàn)下頁(yè)）。從圖18-4可看出，把王明的15塊糖看作1份數(shù)，那么李平的糖就是3份數(shù)。李平比王明多的份數(shù)是：3-1=2（份）李平的糖比王明的糖多：15×2=30（塊）綜合算式：15×（3-1）=15×2=30（塊）答略。2托爾斯泰是俄羅斯偉大作家，享年82歲。他在19世紀(jì)中度過(guò)的時(shí)間比在20世紀(jì)中度過(guò)的時(shí)間多62年。問(wèn)托爾斯泰生于哪一年？去世于哪一年？（適于四年級(jí)程度）解：作圖18-5。從圖18-5可看出，他在20世紀(jì)度過(guò)的時(shí)間是：（82-62）÷2＝20÷2=10（年）由此看出，他死于1910年。他出生的時(shí)間是：1910-82=1828（年）答略。解：作圖18-6。綜合算式：答略。（三）思路圖小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多應(yīng)用題，需要用綜合法或分析法分析解答。如果把思維的過(guò)程用文字圖形表示出來(lái)，就有助于正確選擇已知數(shù)量，提出中間問(wèn)題，理清數(shù)量關(guān)系，從而順利解題。這種表示思維過(guò)程的圖形就是思路圖。例題參見(jiàn)前面的分析法和綜合法。（四）正方形圖借助正方形圖解應(yīng)用題，就是以正方形的邊長(zhǎng)、面積表示應(yīng)用題中的數(shù)量，使應(yīng)用題數(shù)量之間的關(guān)系具體而明顯地呈現(xiàn)出來(lái)，從而達(dá)到便于解題的目的。1農(nóng)民張成良，把自己承包的土地的一半種了玉承包了多少公頃土地？（適于四年級(jí)程度）解：根據(jù)題意作圖18-7。所以，他承包的土地是：2×8=16（公頃）答略。2有大小兩個(gè)正方形，其中大正方形的邊長(zhǎng)比小正方形的邊長(zhǎng)多4厘米，面積比小正方形的面積大96平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？（適于六年級(jí)程度）解：求大、小正方形的面積，應(yīng)知道大、小正方形的邊長(zhǎng)，但題中沒(méi)有說(shuō)，也不好直接求出來(lái)。借助畫圖形的方法可輕易解決這個(gè)問(wèn)題。根據(jù)題意作圖18-8。圖中大正方形ABCD的面積比小正方形的面積大96平方厘米。這96平方厘米的面積是由兩個(gè)長(zhǎng)方形a及比長(zhǎng)方形還小的正方形c構(gòu)成。從96平方厘米減去正方形c的面積，再除以2就可求出長(zhǎng)方形a的面積。（96-4×4）÷2=40（平方厘米）因?yàn)殚L(zhǎng)方形a的寬是4厘米，所以長(zhǎng)方形a的長(zhǎng)是：40÷4=10（厘米）因?yàn)?0厘米也是小正方形的邊長(zhǎng)，所以小正方形的面積是：10×10=100（平方厘米）大正方形的邊長(zhǎng)是：4+10=14（厘米）大正方形的面積是：14×14=196（平方厘米）答略。（五）長(zhǎng)方形圖借助長(zhǎng)方形圖解應(yīng)用題，是以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示一種數(shù)量，以長(zhǎng)方形的寬表示另一種數(shù)量，以長(zhǎng)方形的面積表示這兩種數(shù)量的積。它能把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體形象的面積來(lái)計(jì)算問(wèn)題。*例1甲、乙兩名工人做機(jī)器零件，每天甲比乙多做10個(gè)。現(xiàn)在甲工作15天，乙工作12天，共做出1500個(gè)零件。問(wèn)甲、乙兩人每天各做多少個(gè)零件？（適于五年級(jí)程度）解：根據(jù)題意作圖18-9（見(jiàn)下頁(yè)）。18-9中，以左邊長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示甲工作15天，以左邊長(zhǎng)方形的寬表示甲每天做多少個(gè)；以右邊長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示乙工作12天，以右邊長(zhǎng)方形的寬表示乙每天做多少個(gè)。圖中右上角那個(gè)長(zhǎng)方形的寬表示甲每天比乙多做10個(gè)，所以，乙在12天中比甲少做零件：10×12=120（個(gè)）圖中全部陰影部分的面積表示甲、乙共做的零件1500個(gè)。從圖18-9可以看出，整個(gè)大長(zhǎng)方形面積所表示的零件的個(gè)數(shù)是：1500+120=1620（個(gè)）這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示甲、乙共同工作的天數(shù)：15+12=27（天）因?yàn)榇箝L(zhǎng)方形的寬表示甲每天做零件的個(gè)數(shù)，所以甲每天做零件的個(gè)數(shù)是：1620÷27=60（個(gè)）乙每天做零件的個(gè)數(shù)是：60-10=50（個(gè)）答略。*例2某商店賣出蘋果、鴨梨和桔子共25筐，其中鴨梨的筐數(shù)是桔子筐數(shù)2倍。蘋果每筐賣90元，鴨梨每筐賣72元，桔子每筐賣60元，共賣得1854元。問(wèn)賣出蘋果、鴨梨和桔子各多少筐？（適于六年級(jí)程度）解：根據(jù)題意作圖18-10。18-10中陰影部分表示，如果25筐都是蘋果，則所造成的差價(jià)是：90×25-1854=396（元）每賣出1筐桔子、2筐鴨梨、3筐蘋果的差價(jià)是：（90-72）×2+（90-60）=36+30=66（元）因此，桔子的筐數(shù)是：396÷66=6（筐）鴨梨的筐數(shù)是：6×2=12（筐）蘋果的筐數(shù)是：25-6-12=7（筐）答略。（六）條形圖條形圖是把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)畫得比較長(zhǎng)，把長(zhǎng)方形的寬畫得比較短的一種圖形。條形圖一般以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示數(shù)量。條形圖可以畫成豎的，也可以畫成橫的。題中不同的數(shù)量可用不同的陰影線或不同的顏色表示。題中的數(shù)量可寫在長(zhǎng)方形內(nèi)，也可寫在長(zhǎng)方形外面。條形圖比線段圖更直觀一些，在用來(lái)解某些應(yīng)用題時(shí)效果要比線段圖好。噸后，兩場(chǎng)所剩煤的數(shù)量相等。甲、乙兩個(gè)煤場(chǎng)原來(lái)各存煤多少噸？（適于六年級(jí)程度）解：作圖18-11。從圖中可看出，從875噸中減去75噸后，甲煤場(chǎng)的煤就相當(dāng)于乙煤場(chǎng)煤的3倍，兩個(gè)煤場(chǎng)所存煤共分為4份。其中一份是：（875-75）÷（3+1）＝800÷4=200（噸）乙煤場(chǎng)原來(lái)的存煤噸數(shù)是：200+75=275（噸）甲煤場(chǎng)原來(lái)存煤的噸數(shù)是：200×3=600（噸）答略。解：作圖18-12。但是，實(shí)際上是運(yùn)出125噸。這140噸比實(shí)際運(yùn)出的多：140-125=15（噸）所以15噸所對(duì)應(yīng)的分率是：甲庫(kù)原來(lái)的存糧噸數(shù)是：420-180=240（噸）答略。*例3一組割草人要把大、小兩塊草地的草割掉，其中大塊草地的面積是小塊草地面積的2倍。全體組員用半天的時(shí)間割大塊草地的草。下午一半的組員仍停留在大塊草地上割，另一半到小塊草地上割。到傍晚時(shí)，大塊草地的草全部割完，而小塊草地還剩下一小塊。這剩下的一小塊，第二天一個(gè)人用一天的時(shí)間就割完了。這組割草的一共有多少人？（適于六年級(jí)程度）全體組員割一個(gè)上午后，一半的組員又割一個(gè)下午就把大塊地的草割完，這就是說(shuō)，要是用一半的組員單獨(dú)割大塊草地的草，就要用3個(gè)半天，而在這剩下的一小塊是大塊草地的：這就是說(shuō)，6個(gè)人一天可以把大塊草地割完，一個(gè)人一天割大塊地的答略。（七）圓形圖借助圓形圖解應(yīng)用題，是以圓的面積或周長(zhǎng)表示題中的數(shù)量，并在圓周內(nèi)、外標(biāo)上數(shù)字、符號(hào)，從而達(dá)到便于分析數(shù)量關(guān)系的目的。1甲、乙兩個(gè)學(xué)生同時(shí)從同一起點(diǎn)沿著一個(gè)環(huán)形跑道相背而跑。甲每秒鐘跑8米，乙每秒鐘跑7米，經(jīng)過(guò)20秒鐘兩人相遇。求環(huán)形跑道的周長(zhǎng)。（適于五年級(jí)程度）解：作圖18-14。從圖中可看出，甲、乙兩人跑的路程的總和就是圓的周長(zhǎng)。根據(jù)“速度和×相遇時(shí)間=相遇路程”，可求出環(huán)形跑道的周長(zhǎng)：（7+8）×20=300（米）答略。問(wèn)這塊土地有多少公傾？（適于六年級(jí)程度）解：作圖18-15。從圖中可看出，第二天耕完這塊土地的：3有三堆棋子，這三堆棋子所含棋子的個(gè)數(shù)一樣多，且都只有黑、白兩色棋子。第一堆里的黑子與第二堆的白子一樣多，第棋子的幾分之幾？（適于六年級(jí)程度）解：作圖18-16。從圖中可看出，把第一堆里的黑子與第二堆里的白子交換，則第一堆全是白子，第二堆全是黑子。因?yàn)榈谝欢雅c第二堆的棋子數(shù)相同，所以第一堆的白子數(shù)與第二堆的黑所以，白子占全部棋子的：*例4甲、乙兩人同時(shí)從環(huán)形路的同一點(diǎn)出發(fā)，同向環(huán)行。甲每分鐘走70米，乙每分鐘走46米。環(huán)形路的長(zhǎng)是300米。他們出發(fā)后，在1小時(shí)20分里相會(huì)幾次？到1小時(shí)20分時(shí)兩人的最近距離是多少米？（適于五年級(jí)程度）解：作圖18-17。甲、乙二人1分鐘的速度差是：70-46=24（米）由二人出發(fā)到第一次相會(huì)所需的時(shí)間是：300÷24=12.5（分）1小時(shí)20分鐘即為80分鐘。80分鐘內(nèi)包含幾個(gè)12.5分鐘，二人即相會(huì)幾次。80分鐘內(nèi)包括6個(gè)12.5分鐘，還多5分鐘，即二人相會(huì)6次。由于第六次相會(huì)后還走5分鐘，所以甲乙之間相隔：24×5=120（米）此時(shí)，甲、乙之間還有一個(gè)距離是：300-120=180（米）180＞120米答：在1小時(shí)20分鐘里兩人相會(huì)6次；到1小時(shí)20分鐘時(shí)，兩人的最近距離是120米。（八）染色圖在圖中用不同的顏色表示不同的內(nèi)容或不同的數(shù)量，以利于解題的圖形叫染色圖。染色圖是解決數(shù)學(xué)題和智力題常用的一種圖形。*例1圖18-18是某湖泊的平面圖，圖中的所有曲線都表示湖岸。某人從岸邊A點(diǎn)到B點(diǎn)至少要趟幾次水？B點(diǎn)是在水中還是在岸上？（適于高年級(jí)程度）解：這個(gè)問(wèn)題好像很難解答。但我們按“圖中所有曲線都是表示湖岸”的已知條件，將湖面染上色，湖岸部分就顯示出來(lái)了，答案也就一目了然了（圖18-19）。答：他至少要趟3次水才能達(dá)到B處，B點(diǎn)在湖岸上。*例2如圖18-20，某展覽館有36個(gè)展室，每?jī)蓚€(gè)相鄰展室之間均有門相通。問(wèn)你能否從圖中入口進(jìn)去，不重復(fù)地參觀完每個(gè)展室后，再?gòu)某隹谔幊鰜?lái)？（適于高年級(jí)程度）解：作圖18-21。把圖中36個(gè)方格相間地染上黑色。因入口處是白格，參觀時(shí)若依順序?qū)⒄故揖幪?hào)，那么進(jìn)入第奇數(shù)號(hào)展室時(shí)，應(yīng)是白格位置；進(jìn)第偶數(shù)號(hào)展室應(yīng)是黑格。即應(yīng)按白→黑→白→黑→……順序交替參觀。參觀者最后離開(kāi)的是第36號(hào)展室，它是偶數(shù)，按上面的分析它應(yīng)是黑格，但圖中實(shí)際為白色方格。這說(shuō)明題中要求的參觀方式是不可能實(shí)現(xiàn)的。答略。*例3將圖18-22矩形ABCD的一邊AD分成6小段，其中線段1+線段3+線段5=線段2+線段