二重積分的應(yīng)用

PAGEPAGE4/4§9.3二重積分的應(yīng)用定積分應(yīng)用的元素法也可推廣到二重積分,使用該方法需滿(mǎn)足以下條件：1所要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性<即:當(dāng)閉區(qū)域D分成許多閉區(qū)域d時(shí),所求量U相應(yīng)地分成許多部分量U,且U U>.2DdU可近似地表示為

f(x,y)d,其中(x,y)d ,稱(chēng)f(x,y)d為所求量U的元素,并記作dU.<注:f(x,y)d的選擇標(biāo)準(zhǔn)為:Uf(x,y)d 是d直徑趨于零時(shí)較d更高階的無(wú)窮小量>3、所求量U可表示成積分形式

U f(x,y)dDD一、曲面的面積DS

f(x,y)

給出,

xyS

xoy

面上的投影區(qū)域,函數(shù)面的面積

f(x,y)在A.

Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

f(x,y)x

fy(x,y)

,現(xiàn)計(jì)算曲Ddd>,在dP(xy)SM(xyf(xy))SMTdz軸的柱面,STd的直徑很小,那一小片平面面積近似地等于那一小片曲面面積.S

M 指向朝上的那個(gè)>為它與z軸正向所成夾角d

的方向余弦為dA而

cos11f2(x,y)f2(x,y)xy所以

d這就是曲面S的面積元素,故z

2 z2A 故 Dxy

1x

dxdy yx2[例1]求球面面積.

y2

z2

a2 x2含在柱面

y2

axa0解:所求曲面在

xoy

面的投影區(qū)域

D {(x,y)|x2y2ax}xya2a2x2y2曲面方程應(yīng)取為 ,則x ya2x2a2x2y2a2x2y2x y,xoy D曲面在 面上的投影區(qū)域?yàn)閾?jù)曲面的對(duì)稱(chēng)性,有若曲面的方程為

xg(y,z)或

yh(z,x)

,可分別將曲面投影到

yozzox

Dyz D面或 面,設(shè)所得到的投影區(qū)域分別為 或或二、平面薄片的重心1、平面上的質(zhì)點(diǎn)系的重心

zx,類(lèi)似地有其質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)為xMy

nmxi ii1

yMx

nmyi ii1m nmii1 ,

m nmii12、平面薄片的重心xoyD,在點(diǎn)x,y處的面密度為xy)xyD上連續(xù),如何確定該薄片的重心坐標(biāo)(xy).這就是力矩元素,于是

m(x,y)d又平面薄片的總質(zhì)量 D從而,薄片的重心坐標(biāo)為特別地,如果薄片是均勻的,即面密度為常量,則十分顯然,這時(shí)薄片的重心完全由閉區(qū)域的形狀所決定,因此,習(xí)慣上將均勻薄片的重心稱(chēng)之為該平面薄片所占平面圖形的形心.2]

D為介于兩個(gè)圓racos ,rbcos<0

b>之間的閉區(qū)域,且面密度均勻,求此均勻薄片的重心<形心>.D的對(duì)稱(chēng)性可知:y0rM xd2dbosry

cosdr而D acos而2Mx M

b2baa2故 A a)三、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、平面質(zhì)點(diǎn)系對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量n

(x,y

),(x,y

), ,(x,y)設(shè)平面上有

個(gè)質(zhì)點(diǎn),它們分別位于點(diǎn)1 1 2 2 n n處,質(zhì)量分別為

m,m1

,,mn.xy軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量依次為2、平面薄片對(duì)于坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)有一薄片,占有

xoyD,在點(diǎn)(xy(xy),D (x,y) y D 假定 在 上連續(xù).現(xiàn)要求該薄片對(duì)于軸、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量x,y.與平面薄片對(duì)坐標(biāo)軸的力矩相類(lèi)似,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素為3]

yx2 y1 與直線(xiàn) 所圍成的均勻薄片<面密度為常數(shù)>對(duì)于直線(xiàn)

y1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素為四、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力xoyD,在點(diǎn)(xy