《初等幾何研究》練習(xí)題

《初等幾何研究》作業(yè)一、填空題1a上任意兩點(diǎn)AB以及a上與B在A同側(cè)的點(diǎn)的集合稱作并記作 。2、在絕對(duì)幾何中，外角定理的內(nèi)容是：。3、第四組公理由 條公理組成，它們的名稱分別是。4、歐氏平行公理是： 。5、羅氏幾何公理系統(tǒng)與歐氏幾何公理系統(tǒng)的共同之處是 ，不同之處是。6、幾何證明的基本方法，從推理形式上分為 法與歸納法；從思維方向上分為 法與分析法從命題結(jié)構(gòu)上分為 證法與間接證法，其中間接證法包括法與 法。7、過(guò)反演中心的圓，其反演圖形是 （過(guò)或不過(guò)）反演中心的 。8、銳角三角形的所有內(nèi)接三角形中，周長(zhǎng)最短的是 三角形。9、錫瓦定理：設(shè)⊿ABC的三邊（所在直線）BC、CA、AB上分別有點(diǎn)X、Y、Z，則AX、BY、CZ三線共點(diǎn)（包括平行）的充要條件是 。10、解作圖問(wèn)題的常用方法有： 、 、 、 等。11、數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)的三個(gè)基本問(wèn)題是 性、 性和 性.12對(duì)于共面的直線a和a外兩點(diǎn)A若a與(AB)相交則稱AB在a的 否則稱AB在a的 .13、命題“過(guò)直線外一點(diǎn)，至少有一條直線與已知直線共面但不相交”是 定理的推論.14、證明直線和圓的連續(xù)性時(shí)，主要依據(jù)了 原理.15、羅氏平行公理是： .16、在羅氏幾何中，共面的兩條直線有 種關(guān)系，它們分別是17幾何證明的通用方法一般有 法、 法、 法、 法、 法、 法等.18、等邊三角形外接圓周上任一點(diǎn)到三頂點(diǎn)的連線段中，最長(zhǎng)線段與另兩條線段之和具有的關(guān)系.19、尺規(guī)可作圖的充要條件是 .由公理可以證明，線段的合同關(guān)系具有 性、 性、 和 性.如果線段與角對(duì)應(yīng)，那么線段的中點(diǎn)與角的 對(duì)應(yīng).命題“線段小于任意一條連接其兩個(gè)端點(diǎn)的折線”是 定理的推論.第1頁(yè)共5頁(yè)在您完成作業(yè)過(guò)程中，如有疑難，請(qǐng)登錄學(xué)院網(wǎng)站“輔導(dǎo)答疑”欄目，與老師進(jìn)行交流討論！絕對(duì)幾何包括有 組公理，它們分別是 .寫出一條與歐氏平行公理等價(jià)的命題： .在羅氏幾何中，兩條直線為分散線的充要條件是 .26．常用的幾何變換有 等托勒密定理：四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，則 .請(qǐng)寫出兩條作圖公法： .在希爾伯特給出的歐幾里得公理系統(tǒng)中，三角形的定義是： 。巴士公理：設(shè)A、B、C三點(diǎn)不共線，a是A、B、C所在平面上的一條直線，但不通過(guò)A、BC中任一點(diǎn)，若a通過(guò)線段AB上一點(diǎn)，則 。命題“過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線必與該圓相交于兩點(diǎn)”是由 公理保證的。歐氏幾何公理系統(tǒng)共有 組公理，它們分別是 。寫出一條與羅氏平行公理等價(jià)的命題： 。羅氏函數(shù)的定義域是 ，值域是 ，其性質(zhì)有 和 。合同變換包括 變換、 變換和 變換。梅內(nèi)勞斯定理：設(shè)的三邊（所在直線CAAB被一直線分別截于XYZ點(diǎn)，X、Y、Z共線的充要條件是 。解作圖問(wèn)題的步驟一般分為： 、 、 、 、 。二、問(wèn)答題：1、在數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)中，模型指的是什么？2、巴士公理刻劃了直線和三角形的那些特性？3、定義線段長(zhǎng)度的兩個(gè)條件是什么？4””、“”，哪一個(gè)命題與歐氏平行公理不等價(jià)？5、歐氏幾何公理系統(tǒng)中，不加定義的原始概念有哪些？對(duì)它們?yōu)槭裁床患佣x？第2頁(yè)共5頁(yè)在您完成作業(yè)過(guò)程中，如有疑難，請(qǐng)登錄學(xué)院網(wǎng)站“輔導(dǎo)答疑”欄目，與老師進(jìn)行交流討論！6、試給第一組公理一個(gè)模型.7、第三組公理一共有幾條？這組公理的名稱與我們以前熟悉的哪些概念有關(guān)？8、定義兩個(gè)線段的大、小關(guān)系用到了哪些關(guān)系？.數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)的三個(gè)基本問(wèn)題是什么？其含義分別是什么？公理系統(tǒng)中的“合同”概念涉及到中學(xué)平面幾何中哪些名詞、術(shù)語(yǔ)？由歐幾里得《幾何原本》中的第五公設(shè)引出了什么問(wèn)題？產(chǎn)生了什么結(jié)果？原始關(guān)系概念“結(jié)合”的通常說(shuō)法有哪些？數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)的三個(gè)基本問(wèn)題中哪個(gè)最重要，必須首先滿足？在歐氏幾何公理系統(tǒng)中，線段“合同”的概念與線段“長(zhǎng)度”的概念分別是以什么形式引出來(lái)的？在絕對(duì)幾何公理系統(tǒng)中，命題“三角形內(nèi)角和等于兩個(gè)直角”用下列方法證明可否？若有問(wèn)題，問(wèn)題出在哪一步？為什么？在⊿ABC中，過(guò)A作ADBCD設(shè)⊿ABC的內(nèi)角和為x，用ω表示直角，則∠1+∠3+∠5=x，∠2+∠4+∠6=x；∵∠3+∠4=2ω，且∠1+∠2+∠5+∠6=x，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2x，即x+2ω=2x，因此x=2ω，得證。三、軌跡問(wèn)題：

A1 25 3 4 6B D C1、若三角形底邊固定，其頂點(diǎn)在過(guò)底邊一端的定直線上移動(dòng)，則該三角形外心的軌跡是底邊的垂直平分線。2、ABC的底邊BC固定∠A=α是定角，延長(zhǎng)BA至D，使BD=BA+A，求D（只作分析，并指出軌跡的圖形即可）3、到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為正實(shí)數(shù)m（m≠1）之點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.若三角形底邊固定，其頂點(diǎn)在過(guò)底邊一端的定直線上移動(dòng)，則該三角形外心的軌跡是底邊的垂直平分線。四、作圖問(wèn)題

A第3頁(yè)共5頁(yè)在您完成作業(yè)過(guò)程中，如有疑難，請(qǐng)登錄學(xué)院網(wǎng)站“輔導(dǎo)答疑”欄目，與老師進(jìn)行交流討論！x1、給定直線XY及其同側(cè)兩點(diǎn)AB， AB在XY上求作一點(diǎn)P，使得∠APX=∠BPY.（只寫作圖過(guò)程并證明）X Y2、從已知圓外一點(diǎn)作一割線，使其圓外部分和圓內(nèi)部分長(zhǎng)度相等.（只寫作圖過(guò)程并討論）A3、已知直線、y平行，其外側(cè)各有一點(diǎn)AB x（如圖，求作從A到B的最短路線，其中在、yy之間的一段要求與x垂直.（只寫作圖過(guò)程并證明）B4、已知一邊和該邊的對(duì)角及此角的角平分線，求作三角形.XYA、B，在XY上求作一點(diǎn)P，使得∠APX=∠BPY. AB（只寫作圖過(guò)程并證明）X Y求作一圓，使該圓過(guò)兩定點(diǎn)，并與一定直線相切.（只寫作圖過(guò)程）已知直線、yAB（如圖，求作從A到B的最短路線，其中在、y之間的一段要求與x（只寫作圖過(guò)程并證明給定銳角三角形ABC使其兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)在BC另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB和AC邊上。（只寫作圖過(guò)程）五、證明題1、證明線段的合同關(guān)系滿足反身性和對(duì)稱性.使AF=A（如右圖，3∠CAF=2使AF=A（如右圖，3∠CAF=2∠CAB.F第4頁(yè)共5頁(yè)在您完成作業(yè)過(guò)程中，如有疑難，請(qǐng)登錄學(xué)院網(wǎng)站“輔導(dǎo)答疑”欄目，與老師進(jìn)行交流討論！3、用同一法證明命題：已知P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若∠PAB=∠PBA=15o，則⊿PCD是等邊三角形.4、過(guò)圓中AB弦的中點(diǎn)M任作兩弦CD、EF，設(shè)CF、DE與AB分別交于P、Q，求證：PM=MQ.7：A、CACBA、CEIJHC在⊿ABCIJHC作三個(gè)正方形ACEF、FCBG、BAI（如右圖，G求證：FJ∥AG