教學(xué)第十二章彎曲變形課件

§12-1彎曲變形的概念一、為何要研究彎曲變形僅保證構(gòu)件不會(huì)發(fā)生破壞，但如果構(gòu)件的變形太大也不能正常工作。1、構(gòu)件的變形限制在允許的范圍內(nèi)。§12-1彎曲變形的概念一、為何要研究彎曲變形僅保證構(gòu)件不車削加工一等截面構(gòu)件，如果構(gòu)件的的變形過(guò)大，會(huì)加工成變截面；案例1：車削加工一等截面構(gòu)件，如果構(gòu)件的的變形過(guò)大，會(huì)加工成變截面；如果鉆床的變形過(guò)大，受工件的反力作用；搖臂鉆床簡(jiǎn)化為剛架，不能準(zhǔn)確定位。案例2：如果鉆床的變形過(guò)大，受工件的反力作用；搖臂鉆床簡(jiǎn)化為剛架，不車間桁吊大梁的變形車間桁吊大梁的變形車間桁吊大梁的過(guò)大變形會(huì)使梁上小車行走困難，造成爬坡現(xiàn)象；還會(huì)引起較嚴(yán)重的振動(dòng)；案例3：車間桁吊大梁的過(guò)大變形會(huì)使梁上小車行走困難，造成爬坡現(xiàn)象；還橋梁如果產(chǎn)生過(guò)大變形樓板、床、雙杠橫梁等都必須把它們的變形限制在允許的范圍內(nèi)。屋頂案例4：橋梁如果產(chǎn)生過(guò)大變形樓板、床、雙杠橫梁等都必須把它們的變形限２、工程有時(shí)利用彎曲變形達(dá)到某種要求。汽車板簧應(yīng)有較大的彎曲變形,才能更好的起到緩和減振的作用；案例1：２、工程有時(shí)利用彎曲變形達(dá)到某種要求。汽車板簧應(yīng)有較大的彎曲安裝在工程機(jī)械駕駛室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的過(guò)程中有較大的變形吸收落物或碰撞能量，保證駕駛員的人身安全案例2：安裝在工程機(jī)械駕駛室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的過(guò)案例3：當(dāng)今時(shí)代汽車工業(yè)飛速發(fā)展，道路越來(lái)越擁擠，一旦發(fā)生碰撞，你認(rèn)為車身的變形是大好還是小好？案例3：當(dāng)今時(shí)代汽車工業(yè)飛速發(fā)展，道路越來(lái)越擁擠，一旦發(fā)生碰案例4：蹦床要有大變形，才能積蓄能量，將人體彈射到一定高度。3、研究彎曲變形還廣泛應(yīng)用于超靜定問(wèn)題分析、穩(wěn)定性分析以及振動(dòng)分析等方面。除了解決構(gòu)件的剛度外，案例4：蹦床要有大變形，才能積蓄能量，將人體彈射到一定高度。二、彎曲變形的物理量扭轉(zhuǎn)：

FF拉伸彎曲變形的物理量如何？二、彎曲變形的物理量扭轉(zhuǎn)：FF拉伸彎曲變形的物理量如何？1、撓曲線2、撓度ω向上為正3、轉(zhuǎn)角逆時(shí)針為正截面形心在力的方向的位移截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度彎曲變形的物理量撓度ω彎曲變形的物理量轉(zhuǎn)角+1、撓曲線2、撓度ω向上為正3、轉(zhuǎn)角逆時(shí)針為正截面形心在力§12.2

撓曲線的微分方程2、撓曲線方程：1、建立坐標(biāo)系Xoy平面就是梁的縱向?qū)ΨQ面；在平面彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為xoy面內(nèi)的一條平面曲線；該曲線方程為：§12.2撓曲線的微分方程2、撓曲線方程：1、建立坐標(biāo)系X3、撓度、轉(zhuǎn)角物理意義①：撓度的物理意義：撓曲線在該點(diǎn)處的縱坐標(biāo)；②：轉(zhuǎn)角的物理意義過(guò)撓曲線上點(diǎn)作撓曲線的切線該切線與水平線的夾角為撓曲線在該點(diǎn)處的切線斜率；撓曲線方程在該點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)；轉(zhuǎn)角的正方向：從x軸正向向切線旋轉(zhuǎn)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。3、撓度、轉(zhuǎn)角物理意義①：撓度的物理意義：撓曲線在該點(diǎn)處的縱4、撓曲線微分方程中性層處曲率:

對(duì)于曲線y=f(x)在任一點(diǎn)處曲率

（瑞士科學(xué)家Jacobi.貝努利得到）正好為xoy平面內(nèi)的一條曲線，平面彎曲的撓曲線所以曲線y=f(x)：從數(shù)學(xué)上講是一條普通的平面曲線，從力學(xué)上講就是梁發(fā)生彎曲變形的撓曲線。4、撓曲線微分方程中性層處曲率:對(duì)于曲線y=f(x)在瑞士科學(xué)家Jacbi.貝努利得到梁的撓曲線微分方程；撓曲線微分方程由于沒有采用曲率的簡(jiǎn)化式，且彈性模量E無(wú)定量結(jié)果，撓曲線微分方程故撓曲線微分方程沒有得到廣泛應(yīng)用。該撓曲線微分方程是適用于彎曲變形的任何情況。非線性的，瑞士科學(xué)家Jacbi.貝努利得到梁的撓曲線微分方程；撓曲線微5、撓曲線近似微分方程在小變形的條件下，撓曲線是一條光滑平坦的曲線，，較小，轉(zhuǎn)角故得撓曲線近似微分方程：5、撓曲線近似微分方程在小變形的條件下，撓曲線是一條光滑平坦符號(hào)規(guī)定：MM撓曲線近似微分方程撓曲線為凹曲線撓曲線為凸曲線彎矩M與二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)一致。適用范圍：xωxωMM線彈性、小變形;y軸向上，x軸向右；符號(hào)規(guī)定：MM撓曲線近似微分方程撓曲線為凹曲線撓曲線為凸曲線撓曲線的近似微分方程積分一次：轉(zhuǎn)角方程積分二次：撓曲線方程C、D為積分常數(shù)，由梁的約束條件決定?！?2.3

用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程積分一次：轉(zhuǎn)角方程積分二次：撓曲線方程C懸臂梁：xω梁的邊界條件L懸臂梁：xω梁的邊界條件L簡(jiǎn)支梁：xωL梁的邊界條件簡(jiǎn)支梁：xωL梁的邊界條件連續(xù)性條件：CPABaLxω邊界條件光滑連續(xù)性條件連續(xù)性光滑性連續(xù)性條件：CPABaLxω邊界條件光滑連續(xù)性條件連續(xù)性光滑連續(xù)性條件：ABLaCMxω特別強(qiáng)調(diào)在中間鉸兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。連續(xù)不光滑連續(xù)性條件：ABLaCMxω特別強(qiáng)調(diào)在中間鉸兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，但例1：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：xωkCPABaL邊界條件光滑連續(xù)性條件例1：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：xωkCPABaL邊界條例2：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：hEACPABaL邊界條件光滑連續(xù)性條件例2：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：hEACPABaL邊界條討論：撓曲線分段（1）凡彎矩方程分段處，應(yīng)作為分段點(diǎn)；（2）凡截面有變化處，或材料有變化處，應(yīng)作為分段點(diǎn)；（3）中間鉸視為兩個(gè)梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩部分之間的相互作用力，故應(yīng)作為分段點(diǎn)；ABLaCM討論：撓曲線分段（1）凡彎矩方程分段處，應(yīng)作為分段點(diǎn)；（2）（4）凡分段點(diǎn)處應(yīng)列出連續(xù)條件；根據(jù)梁的變形的連續(xù)性，對(duì)同一截面只可能有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角；ABLaCM討論：撓曲線分段在中間鉸兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。邊界條件連續(xù)性條件（4）凡分段點(diǎn)處應(yīng)列出連續(xù)條件；根據(jù)梁的變形的連續(xù)性，對(duì)同一例1懸臂梁受力如圖所示。求和。xωx取參考坐標(biāo)系1、列寫彎矩方程2、代入撓曲線近似微分方程中積分一次：積分二次：轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程AqBL例1懸臂梁受力如圖所示。求和。x3、確定常數(shù)C、D.邊界條件：AqBL3、確定常數(shù)C、D.邊界條件：AqBLAqBL4、計(jì)算A截面的撓度和轉(zhuǎn)角A截面處AqBL4、計(jì)算A截面的撓度和轉(zhuǎn)角A截面處CFABaLxω例2一簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。試求和。1、求支座反力2、分段列出梁的彎矩方程bBC段AC段xxCFABaLxω例2一簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。試求3、代入各自的撓曲線近似微分方程中4、各自積分3、代入各自的撓曲線近似微分方程中4、各自積分5、確定積分常數(shù)邊界條件：連續(xù)條件：FaLxω5、確定積分常數(shù)邊界條件：連續(xù)條件：FaLxωBC段AC段7、求轉(zhuǎn)角6、撓曲線方程BC段AC段7、求轉(zhuǎn)角6、撓曲線方程8、求。求得的位置值x。8、求。求得的位置值x。代入得：若則：在簡(jiǎn)支梁情況下，不管F作用在何處（支承除外），可用中間撓度代替，其誤差不大，不超過(guò)3%。代入得：若§12.4

用疊加法求彎曲變形

一、疊加原理在小變形，是線性的；

材料服從胡克定律的情況下，撓曲線的近似微分方程彎矩與載荷之間的關(guān)系對(duì)應(yīng)于幾種不同的載荷，是線性的；彎矩可以疊加，近似微分方程的解也可以疊加。計(jì)算彎矩時(shí)，使用變形前的位置§12.4用疊加法求彎曲變形一、疊加原理在小變形，是線性設(shè)彎矩

撓曲線分別滿足各自的近似微分方程將兩個(gè)微分方程疊加分別計(jì)算出每一載荷單獨(dú)引起的變形，將所得的變形疊加即為載荷共同作用下引起的變形——疊加原理?？偟慕莆⒎址匠蹋鹤C明設(shè)彎矩?fù)锨€分別滿足各自的近似微分方程將兩個(gè)微分方程疊加分

二、疊加原理的限制條件疊加原理僅適用于線性函數(shù)，要求撓度、轉(zhuǎn)角是載荷的線性函數(shù)。(1)、彎矩與載荷成線性關(guān)系;梁發(fā)生小變形，忽略各載荷引起梁的水平位移；梁處于線彈性范圍內(nèi)，滿足虎克定律；

(2)、曲率與彎矩成線性關(guān)系;(3)、撓曲線二階導(dǎo)數(shù)與成線性關(guān)系;即梁處于小變形條件下;二、疊加原理的限制條件疊加原理僅適用于線性函數(shù)，要求撓度幾種載荷共同作用下某截面的撓度和轉(zhuǎn)角，三、疊加原理的特征等于每種載荷單獨(dú)作用下引起的同一截面撓度、轉(zhuǎn)角的向量和。幾種載荷共同作用下某截面的撓度和轉(zhuǎn)角，三、疊加原理的特征等于例1

已知：q、l、EI，求：yC

,B

載荷疊加法（查表法）應(yīng)用于多個(gè)載荷作用的情形例1已知：q、l、EI，求：yC,B載荷疊加法（查ωC

,B1、載荷分解qlql2qωC,B1、載荷分解qlql2qqlql2q2查表：?jiǎn)为?dú)載荷作用下qlql2q2查表：?jiǎn)为?dú)載荷作用下3、變形疊加3、變形疊加例2抗彎剛度EI為常量，用疊加法確定C和yC

?L/2L/2qCBA例2抗彎剛度EI為常量，用疊加法確定C和yC?L/2LqL/2L/2qCBAqqqL/2L/2qCBAqqqqqqww

第二類疊加法1將梁的撓曲線分成幾段;逐段剛化法2首先分別計(jì)算各段梁的變形在需求位移處引起的位移（撓度和轉(zhuǎn)角）;3然后計(jì)算其總和（代數(shù)和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的變形在需求位移處引起的位移時(shí)，除所研究的梁段發(fā)生變形外，其余各段梁均視為剛體。第二類疊加法1將梁的撓曲線分成幾段;逐段剛化法2首先分別例3

：用疊加法確定ωC?ABalFC1）考慮AB段變形引起的Ｃ截面的撓度(BC段看作剛體)外力向研究的ＡＢ段上簡(jiǎn)化ABalCFFaF：作用在支座上，不產(chǎn)生變形。Fa：使AB梁產(chǎn)生變形。例3：用疊加法確定ωC?ABalFC1）考慮AB段變形引ABalCFFaFa引起梁的變形形狀為ＡＢ段上凸；ABalCFFaFa引起梁的變形形狀為ＡＢ段上凸；2）考慮BC段變形引起C截面的撓度aABalFCAB段看作剛體FBCC截面的總撓度2）考慮BC段變形引起C截面的撓度aABalFCAB段看作剛討論積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？疊加法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？討論積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？疊加法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？多余約束凡是多余維持平衡所必須的約束多余反力與多余約束相應(yīng)的支反力或支反力偶矩靜不定度＝支反力（力偶）數(shù)－有效平衡方程數(shù)靜不定度＝多余約束數(shù)4-3=1度靜不定5-3

=

2度靜不定12.5簡(jiǎn)單靜不定梁多余約束凡是多余維持平衡所必須的約束多余反力與多余約選

Fby

為多余力－變形協(xié)調(diào)條件－物理方程－補(bǔ)充方程－平衡方程一度靜不定例綜合考慮三方面求梁的支反力選Fby為多余力－變形協(xié)調(diào)條件－物理方程－補(bǔ)充方程－平判斷梁的靜不定度用多余力

代替多余約束的作用，得受力與原靜不定梁相同的靜定梁－所謂相當(dāng)系統(tǒng)計(jì)算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的位移，并根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程由補(bǔ)充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力相當(dāng)系統(tǒng)通過(guò)相當(dāng)系統(tǒng)計(jì)算內(nèi)力、位移與應(yīng)力等

求解依據(jù)－綜合考慮三方面求解關(guān)鍵－確定多余支反力分析方法與步驟相當(dāng)系統(tǒng)判斷梁的靜不定度用多余力代替多余約束的作用，得受例求支反力解：1.

問(wèn)題分析水平反力忽略不計(jì)，2多余未知力2.

解靜不定例求支反力解：1.問(wèn)題分析水平反力忽略不計(jì)，2多余未彎曲變形的剛度條件：[ω]——許用撓度，[]——許用轉(zhuǎn)角工程中，[ω]常用梁的計(jì)算跨度l的若干分之一表示。對(duì)于橋式起重機(jī)梁：對(duì)于一般用途的軸：在安裝齒輪或滑動(dòng)軸承處，許用轉(zhuǎn)角為：12.6梁的剛度校核彎曲變形的剛度條件：[ω]——許用撓度，[]——許用轉(zhuǎn)角工1、求自由端的撓度與轉(zhuǎn)角PqL1、求自由端的撓度與轉(zhuǎn)角PqLP2P1qLL2、求自由端的撓度與轉(zhuǎn)角P2P1qLL2、求自由端的撓度與轉(zhuǎn)角3、求簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的撓度qL/2C3、求簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的撓度qL/2C4、圖示中懸臂梁，二段為同種材料制成。材料的彈性模量為E，求自由端C端的撓度。PI1L1I2L2ABC4、圖示中懸臂梁，二段為同種材料制成。材料的彈性模量為E，求§12.7

提高梁強(qiáng)度和剛度的措施一、改善結(jié)構(gòu)、減少?gòu)澗兀?、合理安排支座；２、合理安排受力；３、集中力分散；４?/p>

ω一般與跨度有關(guān)，５、增加約束：成正比，與故可減小跨度；§12.7提高梁強(qiáng)度和剛度的措施一、改善結(jié)構(gòu)、減少?gòu)澗兀?、尾頂針、跟刀架或加裝中間支架；較長(zhǎng)的傳動(dòng)軸采用三支撐；橋梁增加橋墩。增加約束：采用超靜定結(jié)構(gòu)尾頂針、跟刀架或加裝中間支架；較長(zhǎng)的傳動(dòng)軸采用三支撐；橋梁增采用超靜定結(jié)構(gòu)采用超靜定結(jié)構(gòu)改變支座形式FF改變支座形式FF改變載荷類型q=F/LF改變載荷類型q=F/LF二、選擇合理的截面形狀A(yù)幾乎不變，大部分分布在遠(yuǎn)離中性軸處，工字形、槽鋼等；起重機(jī)大梁常采工字形或箱形截面；二、選擇合理的截面形狀A(yù)幾乎不變，大部分分布在遠(yuǎn)離中性軸處，起重機(jī)大梁常采工字形或箱形截面；起重機(jī)大梁常采工字形或箱形截面；四、不宜采用高強(qiáng)度鋼;三、加強(qiáng)肋盒蓋、集裝箱；各種鋼材Ｅ大致相同。四、不宜采用高強(qiáng)度鋼;三、加強(qiáng)肋盒蓋、集裝箱；各種鋼材1、y’’=M(x)/EI在

條件下成立？A：小變形；B：材料服從虎克定律；C：撓曲線在XOY面內(nèi)；D：同時(shí)滿足A、B、C；2、等直梁在彎曲變形時(shí)，撓曲線曲率在最大

處一定最大。A：撓度B：轉(zhuǎn)角；C：彎矩；1、y’’=M(x)/EI在條件下成立？3、在簡(jiǎn)支梁中

，對(duì)于減少?gòu)澢冃涡Ч蠲黠@。 A：減小集中力P；

B：增加梁的跨度；

C：采用優(yōu)質(zhì)鋼；

D：提高截面的慣性矩L/2P3、在簡(jiǎn)支梁中，對(duì)于減少?gòu)澢冃涡Ч蠲黠@。 A4、板條彎成1/4圓，設(shè)梁始終處于線彈性范圍內(nèi)：①σ=My/IZ ,②y’’=M(x)/EIZ

哪一個(gè)會(huì)得到正確的計(jì)算結(jié)果？A：①正確、②正確；B：①正確、②錯(cuò)誤；C：①錯(cuò)誤、②正確；D：①錯(cuò)誤、②錯(cuò)誤；4、板條彎成1/4圓，設(shè)梁始終處于線彈性范圍內(nèi)：5、使梁變形后與剛性曲面重合，但不產(chǎn)生壓應(yīng)力，應(yīng)如何施加外載？R5、使梁變形后與剛性曲面重合，但不產(chǎn)生壓應(yīng)力，應(yīng)如何施加外載6、圓軸采用普通碳鋼制成，使用中發(fā)現(xiàn)彎曲剛度不夠，提高軸的抗彎剛度的有效措施是：

。A：熱處理；B：選用優(yōu)質(zhì)合金鋼；

C；增大直徑；D：提高表面光潔度；7、等直梁的最大彎矩處，局部增大直徑，

。A：僅提高強(qiáng)度；B：僅提高剛度；C：強(qiáng)度、剛度均有提高；6、圓軸采用普通碳鋼制成，使用中發(fā)現(xiàn)彎曲剛度不夠，提高軸的抗PxabyP8、細(xì)長(zhǎng)工件，加工完成后會(huì)變成什么形狀？

9、寫出邊界條件與連續(xù)性條件。PxabyP8、細(xì)長(zhǎng)工件，加工完成后會(huì)變成什么形狀？

9、寫xyqEI,LEA,a10、寫出邊界條件。xyqEI,LEA,a10、寫出邊界條件。11、梁上作用有外力偶，M1和M2，A點(diǎn)位于L/3處。使A點(diǎn)成為撓曲線的拐點(diǎn)，那么M1/M2=?M2M1AL/311、梁上作用有外力偶，M1和M2，A點(diǎn)位于L/3處。使A點(diǎn)12、圖示中二個(gè)簡(jiǎn)支梁的材料、截面形狀、承受的載荷均相同。跨度為1：2。則二梁的最大撓度之比

。PLP2L12、圖示中二個(gè)簡(jiǎn)支梁的材料、截面形狀、承受的載荷均相同?？?3、AB梁長(zhǎng)為L(zhǎng)，抗彎剛度EI為常量，固定的剛性曲面的方程為y=-ax3。欲使梁變形后與剛性曲面重合，但不產(chǎn)生壓應(yīng)力，問(wèn)：應(yīng)在梁上施加什麼載荷？繪梁的剪力圖與彎矩圖。y=-ax3xy13、AB梁長(zhǎng)為L(zhǎng)，抗彎剛度EI為常量，固定的剛性曲面的方程14、圖示中的懸臂梁，載荷P可沿梁自由移動(dòng)。若使載荷移動(dòng)時(shí)梁總保持相同的高度，問(wèn)：事先應(yīng)將梁彎成怎樣的曲線？xyPy=f(x)14、圖示中的懸臂梁，載荷P可沿梁自由移動(dòng)。若使載荷移動(dòng)時(shí)梁15、在XY坐標(biāo)系中，已知等直梁的撓曲線方程為ω=qx(L3-3Lx2+2x3)/48EI，q為均布載荷的集度。求：①最大彎矩及最大剪力。②梁的兩端（x=0、x=L）的約束情況。15、在XY坐標(biāo)系中，已知等直梁的撓曲線方程為ω=qx(L3小結(jié)1、明確撓曲線、撓度和轉(zhuǎn)角的概念2、掌握計(jì)算梁變形的積分法和疊加法3、掌握提高粱的彎曲剛度的措施小結(jié)1、明確撓曲線、撓度和轉(zhuǎn)角的概念2、掌握計(jì)算梁變形的積分§12-1彎曲變形的概念一、為何要研究彎曲變形僅保證構(gòu)件不會(huì)發(fā)生破壞，但如果構(gòu)件的變形太大也不能正常工作。1、構(gòu)件的變形限制在允許的范圍內(nèi)?！?2-1彎曲變形的概念一、為何要研究彎曲變形僅保證構(gòu)件不車削加工一等截面構(gòu)件，如果構(gòu)件的的變形過(guò)大，會(huì)加工成變截面；案例1：車削加工一等截面構(gòu)件，如果構(gòu)件的的變形過(guò)大，會(huì)加工成變截面；如果鉆床的變形過(guò)大，受工件的反力作用；搖臂鉆床簡(jiǎn)化為剛架，不能準(zhǔn)確定位。案例2：如果鉆床的變形過(guò)大，受工件的反力作用；搖臂鉆床簡(jiǎn)化為剛架，不車間桁吊大梁的變形車間桁吊大梁的變形車間桁吊大梁的過(guò)大變形會(huì)使梁上小車行走困難，造成爬坡現(xiàn)象；還會(huì)引起較嚴(yán)重的振動(dòng)；案例3：車間桁吊大梁的過(guò)大變形會(huì)使梁上小車行走困難，造成爬坡現(xiàn)象；還橋梁如果產(chǎn)生過(guò)大變形樓板、床、雙杠橫梁等都必須把它們的變形限制在允許的范圍內(nèi)。屋頂案例4：橋梁如果產(chǎn)生過(guò)大變形樓板、床、雙杠橫梁等都必須把它們的變形限２、工程有時(shí)利用彎曲變形達(dá)到某種要求。汽車板簧應(yīng)有較大的彎曲變形,才能更好的起到緩和減振的作用；案例1：２、工程有時(shí)利用彎曲變形達(dá)到某種要求。汽車板簧應(yīng)有較大的彎曲安裝在工程機(jī)械駕駛室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的過(guò)程中有較大的變形吸收落物或碰撞能量，保證駕駛員的人身安全案例2：安裝在工程機(jī)械駕駛室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的過(guò)案例3：當(dāng)今時(shí)代汽車工業(yè)飛速發(fā)展，道路越來(lái)越擁擠，一旦發(fā)生碰撞，你認(rèn)為車身的變形是大好還是小好？案例3：當(dāng)今時(shí)代汽車工業(yè)飛速發(fā)展，道路越來(lái)越擁擠，一旦發(fā)生碰案例4：蹦床要有大變形，才能積蓄能量，將人體彈射到一定高度。3、研究彎曲變形還廣泛應(yīng)用于超靜定問(wèn)題分析、穩(wěn)定性分析以及振動(dòng)分析等方面。除了解決構(gòu)件的剛度外，案例4：蹦床要有大變形，才能積蓄能量，將人體彈射到一定高度。二、彎曲變形的物理量扭轉(zhuǎn)：

FF拉伸彎曲變形的物理量如何？二、彎曲變形的物理量扭轉(zhuǎn)：FF拉伸彎曲變形的物理量如何？1、撓曲線2、撓度ω向上為正3、轉(zhuǎn)角逆時(shí)針為正截面形心在力的方向的位移截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度彎曲變形的物理量撓度ω彎曲變形的物理量轉(zhuǎn)角+1、撓曲線2、撓度ω向上為正3、轉(zhuǎn)角逆時(shí)針為正截面形心在力§12.2

撓曲線的微分方程2、撓曲線方程：1、建立坐標(biāo)系Xoy平面就是梁的縱向?qū)ΨQ面；在平面彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為xoy面內(nèi)的一條平面曲線；該曲線方程為：§12.2撓曲線的微分方程2、撓曲線方程：1、建立坐標(biāo)系X3、撓度、轉(zhuǎn)角物理意義①：撓度的物理意義：撓曲線在該點(diǎn)處的縱坐標(biāo)；②：轉(zhuǎn)角的物理意義過(guò)撓曲線上點(diǎn)作撓曲線的切線該切線與水平線的夾角為撓曲線在該點(diǎn)處的切線斜率；撓曲線方程在該點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)；轉(zhuǎn)角的正方向：從x軸正向向切線旋轉(zhuǎn)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。3、撓度、轉(zhuǎn)角物理意義①：撓度的物理意義：撓曲線在該點(diǎn)處的縱4、撓曲線微分方程中性層處曲率:

對(duì)于曲線y=f(x)在任一點(diǎn)處曲率

（瑞士科學(xué)家Jacobi.貝努利得到）正好為xoy平面內(nèi)的一條曲線，平面彎曲的撓曲線所以曲線y=f(x)：從數(shù)學(xué)上講是一條普通的平面曲線，從力學(xué)上講就是梁發(fā)生彎曲變形的撓曲線。4、撓曲線微分方程中性層處曲率:對(duì)于曲線y=f(x)在瑞士科學(xué)家Jacbi.貝努利得到梁的撓曲線微分方程；撓曲線微分方程由于沒有采用曲率的簡(jiǎn)化式，且彈性模量E無(wú)定量結(jié)果，撓曲線微分方程故撓曲線微分方程沒有得到廣泛應(yīng)用。該撓曲線微分方程是適用于彎曲變形的任何情況。非線性的，瑞士科學(xué)家Jacbi.貝努利得到梁的撓曲線微分方程；撓曲線微5、撓曲線近似微分方程在小變形的條件下，撓曲線是一條光滑平坦的曲線，，較小，轉(zhuǎn)角故得撓曲線近似微分方程：5、撓曲線近似微分方程在小變形的條件下，撓曲線是一條光滑平坦符號(hào)規(guī)定：MM撓曲線近似微分方程撓曲線為凹曲線撓曲線為凸曲線彎矩M與二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)一致。適用范圍：xωxωMM線彈性、小變形;y軸向上，x軸向右；符號(hào)規(guī)定：MM撓曲線近似微分方程撓曲線為凹曲線撓曲線為凸曲線撓曲線的近似微分方程積分一次：轉(zhuǎn)角方程積分二次：撓曲線方程C、D為積分常數(shù)，由梁的約束條件決定?！?2.3

用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程積分一次：轉(zhuǎn)角方程積分二次：撓曲線方程C懸臂梁：xω梁的邊界條件L懸臂梁：xω梁的邊界條件L簡(jiǎn)支梁：xωL梁的邊界條件簡(jiǎn)支梁：xωL梁的邊界條件連續(xù)性條件：CPABaLxω邊界條件光滑連續(xù)性條件連續(xù)性光滑性連續(xù)性條件：CPABaLxω邊界條件光滑連續(xù)性條件連續(xù)性光滑連續(xù)性條件：ABLaCMxω特別強(qiáng)調(diào)在中間鉸兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。連續(xù)不光滑連續(xù)性條件：ABLaCMxω特別強(qiáng)調(diào)在中間鉸兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，但例1：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：xωkCPABaL邊界條件光滑連續(xù)性條件例1：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：xωkCPABaL邊界條例2：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：hEACPABaL邊界條件光滑連續(xù)性條件例2：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：hEACPABaL邊界條討論：撓曲線分段（1）凡彎矩方程分段處，應(yīng)作為分段點(diǎn)；（2）凡截面有變化處，或材料有變化處，應(yīng)作為分段點(diǎn)；（3）中間鉸視為兩個(gè)梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩部分之間的相互作用力，故應(yīng)作為分段點(diǎn)；ABLaCM討論：撓曲線分段（1）凡彎矩方程分段處，應(yīng)作為分段點(diǎn)；（2）（4）凡分段點(diǎn)處應(yīng)列出連續(xù)條件；根據(jù)梁的變形的連續(xù)性，對(duì)同一截面只可能有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角；ABLaCM討論：撓曲線分段在中間鉸兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。邊界條件連續(xù)性條件（4）凡分段點(diǎn)處應(yīng)列出連續(xù)條件；根據(jù)梁的變形的連續(xù)性，對(duì)同一例1懸臂梁受力如圖所示。求和。xωx取參考坐標(biāo)系1、列寫彎矩方程2、代入撓曲線近似微分方程中積分一次：積分二次：轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程AqBL例1懸臂梁受力如圖所示。求和。x3、確定常數(shù)C、D.邊界條件：AqBL3、確定常數(shù)C、D.邊界條件：AqBLAqBL4、計(jì)算A截面的撓度和轉(zhuǎn)角A截面處AqBL4、計(jì)算A截面的撓度和轉(zhuǎn)角A截面處CFABaLxω例2一簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。試求和。1、求支座反力2、分段列出梁的彎矩方程bBC段AC段xxCFABaLxω例2一簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。試求3、代入各自的撓曲線近似微分方程中4、各自積分3、代入各自的撓曲線近似微分方程中4、各自積分5、確定積分常數(shù)邊界條件：連續(xù)條件：FaLxω5、確定積分常數(shù)邊界條件：連續(xù)條件：FaLxωBC段AC段7、求轉(zhuǎn)角6、撓曲線方程BC段AC段7、求轉(zhuǎn)角6、撓曲線方程8、求。求得的位置值x。8、求。求得的位置值x。代入得：若則：在簡(jiǎn)支梁情況下，不管F作用在何處（支承除外），可用中間撓度代替，其誤差不大，不超過(guò)3%。代入得：若§12.4

用疊加法求彎曲變形

一、疊加原理在小變形，是線性的；

材料服從胡克定律的情況下，撓曲線的近似微分方程彎矩與載荷之間的關(guān)系對(duì)應(yīng)于幾種不同的載荷，是線性的；彎矩可以疊加，近似微分方程的解也可以疊加。計(jì)算彎矩時(shí)，使用變形前的位置§12.4用疊加法求彎曲變形一、疊加原理在小變形，是線性設(shè)彎矩

撓曲線分別滿足各自的近似微分方程將兩個(gè)微分方程疊加分別計(jì)算出每一載荷單獨(dú)引起的變形，將所得的變形疊加即為載荷共同作用下引起的變形——疊加原理。總的近似微分方程：證明設(shè)彎矩?fù)锨€分別滿足各自的近似微分方程將兩個(gè)微分方程疊加分

二、疊加原理的限制條件疊加原理僅適用于線性函數(shù)，要求撓度、轉(zhuǎn)角是載荷的線性函數(shù)。(1)、彎矩與載荷成線性關(guān)系;梁發(fā)生小變形，忽略各載荷引起梁的水平位移；梁處于線彈性范圍內(nèi)，滿足虎克定律；

(2)、曲率與彎矩成線性關(guān)系;(3)、撓曲線二階導(dǎo)數(shù)與成線性關(guān)系;即梁處于小變形條件下;二、疊加原理的限制條件疊加原理僅適用于線性函數(shù)，要求撓度幾種載荷共同作用下某截面的撓度和轉(zhuǎn)角，三、疊加原理的特征等于每種載荷單獨(dú)作用下引起的同一截面撓度、轉(zhuǎn)角的向量和。幾種載荷共同作用下某截面的撓度和轉(zhuǎn)角，三、疊加原理的特征等于例1

已知：q、l、EI，求：yC

,B

載荷疊加法（查表法）應(yīng)用于多個(gè)載荷作用的情形例1已知：q、l、EI，求：yC,B載荷疊加法（查ωC

,B1、載荷分解qlql2qωC,B1、載荷分解qlql2qqlql2q2查表：?jiǎn)为?dú)載荷作用下qlql2q2查表：?jiǎn)为?dú)載荷作用下3、變形疊加3、變形疊加例2抗彎剛度EI為常量，用疊加法確定C和yC

?L/2L/2qCBA例2抗彎剛度EI為常量，用疊加法確定C和yC?L/2LqL/2L/2qCBAqqqL/2L/2qCBAqqqqqqww

第二類疊加法1將梁的撓曲線分成幾段;逐段剛化法2首先分別計(jì)算各段梁的變形在需求位移處引起的位移（撓度和轉(zhuǎn)角）;3然后計(jì)算其總和（代數(shù)和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的變形在需求位移處引起的位移時(shí)，除所研究的梁段發(fā)生變形外，其余各段梁均視為剛體。第二類疊加法1將梁的撓曲線分成幾段;逐段剛化法2首先分別例3

：用疊加法確定ωC?ABalFC1）考慮AB段變形引起的Ｃ截面的撓度(BC段看作剛體)外力向研究的ＡＢ段上簡(jiǎn)化ABalCFFaF：作用在支座上，不產(chǎn)生變形。Fa：使AB梁產(chǎn)生變形。例3：用疊加法確定ωC?ABalFC1）考慮AB段變形引ABalCFFaFa引起梁的變形形狀為ＡＢ段上凸；ABalCFFaFa引起梁的變形形狀為ＡＢ段上凸；2）考慮BC段變形引起C截面的撓度aABalFCAB段看作剛體FBCC截面的總撓度2）考慮BC段變形引起C截面的撓度aABalFCAB段看作剛討論積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？疊加法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？討論積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？疊加法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？多余約束凡是多余維持平衡所必須的約束多余反力與多余約束相應(yīng)的支反力或支反力偶矩靜不定度＝支反力（力偶）數(shù)－有效平衡方程數(shù)靜不定度＝多余約束數(shù)4-3=1度靜不定5-3

=

2度靜不定12.5簡(jiǎn)單靜不定梁多余約束凡是多余維持平衡所必須的約束多余反力與多余約選

Fby

為多余力－變形協(xié)調(diào)條件－物理方程－補(bǔ)充方程－平衡方程一度靜不定例綜合考慮三方面求梁的支反力選Fby為多余力－變形協(xié)調(diào)條件－物理方程－補(bǔ)充方程－平判斷梁的靜不定度用多余力

代替多余約束的作用，得受力與原靜不定梁相同的靜定梁－所謂相當(dāng)系統(tǒng)計(jì)算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的位移，并根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程由補(bǔ)充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力相當(dāng)系統(tǒng)通過(guò)相當(dāng)系統(tǒng)計(jì)算內(nèi)力、位移與應(yīng)力等

求解依據(jù)－綜合考慮三方面求解關(guān)鍵－確定多余支反力分析方法與步驟相當(dāng)系統(tǒng)判斷梁的靜不定度用多余力代替多余約束的作用，得受例求支反力解：1.

問(wèn)題分析水平反力忽略不計(jì)，2多余未知力2.

解靜不定例求支反力解：1.問(wèn)題分析水平反力忽略不計(jì)，2多余未彎曲變形的剛度條件：[ω]——許用撓度，[]——許用轉(zhuǎn)角工程中，[ω]常用梁的計(jì)算跨度l的若干分之一表示。對(duì)于橋式起重機(jī)梁：對(duì)于一般用途的軸：在安裝齒輪或滑動(dòng)軸承處，許用轉(zhuǎn)角為：12.6梁的剛度校核彎曲變形的剛度條件：[ω]——許用撓度，[]——許用轉(zhuǎn)角工1、求自由端的撓度與轉(zhuǎn)角PqL1、求自由端的撓度與轉(zhuǎn)角PqLP2P1qLL2、求自由端的撓度與轉(zhuǎn)角P2P1qLL2、求自由端的撓度與轉(zhuǎn)角3、求簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的撓度qL/2C3、求簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的撓度qL/2C4、圖示中懸臂梁，二段為同種材料制成。材料的彈性模量為E，求自由端C端的撓度。PI1L1I2L2ABC4、圖示中懸臂梁，二段為同種材料制成。材料的彈性模量為E，求§12.7

提高梁強(qiáng)度和剛度的措施一、改善結(jié)構(gòu)、減少?gòu)澗兀薄⒑侠戆才胖ё?；２、合理安排受力；３、集中力分散；４?/p>

ω一般與跨度有關(guān)，５、增加約束：成正比，與故可減小跨度；§12.7提高梁強(qiáng)度和剛度的措施一、改善結(jié)構(gòu)、減少?gòu)澗兀薄⑽岔斸?、跟刀架或加裝中間支架；較長(zhǎng)的傳動(dòng)軸采用三支撐；橋梁增加橋墩。增加約束：采用超靜定結(jié)構(gòu)尾頂針、跟刀架或加裝中間支架；較長(zhǎng)的傳動(dòng)軸采用三支撐；橋梁增采用超靜定結(jié)構(gòu)采用超靜定結(jié)構(gòu)改變支座形式FF改變支座形式FF改變載荷類型q=F/LF改變載荷類型q=F/LF二、選擇合理的截面形狀A(yù)幾乎不變，大部分分布在遠(yuǎn)離中性軸處，工字形、槽鋼等；起重機(jī)大梁常采工字形或箱形截面；二、選擇合理的截面形狀A(yù)幾乎不變，大部分分布在遠(yuǎn)離中性軸處，起重機(jī)大梁常采工字形或箱形截面；起重機(jī)大梁常采工字形或箱形截面；四、不宜采用高強(qiáng)度鋼;三、加強(qiáng)肋盒蓋、集裝箱；各種鋼材Ｅ大致相同。四、不宜采用高強(qiáng)度鋼;三、加強(qiáng)肋盒蓋、集裝箱；各種鋼材1、y’’=M(x)/EI在

條件下成立？